Aula 3 do Profmat da UERJ: Divisão nos Inteiros e Representação dos Numeros Inteiros

1. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Aritm´etica - MA14
AULA 3 - DIVIS˜AO NOS INTEIROS E
REPRESENTA¸C˜AO DOS N´UMEROS INTEIROS
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
18 de agosto de 2017
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2. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sum´ario
1 Divis˜ao nos inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
2 Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
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3. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Sum´ario
1 Divis˜ao nos inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
2 Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
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4. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Com n´umeros inteiros quaisquer, ´e poss´ıvel som´a-los,
subtra´ı-los e multiplic´a-los!
Nem sempre ´e poss´ıvel dividir um n´umero inteiro por outro.
Essa (im)possibilidade ´e expressa pela rela¸c˜ao de
divisibilidade.
Em Z n˜ao ´e poss´ıvel dividir 3 por 2, mas dividir 4 por 2 ´e!
Divis˜ao euclidiana: divis˜ao ”com resto pequeno”.
Acontece quando n˜ao existe a rela¸c˜ao de
divisibilidade entre dois n´umeros inteiros.
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5. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Divisibilidade
Dados dois n´umeros inteiros a e b, diz-se que a divide b,
escrevendo
a|b
quando existir c ∈ Z tal que b = ca.
Nesse caso, diz-se tamb´em que a ´e um divisor ou um fator de b
ou ainda que b ´e um m´ultiplo de a ou que b ´e divis´ıvel por a.
OBS: A nota¸c˜ao a|b n˜ao representa nenhuma opera¸c˜ao em Z,
nem representa uma fra¸c˜ao. Trata-se de uma senten¸ca que diz ser
verdade que existe c ∈ Z tal que b = ca.
OBS2: A nega¸c˜ao dessa senten¸ca ´e representada por a |b, ou
seja, c ∈ Z tal que b = ca.
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6. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Um exemplo interessante:
i! divide o produto de i n´umeros naturais consecutivos.
Escrevendo os i n´umeros naturais consecutivos em ordem
decrescente, a partir de um dado natural n
n · n − 1 · n − 2 · · · · n − i + 1
temos que
n
i
=
n · n − 1 · n − 2 · · · · n − i + 1
i!
e portanto
n · n − 1 · n − 2 · · · · n − i + 1 =
n
i
i!
o que mostra que n · n − 1 · n − 2 · · · · n − i + 1 ´e m´ultiplo de i!. 6 / 43

7. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Exerc´ıcio:
6 divide todo n´umero da forma n(n + 1)(2n + 1), onde n ∈ N.
Usar o resultado do exemplo anterior.
Abrir em dois casos: n = 1 e n > 1.
Usar o fato de que se a|b e a|c ent˜ao a|b + c.
Exerc´ıcio:
Demonstrar que se a|b e a|c ent˜ao a|b + c.
Exerc´ıcio:
Demonstrar por indu¸c˜ao que
n
i=1 i2 = 12 + 22 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)
6 .
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8. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Propriedades da divisibilidade
Sejam a, b, c ∈ Z. Tem-se que:
i) 1|a, a|a, a|0.
ii) 0|a ⇔ a = 0.
iii) a divide b ⇔ |a| divide |b|.
iv) Se a|b e b|c, ent˜ao a|c.
Conclus˜oes: Todo n´umero inteiro a ´e divis´ıvel por ±1 e por ±a.
0 tem infinitos divisores.
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9. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Defini¸c˜ao de quociente
Suponha que a|b e que a = 0. Seja c ∈ Z tal que b = ca. O
n´umero inteiro c, univocamente determinado, ´e chamado de
quociente de b por a e ´e denotado por c = b
a .
OBS: Nos inteiros, c = b
a s´o est´a definido quando a = 0 e a|b .
Exemplos: 2|6 pois 6 = 3 · 2 ⇒ 6
2 = 3;
0| − 2 pois 0 = −2 · 0 ⇒ 0
−2 = 0
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10. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Propriedades da divisibilidade
Sejam a, b, c, d ∈ Z. Tem-se que:
v)Se a|b e c|d ⇒ ac|bd.
