Este documento describe la congruencia y semejanza de triángulos. Explica que dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. También detalla los tres criterios para determinar si dos triángulos son congruentes: criterio LLL (lado, lado, lado), criterio ALA (ángulo, lado, ángulo) y criterio LAL (lado, ángulo, lado).

1. CONGRUENCA Y SEMEJANZA
DE TRÍANGULOS

2. Figuras semejantes
• Cuando dos polígonos tienen la misma
forma, aunque no tengan las mismas
dimensiones se llaman SEMEJANTES
• Dos polígonos son semejantes si sus
ángulos correspondientes son iguales y sus
lados correspondientes son proporcionales.
• A la razón de proporcionalidad entre los
lados de dos polígonos semejantes, le
llamamos razón de semejanza

3. Triángulos semejantes
• Dos triángulos son semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales y los ángulos
correspondientes iguales
Si comparamos los ángulos y los lados del triángulo original y de la copia se tiene:
· Los ángulos son iguales: A=A’, B=B’ C=C’
· Los lados son proporcionales:a=2a’, b=2b’ c=2c’

4. Criterios de semejanza
Existen tres criterios de semejanza para determinar si un
triángulo es semejante con otro.
Estos son:
• Criterio AA (Ángulo, Ángulo)
• Criterio LAL (Ángulo, Lado, Ángulo)
• Criterio LLL (Lado, Lado, Lado)

5. Criterio AA (ángulo - ángulo)
Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos iguales.
Los dos triángulos de la figura tienen los tres ángulos iguales.
Los dos triángulos de la figura tienen dos ángulos correspondientes
iguales
∠A= ∠𝐀′
∠𝐁= ∠𝐁′
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 △ 𝑨𝑩𝑪 ∼△ 𝑨′ 𝑩′ 𝑪′

6. Ejemplo 1
25
90
25
90
Identificar si los triángulos son
semejantes
Debido a que 2 ángulos correspondientes son iguales,
por lo tanto △ 𝑨𝑩𝑪 ∼△ 𝑨′
𝑩′
𝑪′ por criterio AA
A
B
C
A’
B’
C’

7. Ejemplo 2
Debido a que 2 ángulos correspondientes son iguales
∠𝐴 = ∠𝐽′ 𝑦 ∠𝐶 = ∠𝐷′, por lo tanto △ 𝑨𝑩𝑪 ∼△ 𝑱′ 𝑯′ 𝑫′ por
criterio AA
J’

8. Criterio LAL (lado – ángulo – lado)
• Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre estos dos lados es
congruente, los triángulos son semejantes.
s𝒊,
𝑨𝑪
𝑫𝑭
=
𝑨𝑩
𝑫𝑬
y ∢𝛼 ≅ ∢𝛽
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 △ 𝐴𝐵𝐶 ∼△ 𝐷𝐸𝐹

9. Ejemplo 1
𝐴𝐵
𝐴´𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′ 𝐶′
10
5
=
9
4.5
2= 2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
Y el ángulo congruente se encuentre entre los lados proporcionales
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 △ 𝐴𝐵𝐶 ∼△ 𝐴′
𝐵′
𝐶′ Por criterio LAL

10. 𝑃𝑄
𝐴𝐵
=
𝑃𝑅
𝐴𝐶
6
3
=
10
5
2= 2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
Y el ángulo congruente se encuentre entre los lados
proporcionales
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 △ 𝐴𝐵𝐶 ∼△ 𝑃𝑄𝑅 Por criterio LAL
Ejemplo 2

11. Criterio LLL (lado – lado – lado)
• Dos triángulos son semejantes cuando sus tres lados
son proporcionales, respectivamente.
s𝒊,
𝑨𝑩
𝑫𝑬
=
𝑩𝑪
𝑬𝑭
=
𝑪𝑨
𝑫𝑭
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 △ 𝐴𝐵𝐶 ∼△ 𝐷𝐸𝐹
𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝐿𝐿𝐿

12. Ejemplo 1
𝐵𝐴
𝑄𝑃
=
𝐵𝐶
𝑄𝑅
=
𝐶𝐴
𝑅𝑃
15
5
=
12
4
=
9
3
3= 3 = 3
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 △ 𝐴𝐵𝐶 ∼△ 𝑃𝑄𝑅 Por criterio LLL

13. Ejemplo 2
𝐵𝐴
𝑄𝑃
=
𝐵𝐶
𝑄𝑅
=
𝐶𝐴
𝑅𝑃
15
5
=
12
4
=
9
3
3= 3 = 3
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 △ 𝐴𝐵𝐶 ∼△ 𝑃𝑄𝑅 Por criterio LLL
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

14. Teorema de Tales
• Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma
con los otros dos lados o con sus prolongaciones otro
triángulo que es semejante al triángulo dado.
𝑶𝑩′
𝑶𝑨′
=
𝑶𝑩
𝑶𝑨
=
𝑩′ 𝑩
𝑨′ 𝑨
𝑺𝒊 𝑨′
𝑨 ∥ 𝑩′
𝑩

