Funciones Parte 1

Funciones y sus Gráficas

Lección 1 Profesor Henry
Castillo

Concepto de Relación

Una relación es la correspondencia que
hay entre TODOS o ALGUNOS de los
elementos del primer conjunto con UNO o
MÁS elementos del segundo conjunto.
Considere los siguientes ejemplos:
 En un almacén, a cada artículo le
corresponde un precio.
 A cada nombre del directorio telefónico le
corresponde uno o varios números.
 A cada estudiante le corresponde un
promedio de calificaciones.

Nota: Todas las funciones son relaciones,
pero no todas las relaciones son funciones

Profesor Henry
Castillo

Concepto de Función

La palabra “función” es utilizada en nuestro
lenguaje común para expresar que algunos
hechos dependen de otros. Así, la idea
matemática de función no es un concepto
nuevo, sino una formalización de nuestra
idea intuitiva.
Una función es una relación entre dos
conjuntos tales que existe exactamente un
elemento del segundo conjunto asociado
con cada elemento del primero. Al primer
conjunto de elementos se le llama dominio y
al segundo rango o recorrido.

Profesor Henry
Castillo

Concepto de Función

x
x
Podemos comparar
x una función f con una
máquina,
f a la cual se le
introduce un valor x
f (x) y después de una
serie de cálculos, esta
devuelve el valor de
f (x)

Profesor Henry
Castillo

Dominio y Recorrido

Dominio

 Esta representado por todos los posibles
valores que puede tener la variable
independiente (x).

Y lo denotaremos por Dom f

Profesor Henry
Castillo

Dominio y Recorrido

Dominio

¿Cuál es el dominio
de la relación?

DomR 0,1, 2

El elemento 3 no es parte del dominio pues no está asociado a
ningún elemento, es decir, no pertenece a la relación.

Profesor Henry
Castillo

Dominio y Recorrido

Recorrido

 También se le conoce como el
Codominio de f y representa todos los
posibles valores que puede adoptar la
variable dependiente (y) dado su
correspondiente valor de (x).

Lo denotaremos por Rec f

Profesor Henry
Castillo

Dominio y Recorrido

Recorrido

¿Cuál es el recorrido
de la relación?

Re cR a, b, d

El elemento “c” no es parte del recorrido pues no tiene
asociado ningún elemento, es decir, no pertenece a la relación.

Profesor Henry
Castillo

Dominio y Recorrido

Veamos el siguiente video de lo que se
entiende por una función:

Profesor Henry
Castillo

Evaluación de una Función

Ejemplo 1:
Sea f una función, definida en los reales como:
f(x) = 2x + 3.
Determinar: f
IR IR
a) f (1) = 2·1 + 3 = 5

b) f (3) = 2·3 + 3 = 9 x f(x)
1 5
c) f (7) = 2·7 + 3 = 17
3 9
d) f (12) = 2·12 + 3 7 17
= 24 + 3 12 27

…

…
= 27

Profesor Henry
Castillo


e) Para f(x) = 2x + 3, determinar

f (4) - 3·f (0) 2·4 + 3 – 3(2·0 + 3)
=
f (-1) 2(-1) + 3

8 + 3 – 3(3)
=
1
= 11 – 9

= 2

Profesor Henry
Castillo

Representación Gráfica

Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3.

f(x) = 2x + 3 es “función afín”o bien “función lineal” , Dom(f)=IR y
Rec(f)=IR
Profesor Henry
Castillo


Ejemplo 2:
f(x)= x x 3 ¿Es siempre posible calcular este cociente?
–
Respuesta:
Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0,
es decir: x ≠ 3. f
IR IR
Luego, Dom(f) = IR – {3}
Para determinar el recorrido de f(x), x f(x)
se debe despejar x.
2 -2
y= x x 3
– 4
4
y(x – 3)=x
3y 6 2
yx – 3y=x x= y – 1
3

…
yx – x=3y
x(y – 1)=3y
Luego, Rec(f) = IR – {1}
Profesor Henry
Castillo


Representación gráfica de: f(x)= x
x–3

f(x) = x / (x – 3) es “Es una Función Racional” ,
Dom(f) = IR- {3} y Rec(f) = IR-{-1}
Profesor Henry
Castillo

Clasificación de las Funciones

FUNCIONES ALGEBRAICAS
Funciones Polinomiales

Función Constante f ( x) a0

Función Lineal f x mx b

Función Idéntica f ( x) x

Función Cuadrática f x ax2 bx c

Profesor Henry
Castillo



p x an x n an 1 x n 1  a1 x a0
Función Racional f x
q x bm x m bm 1 x m 1  b1 x b0

Función Raíz f ( x) n p( x) donde p(x) 0

Profesor Henry
Castillo



Función Valor Absoluto f x x x si x 0
donde x 0 si x 0
x si x 0

Función por Intervalos
o a Trozos

Profesor Henry
Castillo

Función Constante
Definición: es una recta paralela al eje x.
f(x)= a

Gráfico:

