مقدمه ای بر ریاضیات پیشرفته و مباحث کلی مطروحه

1. ‫پیشرفته‬ ‫ریاضیات‬
00-Introduction
‫ارشد‬ ‫کارشناسی‬
1395/7
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
1

2. ‫بسمه‬‫تعالی‬
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
2

3. ‫حرف‬‫ل‬‫او‬
•‫قوانین‬:
1-‫حضور‬‫سر‬‫جلسه‬‫الزامی‬‫است‬.
2-‫ننوشتن‬‫تمرینات‬‫نمره‬‫منفی‬‫خواهد‬‫داشت‬.
•‫نمره‬‫دهی‬:
‫ترم‬ ‫میان‬:8‫چهارشنبه‬ ،‫نمره‬12‫ساعت‬ ،‫آبان‬14
‫ترم‬ ‫پایان‬:8،‫نمره‬
‫تمرینات‬:2‫تحقیق‬ ،‫نمره‬:2،‫نمره‬
‫پاسخ‬ ‫و‬ ‫پرسش‬‫کالس‬:2‫نمره‬
•‫تحقیق‬:‫تهیه‬‫گزارش‬‫در‬‫مورد‬‫موضوعاتی‬‫که‬‫در‬‫کالس‬‫تعیین‬‫خواهد‬‫شد‬.
•‫کپی‬‫کردن‬‫عینا‬‫از‬‫مراجع‬‫دیگر‬‫شامل‬،‫اینترنت‬‫نمره‬‫ای‬‫نخواهد‬‫داشت‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
3

4. ‫امتیاز‬‫ویژه‬
•‫نوشتن‬‫یک‬‫مقاله‬‫علمی‬-‫پژوهشی‬‫ریاضی‬‫مرتبط‬‫با‬‫مباحث‬‫کالس‬‫و‬‫علم‬‫مک‬‫انیک‬‫و‬
‫ارسال‬‫آن‬‫شامل‬
3‫نمره‬‫اضافی‬‫خواهد‬‫بود‬.
•‫برای‬‫الگوبرداری‬‫به‬‫مقاله‬‫های‬‫پروفسور‬‫مهری‬‫از‬‫دانشگاه‬‫شریف‬‫مراجعه‬‫شو‬‫د‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
4

5. •‫مباحث‬:
1-‫مباحث‬‫توابع‬‫پیشرفته‬‫شامل‬‫اشتورم‬-،‫لیوویل‬‫شرایط‬،‫تعامد‬‫توابع‬‫بس‬،‫ل‬،‫لژاندر‬‫گاما‬
‫و‬...
‫از‬‫کتاب‬Kreyszig‫و‬Radhika‫و‬Bell
2-‫مروری‬‫بر‬‫ماتریسها‬‫و‬‫تانسورها‬:،‫ماتریس‬‫برگردان‬،‫ماتریس‬‫قطری‬،‫کردن‬
،‫تانسورها‬‫حل‬‫سیستم‬‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬–‫مسائل‬‫مقدار‬‫ویژه‬
‫ا‬‫ز‬‫کتاب‬‫جبر‬‫خطی‬Hildebrand‫و‬‫شاهانی‬
3-‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫جزئی‬‫شامل‬‫معادالت‬‫بیضوی‬-‫سهمویی‬-‫هذلولوی‬-‫تبدی‬‫الت‬
‫انتگرالی‬‫و‬...
‫از‬‫کتاب‬Farlow
4-‫در‬‫صورت‬،‫رسیدن‬‫مقدمه‬‫ای‬‫بر‬‫ریاضی‬‫تغییرات‬‫و‬‫تئوری‬‫اختالالت‬
‫روش‬‫تغییرات‬‫بطور‬‫مفصل‬‫در‬‫درس‬«‫روشهای‬‫انرژی‬»‫اینجانب‬‫ارائه‬‫میشود‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
5

6. ‫اجع‬‫ر‬‫م‬
• 1-S.J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers, Dover Publication Inc. 1982.
• 2-E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Jhon
Wiley & Sons Inc. 2001.
• 3- F.B Hildebrand, Methods of Applied Mathematics, Prentice-
Hall Inc. 1952.
•4-‫امیر‬‫رضا‬،‫شاهانی‬‫ریاضیات‬‫مهندسی‬،‫پیشرفته‬‫دانشگاه‬‫صنعتی‬‫خو‬‫اجه‬
‫نصیرالدین‬‫طوسی‬.
• 5- T.S.L. Radhika, T.K.V. Iyenger, T. Raja Rani, Approximate
Analytical Methods for Solving Ordinary Differential
Equations, CRC Press, 2015.
• 6-W.W. Bell, Special Functions for Scientists and Engineers,
1968.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
6