15. Ejemplo 1
• En la siguiente figura determinar el valor del segmento
𝐵𝐶
El triángulo ∆ABC ≈∆ADE, ∠E =∠C y ∠A = ∠A, por
criterio de AA
𝐴𝐶
𝐴𝐸
=
𝐵𝐶
𝐷𝐸
20
2
=
𝐵𝐶
3 𝐵𝐶 =
20
2
*3=30

16. Ejemplo 2
En la siguiente figura determinar el valor de x
𝐴𝐶
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐵𝐸
Al sustituir los valores 16
12
=
𝐵𝐶
8
El triángulo ∆ABC ≈∆BDE, ∠D =∠A y ∠B = ∠B, por
criterio de AA
𝐵𝐶 =
16
12
∗ 8 = 10.66 𝑦 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐵𝐸 = 8
El valor de x= 𝐵𝐶 − 𝐵𝐸 = 10.66 − 8 = 2.66

17. CONGRUENCIA
DE TRÍANGULOS

18. CONGRUENCIA
• Al observar y comparar figuras geométricas, se
advierte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la
misma forma pero no el mismo tamaño y, en otros,
puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al
comparar dos figuras, si observamos que tienen la
misma forma y la misma medida, decimos que las
figuras son congruentes.

19. Definición
Definición: Sean △ 𝐴𝐵𝐶, △ 𝐴′
𝐵′
𝐶′
𝑦 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑖𝑢𝑛í𝑣𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠.
𝐷𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒
cada para de ángulos correspondientes. En tal caso, se dice que los triángulos son CONGRUENTES
Esto es: 𝐴𝐵 ≅ 𝐴′ 𝐵′, 𝐴𝐶 ≅ 𝐴′ 𝐶´, 𝐵𝐶 ≅ 𝐵′ 𝐶′
𝛼 = 𝛼′
, 𝛽 = 𝛽′
𝑦 𝛾 = 𝛾′ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 △ 𝐴𝐵𝐶 ≅△ 𝐴′
𝐵′
𝐶′

20. El símbolo para denotar congruencia
Para comparar dos triángulos y determinar
si existe congruencia entre ellos, existen
tres criterios, que se describen y
ejemplifican a continuación.

21. Criterios de congruencia de triángulos
Existen tres criterios de congruencia para determinar si un
triángulo es semejante con otro.
Estos son:
• Criterio LLL (Lado, Lado, Lado)
• Criterio ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)
• Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado)

22. Criterio LLL (Lado, Lado, Lado)
• Los siguientes triángulos son congruentes, lo
cual puede comprobarse al medir los lados de
cada triángulo.
A
B C
A’
B
’
C
’
Se denota △ 𝐴𝐵𝐶 ≅△ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
Por el criterio LLL
AB=A’B’, BC=B’C’, AC=A’C’

23. Criterio LLL (Lado, Lado, Lado)
𝑨𝑩 ≅ 𝑫𝑬, 𝑩𝑪 ≅ 𝑬𝑭 , 𝑨𝑪 ≅ 𝑫𝑭
Se denota △ 𝑨𝑩𝑪 ≅△ 𝑫𝑬𝑭
Por el criterio LLL

24. Ejemplo
𝑩𝑨 ≅ 𝑩𝑪, 𝑨𝑫 ≅ 𝑪𝑫 , 𝑫𝑩 ≅ 𝑫𝑩
Se denota △ 𝑩𝑨𝑫 ≅△ 𝑩𝑪𝑫
Por el criterio LLL

25. Criterio ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)
𝑾𝑽 ≅ 𝑱𝑰
Se denota △ 𝑨𝑩𝑪 ≅△ 𝑫𝑬𝑭
Por el criterio ALA
∠𝑾 ≅ ∠𝑱 𝒚 ∠𝑽 ≅ ∠𝑰

26. Ejemplo
𝑨𝑩 ≅ 𝑬𝑭
Se denota △ 𝑨𝑩𝑪 ≅△ 𝑬𝑭𝑫
Por el criterio ALA
∠𝑩 ≅ ∠𝑭 𝒚 ∠𝑨 ≅ ∠𝑬

27. Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado)
𝑨𝑩 ≅ 𝑨′ 𝑩′, 𝑩𝑪 ≅ 𝑩′ 𝑪′
Se denota △ 𝑨𝑩𝑪 ≅△ 𝑫𝑬𝑭
Por el criterio LAL
∠𝑩 ≅ ∠𝑩′

28. Ejemplo
𝑩𝑨 ≅ 𝑪𝑫, 𝑨𝑪 ≅ 𝑨𝑪
Se denota △ 𝑩𝑨𝑪 ≅△ 𝑫𝑪A
Por el criterio LAL
∠𝑩𝑨𝑪 ≅ ∠𝑨𝑪𝑫