El teorema de reynolds brinda una explicación a la inyección de fluidos para el desplazamiento de hidrocarburos en un sistema. Teniendo como base un sistema Newtoniano y Euleriano.

1. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE
REYNOLDS
ING. RICARDO HERNÁNDEZ VELÁZQUEZ

2. TEOREMADEL
TRANSPORTE
DEREYNOLDS
§ CUBRE LA NECESIDAD DE ESTABLECER LA FORMA EN
LA QUE SE COMPORTAN LAS PROPIEDADES EN UN
MEDIO CONTÍNUO, RELACIONANDO LAS
PROPIEDADES EXTENSIVAS CON LAS INTESIVAS Y EL
COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DENTRO DE UN
VOLUMEN DE CONTROL.

3. NECESIDADES
§ LAS LEYES DE LA FÍSICA EN SUS FORMAS MÁS SIMPLES
DESCRIBEN EL COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA
UTILIZANDO LA APROXIMACIÓN DE LAGRANGE
(CONSERVACIÓN DE MASA, MOMENTOY ENERGÍA).
§ NO ES POSIBLE MANTENER SIEMPRE LA LOCALIZACIÓN
DEL SISTEMA EN MUCHOS PROBLEMAS DE FLUIDOS.
§ LAS LEYES DE LA FÍSICA DEBEN MANTENERSE EN UN
MUNDO EULERIANO.
§ LA EXPERIENCIA FÍSICA APLICA PARA SISTEMAS, NO
PARA VOLÚMENES DE CONTROL:
! ⃗
𝐹!"!#$%& = 𝑚!"!#$%& ⃗
𝑎!"!#$%&
! ⃗
𝐹'().+$ ,(-#.() ≠ 𝑚'().+$ ,(-#.() ⃗
𝑎'().+$ ,(-#.()

4. ELTEOREMADE
REYNOLDSYLAS
PROPIEDADES
§ SE DEFINE COMO “B” COMO PROPIEDAD EXTENSIVA
(MASA, MOMENTO,VOLUMEN, ENERGÍA).
§ “b” COMO UNA PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A
LA PROPIEDAD “B”, ES DECIR 𝑏 =
!
"
Y ES LA VERSIÓN
INTENSIVA DE DICHA PROPIEDAD.
𝐵#$#%&"' = $ 𝑝𝑏𝑑𝑉
§ LA PROPIEDAD INTENSIBA ”b” MULTIPLICADA POR LA
DENSIDAD
"
(
, ES LA CANTIDAD DE LA PROPIEDAD
EN EL VOLUMEN DE CONTROL.

5. CUANDOt=0
§ EL SISTEMA Y EL VOLUMEN DE CONTROL ELEGIDO
POR EL ANÁLISIS COINCIDEN, ES DECIR, LA MASA EN
EL SISTEMA, COINCIDE CON EL SISTEMA DE
CONTROL.

6. ENELTIEMPO
𝑡 = 𝑡! + ∆𝑡
§ EL VOLUMEN DE CONTROL PERMANECE
ESTAIONARIO, PERO LA MASA EN EL SISTEMA HA
CAMBIADO DE POSICIÓN.

7. POSICIÓNDEL
SISTEMAY
VOLUMENDE
CONTROLEN𝑡 =
𝑡! + ∆𝑡
I. SE OBSERVA SISTEMA (MATERIA) QUE ENTRA AL
VOLUMEN DE CONTROL PARA LLENAR AL ESPACIO
QUE HA DEJADO EL SISTEMA AL DESPLAZARSE.
II. PORCIÓN DEL SISTEMA QUE HA DEJADO EL
VOLUMEN DE CONTROL.

8. § EN UN PUNTO INICIAL (t=0)
𝐵#$#%&"' 𝑡 = 𝐵)*+.-*.%/*+ 𝑡
§ EN 𝑡 = 𝑡 + ∆𝑡
𝐵!"!#$%& 𝑡 + ∆𝑡 = 𝐵/().,(-#.() 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵0 𝑡 + ∆𝑡 + 𝐵00 𝑡 + ∆𝑡
DONDE:
𝐵0 𝑡 + ∆𝑡 →LA MASA QUE ENTRÓ AL VOLUMEN DE
CONTROL.
𝐵00 𝑡 + ∆𝑡 →LA MASA QUE SALIÓ DEL VOLUMEN DE
CONTROL

9. ENTONCES
∆𝐵
𝑑𝑡
=
𝐵#$#%&"' 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵#$#%&"'(𝑡)
𝑑𝑡
𝐵!"!#$%& 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵!"!#$%&(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝐵'().+(,#-() 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵'().+(,#-() 𝑡 − 𝐵. 𝑡 + ∆𝑡 + 𝐵..(𝑡 + ∆𝑡)
𝑑𝑡
§ TOMANDO EL LÍMITE CUANDO dt→0, SIGNIFICA QUE
EL VOLUMEN ANALIZADO SE REFIERE TANTO AL
SITEMA COMO AL VOLUMEN DE CONTROL EN ESE
INSTANTE.
PARA LO QUE OCUPA UN VOLUMEN
lim
1%→3
𝐵#$#%&"' 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵#$#%&"'(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝐷𝐵#$#%&"'
𝐷𝑡
𝐷𝐵#$#%&"'
𝐷𝑡
→ 𝐷𝐸𝑅𝐼𝑉𝐴𝐷𝐴 𝑀𝐴𝑇𝐸𝑅𝐼𝐴𝐿
lim
1%→3
𝐵)*+.-*.%/*+ 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵)*+.-*.%/*+(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝜕𝐵)*+.-*.%/*+
𝜕𝑡