Em particular, Se a|b ⇒ ac|bd
vi) Se a|(b ± c). Ent˜ao a|b ⇔ a|c.
vii) Se a|b e a|c. Ent˜ao, ∀x, y ∈ Z, a|(xb + yc).
viii) Se b = 0, temos que a|b ⇒ |a| ≤ |b|.
Em particular, se a ∈ Z e a|1 ent˜ao a = ±1.
. b tem um n´umero finito de divisores no intervalo −b ≤ a ≤ |b|
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11. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Divisibilidade como rela¸c˜ao de ordem
A rela¸c˜ao de divisibilidade em N ∪ {0} ´e uma rela¸c˜ao de ordem
pois:
i) ´e reflexiva: ∀a ∈ N, a|a
ii) ´e transitiva: se a|b e b|c ent˜ao a|c
iii) ´e antissim´etrica: se a|b e b|a ent˜ao a = b
Entretanto a rela¸c˜ao de divisibilidade n˜ao ´e uma rela¸c˜ao de ordem
em Z pois n˜ao ´e antissim´etrica. De fato, −2|2 e 2| − 2, mas
2 = −2.
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12. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Propriedades importantes e ´uteis
As propriedades a seguir podem ser demonstradas por indu¸c˜ao.
ix) Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Tem-se que:
a − b divide an
− bn
. x) Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N ∪ {0}. Tem-se que:
a + b divide a2n+1
+ b2n+1
. xi) Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Tem-se que:
a + b divide a2n
− b2n
.
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13. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao nos inteiros
Exerc´ıcios:
a) Mostre que 10n − 1 ´e m´ultiplo de 9.
b) Mostre que 5|(137 − 87).
c) Mostre que 13|(270 + 370).
d) Mostre que 14|(34n+2 + 52n+1), ∀n ∈ N ∪ {0}.
e) Mostre que 5 e 13 dividem 92n − 24n, ∀n ∈ N.
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14. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao Euclidiana
Mesmo quando um n´umero inteiro b = 0 n˜ao divide um n´umero
inteiro a, Euclides (em Elementos), afirma que ´e poss´ıvel efetuar a
divis˜ao de a por b com resto pequeno.
Este ´e um resultado central na teoria dos n´umeros.
Teorema: Divis˜ao Euclidiana
Sejam a, b, ∈ Z, b = 0. Existem dois ´unicos n´umeros inteiros q e r
tais que:
a = bq + r, com 0 ≤ r < |b|.
a: dividendo e b divisor
q: quociente da divis˜ao de a por b
r : resto da divis˜ao de a por b (note que o resto nunca ser´a
negativo)
Resultado: O resto da divis˜ao de a por b ´e zero ⇔ b|a.
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15. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao Euclidiana
Unicidade do quociente e resto
Dados dois inteiros a e b, com b = 0, existem v´arias (infinitas)
maneiras de escrever
a = bq + r
Por exemplo,
30=7x4+2
30=7x3+9
30=7x2+16
30=7x1+23
30=7x0+30
30=7x(-1)+37
Considerando a=30 e b=7, o teorema afirma que existe apenas
uma escrita satisfazendo a condi¸c˜ao 0 ≤ r < |b|. De fato, o ´unico
r que satisfaz ´e r=2. E da´ı, q=4. Ou seja, na divis˜ao de 30 por 7,
temos como quociente ´unico q = 4 e resto r = 2.
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16. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Divis˜ao Euclidiana
Exemplos da unicidade do quociente e resto
Como 19 = 5 · 3 + 4, o quociente e o resto da divis˜ao de 19
por 5 s˜ao q = 3 e r = 4.
Como −19 = 5 · (−4) + 1, o quociente e o resto da divis˜ao de
−19 por 5 s˜ao q = −4 e r = 1.
Como 32 = (−5) · (−6) + 2, o quociente e o resto da divis˜ao
de 32 por−5 s˜ao q = −6 e r = 2.
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17. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Aplica¸c˜ao: parte inteira de um n´umero racional
Sejam a, b ∈ Z, com b > 0. Pela divis˜ao euclidiana de a por b,
podemos escrever
a = bq + r, com 0 ≤ r < b.
