Texto Física- tema oscilaciones

1. Studocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad.
Oscilaciones FISICA 2 Ingeniero Eltan Lazo UAGRM
Segundo semestre-tecnologia
Fisica Ii (Universidad Autónoma Gabriel René Moreno)
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Oscilaciones FISICA 2 Ingeniero Eltan Lazo UAGRM
Segundo semestre-tecnologia
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2. 1
Docente: Ing. Eltan Lazo Mendieta
“TEXTO GUIA”
FÍSICA II
(FIS102)
Semestre: Segundo
UNIVERSIDAD AUTONOMA GABRIEL RENE
MORENO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
TECNOLOGÍA
Tema: Oscilaciones
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3. 2
OSCILACIONES
Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente con respecto a su posición de
equilibrio.
Movimiento armónico simple
Por definición, decimos que una partícula que se mueve a lo largo del eje x tiene un
movimiento armónico simple cuando su desplazamiento x respecto al origen del sistema
de coordenadas está dado en función del tiempo por la relación:
x = Asen(ωt + α)
Donde:
A: amplitud del movimiento
W: frecuencia angular
t: tiempo
𝛼: 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝜔𝑡 + 𝛼: 𝐹𝑎𝑠𝑒 (á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜)
El periodo del movimiento T es el tiempo que se requiere para efectuar una oscilación,
la unidad del periodo es el segundo [s]
La frecuencia f es el número de oscilaciones por unidad de tiempo
f =
1
𝑇
La unidad de frecuencia es:
f =
1
𝑠
=𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 [𝐻𝑧]
La frecuencia angular w o velocidad angular de una partícula está relacionada con el
periodo y la frecuencia:
ω =
2𝜋
𝑇
ω = 2𝜋𝑓
π/2
A
2π
x(cm)
π t(s
)
A
b´
x=0 x=A
C
θ
θ
L
O
x=-A
b
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4. 3
Velocidad en el movimiento Armónico Simple.
Considere un sistema físico que consiste de un bloque de masa m unida al extremo de
un resorte, con el bloque en libertad de moverse sobre una superficie horizontal sin
fricción. Se sabe por experiencia que tales sistemas oscilan hacia atrás y hacia adelante
si se desplazan de su posición de equilibrio
Cuando el bloque está oscilando se va desplazando de acuerdo a la ecuación
x = Asen(ωt + α)
𝑣=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= Acos(ωt + α) ∙ ω
𝑣 = Aω. cos(ωt + α)
𝑣𝑚𝑎𝑥 = Aω
Otra manera de expresar la velocidad del movimiento armónico simple es utilizando la
identidad trigonométrica: 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 = 1
Despejando coseno: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃
Y remplazando en: 𝑣 = Aωcos(ωt + α)
𝑣 = Aω√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑤𝑡 + 𝛼)
𝑣 = ω√𝐴2(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃(𝑤𝑡 + 𝛼))
𝑣 = ω√𝐴2 − 𝐴2𝑠𝑒𝑛2(𝑤𝑡 + 𝛼)
𝑣 = ω√𝐴2 − (𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + 𝛼))2
𝑣 = ω√𝐴2 − 𝑥2
Aceleración en el movimiento Armónico Simple.
Como la ecuación de la velocidad nos indica que la velocidad varía en función del tiempo
y la distancia, por tanto existe una aceleración:
𝑎=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑣 = Aωcos(ωt + α)
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −Aω ∙ sen(ωt + α) ∙ ω
a = −Aω2
sen(ωt + α)
𝑎𝑚𝑎𝑥 = Aω2
Otra manera de expresar la aceleración del movimiento armónico simple es ordenando la
ecuación:
a = −Aω2
sen(ωt + α)
a = −ω2
Asen(ωt + α)
a = −ω2
x
k F
m
x=-A x=0 x=A
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5. 4
En la gráfica podemos indicar las tres magnitudes: desplazamiento, velocidad y
aceleración
Ejemplo 1
1.- Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su
desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x = 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡 + π
6
). Donde x está en cm y
t en s. En t=0 encuentre:
 el periodo y la amplitud del movimiento
 desplazamiento,
 su velocidad,
 su aceleración.