7. ‫ی‬‫ر‬‫یادآو‬
•‫اغلب‬‫مدل‬‫کردن‬‫پدیده‬‫های‬‫فیزیکی‬‫منجر‬‫به‬‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫می‬‫شو‬‫د‬.
•‫البته‬‫بصورت‬‫محدود‬‫معادالت‬‫انتگرالی‬‫نیز‬‫وجود‬‫دارد‬.
•‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫عبارت‬‫است‬‫از‬‫رابطه‬‫بین‬‫یک‬‫تابع‬‫مجهول‬(‫متغیر‬
‫وابسته‬)،‫متغیرهای‬‫تابع‬‫مجهول‬(‫متغیر‬‫مستقل‬)‫و‬‫مشتقات‬‫تابع‬‫مجه‬‫ول‬.
•‫آ‬‫نچه‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫را‬‫از‬‫معادله‬‫جبری‬‫متمایز‬‫می‬،‫کند‬‫وجود‬‫مشتق‬‫ت‬‫ابع‬
‫مجهول‬‫در‬‫معادله‬‫است‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
10
( , , ', ",...) 0 , ( )F x y y y y y x 

8. ‫دسته‬‫بندی‬‫معادالت‬‫انسیل‬‫ر‬‫دیف‬
‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫از‬‫دیدگاه‬‫های‬‫مختلف‬‫دسته‬‫بندی‬‫میشوند‬:
1-‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫جزئی‬‫و‬‫معمولی‬
•‫اگر‬‫در‬‫معادله‬،‫دیفرانسیل‬‫تابع‬‫مجهول‬‫بر‬‫حسب‬‫یک‬‫متغیر‬،‫باشد‬‫آن‬‫گاه‬
‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫را‬‫معمولی‬ODE(ordinary differential equation)
‫گویند‬.
•‫اما‬‫اگر‬‫تابع‬‫مجهول‬‫دارای‬‫بیش‬‫از‬‫یک‬‫متغیر‬‫مستقل‬،‫باشد‬‫آنگاه‬‫معادل‬‫ه‬
‫دیفرانسیل‬‫را‬‫جزئی‬‫یا‬‫پاره‬‫ای‬PDE(partial differential equation)
‫گویند‬.
•‫به‬‫آن‬‫جزئی‬‫گویند‬‫زیرا‬‫حاوی‬‫مشتق‬‫جزئی‬(‫در‬‫برابر‬‫مشتق‬‫کامل‬)‫اس‬‫ت‬.
•‫اغلب‬‫پدیده‬‫های‬‫فیزیکی‬‫از‬‫جمله‬،‫سیاالت‬،‫الکتریسیته‬،‫ارتعاشات‬،‫مکانیک‬
،‫اپتیک‬‫انتقال‬‫حرارت‬‫و‬...‫بصورت‬‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫جزئی‬‫قابل‬‫توصیف‬
‫هستند‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
11ODE : , 0, sin( )
PDE : 0 , sin( )x y xx yy
y x y y yy y x
u u u u xy
       
   

9. ‫نکته‬:‫متغیری‬‫که‬‫از‬‫آن‬‫مشتق‬‫می‬،‫گیریم‬‫وابسته‬‫و‬‫متغیری‬‫که‬‫نسب‬‫ت‬‫به‬‫آن‬
‫مشتق‬‫می‬،‫گیریم‬‫مستقل‬‫نام‬‫دارند‬.
2-‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫مرتبه‬،‫یک‬‫دو‬‫و‬‫باالتر‬
‫باالترین‬‫مرتبه‬‫مشتق‬‫ظاهر‬‫شده‬(‫چه‬‫معمولی‬‫و‬‫چه‬‫جزئی‬)‫در‬‫معادله‬
‫دیفرانسیل‬‫را‬‫مرتبه‬‫آن‬‫گویند‬.
•‫فرم‬‫کلی‬‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫معمولی‬‫مرتبه‬n‫بر‬‫حسب‬‫تابع‬y‫بصورت‬‫زیر‬
‫است‬:
•‫فرم‬‫کلی‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫جزئی‬‫مرتبه‬‫یک‬‫و‬‫دو‬‫بصورت‬‫زیر‬‫است‬:
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
12
0 , 0xxx tt xxxttu u u 