Dom f= IR

Rec f={a}

-1

Obs. No es biyectiva, no posee inversa

Profesor Henry

Sea f(x) = –3x + 4, la función a trabajar:

Para analizar el dominio de f(x) = –3x + 4
Consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real.
Entonces: Df = R o bien Df = ( - ; )
De la misma manera, los valores que tome y para los diferentes
valores de x, van a estar contenidos en la recta.
Entonces: Rf = R Rf = ( - ; )

Trazamos un par de ejes
coordenados
y confeccionamos una tabla de
valores
x - 3 x + 4 Y
1 -3·1+4 1
-1 - 3 · (-1) + 4 7
2 -3·2+4 -2

Es una función que va de
Reales en Reales

Profesor Henry

Función Identidad:
Definición: La preimagen es igual a su imagen.

f(x)= x m =1
Gráfico:

Dom f= IR
Rec f=IR

- Es Biyectiva
- Posee inversa
-1

Obs. Es equidistante de los ejes coordenados.

Profesor Henry

Analicemos la Función Cuadrática f(x) = -x2 + 4x - 3

Como la variable inpendiente x puede tomar cualquier valor real.
Entonces: Df = R o bien: Dm = ( - ; )
Antes de definir el Codominio, vamos a representar gráficamente la parábola.
Trazamos un par de ejes
coordenados y para
confeccionar la tabla de
valores buscamos los
x - x2 + 4x - 3 Y
valores de x que hacen 0
la función (raíces) 1 - 12 + 4 · 1 - 3 0

4 42 4( 1)( 3) 3 - 32 + 4 · 3 - 3 0
2( 1) 2 - 22 + 4 · 2 - 3 1
4 16 12
2 0 - 02 + 4 · 0 - 3 -3
x1 1
4 - 42 + 4 · 4 - 3 -3
x2 3 -1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 -8
Con estos valores empezamos la representación 5 - 52 + 4 · 5 - 3 -8
gráfica.
Tomamos valores a la izquierda
El vértice de la parábola estará en un punto
y a la derecha de los ya
equidistante, por lo que probaremos para x=2
hallados.

y finalmente trazamos la curva uniendo todos los puntos. Profesor Henry

f(x) = – x2 + 4 x – 3 tiene la siguiente gráfica:

Donde el Dominio es el Conjunto de los Números Reales.
Df = R
Al observar la gráfica, vemos que la función
no tiene valores de y mayores que 1
Por lo tanto el Codominio o Recorrido queda
definido de la siguiente manera:

Rf = { f(x) R / f(x) 1}

Profesor Henry

2 Trazamos un par de ejes coordenados:
Si f(x) = En ese caso tendríamos 2 / 0; así
x 3
En primer lugar reconocemos que x no puede podemos decir que para x = - 3 no
tomar el valor - 3 existe un valor finito de la función
Luego confeccionamos tabla de valores, para x Trazamos una asíntota en x = -3
próximos a –3 por derecha y estudiamos qué sucede a la
izquierda de x= –3
2 2
x y x y
x 3 x 3
-2 2/(-2+3) 2 -4 2/(-4+3) -2
-1 2/(-1+3) 1 -5 2/(-5+3) -1
0 2/(0+3) 2/3 -6 2/(-6+3) -2/3
1 2/(1+3) 1/2 -7 2/(-7+3) -1/2
2 2/(2+3) 2/5 -8 2/(-8+3) - 2/5
-2,5 2/(-2,5+3) 4 -3,5 2/(-3,5+3) - 4
-2,6 2/(-2,6+3) 5 -3,6 2/(-3,6+3) - 5

x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la
función no puede cortar la línea de trazos punteada
Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un lado y los puntos de la
derecha de x = -3 por otro lado
Profesor Henry

Cualquier valor del eje x -3 tiene un correspondiente en el eje y

Los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x;
son todos, menos el 0
Rf = {y R/y 0 }, Rf = (- ; 0) (0; ), o bien: Rf = R –
{0}

Profesor Henry

Función raíz cuadrada
Definición
Es de la forma: f(x) = x , con x ≥ 0

Su representación gráfica:

Dom(f)= IR+ U {0}
Rec(f) = IR+ U {0}

Obs: Esta función podría ser biyectiva, si se redefine el Dominio y el Recorrido

Profesor Henry

Observación:

• Cuando se tiene f(x) = – x , se está considerando que
la raíz es negativa, es decir , las imágenes son
menores o iguales a cero. De esta forma, también se
habla de la función raíz, con su rama negativa.

