移籍トレード.pdf

TPP2023 2023/10/31
スポーツ選手の移籍トレード先決定アルゴリズムの
Coq/SSReflectによる検証
井上健太

自己紹介
名前：井上健太
所属：(とあるIT企業の一般社員)
有給休暇で個人参加のため、非公開
趣味：Coqで日常の疑問を証明すること
元千葉大学山本研究室

移籍トレードとは？
チームT1 チームT2

m1 m2

m1
m2

m2,2
チームT3
⋯
チームT4
m2,1 m3,1
m4,2
m4,1 m4,3
多人数・多チームの場合は？
m2,1

多チーム移籍トレードの例
チームT1
チームT2
チームT3
プロ野球現役ドラフト
⋯ チームT4
チームT5
チームT6

チームT1
チームT2
チームT3
⋯ チームT4
チームT5
・各チームはトレードに出す選手を
2人以上選出 m2,2
m2,1
m3,1 m3,2
m4,2
m4,1 m4,3
m5,1 m5,2
m1,1 m1,2
m5,3
チームT6
m6,1 m6,2

チームT1
チームT2
チームT3
m2,1
m3,1 m3,2
m1,1 m1,2
・各チームは欲しい選手を一人指名
(自チームの選手以外)
⋯ チームT4
チームT5
m4,2
m4,1 m4,3
m5,1 m5,2 m5,3
チームT6
m6,1 m6,2

チームT1
チームT2
チームT3
m2,1
m3,1 m3,2
m1,1 m1,2
⋯ チームT4
チームT5
m4,2
m4,1 m4,3
m5,1 m5,2 m5,3
チームT6
m6,1 m6,2
・最も指名の多いチームが選手を獲得

チームT1
チームT2
チームT3
m2,1
m3,1 m3,2
m1,1 m1,2
⋯ チームT4
チームT5
m4,2
m4,1 m4,3
m5,1 m5,2 m5,3
チームT6
m6,1 m6,2
・今指名された選手のチームが
まだ指名されてないチームの選手を獲得

チームT1
チームT2
チームT3
m2,2
m3,1 m3,2
m1,1 m1,2
⋯ チームT4
チームT5
m4,2
m4,1 m4,3
m5,1 m5,2 m5,3
チームT6
m6,1 m6,2

チームT1
チームT2
チームT3
m2,2
m3,1 m3,2
m1,1 m1,2
⋯ チームT4
チームT5
m4,2
m4,1 m4,3
m5,1 m5,2 m5,3
チームT6
m6,1 m6,2
・今指名された選手のチームがすでに指名済み
の場合、未指名のチームで上の手順を繰り返す

チームT1
チームT2
チームT3
m2,2
m3,1 m3,2
m1,1 m1,2
⋯ チームT4
チームT5
m4,2
m4,1 m4,3
m5,1 m5,2 m5,3
チームT6
m6,1 m6,2
・今指名された選手のチームがすでに指名済み
の場合、未指名のチームで上の手順を繰り返す
・残り2チームになったら、未指名のチームを指名する

プロ野球現役ドラフトの特徴
・任意のチームに対し、必ず1人以上の他チームの選手とトレードされる

問題点

問題点
・他チームの全選手より自チームの選手の方が良くてもトレードしないといけない

問題点
・欲しかった選手が他チームに取られてしまった場合に途中で辞退もできない

問題点
トレードによって損をする可能性がある
・欲しかった選手が他チームに取られてしまった場合に途中で辞退もできない

全てのチームが損をしないトレード

チームが損をしないとは？

T :チームの有限集合
M :選手の有限集合

各チームの損得関係を
上の順序関係で表すことにする
t ∈ T
2M
⪯t

t ∈ T
2M
⪯t
が成立するべき性質
⪯t を考える

t ∈ T
2M
⪯t
⪯t

t ∈ T
2M
⪯t
⪯t
・任意の , に対し、
X ⊂ M y ∈ M X ⪯t X ∪ {y}

t ∈ T
2M
⪯t
⪯t
X ⊂ M y ∈ M X ⪯t X ∪ {y}
・任意の , , に対し、
X ⊂ M x ∈ X y ∈ M
ならば
x ≤t y X ⪯t X∖{x} ∪ {y}
:チームが獲得したい選手の優先順位を表す
上の順序関係
≤t t
M