x = Asen(ωt + α)
x = 5sen(2t +
𝜋
6
)
Por comparación:
A = 5 cm
ω = 2
𝑟𝑎𝑑
𝑠
α =
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑
ω =
2𝜋
𝑇
T =
2𝜋
𝜔
T =
2𝜋𝑟𝑎𝑑
2 𝑟𝑎𝑑
𝑠
T = π s
x = 5sen(2t +
𝜋
6
)
x = 5sen(2.0 +
𝜋
6
)
x = 2,5 cm
𝑣 = Aω. cos(ωt + α)
𝑣 = 5.2. cos(2t +
𝜋
6
)
𝑣 = 10. cos(2.0 +
𝜋
6
)
𝑣 = 8,66
𝑐𝑚
𝑠
𝑎 = −A𝜔2
. sen(ωt + α)
𝑎 = −5. 22
. sen(2t +
𝜋
6
)
𝑎 = −20. sen(2t +
𝜋
6
)
k F
m
x=-A x=0 x=A
𝑣 = 0 𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑣 = 0
𝑎𝑚𝑎𝑥 𝑎 = 0 𝑎𝑚𝑎𝑥
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑡 = 0
𝑇 =?
𝐴 =?
𝑥 =?
𝑣 =?
𝑎 =?
𝑓 =?
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6. 5
𝑎 = −20. sen(2.0 +
𝜋
6
)
𝑎 = −10
𝑐𝑚
𝑠2
Ejemplo 2
Un m.a.s. está representado por la fig. Encontrar el periodo, la máxima elongación, la máxima
aceleración, la fase inicial y la frecuencia
𝑇 = 4 𝑠
𝐴 = 12 𝑐𝑚
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔2
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 12𝑐𝑚(
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)2
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 3𝜋2
𝑐𝑚/𝑠2
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 29,6 𝑐𝑚/𝑠2
ω =
2𝜋
𝑇
ω =
2𝜋𝑟𝑎𝑑
4 𝑠
ω =
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 = 0,25 𝐻𝑧
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
12 = 12𝑠𝑒𝑛(𝜔. 0 + 𝛼)
1 = 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1
𝛼 = 𝑖𝑛𝑣 𝑠𝑒𝑛 1
𝛼 =
𝜋
2
4
A
6
A
2
A
x(cm)
t(s)
12 cm
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑇 =?
𝐴 =?
𝑎𝑚𝑎𝑥 =?
𝛼 =?
𝑓 =?
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7. 6
Ejemplo 3
Un móvil describe un movimiento armónico simple de 20 cm amplitud y 0,25 segundos de periodo.
Escribir la ecuación de su elongación en los casos siguientes:
a) El tiempo empieza a contarse cuando la elongación es nula y el movimiento hacia la derecha.
b) Ídem, cuando la elongación es máxima y positiva
c) Ídem, cuando la elongación es nula y el movimiento hacia la izquierda.
𝑥 = 20𝑠𝑒𝑛(8𝜋𝑡 + 0)
𝑥 = 20𝑠𝑒𝑛(8𝜋𝑡 +
𝜋
2
)
𝑥 = 20𝑠𝑒𝑛(8𝜋𝑡 + 𝜋)
π/2
A
2π
x(cm)
π t(s
)
A
π/2
A
2π
x(cm)
π t(s
)
A
0,25
A
x(cm)
t(s)
20 cm
k F
m
x=-A x=0 x=A
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
𝜔 =
2𝜋
𝑇
𝜔 =
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
0,25 𝑠
𝜔 = 8𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
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8. 7
Fuerza en el movimiento armónico simple
Podemos calcular la fuerza que debe actuar sobre una partícula de masa a fin de que
oscile con movimiento armónico simple. Aplicando la ecuación de movimiento F= ma, y
sustituyendo aceleración, tenemos:
𝐹 = 𝑚𝑎
𝐹 = −𝑘𝑥
−𝑘𝑥 = 𝑚𝑎
−𝑘𝑥 = 𝑚(−ω2
x)
𝑘 = 𝑚ω2
𝜔 = √
𝑘
𝑚
Dónde: k: constante elástica
Esto nos indica que en el movimiento armónico simple la fuerza es proporcional al
desplazamiento, y opuesta a él. Por ello la fuerza está siempre dirigida hacia el origen O.
