modulo matematica

1. CONTENIDOS
BÁSICOS DE
LÓGICA-MATEMÁTICA

2. ÁREA Y PERÍMETRO
El perímetro y el área son dos elementos fundamentales en matemática. Para ayudarte a
cuantificar el espacio físico y también para proveer las bases de matemáticas más
avanzadas como en el álgebra, la trigonometría, y el cálculo.
Perímetro
El perímetro de una figura plana es la distancia alrededor de la figura. Puedes imaginar una cuerda
siguiendo los lados de la figura. La longitud de la cuerda será el perímetro. O caminar alrededor de
un parque, caminas la distancia del perímetro del parque. Algunas personas encuentran útil
pensar “peri-metro” donde peri es “periferia” y metro es “medida”.
Si la figura es un polígono, entonces puedes sumar todas las longitudes de sus lados para
encontrar el perímetro. Ten cuidado de asegurarte que todas las longitudes están medidas en las
mismas unidades. Medimos el perímetro en unidades lineales, que representan una sola
dimensión. Ejemplos de unidades de medida de longitud son pulgadas, centímetros, o pies.
Por ejemplo:
El perímetro de es: P= 5cm+6cm+5cm+6cm=22cm
Esto significa que una cuerda envuelta alrededor del polígono y que
recorre toda la distancia, medirá 22 centímetros de largo.

3. Área
El área de una figura de dos dimensiones describe la cantidad de superficie que cubre la figura.
Medimos el área en unidades cuadradas de un tamaño fijo. Ejemplos de unidades cuadradas son
pulgadas cuadradas, centímetros cuadrados, o millas cuadradas.
Por ejemplo:
El área de: es:

4. Área del círculo
El rea de un r ulo es la superfi ie que o upa. ara hallarla es om n utilizar la siguiente
f rmula r siendo el n mero pi utilizado en mu hos asos omo y r el radio de la
circunferencia.
Teorema de Pitágoras
En todo tri ngulo re t ngulo de atetos a y b e hipotenusa h el lado opuesto al ngulo
recto), el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
Recordemos que:
 el tri ngulo es rectángulo porque tiene un ngulo re to es de ir un ngulo de
grados.
 la hipotenusa es el lado opuesto al ngulo re to
 las ltimas f rmulas anteriores se o tienen de la primera.

5. Situaciones problemáticas
1) ¿Cuál es el área sombreada en la siguiente figura?
Se puede observar un círculo dentro de un cuadrado de L=9cm
El Área del cuadrado será
El Área del círculo será , como vemos en el dibujo el
diámetro del círculo es 9cm, por ende su radio será 4,5cm. Por lo
tanto:
El área sombreada será la resta entre el área del cuadrado y el área del circulo:
2) Hallar el perímetro de la siguiente figura plana:
Podemos observar que el lado EF=6cm y el lado AB=4cm, por lo que el lado CD=6cm-
4cm=2cm. Por otro lado, el lado AF=5cm y el lado BC=3cm, por lo que el lado DE=5cm-
3cm=2cm.
Visto que contamos con las medidas de todos los lados podemos sumarlos para hallar
finalmente el perímetro de la figura.
P=4cm+3cm+2cm+2cm+6cm+5cm=22cm
Ejercicios
1) Hallar el perímetro de cada una de las siguientes figuras planas:
a)
b)

6. c)
d)
2) Hallar el área de la siguiente figura plana
3) Hallar el área sombreada de la siguiente figura:
4) Sabiendo que el área del cuadrado es , hallar el área sombreada.