t ∈ T
2M
⪯t
⪯t
X ⊂ M y ∈ M X ⪯t X ∪ {y}
X ⊂ M x ∈ X y ∈ M
ならば
x ≤t y X ⪯t X∖{x} ∪ {y}
:チームが獲得したい選手の優先順位を表す
上の順序関係
≤t t
M
X ⪯t Y :=
{x1, …, xn}, {y1, …, ym}: をで降順にソートした列
X, Y ≤t
かつ任意のに対し、
n ≤ m i ≤ n xi ≤t yi
反射推移閉包 ( が全順序の場合)
≤t

X ⪯t Y :=
{x1, …, xn}, {y1, …, ym}: をで降順にソートした列
X, Y ≤t
かつ任意のに対し、
n ≤ m i ≤ n xi ≤t yi
≤: T → M → M → 2
:各チームの獲得したい選手の全順序
チームにおいて、選手構成が構成に対して損をしないとは
t X Y
を満たすこと
X ⪯̸ t Y
( は反対称律を満たす)
⪯t

トレードとは
≤: T → M → M → 2

トレードとは
b : M → T :各選手の所属チーム
≤: T → M → M → 2

トレードとは
≤: T → M → M → 2
: チームに所属する選手全体
b−1
t t ∈ T

トレードとは
≤: T → M → M → 2
f : (T → M → M → 2) → (M → T) → M → T :トレード

f : (T → M → M → 2) → (M → T) → M → T :トレード
任意のに対し、
≤: T → M → M → 2
任意のに対し、が全順序ならば
t ∈ T ≤t
任意の , に対し、
b : M → T t ∈ T
(f≤ b)−1
t ⪯̸ t b−1
t

win-winトレード
≤: T → M → M → 2 :各チームの獲得したい選手の全順序
チームt1
チームt2
チームt3
⋯ チームt4
チームt5
チームt6

win-winトレード
チームt1
チームt2
チームt3
⋯ チームt4
チームt5
チームt6
とする
M0 := M

win-winトレード
チームt1
チームt2
チームt3
⋯ チームt4
チームt5
チームt6
とする
M0 := M
・ならば終了
Mi = ∅

win-winトレード
チームt1
チームt2
チームt3
⋯ チームt4
チームt5
チームt6
各からを指す
有向グラフを作る
t ∈ T mt := max
≤t
Mi
とする
M0 := M
・ならば終了
Mi = ∅

win-winトレード
チームt1
チームt2
チームt3
⋯ チームt4
チームt5
チームt6
各からを指す
t ∈ T mt := max
≤t
Mi
とする
M0 := M
・ならば終了
Mi = ∅
閉路を一つ選んでn角トレード

win-winトレード
チームt1
チームt2
チームt3
⋯ チームt4
チームt5
チームt6
各からを指す
t ∈ T mt := max
≤t
Mi
とする
M0 := M
・ならば終了
Mi = ∅
からトレードした選手を
除いたものをとする
Mi
Mi+1

win-winトレード
f : (T → M → M → 2) → (M → T) → M → T :win-winトレード

win-winトレード
全てのチームが
≤: T → M → M → 2
t ∈ T ≤t
b : M → T t ∈ T
(f≤ b)−1
t ⪯̸ t b−1
t
損をしない

win-winトレード
≤: T → M → M → 2
t ∈ T ≤t
b−1
t ⪯t (f≤ b)−1
t
得をする
全てのチームが損をしない
b : M → T t ∈ T
(f≤ b)−1
t ⪯̸ t b−1
t