Este es el punto de equilibrio ya que en el origen F= 0, por ser x= 0. La fuerza dada por
la ecuación F=-Kx es del tipo de fuerza que aparece cuando uno deforma un cuerpo
elástico tal como un resorte. Combinando las ecuaciones anteriores, podemos escribir:
ω =
2𝜋
𝑇
T =
2𝜋
ω
T =
2𝜋
√𝑘
𝑚
T = 2π√
𝑚
𝑘
f =
1
2π
√
𝑘
𝑚
Dónde:
T: Periodo del péndulo
f: Frecuencia
Las últimas ecuaciones expresan el periodo y frecuencia de un movimiento armónico
simple en función de la masa de partícula y la constante elástica.
La energía en un movimiento armónico simple:
La energía cinética de la partícula se puede expresar en función de la velocidad y el
desplazamiento:
𝐸𝑘 =
1
2
𝑚𝑣2
𝑣 = ω√𝐴2 − 𝑥2
𝐸𝑘 =
1
2
𝑚(ω√𝐴2 − 𝑥2)
2
k
x = A
F
x =0
m
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9. 8
𝐸𝑘 =
1
2
𝑚𝜔2(𝐴2
− 𝑥2)
Obsérvese que la energía cinética es máxima en el centro (x=0) y cero en los extremos
de oscilación (x=±A).
La energía potencial la expresamos:
𝐸𝑃 =
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑃 =
1
2
𝑚𝜔2
𝑥2
Por consiguiente la energía potencial es cero en el centro (x=0) y aumenta a medida que
la partícula se aproxima a los extremos de oscilación (x=±A). Sumando las ecuaciones
de energía cinética y potencial, obtenemos la expresión de la energía total del oscilador
armónico simple.
𝐸𝑇 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑃
𝐸𝑇 =
1
2
𝑚𝑣2
+
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑇 =
1
2
𝑚𝜔2(𝐴2
− 𝑥2) +
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑇 =
1
2
𝑘(𝐴2
− 𝑥2) +
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑇 =
1
2
𝑘𝐴2
−
1
2
𝑘𝑥2
+
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑇 =
1
2
𝑘𝐴2
La energía total es constante. Por tanto podemos decir que, durante una oscilación hay
un intercambio continuo de energías potencial y cinéticas. Al alejarse de la posición de
equilibrio, la energía potencial aumenta y la energía cinética disminuye; lo inverso
sucede cuando la partícula se acerca a la posición de equilibrio.
x = A
k F
m
x =0
x = -A
𝐸𝑃𝑚𝑎𝑥 𝐸𝑃 = 0 𝐸𝑃𝑚𝑎𝑥
𝐸𝑘 = 0 𝐸𝑘𝑚𝑎𝑥 𝐸𝑘 = 0
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10. 9
Péndulo Simple.- Un péndulo simple se define como una partícula de masa “m”
suspendida del punto “O” por la cuerda de longitud “L” y masa despreciable (ver figura).
Si la partícula se lleva a la posición b, y luego se suelta, el péndulo oscilara entre b y la
posición simétrica b,
, y finalmente retorna a su posición original.
En el péndulo simple la partícula se mueve en un arco de circulo de radio L=OA, las
fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso mg y la tensión T a lo largo de la
cuerda. En la figura, se observa que la componente tangencia de la fuerza es.