Vamos dar uma nova interpreta¸c˜ao para o quociente b da divis˜ao.
Da condi¸c˜ao 0 ≤ r < b, obtemos:
bq + 0 ≤ bq + r < bq + b.
Logo
bq ≤ a < b(q + 1).
Dividindo por b, obtemos
q ≤
a
b
< q + 1.
Portanto, q ´e o maior inteiro menor ou igual a a
b e ´e chamado de
parte inteira do n´umero racional a
b sendo denotado por [a
b ]
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18. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Aplica¸c˜ao: quantidade de m´ultiplos n˜ao nulos
Quantidade de m´ultiplos n˜ao nulos
Dados a, c ∈ N, com a < c, o n´umero de m´ultiplos n˜ao nulos de a
menores ou iguais a c (m´ultiplos de a entre 1 e c, incluindo os
extremos) ´e igual ao quociente da divis˜ao de c por a, isto ´e, igual a
parte inteira c
a do n´umero racional c
a .
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19. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Aplica¸c˜ao: quantidade de m´ultiplos n˜ao nulos
Quantidade de m´ultiplos n˜ao nulos
Dados a, c ∈ N, com a < c, o n´umero de m´ultiplos n˜ao nulos de a
menores ou iguais a c (m´ultiplos de a entre 1 e c, incluindo os
extremos) ´e igual ao quociente da divis˜ao de c por a, isto ´e, igual a
parte inteira c
a do n´umero racional c
a .
Pela divis˜ao euclidiana de c por a, temos:
c = aq + r, com 0 ≤ r < a.
A lista de m´ultiplos de a entre 1 e c (inclusive) ´e:
a, 2a, 3a, ..., (q − 1)a, qa
De fato, qa ≤ c < (q + 1)a pelo resultado anteiror. Logo qa ´e o
´ultimo m´ultiplo de a menor ou igual a c.
Essa quantidade de n´umeros ´e exatamente o valor de q = c
a . 19 / 43

20. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Aplica¸c˜ao: quantidade de m´ultiplos n˜ao nulos
Quantidade de m´ultiplos n˜ao nulos entre dois n´umeros
Dados a, b, c ∈ N, tais que 0 < a < b < c, ent˜ao o n´umero de
m´ultiplos de a entre b e c ´e dado por:
i) c
a − b−1
a , se incluir b da contagem
M´ultiplos entre 1 e c, incluindo os extremos, menos os m´ultiplos
anteriores a b (j´a foram contados)
ii) c
a − b
a , se excluir b da contagem.
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21. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Aplica¸c˜ao: quantidade de m´ultiplos n˜ao nulos
Quantidade de m´ultiplos n˜ao nulos
Quantos m´ultiplos de 9 existem entre 1 e 1247, inclusive?
138
Quantos m´ultiplos de 9 existem entre 238 e 1247, inclusive?
112
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22. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Paridade: par ou ´ımpar
Essa classifica¸c˜ao pode ser justificada pela divis˜ao euclidiana.
Paridade
A paridade de um n´umero inteiro ´e o fato dele ser par ou ´ımpar.
Dado um n´umero inteiro n ∈ Z qualquer, temos duas
possibilidades:
i) o resto da divis˜ao de n por 2 ´e 0, isto ´e, ∃q ∈ N : n = 2q
ii) o resto da divis˜ao de n por 2 ´e 1, isto ´e, ∃q ∈ N : n = 2q + 1.
N´umeros inteiros:
. n´umeros pares: n´umeros da forma 2q, para algum q ∈ Z.
. n´umeros ´ımpares: n´umeros da forma 2q + 1, para algum q ∈ Z
Essas s˜ao as duas ´unicas alternativas, j´a que o resto r da divis˜ao por
2 satisfaz: 0 ≤ r < 2, ou seja, r = 0 ou r = 1.
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23. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Escrita de um n´umero inteiro em fun¸c˜ao do resto
Amplia¸c˜ao do conceito de par ou ´ımpar.
Escrita de um n´umero inteiro
De um modo mais geral, fixado um n´umero natural m ≥ 2,
pode-se sempre escrever um n´umero qualquer n, de modo ´unico,
na forma n = mk + r , onde k, r ∈ Z e 0 ≤ r < m.
