persamaaan lingkaran kelas 11 smk

1. DISUSUN OLEH:
ARIYANTO

2. Lingkaran
Persamaan
Lingkaran
Pusat di (0,0) Pusat di (x,y)
Persamaan
Umum
Kedudukan
Kedudukan
Titik
Kedudukan
Garis
Sebagai
Tempat
Kedudukan

4. Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y. Jarak dari O (0, 0) ke P
(x, y) adalah.:
O(0,0)
P(x,y)
r
x
y
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐
Q(x,0) x
y

5. 1. Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan:
a. koordinat titik pusat lingkaran= (0, 0)
b. Jari-jari lingkaran r = 5
c. x2+ y2 = r2
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25

6. Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat
diperoleh dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan
berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0,
0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).
𝑥′
= 𝑥 + 𝑎 → 𝑥 = 𝑥′
− 𝑎
𝑦′
= 𝑦 + 𝑎 → 𝑥 = 𝑦′
− 𝑎
(𝒙 − 𝒂)𝟐+(𝒚 − 𝒃)𝟐= 𝒓𝟐

7. 1) Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan berjari-jari 4!
Pembahasan:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
𝑥 − 3 2
+ 𝑦 − 2 2
= 42
𝑥 − 3 2
+ 𝑦 − 2 2
= 16
∴ Persamaan lingkarannya (K) adalah 𝒙 − 𝟑 𝟐
+ 𝒚 − 𝟐 𝟐
= 𝟏𝟔

8. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P(2,3)
yang melalui Q(5,-1)!
Pembahasan:
• Cari jari-jari (r):
𝑥 − 𝑎 2
+ 𝑦 − 𝑏 2
= 𝑟2
5 − 2 2
+ −1 − 3 2
= 𝑟2
32
+ −4 2
= 𝑟2
9 + 16 = 𝑟2
25 = 𝑟2
𝑟 = 5
Cari persamaan lingkaran (K):
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 52
𝑥 − 2 2
+ 𝑦 − 3 2
= 25
∴ Persamaan lingkarannya (K) adalah
𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝒚 − 𝟑 𝟐 = 𝟐𝟓

9. 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 − 𝑪 = 𝟎
𝐴 = −2𝑎 → 𝒂 = −
𝟏
𝟐
𝑨
𝐵 = −2𝑏 → 𝒃 = −
𝟏
𝟐
𝑩
P (𝑎, 𝑏) = (−
𝟏
𝟐
𝑨, −
𝟏
𝟐
𝑩)

10. 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2
𝑟2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶
𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶
𝑟 = −
1
2
𝐴
2
+ −
1
2
𝐵
2
− 𝐶
𝑟 =
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2 − 𝐶
P (𝑎, 𝑏) = (−
𝟏
𝟐
𝑨, −
𝟏
𝟐
𝑩)
𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2
𝒓 =
𝟏
𝟒
𝑨𝟐 +
𝟏
𝟒
𝑩𝟐 − 𝑪

11. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 – 4x +2y – 20= 0
Pembahasan:
A = -4, B = 2, dan C = -20
Pusat:
−
1
2
𝐴, −
1
2
𝐵 = −
1
2
−4 , −
1
2
2
= (2, −1)
Sehingga,
𝑟 =
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2 − 𝐶
𝑟 =
1
4
−4 2 +
1
4
2 2 − −20
𝑟 =
1
4
16 +
1
4
4 + 20
𝑟 = 4 + 1 + 20
𝑟 = 25
𝑟 = 5
∴ P(2,-1) dan r = 5

13. • Terbagi menjadi 3, yaitu:
• Titik berada di dalam lingkaran
• Titik berada tepat pada garis lingkaran
• Titik berada di luar lingkaran
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 < 𝒓𝟐 atau 𝑲 < 𝟎
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒓𝟐 atau 𝑲 = 𝟎
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 > 𝒓𝟐 atau 𝑲 > 𝟎

14. Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap
lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 25!
a. A(3,1)
b. B(-3,4)
c. C(5,-6)
Pembahasan:
• A(3,1)
𝐾 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝐾 = 32
+ 12
𝐾 = 9 + 1
𝐾 = 10
𝐾 = 10 → 𝐾 < 25, maka titik berada di dalam
lingkaran.
• B(-3,4)
𝐾 = 𝑥2 + 𝑦2
𝐾 = (−3)2
+42
𝐾 = 9 + 16
𝐾 = 25
𝐾 = 25 → 𝐾 = 25, maka titik berada tepat di
garis lingkaran.
• C(5,-6)
𝐾 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝐾 = 52
+ (−6)2
𝐾 = 25 + 36
𝐾 = 61
𝐾 = 61 → 𝐾 > 25, maka titik berada diluar
lingkaran.