10. 3-‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫خطی‬‫و‬‫غیرخطی‬
•‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫خطی‬‫است‬‫اگر‬‫ضابطه‬‫معادله‬‫بر‬‫حسب‬‫تابع‬‫مجهول‬‫و‬
‫مشتقاتش‬‫خطی‬‫باشد‬.‫در‬‫غیر‬‫اینصورت‬‫غیرخطی‬‫است‬.
•‫فرم‬‫کلی‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫معمولی‬‫مرتبه‬n‫خطی‬:
•‫در‬‫رابطه‬‫باال‬‫اگر‬h(x)=0‫آنگاه‬‫معادله‬‫را‬‫همگن‬‫و‬‫در‬‫غیر‬‫اینصورت‬
‫غیرهمگن‬‫گویند‬.
•‫به‬‫عبارت‬‫دیگر‬‫در‬‫معادله‬‫همگن‬(homogeneous)،‫تمامی‬‫ترمها‬‫حاوی‬
‫تابع‬‫مجهول‬‫یا‬‫مشتق‬‫آن‬‫می‬‫باشند‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
13
   
   
     1
1 1 0...
n n
n na x y a x y a x y a x y h x


    

11. •‫فرم‬‫کلی‬‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫جزئی‬‫خطی‬‫مرتبه‬‫یک‬‫و‬‫دو‬‫بصورت‬‫ز‬‫یر‬
‫است‬:
•‫در‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫اگر‬‫خطی‬‫بودن‬‫برای‬‫باالترین‬‫مراتب‬‫مشتق‬‫ب‬‫رقرار‬
،‫باشد‬‫آنگاه‬‫معادله‬‫را‬‫نیمه‬‫خطی‬(semi-linear)‫گویند‬.
‫فرم‬‫کلی‬‫معادله‬PDE‫مرتبه‬‫دوم‬‫نیمه‬‫خطی‬‫به‬‫شکل‬‫زیر‬‫است‬:
‫سوال‬:‫تفاوت‬‫با‬‫فرم‬‫خطی‬‫آن‬‫در‬‫چیست؟‬
‫در‬،‫فیزیک‬‫معموال‬‫پدیده‬‫ها‬‫بصورت‬‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫جزئی‬‫مرتبه‬‫د‬‫وم‬
‫هستند‬.‫البته‬‫در‬‫ارتعاشات‬‫محیط‬‫پیوسته‬‫مراتب‬‫باالتر‬‫نیز‬‫وجود‬‫دار‬‫د‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
14

12. ‫حل‬‫معادالت‬‫انسیل‬‫ر‬‫دیف‬
•‫حل‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫یعنی‬‫یافتن‬‫جواب‬‫عمومی‬‫آن‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬.
‫جواب‬‫عمومی‬‫یک‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫مرتبه‬n‫عبارت‬‫است‬‫از‬‫تابع‬‫یا‬‫منحنی‬
‫که‬:
1-‫دارای‬n‫ثابت‬‫دلخواه‬‫و‬‫مستقل‬‫باشد‬.
2-‫در‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫صدق‬‫کند‬.
‫جواب‬‫عمومی‬‫یک‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫معمولی‬‫مرتبه‬n‫بصورت‬‫زیر‬‫است‬:
‫به‬‫عبارت‬‫دیگر‬‫جواب‬،‫عمومی‬‫تابع‬‫یا‬‫منحنی‬‫است‬‫که‬‫ارتباط‬‫بین‬‫متغ‬‫یرهای‬
‫وابسته‬y‫و‬‫مستقل‬x‫را‬‫با‬‫دخالت‬‫ثوابت‬‫دلخواه‬c1,c2,…,cn‫مشخص‬‫می‬‫کند‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
15

