Conjunto de numeros naturales y enteros

1. EL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS NATURALES

2. • SIEMPRE EL HOMBRE HA TENIDO NECESIDAD DE CONTAR. LOS SÍMBOLOS QUE
USAMOS ACTUALMENTE PARA CONTAR SE ORIGINAR HACE MUCHOS SIGLOS
SUFRIENDO MODIFICACIONES EN SU FORMA HASTA COMO LOS CONOCEMOS
ACTUALMENTE.
• LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE UTILIZAMOS EN LA VIDA COTIDIANA
PARA CONTAR U ORDENAR.
• EL CONJUNTO FORMADO POR ESTOS NÚMEROS LOS ESCRIBIMOS ASÍ:
𝑁 = {0,1,2,3,4,5 … 𝑁 = {𝑥
𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙}

3. • CUANDO SE QUIERE EXPRESAR UNA CANTIDAD DE CIERTOS OBJETOS SE
CONSIDERA EL NÚMERO NATURAL AL CUAL EQUIVALE DICHA CANTIDAD. SE
DICE ENTONCES QUE LOS NÚMEROS NATURALES SE USAN COMO NÚMEROS
CARDINALES.
• CUANDO SE REQUIERE ORDENAR COSAS O CONOCER LA POSICIÓN DE CIERTO
ELEMENTO EN UN CONJUNTO QUE LLEVA UN ORDEN, ES DECIR, CUANDO SE
QUIERE SABER QUÉ OBJETO VA PRIMERO, CUÁL VA SEGUNDO LUGAR, CUÁL ES
TERCERO ETC. EN ESTE CASO, LOS NÚMEROS NATURALES RECIBEN EL NOMBRE
DE NÚMEROS ORDINALES.

4. • ESCRIBA CON PALABRAS LOS SIGUIENTES NÚMEROS NATURALES:
90040
198 568 937
3 000 005
• ESCRIBA CON NÚMEROS LOS SIGUIENTES NÚMEROS NATURALES:
MIL VEINTITRÉS.
OCHO MIL TRESCIENTOS CUARENTA Y DOS
• DETERMINE EN CADA ORACIÓN SI LOS NÚMEROS SUBRAYADOS SE EMPLEAN COMO
CARDINALES U ORDINALES:
EN LA UNIVERSIDAD, MI SALÓN ES EL NÚMERO UNO.
FALTAN 95 DÍAS PARA QUE ACABE EL AÑO.
NECESITO Q.8 550 PARA COMPRARME UNA COMPUTADORA PORTÁTIL.

5. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES:
• EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ES CERRADO BAJO LAS OPERACIONES
DE SUMA Y MULTIPLICACIÓN.
• PROPIEDAD DEL NEUTRO ADITIVO: A+0= A PARA CADA NUMERO NATRAL A.
• PROPIEDAD DEL NEUTRO MULTIPLICATIVO: B∙1=B
• PROPIEDAD CONMUTATIVA: A+B=B+A Y A∙B=B∙A
• PROPIEDAD ASOCIATIVA: A+(B+C)=(A+B)+C Y A(B∙ 𝑐) = (A∙ 𝑏)C
• PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: A(B+C)=(AB+AC).

6. DIVISORES COMUNES DE DOS NÚMEROS:
• ENCUENTRE LOS DIVISORES COMUNES DE 30 Y 50.
• 1. OBTENER LOS FACTORES PRIMOS DE AMBOS NÚMEROS.