win-winトレード
≤: T → M → M → 2
t ∈ T ≤t
b : M → T t ∈ T b−1
t ⪯t (f≤ b)−1
t
全てのチームが得をする

win-winトレード
≤: T → M → M → 2
t ∈ T ≤t
に対し、
t ∈ T b−1
t ⪯t (f≤ b)−1
t
任意の ,
b : M → T

win-winトレード
≤: T → M → M → 2
t ∈ T ≤t
b−1
t ⪯t (f≤ b)−1
t
b ⪯ c := ∀t ∈ T, b−1
t ⪯t c−1
t
⪯: (M → T) → (M → T) → 2 を
で定義する
任意のb : M → T に対し、
t ∈ T
,

win-winトレード
≤: T → M → M → 2
t ∈ T ≤t
b ⪯ f≤ b
b ⪯ c := ∀t ∈ T, b−1
t ⪯t c−1
t
⪯: (M → T) → (M → T) → 2 を
で定義する

win-winトレード
≤: T → M → M → 2
t ∈ T ≤t
任意のに対し、はの極大値になる?
b : M → T f≤ b ⪯
b ⪯ f≤ b

Coqにおける実装

Variable (Team:finType).
Variable (Member:finType).

seq (Member * Team)
書き換えが多いため

全順序でしか計算しない
max

全順序でしか計算しない
max
seq Member
ソートされた列

seq (Team * seq Member)
減少性を示す引数

wwtrade: seq (Team * seq Member) ->
seq (Member * Team) -> seq (Member * Team).

wwtrade: seq (Team * seq Member) ->
seq (Member * Team) -> seq (Member * Team).
wwtrade_rec.
wwtrade1_rec.

チームt1
チームt2
チームt3
⋯ チームt4
チームt5
チームt6
各からを指す
t ∈ T mt := max
≤t
Mi
とする
M0 := M
・ならば終了
Mi = ∅
からトレードした選手を
除いたものをとする
Mi
Mi+1

Function wwtrade1_rec (ws:seq (Team * seq Member))
(rs os: seq (Member * Team))
(ts:seq Team) (t:Team)
{measure (fun s => sum_(i <- s) size i.2) ws} :
option (option Team) *
(seq (Team * seq Member) * seq (Member * Team) * seq (Member * Team)) :=
let: (osmt,ws') := oremove (pred1 t o fst) ws in
if osmt is Some smt
then if smt.2 is m :: sm
then let: (oomt,os') := oremove (pred1 m o fst) os in
if oomt is Some omt
then if omt.2 in t :: ts
then mkret omt.2 t ((t,sm) :: ws') ((m,t) :: rs) os'
else mkres t m sm omt
(wwtrade1_rec ws' rs os (t :: ts) omt.2)
(wwtrade1_rec ((t,sm) :: ws') rs os ts t)
else wwtrade1_rec ((t,sm) :: ws') rs os ts t
else (None,(ws,rs,os))
else (None,(ws,rs,os)).
mkret : (ommitted) ->
seq (Team * seq Member) * seq (Member * Team) * seq (member * Team).
mkres : (ommitted) ->
seq (Team * seq Member) * seq (Member * Team) * seq (member * Team).

Function wwtrade_rec (ws:seq (Team * seq Member))
(rs os:seq (Member * Team))
{measure (fun ws => size ws + sum_(i <- ws) size i.2) ws} :
seq (Member * Team) :=
if ws is tsm :: _
then let result := wwtrade1_rec ws rs os [::] tsm.1 in
if result.1 is Some _
then wwtrade_rec result.2.1.1 result.2.1.2 result.2.2
else wwtrade_rec (filter (predC (pred1 tsm.1 o fst)) result.2.1.1)
result.2.1.2 result.2.2
else rs ++ os.
Definition wwtrade (ws:seq (Team * seq Member)) (os:seq (Member * Team))
: seq (Member * Team) := wwtrade_rec ws [::] os.

