1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

2. Razones
trigonométricas para
ángulos notables

3. ÁNGULOS DE 30° Y 60°
Para determinar las razones
trigonométricas de los ángulos de 30°
y
60°, se utiliza una construcción
auxiliar
de un triángulo equilátero.

4. CONSTRUCCIÓN DE LOS
ÁNGULOS DE 30° Y 60°
60°
30°
l
l /2
h
A
C
B

5. Razones trigonométricas de
ángulos notables
• Como el ABC es equilátero, se observa que
A = B = C = 60° ; CD es la altura sobre
AB, mediatriz de AB y bisectriz de C.
• Por lo anterior CDB = 90° , DCB = 30° y
DB = además:
l
2
1

6. Razones trigonométricas de
ángulos notables
2
2
2
2
h
l
l 





 Por Pitágoras
l
ll
lh
2
3
4
3
4
22
2

Despejando h y simplificando

7. Razones trigonométricas del
ángulo de 30°
• Ahora podemos calcular las razones
trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°
del triángulo.
230csc
3
3
3
1
30tan
3
32
3
2
30sec
2
3
30cos
3
1
3
30cot
2
1
30


sen

8. Razones trigonométricas del
ángulo de 60°
3 1 3
60 cot60
2 33
1
cos60 sec 60 2
2
3 2 2 3
tan60 3 csc 60
1 33
sen     
   
     

9. Razones trigonométricas del
ÁNGULO DE 45°
°
Para determinar las razones
trigonométricas del ángulo de 45°, se
utiliza un triángulo rectángulo isósceles.

10. CONSTRUCCIÓN DEL
TRIÁNGULO DE 45°
45°
45°
l
l
A B
C

11. Razones trigonométricas de
ángulos notables
• Como el ABC es rectángulo se
verifican , entre otras, las siguientes
propiedades:
B = 90°, A = C = 45°, AB = BC = l
Además:
  

2 2 2 2
2
2
h l l l
h l
Por Pitágoras

12. Razones trigonométricas del
ángulo de 45°
• Ahora podemos calcular las razones
trigonométricas del ángulo de 45°.
      
      
1 2
45 tan45 1 sec45 2
22
1 2
cos45 cot45 1 csc45 2
22
sen

13. Razones trigonométricas de
ÁNGULOS de 0° y 90°
Recordemos que según los visto en el tema
de funciones trigonométricas de ángulos
cuadrantales:
     
     
     
     
0 0 tan0 0 sec0 1
cos0 1 cot0 csc0
90 1 tan90 sec90
cos90 0 cot90 0 csc90 1
sen
Ind Ind
sen Ind Ind

14. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Nota: Recordar siempre las siguiente
equivalencias: 













tan
cos
cos
cot
1
sec
cos
1
csc
sen
sen
sen

15. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Ejemplo: Determinar el valor de la
siguiente expresión:
Solución: como y
entonces.
  ) 30 60a sen sen
 
1
30
2
sen  
3
60
2
sen

     
1 3 1 3
30 60
2 2 2
sen sen

16. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Ejemplo 2: Determinar el valor de la
siguiente expresión:
Solución: Sabemos por conversión de
ángulos del sistema cíclico a sexagesimal
que:
 
) tan sec
3 6
b


 
 
60
3
30
6
rad
rad

17. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Entonces:
entonces
 
    
   
tan sec tan30 sec30
3 6
0 3 3
 
  tan sec 3
3 6

18. Razones trigonométricas de
ángulos notables
Ejercicios para practicar:
Hallar el valor de las siguientes
expresiones:
 
   

) 45 60° ) sen 90° tan45
2 45°
c) tan sec d)
4 3 30°
a sen sen b
sen
sen