13. •‫از‬‫جمله‬‫روشهای‬‫حل‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫می‬‫توان‬‫به‬‫دو‬‫روش‬‫زیر‬‫اشاره‬‫کر‬‫د‬:
‫روش‬‫کالسیک‬ ‫های‬-‫سری‬ ‫روش‬‫ها‬(‫تقریبی‬)
•‫منظور‬‫از‬‫روشهای‬‫کالسیک‬،‫روشهایی‬‫است‬‫که‬‫بر‬‫حسب‬‫نوع‬‫معادله‬(‫نوع‬
‫معادله‬‫ابتدا‬‫باید‬‫تشخیص‬‫داده‬‫شود‬)،‫روش‬‫مشخصی‬‫برای‬‫یافتن‬‫جواب‬
‫عمومی‬‫دنبال‬‫می‬‫شود‬.
‫از‬‫جمله‬‫روشهای‬‫کاهش‬‫مرتبه‬،‫حل‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫با‬‫ضرایب‬‫ثابت‬،‫ف‬‫اکتور‬
‫انتگرال‬‫گیری‬‫و‬...
•‫تمرین‬:‫روشهای‬‫باال‬‫را‬‫بطور‬‫مختصر‬‫در‬‫قالب‬‫یک‬‫مثال‬‫در‬‫دو‬‫برگه‬A4
‫پشت‬‫و‬‫رو‬‫توضیح‬‫دهید‬.
•‫در‬‫روش‬‫کالسیک‬‫برای‬‫جواب‬‫عمومی‬‫یک‬‫ضابطه‬‫مقدماتی‬‫یا‬‫بسته‬
(closed)‫ارائه‬‫می‬‫شود‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
16

14. •‫اکثر‬‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫دارای‬‫جواب‬‫مقدماتی‬‫نمی‬‫باشند‬.‫در‬‫چنین‬‫ح‬‫االتی‬
‫به‬‫کمک‬‫روش‬‫سری‬‫ها‬‫ممکن‬‫است‬‫بتوان‬‫جوابی‬‫برای‬‫معادله‬‫دیفرانسی‬‫ل‬
‫یافت‬.
•‫در‬‫بخش‬‫اول‬‫درس‬‫با‬‫روش‬‫سری‬‫ها‬‫برای‬‫حل‬‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫معروف‬
‫آشنا‬‫می‬‫شوید‬.
•‫در‬‫این‬،‫روش‬‫تعداد‬‫بی‬‫نهایت‬‫عمل‬‫جمع‬‫در‬‫یک‬‫سری‬‫بکار‬،‫رفته‬‫لذا‬‫جو‬‫اب‬
‫بصورت‬‫سری‬‫را‬‫نمی‬‫توان‬‫بصورت‬‫جواب‬‫مقدماتی‬(‫حل‬‫بسته‬)‫در‬‫نظر‬
‫گرفت‬.
•‫این‬‫روش‬‫اغلب‬‫برای‬‫معادالت‬‫دیفرانسیل‬‫خطی‬‫مرتبه‬‫دوم‬‫کاربرد‬‫دارد‬.
•‫در‬‫روش‬‫سری‬‫ها‬‫چنانچه‬‫تعداد‬‫جمالت‬‫به‬‫سمت‬‫بی‬‫نهایت‬‫رود‬‫به‬‫حل‬‫دقیق‬
(exact solution)‫میرسیم‬.‫ولی‬‫حل‬‫کامل‬‫یا‬‫بسته‬(closed form
solution)‫نیست‬.
•‫اگر‬‫تعداد‬‫جمالت‬‫را‬‫محدود‬،‫بگیریم‬‫حل‬‫بسته‬‫می‬‫شود‬‫اما‬‫دیگر‬‫دقیق‬‫ن‬‫یست‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
17

15. ‫معادالت‬‫انسیل‬‫ر‬‫دیف‬‫مهم‬‫و‬‫برد‬‫ر‬‫پرکا‬
•‫معادله‬‫خطی‬‫مرتبه‬‫اول‬
•‫فرم‬‫این‬‫معادله‬‫و‬‫پاسخ‬‫آن‬‫بصورت‬‫زیر‬‫است‬:
•‫حل‬‫همگن‬:
•‫حل‬‫غیرهمگن‬:
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
18
( )*
( ) 0 ( ) ln ( ) ( )
p t dtdy
y p t y p t dt y p t dt C y t Ce
y
          &
 
y py h Fy pFy hF
Fy Fy F y
    
   
& &

16. •‫لذا‬‫در‬‫نظر‬‫می‬‫گیریم‬:
•‫لذا‬‫خواهیم‬‫داشت‬:
•‫در‬‫صورتیکه‬‫بتوان‬‫انتگرال‬‫های‬‫باال‬‫را‬‫حساب‬،‫نمود‬‫جواب‬‫معادله‬‫بفر‬‫م‬
‫مقدماتی‬‫یا‬‫بسته‬‫استخراج‬‫می‬‫شود‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
19
ln
pdtdF
pFy F y pF F pdt F pdt F e
F
         