𝐹𝑇 = −mg ∙ senθ
Donde el signo menos se debe se debe a que se opone al desplazamiento s=CA. La
ecuación del movimiento tangencial FT= maT y, como la partícula se mueve a lo largo de
un círculo de radio L, la ecuación del movimiento tangencial es:
𝑚𝑎𝑇 = −mg ∙ senθ
𝑎𝑇 = R ∙ α
𝑠𝑒𝑛𝜃~θ
𝑅𝛼 = −g ∙ θ
𝑙 ∙
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2 = −g ∙ θ
𝑙 ∙
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2 + g ∙ θ = 0
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2 +
𝑔
𝑙
∙ θ = 0
La solución de la ecuación diferencial es:
θ = 𝜃𝑜sen(ωt + α)
ω = √
g
𝑙
ω =
2𝜋
𝑇
T =
2𝜋
ω
T =
2𝜋
√
g
𝑙
T = 2π√
𝑙
𝑔
b|
mgsenθo
mgcosθo
mg
A
C
θo
θ
L
O
T
b
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11. 10
Ejemplo 4
Un péndulo simple de 4 m de longitud oscila con un periodo de 4 segundos. ¿Cuál será la
longitud de otro péndulo que oscila en el mismo lugar de la experiencia con un periodo
de 2 segundos?
Ejemplo 5
El periodo de un péndulo es de 3 s ¿Cuál será su periodo si su longitud a) aumenta b)
disminuye en un 60%?
T = 2π√
𝑙
𝑔
(𝑇)2
= (2π√
𝑙
𝑔
)2
𝑇2
= 4𝜋2 𝑙
𝑔
𝑙 =
𝑇2𝑔
4𝜋2
𝑙 = 2,23 𝑚
𝑙 = 2,23 𝑚 + 0,6 ∗ 2,23𝑚
𝑙 = 3,57𝑚
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
𝑇 = 3,79 𝑠
𝑙 = 2,23 𝑚 − 0,6 ∗ 2,23𝑚
𝑙 = 0,89 𝑚
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
𝑇 = 1,89 𝑠
T = 2π√
𝐿
𝑔
(𝑇)2
= (2π√
𝐿
𝑔
)2
𝑇2
= 4𝜋2𝐿
𝑔
g = 4𝜋2 𝐿
𝑇2
g = 𝜋2𝑚
𝑠2
g = 9,87
𝑚
𝑠2
T = 2π√
𝑙
𝑔
(𝑇)2
= (2π√
𝐿
𝑔
)2
𝑇2
= 4𝜋2𝐿
𝑔
L =
𝑇2g
4𝜋2
L = 1 𝑚
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝐿 = 4 𝑚
𝑇 = 4 𝑠
𝑙 =? 𝑚
𝑇 = 2 𝑠
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑇 = 3 𝑠
𝑙 =?
𝑇 =?
𝑇 =?
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12. 11
Ejemplo 6
Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43,2
N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en
el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda,
determinar:
 Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
 Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial
ω = √
𝑘
𝑚
ω = √ 43,2 𝑁
𝑚
0,300 𝐾𝑔
ω = 12
𝑟𝑎𝑑
𝑠
x = Asen(ωt + α)
10 = 20sen(12.0 + α)
senα =
10
20
𝛼 = 𝑖𝑛𝑣 𝑠𝑒𝑛 (0,5)
α =
𝜋
6
En este caso para completar una media vuelta le falta π/6 y por tanto:
α = π −
𝜋
6
=
5𝜋
6
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
𝑥 = 20𝑠𝑒𝑛(12𝑡 +
5𝜋
6
)
𝑣 = 𝐴ω. cos(ωt + α)
𝑣 = 240. cos(12t +
5𝜋
6
)
𝑎 = −A𝜔2
. sen(ωt + α)
𝑎 = −2880. cos(12t +
5𝜋
6
)
π/2
A
2π
x(cm)
π t(s
)
A
k F
m
x=-A x=0 x=A
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑚 = 300 𝑔
𝑘 = 43,2 𝑁
𝑚
𝐴 = 10 𝑐𝑚
𝑡 = 0 𝑠
𝑥 = 10 𝑐𝑚
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑣 = 𝑓(𝑡)
𝑎 = 𝑓(𝑡)
𝐸𝑘 =?