. Todo n´umero inteiro pode ser escrito em uma, e somente uma,
das seguintes formas: 3k, 3k + 1 ou 3k + 2
(dados pelos restos da divis˜ao por 3)
. Todo n´umero inteiro pode ser escrito em uma, e somente uma,
das seguintes formas: 4k, 4k + 1, 4k + 2 ou 4k + 3
(dados pelos restos da divis˜ao por 4)
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24. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Escrita de um n´umero inteiro em fun¸c˜ao do resto
Exerc´ıcio
Nenhum quadrado de um n´umero inteiro ´e da forma 4k + 2
ou 4k + 3.
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25. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
Escrita de um n´umero inteiro em fun¸c˜ao do resto
Exerc´ıcio
Nenhum quadrado de um n´umero inteiro ´e da forma 4k + 2
ou 4k + 3.
De fato, seja a ∈ Z:
Se a = 4k , ent˜ao a2 = 16k 2 = 4k
Se a = 4k + 1, ent˜ao a2 = 16k 2 + 8k + 1 = 4k + 1
Se a = 4k + 2, ent˜ao a2 = 16k 2 + 16k + 4 = 4k
Se a = 4k + 3, ent˜ao
a2 = 16k 2 + 24k + 9 = 16k 2 + 24k + 8 + 1 = 4k + 1
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26. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Sum´ario
1 Divis˜ao nos inteiros
Divisibilidade
Divis˜ao Euclidiana
2 Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
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27. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Sistemas de Numera¸c˜ao
Sistema decimal posicional: sistema universalmente utilizado pe-
las pessoas comuns para representar os n´umeros inteiros.
Diferentes sistemas de numera¸c˜ao
Sistema sexagesimal: Babilˆonios, 1700 A.C.
Sistema decimal: Europa, 1202.
Sistema bin´ario (ou potˆencias de 2): primeira descri¸c˜ao por
um matem´atico indiano Pingala (s´eculo III A.C); sistema
bin´ario moderno pelo matem´atico alem˜ao Gottfried Leibniz
(artigo ”Explication de l’Arithm´etique Binaire”, 1646-1716).
Usado em computa¸c˜ao.
Todos s˜ao sistemas posicionais com base constante!
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28. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Sistemas de Numera¸c˜ao
Sistema decimal
Todo n´umero natural ´e representado por uma sequˆencia
formada pelos algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 acrescido do
s´ımbolo 0 (zero), que representa a ausˆencia de algarismo.
Podemos nos restringir aos naturais, j´a que para escrever os
inteiros basta acrescentar o sinal -.
Dez algarismos: resulta no nome sistema decimal
Sistema posicional: cada algarismo, al´em do seu valor
intr´ınseco, possui um peso que lhe ´e atribu´ıdo, em fun¸c˜ao da
posi¸c˜ao que ele ocupa no n´umero.
No sistema decimal esse peso ´e sempre uma potˆencia de dez.
Exemplo: 10979 = 1 · 104 + 0 · 103 + 9 · 102 + 7 · 101 + 9 · 100 =
= 1 · 104 + 9 · 102 + 7 · 10 + 9
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29. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Sistemas de Numera¸c˜ao
Sistema decimal
Cada algarismo de um n´umero possui uma ordem contada da
direita para a esquerda. Cada terna de ordens tamb´em contada da
direita para a esquerda, forma uma classe.
Classe das Unidades



unidades 1a ordem
dezenas 2a ordem
centenas 3a ordem
Classe do Milhar



unidades de milhar 4a ordem
dezenas de milhar 5a ordem
centenas de milhar 6a ordem
Classe do Milh˜ao



unidades do milh˜ao 7a ordem
dezenas do milh˜ao 8a ordem
centenas do milh˜ao 9a ordem
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30. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Sistemas de Numera¸c˜ao: representa¸c˜ao em expans˜ao
Os sistemas de numera¸c˜ao posicionais baseiam-se no seguinte resul-
tado, que ´e uma aplica¸c˜ao da divis˜ao euclidiana.