10. PARALOQUE
CRUZAUNA
FRONTERA
lim
1%→3
−𝐵0(𝑡 + ∆𝑡)
𝑑𝑡
= −𝜌𝐴4𝑣4𝑏4 = 𝐵′&.%/'
lim
1%→3
𝐵00(𝑡 + ∆𝑡)
𝑑𝑡
= 𝜌𝐴5𝑣5𝑏5 = 𝐵′#'+&
RESULTANDO
𝐷𝐵#$#%&"'
𝐷𝑡
=
𝜕𝐵)*+.-*.%/*+
𝜕𝑡
+ 𝐵′#'+& − 𝐵′&.%/'
DONDE:
6!*+*,-./
6%
→CAMBIO EN EL SISTEMA COMPLETO
7!012.415,612
7%
→CAMBIOS DENTRO DEL VOLUMEN DE
CONTROL
𝐵′#'+& 𝑦. 𝐵′&.%/' →LO QUE CRUZA LA FRONTERA
(ENTRA O SALE).

11. GENERALIZANDO
§ EN LA FIGURA SE OBSERVA UN VECTOR UNITARIO @
𝑛
SALIENDO DE LA SUPERFICIE dA Y PERPENDICULAR A
ESTA.
§ OBSERVAR QUE EL VECTOR NORMAL A LA
DIFERENCIAL DE SUPERFICIE dA, ASÍ COMO EL
VECTOR. ̅
𝑣 QUE DEFINE LA DIRECCIÓN Y VELOCIDAD
DE LAS PARTÍCULAS MATERIALES QUE CRUZAN LA
FRONTERA DEL VOLUMEN DE CONTROL, ESTO A
TRAVÉS DE LA SUPERFICIE dA Y SU DIRECCIÓN
SEÑALA SI LA PARTÍCULA MATERIAL EN ESTUDIO
SALE O ENTRA AL VOLUMEN DE CONTROL.

12. § SABIENDO QUE EL PRODUCTO PUNTO DE DOS
VECTORES ES UN NÚMERO ESCALAR, Y, QUE ⃗
𝑣 ∘ 𝑛 > 0
POR QUE ⃗
𝑣 SE DIRIGE HACIA AFUERA DE LA
SUPERFICIE dA, Y, SE TENDRÁ UN NÚMERO ESCALAR
NEGATIVO EN EL CASO DE QUE EL VECTOR ⃗
𝑣 ENTRE
AL VOLUMEN DE CONTROL POR LA SUPERFICIE dA,
LLEGAREMOS A LA CONCLUSIÓN QUE:
§ SI ALGO ENTRA A TRAVÉS DE LA FRONTERA AL
VOLUMEN DE CONTROL,TENDRA SIGNO NEGATIVO.
§ SI ALGO SALE DEL VOLUMEN DE CONTROL A TRAVÉS
DE LA SUPERFICIE dA,TENDRÁ SIGNO POSITIVO.

13. ELTEOREMADEL
TRANSPORTEDE
REYNOLDS
𝐷𝐵#$#%&"'
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
G
)*+.-*.%/*+
.
𝜌 𝑏𝑑𝑉 + H
89:.-*.%/*+
.
𝜌𝑏( ̅
𝑣 ∘ @
𝑛)𝑑𝐴
DONDE:
6!*+*,-./
6%
→CAMBIOS EN EL SISTEMA EN MOVIMIENTO.
7
7%
∭
)*+.-*.%/*+
.
𝜌 𝑏𝑑𝑉 →CAMBIOS EN EL VOLUMEN DE
CONTROL.
∯
89:.-*.%/*+
.
𝜌𝑏( ̅
𝑣 ∘ @
𝑛)𝑑𝐴 →LO QUE CRUZA LA FRONTERA
DEL VOLUMEN DE CONTROL.

14. CONCLUSIONES
§
6!*+*,-./
6%
→ PERSPECTIVA LAGRANGIANA.
§
7
7%
∭
)*+.-*.%/*+
.
𝜌 𝑏𝑑𝑉 → PERSPECTIVA EULERIANA.
§ EL SISTEMA SE ASOCIA AL “PAQUETE MASA” EN
MOVIMIENTO, QUE PASA A TRAVÉS DEL VOLUMEN DE
CONTROL.
§ EL TRANSPORTE DE b (LA PROPIEDAD INTENSIVA
ASOCIADA A LA PROPIEDAD EXTENSICA B)
§ RELACIONA LAS PERSPECTIVAS EULERIANA Y
LAGRANGIANA