𝐸𝑝 =?
𝐸𝑇 =?
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13. 12
𝐸𝑘 =
1
2
𝑚𝜔2(𝐴2
− 𝑥2)
𝐸𝑘 =
1
2
. 0,300 𝐾𝑔. (12
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)2((0,20 𝑚)2
− (0,10)2)
𝐸𝑘 = 0,648 𝐽
𝐸𝑃 =
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑃 =
1
2
. 43,2
𝑁
𝑚
. (0,10 𝑚)2
𝐸𝑃 = 0,216 𝐽
𝐸𝑇 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑃
𝐸𝑇 =
1
2
𝑘𝐴2
𝐸𝑇 =
1
2
. 43,2
𝑁
𝑚
. (0,20 𝑚)2
𝐸𝑇 = 0,864 𝐽
Ejemplo 7
Un cubo de 0,5 Kg conectado a un resorte ligero para el cual la constante de fuerza es 20 N/m oscila
sobre una pista horizontal sin fricción.
a) Calcúlese la energía total del sistema y la rapidez máxima del cubo si la amplitud del movimiento
es de 3 cm. Sol. 0,009 J
b) ¿Cuál la velocidad del cubo cuando el desplazamiento es igual a 2 cm? Sol. ±0,141 𝑚/𝑠
c) Calcule la energía cinética y potencial del sistema cuando el desplazamiento es igual a 2 cm. Sol
0,005 J; 0,004 J.
d) ¿Para qué valores de x la rapidez del cubo es de 0,1 m/s? 𝑆𝑜𝑙. ±2,55 𝑐𝑚
𝐸𝑇 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑃
𝐸𝑇 =
1
2
𝑘𝐴2
𝐸𝑇 =
1
2
. 20
𝑁
𝑚
. (0,03 𝑚)2
𝐸𝑇 = 0,009 𝐽
𝑣 = ω√𝐴2 − 𝑥2
𝑣𝑚𝑎𝑥 = ω√𝐴2 − 02
𝑣𝑚𝑎𝑥 = ωA
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 6,32
𝑟𝑎𝑑
𝑠
. 0,03m
k F
m
x=-A x=0 x=A
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑚 = 0,5 𝑘𝑔
𝑘 = 20 𝑁
𝑚
𝐴 = 3 𝑐𝑚
𝐸𝑇 =?
𝑣𝑚𝑎𝑥 =?
𝑥 = 2 𝑐𝑚
𝐸𝑘 =?
𝐸𝑝 =?
𝑥 =?
𝑣 = 0,1 𝑚
𝑠
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14. 13
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 18,96 m/s
ω = √
𝑘
𝑚
ω = 6,32 rad/s
𝑣 = ω√𝐴2 − 𝑥2
𝑣 = 6,32 rad/s√(0,03𝑚)2 − (0,02𝑚)2
𝑣 = ±0,14 m/s
𝐸𝑘 =
1
2
𝑚𝑣2
𝐸𝑘 =
1
2
0,5 𝑘𝑔(0,14 m/s)
2
𝐸𝑘 = 0,0049 𝐽
𝐸𝑝 =
1
2
𝐾𝑥2
𝐸𝑝 =
1
2
20𝑁/𝑚(0,02𝑚)2
𝐸𝑝 = 0,0040 𝐽
𝑣 = ω√𝐴2 − 𝑥2
𝑣2
= (ω√𝐴2 − 𝑥2)2
𝑣2
= 𝜔2
. (𝐴2
− 𝑥2
)
𝑣2
𝜔2 = 𝐴2
− 𝑥2
𝑥2 = 𝐴2
−
𝑣2
𝜔2
𝑥 = √𝐴2 −
𝑣2
𝜔2
𝑥 = ±0,025 𝑚
Ejemplo 8
El chasis de un automóvil de 1200 kg de masa está soportado por cuatro resortes de constante
elástica 20000 N/m cada uno. Si en el coche viajan cuatro personas de 60 kg cada una, hallar la
frecuencia de vibración del automóvil al pasar por un bache. Sol. 1,19 Hz.
