La luz es el ente de información más rápida y absoluta en el Universo para cualquier marco de referencia e independiente del movimiento de la fuente. Pero las leyes de la física son las mismas. Con estos postulados se construye la Teoría de la Relatividad

1. Teoría de la Relatividad
Ing. Jorge María Arzamendia Riquelme
2018

2. Sistemas de referencia
Un sistema de referencia inercial es un sistema de coordenadas que se
encuentra en reposo, o en movimiento con velocidad constante, en el
cual se cumplen las leyes de Newton.
• Características:
• Punto de referencia arbitrario
• Orientación arbitraria de los ejes
• Desplazamiento a velocidad lineal constante
Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro que se mueva
con aceleración lineal respecto al primero, es no inercial. De igual
forma, cualquier otro que cuyos ejes roten, con velocidad de rotación
constante o variable, respecto del primero, es no inercial.

3. Invariancia de las leyes físicas
La teoría especial de la relatividad, publicada por Einstein, se
fundamenta en dos sencillos postulados:
• Las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia
inerciales.
• La velocidad de la luz es la misma en todos los marcos de referencia inerciales
y es independiente del movimiento de la fuente. 𝑐 = 3𝑥108 𝑚/𝑠

4. Relatividad de la simultaneidad
• El concepto simultaneidad implica la medición de tiempos e
intervalos de tiempo. En un marco de referencia dado, un suceso está
definido por una posición y un tiempo. En general, dos sucesos
simultáneos para un marco de referencia, no lo son para un segundo
marco de referencia que se desplaza respecto al primero, aún siendo
ambos inerciales.

7. Relatividad de los intervalos de
tiempo
Consideremos el siguiente ejemplo:
Como en el caso anterior, un marco de referencia S’ se desplaza a lo
largo de un eje común x-x’ con rapidez constante u con respecto a un
marco S.
Magda, que viaja junto con el marco S’, mide
el intervalo de tiempo entre dos sucesos que
ocurren en el mismo punto del espacio.
∆𝒕𝟎 =
𝟐𝒅
𝒄

8. Sergio observa la misma
pulsación luminosa desde el
marco S, y mide un tiempo Δt
diferente al de Magda. Durante el
tiempo Δt, la fuente se desplaza
con respecto a S una distancia
uΔt.
La distancia recorrida por el haz luminoso en el marco S, está dado por 2l,
donde:
𝑙 = 𝑑2 + (
𝑢Δ𝑡
2
)2
Suponiendo que ambos observadores miden la misma distancia d

9. Luego, la expresión del tiempo para el marco S queda definida por:
∆𝑡 =
2𝑙
𝑐
=
2
𝑐
𝑑2 + (
𝑢Δ𝑡
2
)2
Despejando d, de la ecuación de ∆𝒕𝟎 e introduciéndola en la ecuación
anterior tenemos:
∆𝑡 =
2𝑙
𝑐
=
2
𝑐
(
𝑐Δ𝑡0
2
)2+(
𝑢Δ𝑡
2
)2
Elevando al cuadrado y despejando ∆𝑡, tenemos:
∆𝑡 =
Δ𝑡0
1 −
𝑢2
𝑐2
Puesto que la cantidad 1 −
𝑢2
𝑐2 es menor que 1, ∆𝑡 es mayor que Δ𝑡0, lo que
implica una dilatación del tiempo: de esta manera Sergio mide un tiempo de
viaje de ida y vuelta mayor, para la pulsación luminosa, que Magda

10. Conclusión
Si en un marco de referencia ocurren dos sucesos en un mismo punto
del espacio, el intervalo de tiempo entre estos sucesos, medido por un
observador en reposo en este marco llamado “marco en reposo” es
Δ𝑡0. Un observador en un segundo marco que se desplaza con rapidez
constante 𝑢 respecto al marco en reposo, medirá un intervalo de
tiempo ∆𝑡.
Con lo que podemos definir el tiempo propio para describir el intervalo
de tiempo Δ𝑡0 entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto en un
determinado marco inercial de referencia denominado “marco en
reposo”.

11. Contracción de la longitud
De la misma forma, analizaremos la expresión matemática
correspondiente a la contracción de la longitud, que está dada por:
𝑙 = 𝑙𝑜(1 − 𝑢2
𝑐2)
1
2
Donde 𝑙𝑜 es la longitud medida en el marco en que el cuerpo está en
reposo y recibe el nombre de longitud propia
Como podemos verificar, la cantidad 1 −
𝑢2
𝑐2 es menor que 1, por lo
que podemos concluir que la longitud se contrae

12. Ejercicio de fijación
Un observador ve a una distancia de 1.000 m que se acerca un móvil a
una velocidad de 0,5 c. Calcular:
a) la distancia que mide un segundo observador ubicado en el móvil
b) el tiempo que mide cada observador desde el momento inicial hasta
encontrarse.
Solución:
a) Siendo la longitud propia la medida por el primer observador, por
estar en reposo..
 = 1/(1– 𝑢2/𝑐2)1/2 = 1/[1– (0,5 𝑐)2/𝑐2]1/2;  = 1/0,8 = 1,155
𝑙 = 𝑙0 / 
𝑙 = 1.000 / 1,155
𝑙 = 865,80 𝑚

