Explicación de Logarítmos, Propiedades de los Logaritmos. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas. Sistemas de Logaritmos

1. Tema
Logaritmos
y
Ecuaciones
Exponenciales
Profesor: Juan Sanmartín
3
125
Log5 
3
3
2
3 x
2x




2. Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe loga P, al exponente al que
hay que elevar la base a para obtener P.
P
a
x
P
Log x
a 


Ejemplo:
8
2
3
8
log 3
2 


Leemos, logaritmo en base 2 de 8 es 3 porque 2 elevado a 3 es 8.
Logaritmos y Ec. Exponenciales
Otros ejemplos:
25
6
5
4
25
6
log 4
5 

 9
1
8
2
1
9
log 2
1
81 



3. Análogamente podemos decir:
84
,
53
10
731105051
,
1
84
,
53
log
0001
,
0
10000
1
10
1
10
4
0001
,
0
log
1000000
10
6
1000000
log
81
3
4
81
log
125
5
3
125
log
731105051
,
1
10
4
4
10
6
10
4
3
3
5



















Logaritmos y Ec. Exponenciales

4. Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos
decimales y son los más utilizados. Por eso, la
tecla de la calculadora es para el cálculo de
los logaritmos decimales. (también en el uso
habitual podemos poner log en lugar de log10 ).
Para Calcular, por ejemplo, log10 53,84 se
hace:
53,84 1,731105051
El cálculo de logaritmos en otra base se hace
a partir de los logaritmos decimales, como se
verá en las propiedades
Logaritmos y Ec. Exponenciales

5. Ejercicio.- Indica el valor de los logaritmos colocando los números en forma
de potencias:
a. Log6 1296
b. Log2 0,125
4
1296
log
6
1296 6
4



Ejercicio.- Con la tecla de la calculadora ,calcular log 5, log 50, log 500 y
log 5000
...
69897
,
3
5000
log
...
69897
,
2
500
log
...
69897
,
1
50
log
...
69897
,
0
5
log




3
0,125
log
2
2
1
8
1
1000
125
0,125 2
3
3






 

6. Ejercicio.-Utilizando la tecla para hallar potencias, ^ ó xy , calcular de forma
aproximada log7532.
,...
3
532
log
2401
7
343
7
7
4
3







...
2
,
3
532
log
,...
614
7
,...
506
7
7
3
,
3
2
,
3







...
22
,
3
532
log
...
536
7
...
526
7
,...
516
7
7
23
,
3
22
,
3
21
,
3










Así sucesivamente, podemos aproximarnos tanto como queramos al valor de
log7532.
Hallemos la cifra de las décimas
Hallemos la cifra de las centésimas
Logaritmos y Ec. Exponenciales

7. Propiedades
de los logaritmos
Las siguientes propiedades de los
logaritmos son, todas ellas,
consecuencia de las propiedades
de las potencias
Tema
Logaritmos
y
Ecuaciones
Exponenciales
  Q
log
P
log
Q
P
log a
a
a 



8. I.- El logaritmo de 1 es 0 cualquiera que sea la base.
0
1
loga  Ejemplo: 1
5
0
1
log 0
5 


II.- Cualquiera que sea la base, su logaritmo es 1.
1
a
loga  7
7
1
7
log 1
7 


Ejemplo:
III.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de
los factores.
  Q
log
P
log
Q
P
log a
a
a 


Ejemplo:
9
3
6
8
log
64
log
)
8
64
(
log
512
log 2
2
2
2 






512
2
9
512
log 9
2 


Logaritmos y Ec. Exponenciales

9. IV.- El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor.
Q
log
P
log
Q
P
log a
a
a 

Ejemplo:
2
3
5
27
log
243
log
27
243
log 3
3
3 



 9
3
2
9
log
27
243
log 2
3
3 



V.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de
la base.
P
log
n
P
log a
n
a 

Ejemplo:
2
3
6
49
log
3
49
log 7
3
7




Logaritmos y Ec. Exponenciales

10. VI.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por
el índice de la raíz.
n
P
log
P
log a
n
a  Ejemplo:
3
2
3
4
log
4
log 2
3
2 

Esta propiedad es consecuencia de la anterior debido a:
n
P
log
P
log
n
1
P
log
P
log a
a
n
1
a
n
a 



VII.- Cambio de base. El logaritmo en base a de un número se puede
obtener, a partir de los logaritmos decimales, según la siguiente igualdad.
loga
logP
a
log
P
log
P
log
10
10
a 
 De esta forma se puede hacer por
calculadora
Logaritmos y Ec. Exponenciales