Teorema
Dado um n´umero natural b > 1, todo n´umero natural a = 0 se
escreve de modo ´unico na forma:
a = r0 + r1b + r2b2
+ ... + rnbn
.
onde n, r0, r1, ..., rn ∈ N ∪ {0}, r0, r1, ..., rn < b e rn = 0.
Essa representa¸c˜ao dada no teorema acima ´e chamada de expans˜ao
relativa `a base b.
Se b = 10, essa expans˜ao se chama expans˜ao decimal.
Se b = 2, essa expans˜ao se chama expans˜ao bin´aria.
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31. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Demonstra¸c˜ao do teorema
Esse teorema ´e o que permite encontrar a expans˜ao de um n´umero
a na base b a partir de divis˜oes sucessivas. De fato:
Dividindo a por b: a = bq0 + r0, 0 ≤ r0 < b
Dividindo q0 por b: q0 = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b
Dividindo q1 por b: q1 = bq2 + r2, 0 ≤ r2 < b
e assim por diante, com q0, q1, ... ∈ N ∪ {0}
Sendo b > 1, certamente a > q0
Se q0 = 0, temos que a > q0 > q1
Se q1 = 0, temos que a > q0 > q1 > q2
Como n˜ao se pode ter uma sequˆencia decrescente infinita de n´umeros
inteiros n˜ao negativos, ent˜ao para algum n ter´a que qn = 0. Da´ı:
0 = qn = bqn+1 + rn+1
, Como b>1, s´o resta que qn+1 e rn+1 sejam zero.
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32. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Demonstra¸c˜ao do teorema
Logo, qn = qn+1 = qn+2 = ... = 0 e rn+1 = rn+2 = ... = 0 .
Das igualdades:
a = bq0 + r0, 0 ≤ r0 < b
q0 = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b
q1 = bq2 + r2, 0 ≤ r2 < b
...
qn−1 = bqn + rn, 0 ≤ rn = qn−1 < b
fazendo as retrosubstitui¸c˜oes sucessivamente temos que
a = r0 + r1b + r2b2
+ ... + rnbn
.
OBS: ´E preciso ent˜ao fazer a divis˜ao sucessiva at´e que qn = 0.
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33. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Rrepresenta¸c˜ao de um n´umero na base b
A expans˜ao numa dada base b fornece um m´etodo para representar
os n´umeros naturais. Seja S um conjunto de b s´ımbolos:
S = {s0, s1, s2, ..., sb−1}
Se b ≤ 10, utiliza-se os s´ımbolos
s0 = 0, s1 = 1, ..., sb−1 = b − 1
Se b > 10, utiliza-se os s´ımbolos s0 = 0, s1 = 1, ..., sk = 9,
acrescentando novos s´ımbolos como A = 10, B = 11, ..., b − 1
Um n´umero natural a na base b, com n + 1 d´ıgitos escreve-se na
forma:
a = xnxn−1...x1x0
com x0, x1, ..., xn ∈ S. Esse nota¸c˜ao representa o n´umero
a = x0 + x1b + ... + xnbn
. Nota¸c˜ao: (xnxn−1...x1x0)b ´e um n´umero
xnxn−1...x1x0 na base b. Na base 10, escreve-se sem essa nota¸c˜ao. 33 / 43

34. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Rrepresenta¸c˜ao de um n´umero na base b
Exemplos
a = r0 + r1b + r2b2
+ ... + rnbn
.
a) Escrever a expans˜ao de 53 na base 2:
1 + 0.2 + 1.22 + 0.23 + 1.24 + 1.25
b) Escrever 53 representado na base 2: (110101)2
c) Escrever a expans˜ao de 5799 na base 11:
4 + 3.11 + 10.112 + 2.113
d) Escrever 5799 representado na base 11: (2A34)11
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35. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Crit´erios de divisibilidade
Crit´erios de divisibilidade por 5 e por 10
Seja a = rn...r1r0 um n´umero representado no sistema
decimal.
i) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a seja
divis´ıvel por 5 ´e que r0 seja 0 ou 5.
ii) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a seja
divis´ıvel por 10 ´e que r0 seja 0.