13. b) Para el primer observador el móvil se acerca a 0,5 c desde una
distancia de 1.000 m
𝑡 = 𝑒 / 𝑣
𝑡 = 1.000 / (0,5 𝑥 3 108)
𝑡 = 6,67𝑥10−6 𝑠𝑒𝑔
Para el segundo observador su posición es la misma en el momento
inicial y cuando se encuentra con el primer observador, por tanto, su
tiempo es Tiempo Propio
𝑡 = γΔ𝑡0
𝑡0 = 𝑡 /γ
𝑡0 = 6,67𝑥10−6 / 1,155
𝑡0 = 5,77𝑥10−6
𝑠𝑒𝑔

14. Aplicaciones Prácticas
La información proveída por los satélites es enviada con una corrección
de tiempo, que es necesaria debido a la dilatación del tiempo.
Los televisores que funcionan con tubos de rayos catódicos, fueron
diseñados teniendo en cuenta la contracción de la longitud en el diseño
de los imanes, que son los encargados de que los electrones cargados
negativamente se dirijan al punto correcto de la pantalla.

15. Ecuaciones
Dilatación del tiempo: ∆𝑡 =
∆𝑡0
1−
𝑢2
𝑐2
= 𝛾∆𝑡0
donde: 𝛾 =
1
1−
𝑢2
𝑐2
u: velocidad relativa entre sistemas de referencia
Contracción de la Longitud: 𝑙 = 𝑙0 1 −
𝑢2
𝑐2
Transformaciones de Lorentz: 𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 𝑢𝑡); 𝑦′ = 𝑦; 𝑧′ = 𝑧; 𝑡′ = 𝛾(𝑡 −
𝑢𝑥
𝑐2 )
𝑉
𝑥
′
=
𝑉𝑥−𝑢
1−𝑢𝑉𝑥/𝑐2; 𝑉
𝑥 =
𝑉𝑥′+𝑢
1+𝑢𝑉𝑥′/𝑐2

16. Ejercicio 1
La longitud de una nave medida por un astronauta que esta dentro de él es
de 3.000m. Dicha nave se mueve en dirección +x a 0.6c respecto a un
observador en la tierra. El piloto situado en la parte delantera de la nave
dispara un proyectil hacia la parte trasera del mismo a 0.8c respecto a la
nave. En la parte trasera de la nave se ubica un astronauta que ve pasar el
proyectil. Calcular:
a) de acuerdo al astronauta que tan rápido se mueve el proyectil
b) de acuerdo al astronauta cuánto tarda el proyectil en llegar a él
c) de acuerdo al observador en la Tierra que distancia tiene la nave
d) de acuerdo al observador en la Tierra que tan rápido se mueve el proyectil
e) de acuerdo al observador en la Tierra cuanto tarda en llegar el proyectil de
la parte delantera a la parte trasera de la nave

17. Ejercicio 2
Un piloto viaja en una nave espacial a una velocidad de 0,6 c respecto a un
observador en la Tierra. Cuando la nave pasa por la Tierra, ambos ajustan
su reloj a las 12:00 pm. Cuando la nave pasa por una estación espacial fija
respecto a la Tierra su reloj indica 12:30 pm. Calcular:
a) que hora indica el reloj del observador
b) la distancia de la Tierra a la estación espacial según el piloto
c) la distancia de la Tierra a la estación espacial según el observador

18. Ejercicio 3
Un rayo cósmico crea una partícula inestable en las capas altas de la
atmosfera. La partícula viaja en línea recta hacia la superficie terrestre con
una rapidez de 0,9954 c con respecto a la Tierra. Las mediciones de un
científico que se halla en reposo en la superficie terrestre le indican que la
partícula se creó a una altura de 45 km. Calcular:
a) medido por el científico, cuanto tiempo tarda la partícula en recorrer los
45 km que la separan de la superficie terrestre
b) la distancia del punto donde se creó la partícula a la superficie terrestre
medida en el marco de la partícula.
c) en el marco de la partícula, cuanto tiempo tarda ésta en viajar del punto
donde se creó a la superficie terrestre

19. Ejercicio 4
Un cazador dispara una bala horizontalmente en dirección noreste, y da
en el blanco sobre un venado a 400 m de distancia. La bala viaja a una
velocidad de 800 m/s. En el instante en que se dispara la bala, una nave
espacial se encuentra directamente sobre del cazador a una altura h de
4 km, viajando hacia el este a una velocidad de 1,8x108 m/s. Cuando la
bala hace blanco con el venado, calcular:
a) las coordenadas “x, y, z, t” desde la posición del cazador
b) las coordenadas “x, y, z, t” desde la posición de un observador en la
nave
c) la velocidad de la bala con respecto al observador en la nave. (utilizar
mínimo 4 decimales)