11. Ejercicio. -Sabiendo que el log 2 = 0,301 y aplicando las propiedades
anteriores, calcula log 507.
log50
7
log507


Ejercicio 5.-Con ayuda de la calculadora, obtener:
a. log2 1500
b. log7 593
Tecla
1500
2
9
10,5507467
5
0,30102999
9
3,17609125
log2
log1500
1500
log 7
10,5507469
2 




593
7
7
3,28134081
0,84509804
3
2,77305469
log7
log593
593
log 7
3,28134081
7 




 
log2
log100
7
2
100
log
7 



   11,893
0,301
2
7 



Logaritmos y Ec. Exponenciales

12. Ejercicio.- Sabiendo el valor de log 2= 0,301030 y el de log 3= 0,477121,
calcula los siguientes logaritmos.
4
log
2
2
log
4
log 
12
log
12
log
15
log
 
4
3
log 
  
2
2
3
log 
 2
2
log
3
log 
 2
log
2
3
log 


1,079181
0,301030
2
0,477121 



0,602060
0,301030
2
2
log
2 





15
log
2
30
log
2
10
3
log

   


 2
log
10
log
3
log
1,176091
0,301030
1
0,477121 



Logaritmos y Ec. Exponenciales

13. Ejercicio.- Calcula el valor de la siguiente expresión
3
5
6 2
2
512
2
4
64
log


3
5
6 2
2
512
2
4
64
log


   



 3
5
2
6 2
2 512
2
log
4
64
log
  









3
512
log
2
log
6
4
64
log 2
5
2
2
2











3
512
log
2
log
5
6
4
2log
64
log 2
2
2
2
3
19
6
38




Logaritmos y Ec. Exponenciales













3
9
1
5
6
2
2
6
8
6
10



14. En esta parte del tema vamos a ver:
81
3 5
x2


Ecuaciones Exponenciales
150
2 1
x


Ecuaciones Logarítmicas
1
x
log
2
log 

Sistemas de Ecuaciones
 








4
y
x
log
5
logy
logx
2
Logaritmos y Ec. Exponenciales
3
3
2
3 x
2x



   
4
x
log
2
1
2
log
1
5x
log 




15. Ecuaciones
Logarítmicas
Tema
Logaritmos
y
Ecuaciones
Exponenciales
  27
log
3
x
log
6 2
2 



16. Resuelve la siguiente ecuación logarítmica
1
x
log
2
log 

1
x
log
2
log 

Aplicamos la propiedad II
Es lógico que si dos logaritmos son iguales lo que hay dentro tiene que ser
igual ¡¡¡IMPORTANTE!!!
10
log
x)
(2
log 

10
log
x)
(2
log
Q)
(P
log
Q
log
P
log






 
 


10
2x 

Logaritmos y Ec. Exponenciales
10
log
x
log
2
log
1
10
log
1
a
loga





 
 


10
log
x
log
2
log 

5
2
10
x 


Aplicamos la propiedad III

17. Logaritmos y Ec. Exponenciales
1
x
log
2
log 

Resolución con GeoGebra

18. 2
3
log
x
log 5
5 

Aplicamos la definición de logaritmo
25
log
3
x
log 5
5
Q
P
log
logQ
P
log




 



75
25
3
x 



Logaritmos y Ec. Exponenciales
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica
2
3
log
x
log 5
5 
 25
log
3
log
x
log 5
5
5
2
25
log5



 
 
Aplicamos la propiedad IV
25
log
3
log
x
log 5
5
5 

Entonces igualamos y resolvemos…
25
3
x


19. Logaritmos y Ec. Exponenciales
2
3
log
x
log 5
5 

Resolución con GeoGebra

20.      
2
3x
log
6
x
log
1
x
log 




     
2
3x
6
x
1
x 



 2
3x
6
5x
x2




 0
8
2x
x2




Logaritmos y Ec. Exponenciales
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica
     
2
3x
log
6
x
log
1
x
log 




 
   
   
2
3x
log
6
x
1
x
log
Q
P
log
Q
log
P
log









 
 


Entonces podemos igualar.
 