𝑚𝑇 = 𝑚1 + 4𝑚2
𝑚𝑇 = 1440 𝑘𝑔
𝑚 =
1440 𝑘𝑔
4
= 360 𝑘𝑔
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑚1 = 1200 𝑘𝑔
𝑘 = 20000 𝑁
𝑚
𝑚2 = 60 𝑘𝑔
𝑛 = 4
𝑓 =?
2
K
x
NR
m
K
x
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15. 14
𝑇 = 0,84 𝑠
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 = 1,19 𝐻𝑧
Ejemplo 9
Un bloque de 200 g está conectado a un resorte ligero de constante de fuerza 5 N/m y puede oscilar
libremente sobre una superficie horizontal sin fricción. Si el bloque se desplaza 5 cm desde el
equilibrio y se suelta a partir del reposo.
a) Exprese el desplazamiento, la rapidez y la aceleración como función del tiempo
Sol. 𝑥 = 5sen(5t + 𝜋
2
); v = 0,25cos(5t + 𝜋
2
); a = −1,25sen(5t + 𝜋
2
)
b) Encuentre el periodo de su movimiento. Sol. 1,26 s
c) Determinar la rapidez máxima del bloque. Sol. 0,25 m/s
d) Cuál es la aceleración máxima del bloque. Sol. 1,25 m/s2
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
𝑤 = √
𝑘
𝑚
𝑤 = 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠
x = 5sen(5t + α)
5 = 5sen(5.0 + α)
1 = senα
α = inv sen(1)
α =
𝜋
2
𝑥 = 5𝑠𝑒𝑛(5𝑡 +
𝜋
2
)
𝑣 = 𝐴𝑤𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛼)
𝑣 = 5.5𝑠𝑒𝑛(5𝑡 +
𝜋
2
)
𝑣 = 25𝑠𝑒𝑛 (5𝑡 +
𝜋
2
) [
𝑐𝑚
𝑠
]
𝑎 = −𝐴𝜔2
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
𝑎 = −5. 52
𝑠𝑒𝑛(5𝑡 + 𝛼)
𝑎 = −125𝑠𝑒𝑛(5𝑡 +
𝜋
2
)[
𝑐𝑚
𝑠2
]
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
𝑇 = 1,25 𝑠
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝑤
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 0,05𝑚.
5𝑟𝑎𝑑
𝑠
= 0,25𝑚/𝑠
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔2
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 1,25 𝑚/𝑠2
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑚 = 200 𝑔
𝑘 = 5 𝑁/𝑚
𝐴 = 5 𝑐𝑚
𝑥 =?
𝑣 =?
𝑎 =?
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16. 15
Ejemplo 10
Un resorte se extiende 4 cm cuando cuelga de él una masa de 10 g, si una masa de 25 g unida a
este resorte oscila con m.a.s, calcule el periodo del movimiento.
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝐹 − 𝑚𝑔 = 0
𝐹 = 𝑚𝑔
𝐹 = 𝑘𝑥
𝑚𝑔 = 𝑘𝑥
𝑘 =
𝑚𝑔
𝑥
𝑘 =
0,01 𝑘𝑔∗9,8 𝑚/𝑠2
0,04 𝑚
𝑘 = 2,45
𝑁
𝑚
𝑚 = 10𝑔 + 25𝑔 = 35𝑔
𝑚 = 0,035𝑘𝑔
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
𝑇 = 0,75 𝑠
x = Asen(ωt + α)
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑚1 = 10 𝑔
𝑥 = 4𝑐𝑚
𝑚2 = 25 𝑔
𝑇 =?
π/2
A
2π
x(cm)
π t(s
)
A
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17. 16
Ejemplo 11
Se cuelga una masa de 100 gramos de un resorte cuya constante elástica es k = 10 N/m, se la
desplaza luego 10 cm hacia debajo de su posición de equilibrio y se la deja luego en libertad para
que pueda oscilar libremente. Calcular:
a) El periodo del movimiento.
b) La ecuación del movimiento.
c) La velocidad y la aceleración máxima.
d) La aceleración cuando la masa se encuentra 4 cm por encima de la posición de equilibrio.
e) Su energía cinética y potencial elástica en ese punto.