15. • Terbagi menjadi 3, yaitu:
• Memotong pada dua titik berbeda
• Memotong pada satu titik (bersinggungan)
• Tidak memotong titik
𝐷 > 0
𝐷 = 0
𝐷 < 0
𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

16. Cari kedudukan garis x + y = 2 terhadap lingkaran melalui persamaan 𝑥2 + 𝑦2 + 2x – 5y +4 = 0
Pembahasan:
• Persamaan garis:
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑦 = 2 − 𝑥
• Masukkan persamaan garis ke persamaan lingkaran:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 − 5𝑦 + 4 = 0
𝑥2 + 2 − 𝑥 2 + 2𝑥 − 5 2 − 𝑥 + 4 = 0
𝑥2
+ 4 − 4𝑥 + 𝑥2
+ 2𝑥 − 10 + 5𝑥 + 4 = 0
2𝑥2
+ 3𝑥 − 2 = 0
• Cari Diskriminan
𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
𝐷 = 32 − 4(2)(−2)
𝐷 = 9 + 16
𝐷 = 25
∴ Kedudukan garis adalah
memotong di dua titik berbeda
(𝑫 > 𝟎)

17. Diberikan sebuah garis −𝑥 + 𝑦 = 3 dan lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 5,
selesaikanlah system persamaan linear kuadrat tersebut.
Kemudian tentukan diskriminannya!
Pembahasan:
• Persamaan garis:
−𝑥 + 𝑦 = 3
𝑦 = 3 + 𝑥
• Masukkan persamaan garis ke persamaan lingkaran:
𝑥2
+ 𝑦2
= 5
𝑥2
+ 3 + 𝑥 2
= 5
𝑥2 + 9 + 6𝑥 + 𝑥2 = 5
2𝑥2 + 6𝑥 + 4 = 0
Diskriminan:
𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝐷 = 62 − 4(2)(4)
𝐷 = 36 − 32
𝐷 = 4
∴ Diskriminannya adalah 4

19. Diketahui titik A(2,0) dan titik B(8,0). Tentukan tempat kedudukan titik P(x,y) yang memenuhi
hubungan PB=2PA!
Pembahasan:
a. Jarak titik P(x,y) ke titik A(2,0)
𝑃𝐴 = 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2
𝑃𝐴 = 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 0 2
𝑃𝐴2
= 𝑥2
− 4𝑥 + 4 + 𝑦2
𝑃𝐴2
= 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 + 4 … (1)
b. Jarak titik P (x,y) ke titik B(8,0)
𝑃𝐵 = 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2
𝑃𝐵 = 𝑥 − 8 2 + 𝑦 − 0 2
𝑃𝐵2
= 𝑥2
− 16𝑥 + 64 + 𝑦2
𝑃𝐵2
= 𝑥2
+ 𝑦2
− 16𝑥 + 64 … (2)

20. 𝑃𝐵 = 2𝑃𝐴
𝑥2 + 𝑦2 − 16𝑥 + 64 = 2 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 4
𝑥2 + 𝑦2 − 16𝑥 + 64
2
= 2 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 4
2
𝑥2
+ 𝑦2
− 16𝑥 + 64 = 4 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 + 4
𝑥2
+ 𝑦2
− 16𝑥 + 64 = 4𝑥2
+ 4𝑦2
− 16𝑥 + 16
𝑥2 + 𝑦2 − 16𝑥 + 64 − 4𝑥2 − 4𝑦2 + 16𝑥 − 16 = 0
−3𝑥2
− 3𝑦2
+ 48 = 0
3𝑥2 + 3𝑦2 − 48 = 0
3𝑥2+3𝑦2−48
3
= 0
𝑥2 + 𝑦2 − 16 = 0
𝑥2 + 𝑦2 = 16
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑥2
+ 𝑦2
= 16
𝑟2
= 16
𝑟 = 16
𝒓 = 𝟒
∴ Kedudukan P(x,y) = P(0,0) dengan r = 4