2
36
2
1
2
8
1
4
4
2
x











2
2
6
2
x1 



4
2
6
2
x2 




Comprobamos que
x=-4 no verifica la
ecuación porque
log(-5) no existe.
SOLUCIÓN

21. Logaritmos y Ec. Exponenciales
     
2
3x
log
6
x
log
1
x
log 




Resolución con GeoGebra

22.    
4x
log
x
log
3
x
log 


  4x
x
3
x 

 4x
3x
x2


 0
7x
x2



Logaritmos y Ec. Exponenciales
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica
 
 
   
4x
log
x
3
x
log
Q
P
log
Q
log
P
log







 
 


Entonces podemos igualar.
Comprobamos que x=0 no verifica la
ecuación porque log(-3) no existe.
SOLUCIÓN
   
4x
log
x
log
3
x
log 


  0
7
x
x
7x
x2




0
x1 
0
7
x 
 7
x2 


23. Logaritmos y Ec. Exponenciales
   
4x
log
x
log
3
x
log 


Resolución con GeoGebra

24.    
4
x
log
2
1
2
log
1
5x
log 



Logaritmos y Ec. Exponenciales
Resuelve la siguiente ecuación logarítmica
Por una parte aplicamos las propiedad IV.
   
4
x
log
2
1
2
log
1
5x
log 



 
4
x
log
2
1
2
1
5x
log
Q
P
log
Q
log
-
P
log






 


Y por otra Por una parte aplicamos las propiedad VI.
4
x
log
2
1
5x
log
P
log
2
P
log





 



25. Logaritmos y Ec. Exponenciales
4
x
log
2
1
5x
log 


4
x
2
1
5x



 2
2
4
x
2
1
5x







 

Por lo tanto…
4
x
4
10x
1
25x2





6
1
x
4
10x
1
25x2




Resolvemos…
0
16
1
4x
10x
25x2





 0
15
6x
25x2




 
50
1536
6
5
2
2
5
1
5
2
4
6
6
x
2











SOLUCIÓN
50
1536
6
x1



50
1536
6
x2



NO ES
SOLUCIÓN

26. Logaritmos y Ec. Exponenciales
Resolución con GeoGebra
   
4
x
log
2
1
2
log
1
5x
log 



...
663836717
,
0
50
1536
6
x1 




27.   27
log
3
x
log
6 2
2 


2
12
6
1
2
6
1
4
36
6
x










  3
3
x
2



2
12
6
x1



2
12
6
x2



Resuelve la siguiente ecuación logarítmica
Logaritmos y Ec. Exponenciales
  27
log
3
x
log
6 2
2 

   3
2
2 3
log
3
x
log
6 


   3
log
3
3
x
log
6 2
2 




    3
log
3
x
log
2
3
log
3
3
x
log
6 2
2
2
2 







  3
log
3
x
log 2
2
2 
 3
6x
9
x2



 0
6
6x
x2




No es solución
SOLUCIÓN

28. Logaritmos y Ec. Exponenciales
  27
log
3
x
log
6 2
2 


Resolución con GeoGebra

29. Resolución de
Ecuaciones
Exponenciales
Tema
Logaritmos
y
Ecuaciones
Exponenciales
3
3
2
3 x
2x




30. 81
3 5
x2


81
3 5
x2


9
x 

128
2 1
x


128
log
1
x 2



4
5
x
81
3
3
3
2
4


 
 

4
5
x2


 5
4
x2



3
x2 

Logaritmos y Ec. Exponenciales
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
9
x2


3
x1 
7
1
x 

 6
x 

1
10 x
3


1
10 x
3


128
2 1
x


0
x
3
1
10
10
10
0


 
 

0
x
3 

 3
x
o
x
3 



31. 81
3 5
x2


Logaritmos y Ec. Exponenciales
128
2 1
x


1
10 x
3


81
3 5
x2


128
2 1
x


1
10 x
3


Resolución con GeoGebra

32. Resuelve la siguiente ecuación exponencial
12
2
2 1
x
x

 
Aplicando las propiedades de las potencias:
2
2
2 x
1
x



Entonces…
12
2
2
2
2
2 x
x
1
x
x




 
4
2
t x


Y por lo tanto, como t = 2x, entonces…
12
2t
t 

12
3t 
Logaritmos y Ec. Exponenciales
Como método sustituimos 2x por t…
Por lo tanto…
4
3
12
t 


2
x 


33. Logaritmos y Ec. Exponenciales
12
2
2 1
x
x

 
Resolución con GeoGebra

34. Resuelve la siguiente ecuación exponencial 3
6
3
3
3 x
1
x
1
x


 