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
𝑇 = 1,98 𝑠
𝜔 = √
𝑘
𝑚
𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠
x = Asen(ωt + α)
x = 10sen(10t +
3𝜋
2
)
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝑤
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 10 𝑐𝑚. 10
𝑟𝑎𝑑
𝑠
= 100 𝑐𝑚/𝑠
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔2
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 10𝑐𝑚(10
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)2
𝑚/𝑠2
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 1000𝑐𝑚/𝑠2
𝑣 = ω√𝐴2 − 𝑥2
𝑣 = 10 rad/s√(0,10𝑚)2 − (0,04𝑚)2
𝑣 = 0,92 m/s
𝐸𝑘 =
1
2
𝑚𝑣2
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑚 = 100 𝑔
𝑘 = 10 𝑁/𝑚
𝐴 = 10 𝑐𝑚
𝑇 =?
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑣𝑚𝑎𝑥 =?
𝑎𝑚𝑎𝑥 =?
𝑎 =?
𝑥 = 4 𝑐𝑚
𝐸𝑘 =?
𝐸𝑝 =?
𝑥 =?
𝑣 = 0,1
𝑚
𝑠
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18. 17
𝐸𝑘 =
1
2
0,100 𝑘𝑔(0,92 m/s)
2
𝐸𝑘 = 0,04 𝐽
𝐸𝑝 =
1
2
𝐾𝑥2
𝐸𝑝 =
1
2
10𝑁/𝑚(0,04𝑚)2
𝐸𝑝 = 0,008 𝐽
𝐸𝑇 =
1
2
𝐾𝐴2
𝐸𝑇 = 0,05 𝐽
Ejemplo 12
Se cuelga de un resorte un cuerpo de 500 gramos de masa y se estira luego hacia abajo 20 cm,
dejándolo oscilar a continuación. Se observa que en estas condiciones el periodo de oscilación es de
2 segundos.
a) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo cuando pasa por la posición de equilibrio?
b) Si se suelta el cuerpo del resorte, ¿cuánto se acortará este?
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝑤
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 62,83 𝑐𝑚/𝑠
𝜔 =
2𝜋
𝑇
𝜔 =
2𝜋𝑟𝑎𝑑
2 𝑠
𝜔 = 𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝐹 = 𝐾𝑥
𝑚𝑔 = 𝐾𝑥
𝑥 =
𝑚𝑔
𝑘
𝑥 = 0,99 𝑚
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
𝑘 =
4𝜋2.𝑚
𝑇2
𝑘 = 4,93
𝑁
𝑚
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑚 = 500 𝑔
𝐴 = 20 𝑐𝑚
𝑇 = 2 𝑠
𝑣𝑚𝑎𝑥 =?
𝑥 =?
