Εξισώσεις και προβλήματα, , Α.4.1, Η έννοια της εξίσωσης, Οι εξισώσεις, α + x = β, x – α = β, α – x = β, αx = β, α : x = β , x : α = βα , , ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Μέρος Α' , Κεφάλαιο 3ο, Οι φυσικοί αριθμοί, teagher, Εκπαιδευτικό βίντεο από τo ΚΑΛΙΤΣΑ : https://mcjmcjmcj.wordpress.com​​/ Άρθρο του μαθήματος: https://wp.me/PJcUD-8DN/ #teagher, #ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, #ΜΑΘΗΜΑΤΑ, #ΓΥΜΝΑΣΙΟ #ΠΡΩΤΗΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, #ΛΥΣΕΙΣ, #ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, #ΚΑΛΙΤΣΑ,

1. Εξισώσεις και προβλήματα.
Α.4.1
Η έννοια της εξίσωσης
Οι εξισώσεις:
α + x = β,
x – α = β,
α – x = β,
αx = β,
α : x = β
και x : α = βα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Μέρος Α'
Κεφάλαιο 4ο

3. (α) 3 • x + 25 ➙ Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 25.
(β) (
𝟏
𝟐
) • x – 7 = 2 ➙ Το μισό ενός αριθμού ελαττωμένο κατά 7 ισούται με 2.
(γ) α – 2 • β ➙ Ένας αριθμός ελαττωμένος κατά το διπλάσιο ενός άλλου αριθμού.
(δ) 4• κ + 7 • κ = 88 ➙ Το τετραπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά το επταπλάσιο
του ιδίου αριθμού ισούται με 88.

4. α
α
α
α
Περίμετρος : Πτετρ.= α + α + α + α = 4 • α
Εμβαδόν : Ετετρ.= α • α = α 2

5. (α) x + x = 2 • x
(β) α + α + α = 3 • α
(γ) 3 • α + 52 • α = (3 + 52) • α = 55 • α
(δ) 2 • β + β + 3 • α + 2 • α = (2 +1) • β + (3 + 2) • α = 3 • β + 5 • α
(ε) 4 • Χ + 8 • Χ – 3 • Χ = (4 + 8 – 3 ) • Χ = (12 – 3 ) • Χ = 9 • Χ
(στ) 7 • ω + 4 • ω – 10 • ω = (7 + 4 – 10) • ω = (11 – 10) • ω = 1• ω = ω

6. Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού:
x • (y • z ) =(x • y) • z =
𝟐
𝟗
•
𝟑
𝟓
=
𝟔
𝟒𝟓
=
𝟐
𝟏𝟓

7. •
Αφού το x είναι ίσο με το 2 συν κάποιον άλλο φυσικό αριθμό α, θα πρέπει ο x να είναι μεγαλύτερος ή
ίσος του 2. Οπότε από τις δοσμένες τιμές προκύπτει ότι x = 3
Αν x = 0 ⇒ 2 +α = 0 το x δεν μπορεί να πάρει την τιμή 0 για κανένα
φυσικό αριθμό α. (Αδύνατο)
• Αν x = 3 ⇒ 2 + α = 3 και α =1 άρα το x μπορεί να πάρει την τιμή 3.
• Αν x = 1 ⇒ 2 + α = 1 και επομένως το x δεν μπορεί να πάρει την τιμή 1 για
κανένα φυσικό αριθμό α. (Αδύνατο)

8. x + 13 = 25 ⇒ x = 25 – 13 ⇒ x = 12
Επαλήθευση: x + 13 = 12 + 13 = 25
Ναι είναι λύση αφού 12 + 13 = (αληθές).

9. x – 2 = 4 ⇒ x = 4 + 2 ⇒ x = 6
x
1 + y = 4 ⇒ y = 4 – 1 ⇒ y = 3
x
18 – ω = 10 ⇒ ω = 18 – 10 ⇒ ω = 8
x
2 – α = 1 ⇒ α = 2 – 1 ⇒ α = 1
x
93 – β = 86 ⇒ β = 93 – 86 ⇒ β = 7
x

10. (α) x + 4,9 = 15,83 ⇒ x = 15,83 – 4,9 ⇒ x = 10,93
(β) 40,4 + x = 93,19 ⇒ x = 93,19 – 40,4 ⇒ x = 52,79
(γ) 53,404 – x = 4,19 ⇒ x = 53,404 – 4,19 ⇒ x = 49,214
(δ) 38 – x = 7,1 ⇒ x = 38 – 7,1 ⇒ x = 30,9