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36. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Crit´erios de divisibilidade
Crit´erios de divisibilidade por 5 e por 10
Seja a = rn...r1r0 um n´umero representado no sistema
decimal.
i) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a seja
divis´ıvel por 5 ´e que r0 seja 0 ou 5.
ii) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a seja
divis´ıvel por 10 ´e que r0 seja 0.
Sendo a = rnrn−1...r1r0
a = 10(rnrn−1...r1) + r0
A primeira parcela ´e divis´ıvel por 5 (e por 10). Logo, a ser´a
divis´ıvel por 5(10) se e somente se r0 tamb´em for.
5|a ↔ 5|r0, ou seja, r0 = 0 ou r0=5
10|a ↔ 10|r0, ou seja, r0 = 0
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37. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Crit´erios de divisibilidade
Estabelecer o crit´erio de divisibilidade por 25 e por 100
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38. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Crit´erios de divisibilidade
Estabelecer o crit´erio de divisibilidade por 25 e por 100
Sendo a = rnrn−1...r1r0
a = 100(rnrn−1...r2) + r1r0
A primeira parcela ´e divis´ıvel por 25 (e por 100). Logo, a ser´a
divis´ıvel por 25(100) se e somente se r1r0 tamb´em for.
25|a ↔ 25|r1r0, ou seja, r1r0 = 00 ou r1r0 = 25 ou r1r0 = 75
100|a ↔ 100|r1r0, ou seja, r1r0 = 00
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39. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Crit´erios de divisibilidade
Crit´erios de divisibilidade por 3 e por 9
Seja a = rn...r1r0 um n´umero representado no sistema
decimal.
i) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a seja
divis´ıvel por 3 ´e que rn + ... + r1 + r0 seja divis´ıvel por 3
i) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a seja
divis´ıvel por 9 ´e que rn + ... + r1 + r0 seja divis´ıvel por 9
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40. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Crit´erios de divisibilidade
Crit´erios de divisibilidade por 3 e por 9
Seja a = rn...r1r0 um n´umero representado no sistema
decimal.
i) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a seja
divis´ıvel por 3 ´e que rn + ... + r1 + r0 seja divis´ıvel por 3
i) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a seja
divis´ıvel por 9 ´e que rn + ... + r1 + r0 seja divis´ıvel por 9
Sendo a = rnrn−1...r1r0 e a = rn10n + rn−110n−1 + ...r110 + r0
Seja a − (rn + rn−1 + ... + r1 + r0)
=rn10n + rn−110n−1 + ...r110 + r0 − (rn + rn−1 + ... + r1 + r0) =
rn(10n − 1) + ... + r1(10 − 1)
Vimos que 10n − 1 ´e m´ultiplo de 9 e assim todas as parcelas s˜ao.
Da´ı: a − (rn + rn−1 + ... + r1 + r0) = 9q, para algum q.
a = (rn + rn−1 + ... + r1 + r0) + 9q.
Assim: a ´e m´ultiplo de 3 (9) se e somente se
(rn + rn−1 + ... + r1 + r0) tamb´em for. 40 / 43

41. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Crit´erios de divisibilidade
Estabelecer o crit´erio de divisibilidade por 99
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42. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Crit´erios de divisibilidade
Estabelecer o crit´erio de divisibilidade por 99
Sendo a = rnrn−1...r1r0
a = 100(rnrn−1...r2) + r1r0
a = (99 + 1)(rnrn−1...r2) + r1r0
a = 99(rnrn−1...r2) + (rnrn−1...r2) + r1r0
Assim, o n´umero a ser´a divis´ıvel por 99 se (rnrn−1...r2) + r1r0
tamb´em for.
Da´ı, faremos esse processo at´e o m´aximo poss´ıvel.
OBS: Esse crit´erio tamb´em vale para 33.
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43. Divis˜ao nos inteiros
Representa¸c˜ao dos n´umeros inteiros
Sistemas de Numera¸c˜ao
Crit´erios de divisibilidade
Exemplo: crit´erio de divisibilidade por 99
a) 135682 ´e divis´ıvel por 99? N˜ao
b) 495 ´e divis´ıvel por 99? Sim
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