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19. 18
Superposición de dos movimientos armónicos simples: Igual dirección
frecuencia
El desplazamiento de una partícula que se mueve con mas puede también considerarse
como la componente en x de un vector rotante A, que gira alrededor del origen o en
sentido contrario a las agujas de un reloj con velocidad angular w y formando en cada
instante un ángulo (wt +α) con el eje negativo de las y
𝐴𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
Consideraremos ahora la superposición de dos movimientos armónicos simples que un
desplazamiento de la partícula a lo largo de la misma línea. El desplazamiento de la
partícula producido por cada movimiento armónico simple está dado por:
𝑥1 = 𝐴1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼1)
𝑥2 = 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼2)
El desplazamiento resultante de la partícula está dado por
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
∑ 𝐴𝑥 = 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥
∑ 𝐴𝑌 = 𝐴1𝑠𝑒𝑛𝛼1 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝛼2
∑ 𝐴𝑌 = 𝐴1𝑦 + 𝐴2𝑦
∑ 𝐴𝑌 = 𝐴1𝑐𝑜𝑠𝛼1 + 𝐴2𝑐𝑜𝑠𝛼2
𝐴2𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴2𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴2
⃗⃗⃗⃗
𝛼2
𝛼1
𝐴1𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦
𝑥
𝐴1
⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑥
⃗⃗⃗⃗
𝜔𝑡 + 𝛼
𝐴𝑦
⃗⃗⃗⃗
𝑦
𝑥
𝐴
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20. 19
𝐴 = √(∑ 𝐴𝑥)2 + (∑ 𝐴𝑦)
2
𝐴 = √( )2 + ( )2
𝐴 =
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
∑ 𝐴𝑥
∑ 𝐴𝑦
𝛼 = 𝑖𝑛𝑣 tan(
∑𝐴𝑥
∑𝐴𝑦
)
𝛼 = 𝑖𝑛𝑣 tan()
𝛼 = ° ´ "
Ejemplo: Encontrar la ecuación del movimiento que resulta de la superposición de dos
movimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son:
𝑥1 = 𝐴1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 +
𝜋
3
)
𝑥2 = 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 +
𝜋
2
)
con A1 = 2m y A2 = 3m. Hacer un gráfico de cada movimiento y del movimiento
resultante. Representar sus respectivos fasores.
∑ 𝐴𝑥 = 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥
∑ 𝐴𝑌 = 𝐴1𝑠𝑒𝑛𝛼1 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝛼2
∑ 𝐴𝑌 = 2 𝑐𝑚. 𝑠𝑒𝑛𝜋
3
+ 3𝑐𝑚. 𝑠𝑒𝑛𝜋
2
∑ 𝐴𝑌 = 4,73 𝑐𝑚
∑ 𝐴𝑌 = 𝐴1𝑦 + 𝐴2𝑦
∑ 𝐴𝑌 = 𝐴1𝑐𝑜𝑠𝛼1 + 𝐴2𝑐𝑜𝑠𝛼2
∑ 𝐴𝑌 = 2 𝑐𝑚. 𝑐𝑜𝑠𝜋
3
+ 3𝑐𝑚. 𝑐𝑜𝑠𝜋
2
∑ 𝐴𝑌 = 1 cm
∑ 𝐴𝑥
⃗⃗⃗⃗
𝛼
∑ 𝐴𝑦
⃗⃗⃗⃗
𝑦
𝑥
𝐴
𝐴2𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴2𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴2
⃗⃗⃗⃗
𝛼2
𝛼1
𝐴1𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦
𝑥
𝐴1
⃗⃗⃗⃗
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21. 20
𝐴 = √(∑ 𝐴𝑥)2 + (∑ 𝐴𝑦)
2
𝐴 = √(4,73 𝑐𝑚)2 + (1 𝑐𝑚)2
𝐴 = 4,83 𝑐𝑚
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
∑ 𝐴𝑥
∑ 𝐴𝑦
𝛼 = 𝑖𝑛𝑣 tan(
∑𝐴𝑥
∑𝐴𝑦
)
𝛼 = 𝑖𝑛𝑣 tan( )
𝛼 = 1,36 𝑟𝑎𝑑
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼)
BIBLIOGRAFIA
o Sears Zemansky - Young Freedman. Volumen I : FÍSICA UNIVERSITARIA PEARSON
EDUCACIÓN, Mexico. 2004 (pag. 242-243)
o Serway – Beichner. Tomo I : FISICA PARA CIENCIAS INGENIERÍA Editorial McGraw-Hill
Mexico 2001 (pag.218-219)
o H Holliday – Resnick: FISICA, Editorial CECSA México 1985
o Física Volumen I: Mecánica (Alonso Marcelo - J. Finn Edward)
o Schaum – Bueche: TEORIA Y PROBLEMAS DE FÍSICA Editorial Mc Graw-Hill
o https://www.walter-fendt.de/
∑ 𝐴𝑥
⃗⃗⃗⃗
𝛼
∑ 𝐴𝑦
⃗⃗⃗⃗
𝑦
𝑥
𝐴
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