Function wwtrade_rec (ws:seq (Team * seq Member))
(rs os:seq (Member * Team))
{measure (fun ws => size ws + sum_(i <- ws) size i.2) ws} :
seq (Member * Team) :=
if ws is tsm :: _
then let result := wwtrade1_rec ws rs os [::] tsm.1 in
if result.1 is Some _
then wwtrade_rec result.2.1.1 result.2.1.2 result.2.2
else wwtrade_rec (filter (predC (pred1 tsm.1 o fst)) result.2.1.1)
result.2.1.2 result.2.2
else rs ++ os.
Lemma wwtrade1_rec_None ws rs os ts t:
let result := wwtrade1_rec ws rs os ts t in
result.1 = None ->
oapp (fun s => s.2 = [::]) true (oremove (pred1 t o fst) result.2.1.1).1.

性質

性質
Definition wwtrade_eq_member ws os:
perm_eq (map fst os) (map fst (wwtrade ws os)) := wwtrade_rec_eq_member _ _ _.
Definition wwtrade_eq_team ws os:
perm_eq (map snd os) (map snd (wwtrade ws os)) := wwtrade_rec_eq_team _ _ _.

性質
Definition wwtrade_eq_member ws os:
perm_eq (map fst os) (map fst (wwtrade ws os)) := wwtrade_rec_eq_member _ _ _.
Definition wwtrade_eq_team ws os:
perm_eq (map snd os) (map snd (wwtrade ws os)) := wwtrade_rec_eq_team _ _ _.
Lemma wwtrade1_rec_eq_team ws rs os ts t:
let result := wwtrade1_rec ws rs os ts t in
if result.1 is Some (Some t0)
then perm_eq (t :: map snd rs ++ map snd os)
(t0 :: map snd result.2.1.2 ++ map snd result.2.2)
else perm_eq (map snd rs ++ map snd os)
(map snd result.2.1.2 ++ map snd result.2.2).

おまけ
T : eqType
s t : seq T
========================
perm_eq s t -> P s t

おまけ
T : eqType
s t : seq T
========================
Lemma perm_ind (P:seq T -> seq T -> Prop) :
P [::] [::] ->
(forall u s t, P s u -> P u t -> P s t) ->
(forall a s t, P s t -> P (a :: s) (a :: t)) ->
(forall a b s, P [:: a, b & s] [:: b, a & s]) ->
forall s t, perm_eq s t -> P s t.

おまけ
T : eqType
s t : seq T
========================
P [::] [::] ->
置換は互換の積で書ける

おまけ
T : eqType
s t : seq T
========================
P [::] [::] ->
置換は互換の積で書ける
結論がnilとconsの形

おまけ
T : eqType
s t : seq T
===============================
perm_eq s t -> P s t -> Q s t
P [::] [::] ->

おまけ
T : eqType
s t : seq T
===============================
P [::] [::] ->
T : eqType
u s t : seq T
===============================
(P s u -> Q s u) -> (P u t -> Q u t) -> P s t -> Q s t

おまけ
T : eqType
s t : seq T
===============================
Lemma perm_imply_ind (P Q:seq T -> seq T -> Prop) :
(forall s t, perm_eq s t -> forall u, P s u -> P t u) ->
(forall s t, perm_eq s t -> forall u, P u s -> P u t) ->
(forall a s t, P (a :: s) (a :: t) -> P s t) ->
(P [::] [::] -> Q [::] [::]) ->
(forall u s t, Q s u -> Q u t -> Q s t) ->
(forall a s t, P (a :: s) (a :: t) -> Q s t -> Q (a :: s) (a :: t)) ->
(forall a b s,
P [:: a, b & s] [:: b, a & s] -> Q [:: a, b & s] [:: b, a & s]) ->
forall s t, perm_eq s t -> P s t -> Q s t.

