O documento apresenta resoluções de equações do segundo grau. Resume as principais informações da seguinte forma:
1) São mostradas 34 equações do segundo grau resolvidas passo a passo, encontrando os valores de x que anulam a equação.
2) É apresentada a fórmula geral para resolução de equações do segundo grau, relacionando os coeficientes a, b e c com as raízes x1 e x2.
3) São mostrados exemplos numéricos aplicando a fórmula geral para encontrar as raízes de equ
6. Produto das raízes (c)
Soma das raízes (b)
a=1 x² – 7 + 12 = 0
se + : raízes de mesmo sinal
se – : raízes de sinais diferentes
se + : resultado da soma é negativo
se – : resultado da soma é positivo
Produto Soma +12 (raízes de mesmo sinal) -7 (resultado positivo)
1 e 12 12 13 x' = 3
2e6 12 8 -3 e -4 ou 3 e 4 x'' = 4
3e4
3e4 12 7
35
a)
Produto Soma +6 (raízes de mesmo sinal) -5 (resultado positivo) x' = 2
1e6 6 7 x'' = 3
2e3 6 5 -2 e -3 ou 2 e 3 2e3
b)
Produto Soma +20 (raízes de mesmo sinal) -9 (resultado positivo) x' = 4
1 e 20 20 21 x'' = 5
2 e 10 20 12 -4 e -5 ou 4 e 5 4e5
4e5 20 9
c)
Produto Soma -21 (raízes de sinais diferentes) +4 (resultado negativo)
-1 e 21 - 21 20 x' = -7
-3 e 7 - 21 4 -3 e 7 ou 3 e -7 x'' = 3
3 e -7
d)
Produto Soma +20 (raízes de mesmo sinal) -12 (resultado positivo)
1 e 20 20 21 x' = 2
2 e 10 20 12 -2 e- 10 ou 2 e 10 x'' = 10
2 e 10
4e5 20 9
7. e)
Produto Soma -16 (raízes de sinais diferentes) -6 (resultado positivo)
-1 e 16 -16 15 x' = -2
-2 e 8 -16 6 -2 e 8 ou 2 e -8 x'' = 8
-2 e 8
-4 e 4 -16 0
f)
Produto Soma +28 (raízes de mesmo sinal) -11 (resultado positivo) x' = 4
1 e 28 28 29 x'' = 7
2 e 14 28 16 -4 e -7 ou 4 e 7 4e7
4e7 28 11
Δ > 0 → 2 raízes reais e distintas
−b ± Δ 2
x= Δ = b − 4ac Δ = 0 → 2 raízes reais e iguais
2a
Δ < 0 → não possui raiz real
Para raízes reais e distintas, então Δ > 0 Para raízes reais e iguais, então Δ = 0
2
−6 − 4 . 3 . m 0 −62 − 4 . 1 . 3m = 0
36 − 12m 0 36 − 12m = 0
36 36
−12m −36 −12m = −36
(pág. 119) (pág. 120)
12m 36 12m = 36
m 3 m =3
Para raízes reais e distintas, então Δ > 0 Para raízes reais e distintas, então Δ > 0
2 2
−10 − 4 . 1 . 2m − 1 0 −4 − 4 . 1 . k − 3 0
100 − 4 2m − 1 0 16 − 4 k − 3 0
37 100 − 8m 4 0 38 16 − 4k 12 0
−8m −104 −4k −28
8m 104 4k 28
m 13 k7
Para raízes reais e iguais, então Δ = 0 Para raízes reais e distintas, então Δ > 0
−22 − 4 . 3k . −1 = 0 −82 − 4 . 4 . 2k 0
4 12k = 0 64 − 32k 0
39 12k 4 = 0 40 −32k −64
12k = −4 32k 64
4 k2
k =−
12
1
k =−
3
8. Para raízes reais e iguais, então Δ = 0 Para raízes reais e distintas, então Δ > 0
2 2m2 − 4 . 1 . m 2 = 0 −2m2 − 4 . m . 3 = 0
4 8m 4m 2 − 4m 2 = 0 4m2 − 12m = 0
41 8m = −4 42 m 4m − 12 = 0 m' = 0
4 4m − 12 = 0 m'' = 3
m =−
8 4m = 12
1 m=3
m =−
2
Soma das raízes: −b Diferença das raízes: Δ