7. MÚLTIPLOS EN COMÚN

8. MÚLTIPLOS EN COMÚN
• ENCUENTRE LOS MÚLTIPLOS EN COMÚN DE 30 Y 50.

9. EJERCICIOS:
• DETERMINE LOS DIVISORES EN COMÚN DE CADA PAREJA DE NÚMEROS
• 25 Y 24
• 50 Y 100
• 24 Y 40
• ENCUENTRE LOS MÚLTIPLOS EN COMÚN DE CADA PAREJA DE NÚMEROS
• 12 Y 15
• 4 Y 9
• 26 Y 36

10. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS, Z.
• LOS NÚMEROS NATURALES FUERON INSUFICIENTES PARA EXPRESAR NUMÉRICAMENTE SITUACIONES
OPUESTAS COMO:
• A) CAMINAR 50 M HACIA LA DERECHA --- CAMINAR 50 M HACIA LA IZQUIERDA.
• B) SUBIR 8 ESCALONES --- BAJAR 8 ESCALONES
• C) GANÉ Q.7.00 --- PERDÍ Q. 7.00
TAMPOCO DAN SOLUCIÓN A LA SUSTRACCIÓN DE DOS NÚMEROS NATURALES CUANDO EL MINUENDO
ES MENOR QUE EL SUSTRAENDO, POR EJEMPLO: 9 – 14= ?
NO EXISTE NUMERO NATURAL QUE SUMADO CON 14 SEA IGUAL A 9.

11. NÚMERO ENTEROS:
• ESTA FORMADO POR LOS NÚMEROS NATURALES MAYORES
A CERO, SUS OPUESTOS Y TAMBIÉN EL CERO, AL CERO LE
LLAMAMOS ORIGEN.
𝑍 = {… , −5, −4, −3, −2, −1. 0, 1, 2, 3, 4, 5, … ]

12. RECTA NUMÉRICA: LOCALIZAR EN LA RECTA
NUMÉRICA LOS NÚMEROS ENTEROS DESDE -5
HASTA +5

13. VALOR ABSOLUTO
• SIENDO EL VALOR ABSOLUTO LA DISTANCIA
DESDE CERO A UN NUMERO, LOS OPUESTOS
TIENEN EL MISMO VALOR ABSOLUTO.
• COMO UNA DISTANCIA NUNCA PUEDE SER
NEGATIVA, EL VALOR ABSOLUTO SIEMPRE ES
POSITIVO.

14. CARACTERÍSTICAS:
• NO TIENE NI PRIMER NI ÚLTIMO ELEMENTO
• CUALQUIER ENTERO NEGATIVO ES MENOR QUE
CERO.
• CUALQUIER ENTERO POSITIVO ES MAYOR QUE
CERO.
• UN ENTERO POSITIVO Y SU OPUESTO TIENEN EL
MISMO VALOR ABSOLUTO.

15. EJERCICIOS:
• CLASIFIQUE LAS CANTIDADES SIGUIENTES COMO ENTEROS POSITIVOS, ENTEROS NEGATIVOS O
CERO Y ESCRIBA EL NÚMERO.
• A) LA ALTURA DEL MONTE EVEREST ES DE 8,850 M SOBRE EL NIVEL DEL MAR
• _______________________________
• B) EL MAR MUERTO ESTÁ A 1,312 PIES BAJO EL NIVEL DEL MAR
• ___________________________
• C) EL NIVEL DEL MAR
• _____________________________

16. 2.) ESCRIBA LOS OPUESTOS DE:
• +4:___________ -10:_____________93:__________-51:__________
3.) ORDENE DE MENOR A MAYOR LOS ENTEROS:
• -9,+5,-1,0,+3, Y -6
• 4) LOS NÚMEROS ORDENADOS EN EL EJERCICIO ANTERIOR IDENTIFÍQUELOS EN UNA RECTA
NUMÉRICA.

17. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
• ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN:
• PROCEDIMIENTO PARA SUMAR ENTEROS:
• SI DOS SUMANDOS TIENEN EL MISMO SIGNO SUMAMOS SUS VALORES
ABSOLUTOS Y COPIAMOS EL SIGNO, Y, SI TIENEN DIFERENTE SIGNO, RESTAMOS
SUS VALORES ABSOLUTOS Y COPIAMOS EL SIGNO DEL DE MAYOR VALOR
ABSOLUTO.
• CUANDO TENEMOS VARIOS SUMANDOS COMBINAMOS LAS DOS REGLAS
• EJEMPLOS.