Su representación gráfica:
y

Dom (f)= IR+ U {0}
x
Rec(f)= IR- U {0}

Profesor Henry

Ejemplos:
1. Determinar el dominio y recorrido de: f(x) = 4+ x +2

Solución:
El dominio se obtiene de la desigualdad:
x+2≥0
x ≥ -2

Los reales x que tienen imagen f(x) real, son aquellos que
satisfacen la desigualdad x ≥ -2.

Por lo tanto:

Dom(f)=[-2, +∞)

Profesor Henry

Gráficamente:
Tabla de Evaluación

Calculando el Recorrido, tenemos:
y 4 x 2
y 4 x 2
2
y 4 x 2
2
y 4 2 x
El recorrido de la función es:Rec(f) = [4, +∞ )
o también: Rec(f) = {y Є IR / y ≥ 4}

Profesor Henry

Función módulo o valor absoluto
Definición
Es de la forma: f(x) = x

La función f se podrá separar o convertir en una función a trozos
de la siguiente manera:

x si x ≥ 0
x =
-x si x < 0

Dom(f)= IR

Rec(f) = IR+ U {0} 0 bien: Rf = [0,+∞)

Obs: i) No es biyectiva
ii) No posee inversa

Profesor Henry

Gráfico
f(x) = x

m=1

Profesor Henry

Ejemplos: Dada la siguiente función.
1. g(x) = x²+2x- 3
a) Encuentra el dominio y el rango de g.
b) Dibuje la gráfica de g.

Solución:
Calculamos las raíces de la expresión que está dentro del
valor absoluto.
Luego: x²+2x- 3 = (x+3)(x-1)
x= -3 y x=1 Representación Gráfica
+ - +

Dom(g)= IR
Rg = [0,+∞)

Profesor Henry

2. f(x) = x - 2
a) Encuentra el dominio y el rango de f.
b) Dibuje la gráfica de f.

Solución:


Dom(f)= IR

Rf = [0,+∞)

Profesor Henry



Función valor absoluto f x x x si x 0
donde x 0 si x 0
x si x 0

Función por Intervalos

Profesor Henry
Castillo

Consideremos la siguiente
función definida a trozos:
x 1 si x 0 En primer lugar
reconocemos que x no
Si f(x) = 3 si x 0
puede tomar valores
x3 1 si 2 x 0 menores que -2.

En consecuencia Df = { x R / x –2 } o bien: Df = [-2 ; )
Con frecuencia podemos confundir esta función (definida por partes) con “tres
funciones diferentes”.
Pero se trata de una sola función (ya que como observamos tiene un sólo dominio);
PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN
DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO.

Si x > 0 la función vale x - 1
La representación gráfica se
Si x = 0 la función vale 3 realiza como para cualquier otra
función.

Si x 0 la función vale x3 + 1

Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se
correspondan con los respectivos intervalos del dominio.

Profesor Henry

Si x se acerca mucho a 0, pero sin
Para x > 0 f(x) = x - 1 ser igual a 0, toma por ejemplo
valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc.
x y = x - 1 Y Si x fuera igual a 0 entonces y sería
1 1-1 0 igual a - 1
Debemos entender que si x se acerca a
3 3–1 2
0 con valores mayores que 0, y se
acerca a –1, pero sin ser y = -1

Representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a ese valor (-1) para valores muy
próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser
y = – 1 en x = 0

Unimos con una recta todos los valores
hallados por tratarse de una ley de
variación lineal y comprobamos que hay “al
menos” tres puntos alineados.

En x = 0 la función vale 3

Profesor Henry

Si x se acerca mucho a 0, pero sin
Para x < 0 f(x) = x3 + 1
ser igual a 0, toma por ejemplo
valores como -0,1; -0,01; -0,001, etc.
x y = x 3 + 1 Y Si x fuera igual a 0 entonces y sería
-1 (-1)3 + 1 0 igual a 1 (con esta ley de variación)
-2 (-2)3 + 1 -7 Debemos entender que si x se acerca a
0 con valores menores que 0, y se
acerca a 1, pero sin ser y = 1
Representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a ese valor (1) para valores muy
próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser
y = 1 en x = 0
Unimos los tres puntos hallados con una
curva de parábola cúbica solo para valores
comprendidos en el intervalo [-2; 0)

Profesor Henry

El dominio de la función ya fue encontrado [ -2; )
Y podemos observar en el gráfico que los valores del eje y que admiten
antecedente en los valores del dominio del eje x, van de – 7 a

Rf = {f(x) R / f(x) -7 } o bien: Rf = [-7; )

Profesor Henry

Es hora de descansar ! ! !

Momento propicio para
establecer nuevas relaciones . . .

Pero recuerda, puede descansar solamente
el que antes trabajó (estudió)

Debe trabajar el hombre para ganarse su
pan, pues la miseria en su afán de
perseguir de mil modos. Llama a la puerta
de todos y entra en la del haragán.
Martín Fierro (José Hernández)

Profesor Henry
Castillo

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