Lemma perm_imply_ind (P Q:seq T -> seq T -> Prop) :
(forall s t, perm_eq s t -> forall u, P s u -> P t u) ->
(forall s t, perm_eq s t -> forall u, P u s -> P u t) ->
(forall a s t, P (a :: s) (a :: t) -> P s t) ->
(P [::] [::] -> Q [::] [::]) ->
(forall u s t, Q s u -> Q u t -> Q s t) ->
(forall a s t, P (a :: s) (a :: t) -> Q s t -> Q (a :: s) (a :: t)) ->
(forall a b s,
P [:: a, b & s] [:: b, a & s] -> Q [:: a, b & s] [:: b, a & s]) ->
forall s t, perm_eq s t -> P s t -> Q s t.
おまけ
T : eqType
s t : seq T
===============================

性質
Definition betterMember (t:Team) (ws:seq (Team * seq Member)) s1 s2 :=
seqfindrel (oapp snd [::] (oremove (pred1 t o fst) ws).1)
(map fst (filter (pred1 t o snd) s1))
(map fst (filter (pred1 t o snd) s2)).
Definition seqfindrel (X:eqType) (s0 s1 s2:seq X) :=
seqrel (fun x => (findrel s0)^~ x)
(psort s0 (filter (mem s0) s1))
(psort s0 (filter (mem s0) s2)) &&
subperm (filter (predC (mem s0)) s1) (filter (predC (mem s0)) s2).
Definition subperm (X:eqType) (s1 s2:seq X) :=
all [pred x | count_mem x s1 <= count_mem x s2] s1.
Fixpoint seqrel (X:Type) (R:rel X) (s1 s2:seq X) :=
match s1,s2 with
| [::],_ => true
| _ :: _,[::] => false
| x1 :: s1',x2 :: s2' => R x1 x2 && seqrel R s1' s2'
end.

性質
Definition seqfindrel (X:eqType) (s0 s1 s2:seq X) :=
seqrel (fun x => (findrel s0)^~ x)
(psort s0 (filter (mem s0) s1))
(psort s0 (filter (mem s0) s2)) &&
subperm (filter (predC (mem s0)) s1) (filter (predC (mem s0)) s2).
Definition subperm (X:eqType) (s1 s2:seq X) :=
all [pred x | count_mem x s1 <= count_mem x s2] s1.
Fixpoint seqrel (X:Type) (R:rel X) (s1 s2:seq X) :=
match s1,s2 with
| [::],_ => true
| _ :: _,[::] => false
| x1 :: s1',x2 :: s2' => R x1 x2 && seqrel R s1' s2'
end.
比較不能な要素の場合
X ⊂ M y ∈ M X ⪯t X ∪ {y}
X ⊂ M x ∈ X y ∈ M
ならば
x ≤t y X ⪯t X∖{x} ∪ {y}

性質
Definition betterTeams
(ws:seq (Team * seq Member)) : rel (seq (Member * Team)) :=
fun x y => [forall t, betterMember t ws x y].

性質
Definition betterTeams
(ws:seq (Team * seq Member)) : rel (seq (Member * Team)) :=
fun x y => [forall t, betterMember t ws x y].
Proposition wwtarde_betterTeams ws os:
betterTeams ws os (wwtrade ws os).

まとめ
スポーツ選手の移籍トレードアルゴリズムに関して形式化
全てのチームがwin-winになること、
さらにそれが極大値であることの証明はfuture work
任意の点以上の極大値の一意性( 合流性)は言える？
⇔

終わりに
日常の疑問をCoqで形式化シリーズ
・株取引/株価決定アルゴリズム
・婚活パーティマッチング
・MonadはApplicativeを継承すべきか？
https://qiita.com/nekonibox
…etc

終わりに
日常の疑問をCoqで形式化シリーズ
・株取引/株価決定アルゴリズム
・婚活パーティマッチング
・MonadはApplicativeを継承すべきか？
https://qiita.com/nekonibox
…etc
Coqで定職に就きたい
coq歴12年

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