18. • PROCEDIMIENTO PARA RESTAR ENTEROS:
• CONVERTIMOS LA SUSTRACCIÓN EN UNA ADICIÓN SUMANDO AL
MINUENDO LO OPUESTO DEL SUSTRAENDO, LO QUE EQUIVALE A
CAMBIAR A ÉSTE DE SIGNO.
• EJEMPLOS:

19. DEDUCCIÓN DE LAS REGLAS:
• SI UN PARÉNTESIS ESTÁ PRECEDIDO DEL SIGNO MÁS, AL ELIMINARLO EL NUMERO
O LOS NÚMEROS QUE ESTÁN ADENTRO SE QUEDAN CON EL MISMO SIGNO. SI
ESTÁ PRECEDIDO DEL SIGNO MENOS ENTONCES EL NUMERO O LOS NÚMEROS QUE
ESTÁN ADENTRO CAMBIAN DE SIGNO.
• EJEMPLOS:
HALLAR EL RESULTADO DE:
• (-8+4-6)+(15+12-16)-(+23-31)
• (-18+12)+(+4-5+7)-(-10+16)
• -(-20+13+16)+{-20-[+18+(-12-24)]}

20. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
• PROCEDIMIENTO PARA MULTIPLICAR: PRIMERO MULTIPLICAMOS LOS SIGNOS Y
DESPUÉS LOS VALORES ABSOLUTOS DE LOS FACTORES. PARA MULTIPLICAR LOS
SIGNOS OPERAMOS ASÍ.
• (+) (+) = + (+) (-)= -
• (-) (-) = + (-) (+)= -
• EJEMPLOS:
• (-5)(-2) (-20)(-10)(-2)= (-3)(4)(-2)(-5)=

21. PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR
• OPERAMOS LOS SIGNOS APLICANDO LAS MISMAS REGLAS DE LA
MULTIPLICACIÓN Y, LUEGO, DIVIDIMOS EL VALOR ABSOLUTO DEL DIVIDENDO
ENTRE EL VALOR ABSOLUTO DEL DIVISOR.
• HALLAR EL RESULTADO: (-24)(-15)(-40)
(-72)(+8)

22. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
• EL ORDEN A SEGUIR EN UNA OPERACIÓN DONDE TENEMOS SÍMBOLOS DE
AGRUPACIÓN, EXPONENTES, SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES
ES EL SIGUIENTE:
• A) PRIMERO, ATENDEMOS LAS OPERACIONES QUE APARECEN DENTRO DE LOS
SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN.
• B)LUEGO, EVALUAMOS LOS EXPONENTES.
• C) DESPUÉS, EFECTUAMOS LAS MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES.
• D) POR ÚLTIMO, EFECTUAMOS LAS SUMAS Y RESTAS.

23. EJEMPLOS
• 1.( - 3 + 6 - 9 + 8 ) – ( - 4 - 7 + 11 – 23 )
• 2. ( -5 ) ( - 2 ) + 4 ( -50 + 36) / 8
• 3. ( -5)³ +
−123
3
40
−8
• 4. −5 −6 + 35 − 42 + 2(−18)
• 5. 9 24 ÷ 7 − 3 + 2 − (19 − 4) ÷ 5

24. NÚMEROS RACIONALES
• SURGIERON PARA EXPRESAR CON EXACTITUD PARTES INCOMPLETAS DE LA
UNIDAD Y LOS ESCRIBIMOS COMO LA RAZÓN DE DOS ENTEROS: A/B. EL
CONJUNTO DE LOS RACIONALES LOS DEFINIMOS ASÍ:
• 𝑄 = {𝑎
𝑏 ∋ 𝑎&𝑏 ∈ 𝑍&𝑏 ≠ 0}

25. CONTENCIÓN DE Z EN Q
• CUALQUIER ENTERO PODEMOS EXPRESARLO EN FORMA DE RACIONAL
PONIÉNDOLE COMO DENOMINADOR EL 1, POR EJEMPLO:
• 5 = 5/1 - 10 =
−10
1

26. RECTA NUMÉRICA