Aplicando las propiedades de las potencias:
3
3
3 x
1
x



Entonces…
Logaritmos y Ec. Exponenciales
Como método
sustituimos 3x por t…
Por lo tanto…
63
t
3t
3
t



3
3
3
x
1
x


3
6
3
3
3
3
3 x
x
x




63
2t
3
t


3
189
3
6t
3
t


 189
7t 
 27
7
189
t 


x
3
27
t 
 3
x 


35. Logaritmos y Ec. Exponenciales
3
6
3
3
3 x
1
x
1
x


 

Resolución con GeoGebra

36. Resuelve la siguiente ecuación exponencial
3
3
2
3 x
2x



Aplicando las propiedades de las potencias:
 2
x
2x
3
3 
Entonces…
Logaritmos y Ec. Exponenciales
Como método sustituimos 3x por t…
Por lo tanto…
  3
3
2
3 x
2
x



3
2t
t2


0
3
2t
t2



   
2
16
2
1
2
3
1
4
2
2
t
2














37. Resolvemos
x
3
t 
Y por lo tanto, como t = 3x, entonces…
Logaritmos y Ec. Exponenciales
1
x 

3
2
4
2
t1 


 1
2
4
2
t2 




x
1 3
3
t 

x
2 3
1
t 

 solución
tiene
no
x 


38. Logaritmos y Ec. Exponenciales
3
3
2
3 x
2x



Resolución con GeoGebra

39. Resuelve la siguiente ecuación exponencial
3
2
2 x
x
1



Aplicando las propiedades de las potencias:
x
x
x
1
2
2
2
2
2 

 

Entonces…
Logaritmos y Ec. Exponenciales
Como método sustituimos 2x por t…
Por lo tanto…
3
t
t
2


3
2
2
2
2
2 x
x
x
x
1





3
t
t
2

 3t
t
2 2


 0
2
3t
t2




t
3t
t
t
t
2 2




40. Resolvemos
x
2
t 
Y por lo tanto, como t = 2x, entonces…
Logaritmos y Ec. Exponenciales
1
x 

2
2
1
3
t1 



1
2
1
3
t2 



x
1 2
2
t 

x
2 2
1
t 
 0
x 

 
2
1
3
1
2
2
1
4
3
3
t
2











0
2
3t
t2




41. Logaritmos y Ec. Exponenciales
3
2
2 x
x
1



Resolución con GeoGebra

42. Resolución de
Sistemas de
Ecuaciones
Logarítmicas
Tema
Logaritmos
y
Ecuaciones
Exponenciales







1
logy
logx
22
y
x

43. 






1
logy
logx
22
y
x
10
y
x
log10
y
x
log
1
logy
logx 





22
y
10y 

Aplicamos el método de sustitución para la resolución del sistema…







 

20
x
2
y
SISTEMA
SOLUCIÓN
Resuelve la siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas.
Logaritmos y Ec. Exponenciales







10y
x
22
y
x







1
logy
logx
22
y
x











 

10
y
x
22
y
x
S
PROPIEDADE
APLICANDO
20
x 

22
11y 
 2
y 

2
10
x
2
y 



Sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones

44. Logaritmos y Ec. Exponenciales
Resolución con GeoGebra

45.  







4
y
x
log
5
logy
2logx
5
logy
2logx 

  4
y
x
log 
 4
10
y
x 


4
4
10000
log
log10
10000
log
y)
log(x
10





 
 
Logaritmos y Ec. Exponenciales
Resuelve la siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas.
Aplicamos las propiedades para eliminar logaritmos…
5
logy
logx2
P
log
P
log
n n




 
 

5
2
5
100000
log
10
log
100000
log
y
log
x
log
10






 
  5
2
Q
P
log
logQ
logP
10
log
y
x
log 



 



Entonces…
5
2
10
y
x

Por otro lado…

46. 







4
5
2
10
y
x
10
y
x
x
10
y
4

5
4
2
10
x
10
x

3
3 9
10
10
x 


10
10
10
y 3
4



Logaritmos y Ec. Exponenciales
Nuestro nuevo sistema es…
5
4
3
10
10
x


4
5
3
10
10
x 
 9
3
10
x 

3
10
x 







 
 3
SISTEMA
SOLUCIÓN
10
x
0
1
y
Una vez conocida x, obtenemos y.

47. Logaritmos y Ec. Exponenciales
Resolución con GeoGebra

48. Fin de Tema
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Logaritmos y Ec. Exponenciales