11. (α)
𝟑
𝚾
=
𝟏𝟐
𝟐𝟎
⇒ 12 • x = 3 • 20 ⇒ 12 • x = 60 ⇒ x = 60 : 12⇒ x = 5
(β)
𝟓
𝟕
=
𝟏𝟓
𝚾
⇒ 5 • x = 7 • 15 ⇒ 5 • x = 105 ⇒ x = 105 : 5 ⇒ x = 21
(γ)
𝟑𝟓
𝟒𝟎
=
𝚾
𝟖
⇒ 40 • x = 35 • 8 ⇒ 40 • x = 280 ⇒ x = 280 : 40 ⇒ x = 7
(δ)
𝟒𝟗
𝟓
= Χ +
𝟒
𝟓
⇒ Χ =
𝟒𝟗
𝟓
–
𝟒
𝟓
⇒ Χ =
𝟒𝟓
𝟓
= 9

12. (α)
𝚾+𝟑
𝟒
+
𝟏
𝟐
=
𝟕
𝟒
⇒
𝚾+𝟑
𝟒
=
𝟕
𝟒
–
𝟏
𝟐
⇒
𝚾+𝟑
𝟒
=
𝟕
𝟒
–
𝟐
𝟒
⇒
𝚾+𝟑
𝟒
=
𝟓
𝟒
⇒ Χ + 3 = 𝟓 ⇒ Χ = 𝟓– 𝟑⇒ Χ = 𝟐
(α) 𝜲+𝟑
𝟒
+
𝟏
𝟐
=
𝟕
𝟒
⇒
𝜲+𝟑
𝟒
+
𝟐
𝟒
=
𝟕
𝟒
⇒
𝜲+𝟑+𝟐
𝟒
=
𝟕
𝟒
⇒
𝜲+𝟓
𝟒
=
𝟕
𝟒
⇒ Χ + 5 = 𝟕 ⇒ Χ = 𝟕– 𝟓 ⇒ Χ = 𝟐
(β)
𝟓
𝟖
+
𝚾
𝟏𝟔
=
𝟑
𝟒
⇒
𝟏𝟎
𝟏𝟔
+
𝚾
𝟏𝟔
=
𝟏𝟐
𝟏𝟔
⇒ 10 + Χ = 𝟏𝟐 ⇒ Χ = 𝟏𝟐– 𝟏𝟎 ⇒ Χ = 𝟐
(γ)
𝟑
𝟓
+
𝚾+𝟐
𝟏𝟎
= 𝟏 ⇒
𝟔
𝟏𝟎
+
𝚾+𝟐
𝟏𝟎
=
𝟏𝟎
𝟏𝟎
⇒
𝟔+ 𝚾+𝟐
𝟏𝟎
=
𝟏𝟎
𝟏𝟎
⇒
𝚾+𝟖
𝟏𝟎
=
𝟏𝟎
𝟏𝟎
⇒ Χ + 8 = 𝟏𝟎 ⇒ Χ = 𝟏𝟎– 𝟖 ⇒ Χ = 𝟐

13. (α) ν + 3 = 4 ⇒ ν = 4 − 3 ⇒ ν = 1
(β) x − 2 = 8 ⇒ x = 8 + 2 ⇒ x = 10
(γ) t + 4 + 1 = 3 + 19 ⇒ t + 5 = 22 ⇒ t = 22 − 5 ⇒ t = 17
(δ) 6 − x = 5 ⇒ x = 6 − 5 ⇒ x = 1

14. Αν
𝟓
𝟐𝟏
είναι ένας αριθμός ο αντίστροφός του είναι ο
𝟐𝟏
𝟓
Έστω Χ ο ζητούμενος αριθμός.
Επομένως μπορούμε να σχηματίσουμε την εξίσωση:
Χ + 4 =
𝟐𝟏
𝟓
⇒ Χ =
𝟐𝟏
𝟓
− 4 ⇒ Χ =
𝟐𝟏
𝟓
−
𝟐𝟎
𝟓
⇒ Χ =
𝟏
𝟓

15. Έστω Χ ο ζητούμενος αριθμός.
Επομένως μπορούμε να σχηματίσουμε την εξίσωση:
Χ + 5 = 313 ⇒ Χ = 313 − 5 ⇒ Χ = 308

16. 1
1
1 2
2
1
2
2
1 2 3
3
1
2
3
3
1 2 3
4
4
1
2
3
4
4
1 2 3 4 5
5
1
2
3
4
5
5
(α) Το 1ο σχήμα έχει περίμετρο 4cm , το 2ο 8cm , το 3ο 12cm και το 4ο 16cm. Η περίμετρος των
σχημάτων είναι πολλαπλάσια του 4 άρα η περίμετρος του 5ου σχήματος είναι 20cm .
(β) Αν τα τετράγωνα της βάσης του σχήματος είναι x τότε η περίμετρος είναι Π= 4⋅ x .
(γ) 128 ⋅ x ⇒ x =128 : 4 ⇒ x = 32. Άρα το 32ο σχήμα έχει περίμετρο 128cm.