a a
c
Produto das raízes: Soma dos inversos das raízes: −b
a c
43 Soma das raízes: −1 Produto das raízes: −12
= −1 = −12
1 1
Diferença das raízes: 1 2 − 4 . 1 . −12
= 1 48 = 49 = 7
1
O inverso das raízes:
Produto das raízes:
1 Ex.: 1
x' = c x' = 3 3=
x'' =1 3
a 1
x' . x '' = 1 x '' = 1 3
3 3. = =1
3 3
44 2x 2 − 5x k = 0 1 k
k' = =1
k '' 2
k ' . k '' = 1 k=2
Produto das raízes:
45 2 2
1 3m
mx 4x 7x 3m = 0 m' = =1
m '' m 4
m' . m'' = 1 3m = 4 4
3m − m = 4
2m = 4
m =2
9. Produto das raízes:
46 mx 2 − x 2 − 8x 3 = 0 1 3
m' = =1
m '' m − 1
m' . m'' = 1 3=m−1
m −1=3
m =31
m =4
2 2
x − 2n − 1 x n − n − 12 = 0 Soma das raízes:
47 −−2n 1
x 2 − 2nx x n 2 − n − 12 = 0 =9
1
− −2n 1 = 9
2n − 1 = 9
2n = 9 1 2n = 10
n=5
Produto das raízes:
48 kx 2 2x2 − 5x 2k = 0 1 2k
k' = =1
k '' k 2
k ' . k '' = 1 2k = k 2
2k − k = 2
k=2
Raízes simétricas:
Soma das raízes: Soma das raízes:
Ex.: x' = 3 3 −3 = 0
x ' = −x ' ' x ' −x ' ' = 0 x ' ' = −3
Soma das raízes:
49 2x 2 4mx − 8x 50 = 0 −−4m − 8
=0
2
− −4m 8 = 0
4m − 8 = 0
4m = 8
m =2
Média Aritmética: Média Geométrica: Média Harmônica:
x 1 x 1 ... x n n
x1 . x 2 ... x n n
n 1 1 1
...
Ex.: 3
1 . 3 . 9 = x1 x2 xn
Ex.: 3 4 5 = 4
3
3 27 = 3 Ex.: 2 12
=
1 1 5
2 3
10. 50 x 2 − 2ax 2bx a b2 = 0
−−2a 2b
1
Soma das raízes dividido por 2 M.A. = =0
2
b 2a − 2b 1
Média Aritmética: − M.A. = . =0
a 1 2
2 2a − 2b
M.A. =
2
M.A. = a − b
Raiz quadrada do M.G. =
a b2
Média Geométrica: Produto das raízes: 1
M.G. = a b2
c
a
M.G. = a b
51 2
m − 2 x − 2m − 1 x m 2 = 0 Soma das raízes:
mx 2 − 2x 2 − 2mx x m 2 = 0 −−2m 1 1
=
m−2 4
−4−2m 1 = 1 m − 2
8m − 4 = m − 2
8m − m = −2 4
7m = 2
2
m =
7
52 2 2
hx 3x − 2hx 2x h 4 = 0 Soma dos inversos das raízes:
−−2h 2 1
=
h 4 3
Soma dos inversos das raízes: −3−2h 2 = 1 h 4
−b 6h − 6 = h 4
c 6h − h = 4 6
5h = 10
h=2
53 Soma das raízes: Soma das raízes:
−b
c
1 .
−b
c
−1
−−4
2
= =2
4
2
2 1 . 2 − = 3 . 1 = 3
11. 54 Produto das raízes: Soma das raízes:
−−4 k
= 4 =k
1 1
S R R S
S . R . S . R = 16
4 k . 4k = 16
4 2k = 16
4 2 = 16
k=1
55 Soma dos inversos das raízes: Soma dos inversos das raízes:
−b −k 5
=
c 36 12
−12k = 180
12k = −180
k = −15
56 Soma dos inversos das raízes: Média harmônica:
2
−b −−1 1 = 10
= 1
c m m
m
m
2 . = 10
1
2m = 10
m =5
57 Produto das raízes: Soma das raízes:
−−4 k
= 4 =k
1 1
S R R S
S . R . S . R = 256
4 k . 4k = 256
4 2k = 256
4 8 = 256
k=4
58 Soma dos inversos das raízes: Soma dos inversos das raízes:
−b −−5 5
=
c m 4
20 = 5m
5m = 20
m =4
12. 59
Soma das raízes: b −−10 x' = 2
x ' x '' = − x 4x =
a 1 x '' = 4 . 2 = 8
5x = 10
x=2 k = c = produto das raízes
2 . 8 = 16
60
Soma das raízes: b −−7 x' = 3
x ' x '' = − x x 1 =
a 1 x '' = 4
xx1=7
2x = 7 − 1 k = c = produto das raízes
2x = 6 3 . 4 = 12
x=3