 
 
pdt pdt
Fy Fy hF Fy hF Fy hFdt
y t e he dt C

     
     


& &

17. •‫معادله‬‫خطی‬‫مرتبه‬‫دوم‬‫با‬‫ضرایب‬‫ثابت‬
•‫فرم‬‫کلی‬‫این‬‫معادالت‬‫بفرم‬‫زیر‬‫است‬:
•‫معادله‬‫مشخصه‬‫این‬‫معادله‬‫بفرم‬‫زیر‬‫است‬:
•‫سه‬‫حالت‬‫برای‬‫ریشه‬‫های‬‫معادله‬‫مشخصه‬‫وجود‬‫دارد‬:
•‫حالت‬‫اول‬:‫معادله‬‫مشخصه‬‫دارای‬‫دو‬‫ریشه‬‫حقیقی‬‫و‬‫مجزای‬1,2‫باشد‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
20

18. •‫حالت‬‫دوم‬:‫معادله‬‫مشخصه‬‫دارای‬‫ریشه‬‫مضاعف‬‫و‬‫حقیقی‬1=2=‫باشد‬:
•‫حالت‬‫سوم‬:‫معادله‬‫دارای‬‫ریشه‬‫های‬‫مختلط‬‫بفرم‬‫زیر‬‫باشد‬:
•‫لذا‬‫حل‬‫بفرم‬‫زیر‬‫است‬:
•‫تمرین‬:‫اثبات‬‫سه‬‫حالت‬‫باال‬‫پیگیری‬‫شود‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
21

19. •‫نکته‬:‫در‬‫معادله‬‫دیفرانسیل‬‫مرتبه‬‫دوم‬‫با‬‫ضرایب‬‫متغیر‬‫بفرم‬‫زی‬‫ر‬،‫چنانچه‬
y1,y2‫حل‬‫همگن‬،‫باشند‬‫حل‬‫خصوصی‬‫برابر‬‫است‬‫با‬:
•‫حاالت‬‫خاص‬:
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
22
   2 1
1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
( )p
y p x y q x y r x
y r x y r x
y x y dx y dx
w w
w y y y y
   
  
  
 

20. •‫معادله‬‫اویلر‬-‫کوشی‬‫مرتبه‬‫دو‬
•‫معادله‬‫کوشی‬-‫اویلر‬‫همگن‬‫بفرم‬‫زیر‬‫است‬:
•‫این‬‫معادله‬‫خطی‬‫است‬‫ولی‬‫با‬‫ضرایب‬‫متغیر‬.‫با‬‫تغییر‬‫متغیر‬x=ez‫آنرا‬‫به‬
‫یک‬‫معادله‬‫با‬‫ضرایب‬‫ثابت‬‫تبدیل‬‫می‬‫کنیم‬.
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
23
    
  
        
              
        
  
2
2 2
2
2 2 2
1
ln
1
1 1 1 1 1 1
1 1
z dz
x e z x
dx x
dy dy dz dy
dx dz dx x dz
d y d dy d dy d dy dy d dy
dx dx x dz dx x dz x dx dz x dz x x dz dz
dy d y
x dz x dz

21. •‫با‬‫جایگذاری‬‫در‬‫معادله‬‫داریم‬:
•‫معادله‬‫مشخصه‬‫بفرم‬‫زیر‬‫است‬:
•‫لذا‬‫مجددا‬‫سه‬‫حالت‬‫خواهیم‬‫داشت‬:
‫حالت‬‫اول‬:m1,m2‫حقیقی‬‫و‬‫متمایز‬‫باشند‬:
‫حالت‬‫دوم‬:m1=m2=m
‫حالت‬‫سوم‬:‫ریشه‬‫ها‬‫مختلط‬‫باشند‬:
‫ح‬‫دکتر‬.‫بیگلری‬-‫مکانیک‬‫دانشکده‬-‫دانشگاه‬
‫تبریز‬
24
1 2 1 2
1 2 1 1
m z m z m m
y C e C e C x C x   
 1 2 1 2 1 2ln lnmz mz m m m
y C e C ze C x C x x x C C x      
      
    
1 2
1 2 1 2
1 2
,
sin cos sin ln cos ln
sin ln cos ln
z
m i m i
y e C z C z x C x C x
x C x C x
 
  
   
   
   
   
 