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1. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Cálculo de Volumen de solidos
de revolución
Aplicaciones de Integrales
definidas

2. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
2
INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólido
enfrentamos el mismo problema que al tratar de
calcular un área.
Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una
definición exacta.
Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos
sencillos como cilindros y prismas.

3. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
3
A
h
Cilindro Recto
V = Ah
r
h
Cilindro circular
V = r2h
a
b
c
Paralelepípedo
Rectangular
V = abc
El volumen de un sólido cualquiera podrá
descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos
elementales como los anteriores

4. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
4
Volumen de un sólido de revolución
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una
región del plano alrededor de una recta del plano
llamada eje de revolución.

5. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
5
Diferencial de
volumen
∆xi
f(xi)
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MÉTODO DEL DISCO
 
  i
i
i x
x
f
V 


2


6. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
6
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y
f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al
girar alrededor del eje X la región limitada por la
curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i i
n
i
b
a
V f x x
f x dx


  
 



7. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
7
Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido generado al rotar
alrededor del eje X la región acotada por la curva
y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

8. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
8
Ejemplo 2:
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al rotar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,
y = 1.
y

9. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
9
3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al
girar la región R, alrededor del eje y.
 













y
x
y
y
x
R
2
0
;
4
1
/
, 2

10. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
10
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región limitada por
la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c,
y = d (c < d), alrededor del eje Y será igual a:
 
 


d
c
dy
y
g
V
2


11. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
11
Método de la arandela
Cuando la región a girar está limitada por dos
funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas
x=a y x=b.
Diferencial de
volumen
f(xi)
g(xi)
xi
 
   
 
  i
i x
x
g
x
f
V 



2
2

a b
x
x
(*)
y= f(x)
y= g(x)

12. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
12
TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales
que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen
del sólido generado al rotar alrededor del eje X la
región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y
x=b será:
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i i
n
i
b
a
V f x g x x
f x g x dx


   
  



13. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
13
Ejemplo 4:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje X la región acotada por la
parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

14. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
14
Ejemplo 5:

15. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
15
Ejemplo 6:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje Y la región limitada por las curvas
x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y

16. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
16
Ejemplo 7:
Halle el volumen del sólido que se obtiene al
girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3,
alrededor del eje y.
Método de los cascarones cilíndricos

17. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
17
Método de los cascarones cilíndricos
En algunos casos se desea calcular el volumen de
una región limitada por una función y = f(x) al
girar alrededor del eje y, para lo cual se deben
hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en
términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es
muy complicado por lo que se usará otro método:
los cascarones cilíndricos.
¿Cómo escogería el
elemento diferencial
de volumen?

18. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
18
xi
xi
f(xi)
Diferencial de
volumen
xi xi
f(xi)
Para espesores lo suficientemente pequeños, el
volumen será igual a:
  i
i
i
i x
x
f
x
V 

 
2

19. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
19

20. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
20
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b].
Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la
región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las
rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el
volumen obtenido será:
 
 dx
x
f
x
x
x
f
x
V
b
a
i
n
i
i
i
x











2
2
lim
1

21. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
21
Ejemplo 8:
Determine el volumen del sólido de revolución
generado al girar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la
recta y = 2.

22. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
22
Ejemplo 9:
La región limitada por la curva y = x2, las rectas
y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3.
Calcule el volumen generado.
y = -3