En aquest powerpoint, trobareu un resum de la unitat de vectors impartida a primer de batxillerat (catalunya), orientada a les classes de suport extra-lectiu.

1. VECTORS
SOFIA PATRICIA MORENO KÜBEL
1

2. Magnituds Vectorials i
Escalars
 Les magnituds escalars són aquelles que queden
definides per un sol nombre.
Ex: longitud, massa, temps, temperatura, ...
 Les magnituds vectorials són les que es defineixen
segons la posició, la direcció i el sentit
2 nombres si 2D
3 nombres si són 3D
Ex: Força, velocitat, ...
2

3. Posicions relatives de dues rectes en
un pla
1. Paral·leles
2. Coincidents
3. Secants Paral·leles 90º
3

4. Angles dels costats paral·lels
 Els dos angles són aguts (iguals)
 Els dos angles són obtusos (iguals)
 Un angle és agut i l’altre paral·lel (suplementaris)
4
Â
Â
Â
Ê
Ê
Ê
 = Ê
 = Ê
 + Ê = 180º

5. VECTORS
 Un vector és un segment orientat que està
determinat per dos punts A i B, i l’ordre d’aquests
punts.
5
B
A
AB
A = Origen
B = Extrem
AB =
Vector

6. Elements d’un vector
 Mòdul │AB│
Longitud del segment AB
 Direcció
Recta sobre la qual està situat el vector
 Sentit
És la manera de recórrer el segment AB, es a dir, fixar
quin
és l’origen i quin és l’extrem (fletxa)
* Els vectors AB i BA són oposats perquè tenen igual
mòdul i direcció, però sentit oposat. 6
B
A
AB

7.  Dos vectors són equivalents quan tenen el mateix
mòdul, direcció i sentit.
 La suma d’un vector i el seu oposat és un vector nul
7
V + (-V) = O
-v
v

8. Coordenades d’un vector
 Un sistema de referència està format per un punt
fix O i una base {u, v}
 Sistema de referència cartesià
8
X
Y
A (2,3)
OA
O (0,0)
OA = A – O = (2,3) – (0,0) = (2,3)

9.  Coordenades d’un vector
Les coordenades d’un vector són les coordenades de
l’extrem menys les coordenades del origen.
 Vectors paral·lels
Dos vectors són paral·lels si tenen la mateixa direcció.
9
A(a1,
a2)
B(b1,
b2)
AB = (b1, b2) - (a1,
a2)
u = (u1, u2)
v = (v1, v2)

10. Operacions amb vectors
1. Suma i resta de vectors
1. Multiplicació d’un vector amb un nombre
10
u + v = (u1, u2) + (v1, v2)
u - v = (u1, u2) - (v1, v2)
=
u
v
u + v
u - v
k · v = k · (v1, v2) = (k·v1, k·v2)
│ k · v │ = │k │· │v│
v
k· v

11. Combinació lineal de vectors
 Un conjunt de vectors són linealment dependents
si alguns vectors els podem expressar com a
combinació lineal dels altres.
 Un conjunt de vectors són linealment independents
si no ho compleixen.
11
u = λv (Tenen la mateixa
direcció)
u ≠ λv (No tenen la
mateixa direcció)

12. Combinació lineal de vectors
 Si tenim dos vectors amb direccions diferents,
qualsevol vector w, el podem posar com a
combinació lineal dels dos vectors .
12
w = λv + µu
u
λu
v
µv
w

13. Bases del pla
 Dos vectors formen una base d’un pla, si són
linealment independents, i els podem expressar com
a combinació lineal, formant un tercer vector.
 Base ortonormal
13
w = λv + µu
B= {v ,u}
│v│= 1 │u│= 1 Perpendicular
s

14. Producte escalar
 El producte escalar de dos vectors, és el nombre
que resulta de multiplicar els seus mòduls pel
cosinus de l’angle que formen.
 Expressió en coordenades del producte escalar
14
u·v =│v│·│u│·cosα
u · v = u1·v1 + u2·v2

15. Propietats del producte escalar
 El producte escalar de dos vectors no nuls és zero,
només si, els vectors són perpendiculars.
 El producte escalar per si mateix és el quadrat del
mòdul.
 El producte escalar és commutatiu i distributiu.
15
u·v =│v│·│u│·cosα = 0 Cosα = 0  α = 90°
u · v = v · u (u + v)·w = u·w + v·w
v·v =│v│·│v│·cos0 = │v│2·1 = │v│2

16. Aplicacions del producte
escalar
1. Angle entre dos vectors
2. Vectors perpendiculars
16
u·v =│v│·│u│·cosα = 0 u1·v1 + u2·v2 = 0

17. Aplicacions dels vectors
1. Distància entre dos punts
17
B
A
d(A, B)

18. 2. Punt mitjà d’un segment
3. Punt simètric a un punt
18
B
A
M
A’
A
P

19. FINAL DEL TEMA
19