7. LENGUAJE COLOQUIAL. LENGUAJE SIMBÓLICO
La gente en la vida cotidiana tiende a no pensar problemas reales en términos matemáticos. Usan
el lenguaje común para describir estas situaciones. Pero las palabras se pueden traducir en el
lenguaje de las matemáticas.
Lenguaje coloquial
Es el que usamos normalmente, que puede ser oral o escrito, y está formado por las distintas
palabras del idioma.
Lenguaje simbólico
Se denomina así a las ideas matemáticas expresadas con un símbolo o grupo de símbolos.
En matemática constantemente pasamos del lenguaje simbólico al coloquial y viceversa, puesto
que esto permite el planteamiento y la resolución de distintas situaciones problemáticas.
Algunos ejemplos sencillos de conversiones de un lenguaje a otro son:
Importante
· Para expresiones en lenguaje simbólico aquí utilizaremos la letra x (que es la más frecuente),
aunque es indistinto usar cualquier otra letra.
· Si entre un número y una letra no se indica la operación, se entiende que hay un signo de
multiplicar. Ejemplo: 4x = 4.x.
Ejemplos
· asamos la expresi n oloquial “el do le de un n mero disminuido en uno” a expresi n
simbólica: 2x - 1.

8. · Pasamos la expresión simbólica 4x + (4x + ) a expresi n oloquial “el u druplo de un número
mas el consecutivo de este último.
Ejercicios
1) Unir con flechas según corresponda.
A un número le quitamos cinco x-5
El doble de un número 2x + 3
El cuadrado de un número 5x
El quíntuplo de un número 2x
La suma de un número y su cuadrado x²
El doble del siguiente de un número x + x²
La suma entre el doble de un número y tres 2.(x + 1)
2) Unir con una flecha cada oración con su expresión simbólica.
3) Indicar simbólicamente, llamando x al número desconocido:
a) La suma entre un número y seis: ……………………….
b) La diferencia entre ocho y un número: …………………
c) Un número disminuido en catorce: ……………………..
d) El séxtuplo de un número: ……………………………...
e) Nueve unidades menos que un número: ………………..
f) El doble de, un número aumentado en once: …………...
g) El doble de un número aumentado en once: …………...
h) El doble de un número más uno: ………………………
i) El quíntuplo de un número menos tres: ………………...
j) El producto de un número y su consecutivo: …………...
k) Un número entero impar: ………………………………
4) Completar la tabla

9. Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
El triple del siguiente de un número
2x + 1
El doble del anterior de un número
5) Si 2x es la expresión simbólica de un número par, ¿cómo se escribe simbólicamente su par
consecutivo?

10. PORCENTAJE
En matemática, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100
por iento que signifi a “de ada ”). Es a menudo denotado utilizando el signo por entaje %,
que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de
separación. Por ejemplo: "treinta y tres por ciento" se representa mediante 33% y significa 'treinta
y tres de cada cien'.
Un porcentaje es una fracción que tiene como denominador 100.
Cálculo de porcentajes
Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica el número del porcentaje por la cantidad
y se divide por cien.
Veamos un ejemplo dónde calcularemos el porcentaje de un número:
Porcentajes como aumentos y descuentos
Los porcentajes se utilizan con frecuencia para indicar que una cantidad aumenta o crece.
Ejemplos
1) La temperatura media anual en una determinada localidad es de 20°C. Si la media aumenta un
2%, ¿cuántos grados aumentaría la temperatura media?
Los 20 grados son el 100%. Calculamos el 2%:
Un incremento del 2% en la temperatura sería un aumento de 0.4°C.
Esto significa que la temperatura media sería de 20.4ºC, que es el 102ºC de la temperatura media
actual.

11. 2) La población de una ciudad pasó de 10 millones de habitantes a 9 millones en tan solo un año.
¿Qué porcentaje de decrecimiento poblacional hubo?
El número de habitantes inicial es el 100%. Como el decrecimiento fue de 1 millón, calculamos el
porcentaje que representa esta cifra sobre el total:
Aplicamos regala de 3:
Hubo un decrecimiento del 10%.
Ejercicios
1) El número de habitantes de una localidad se redujo en 2500 habitantes, lo que supuso una
caída del 25%. ¿Cuántos habitantes había antes y después de esta caída?
2) La puntuación de Diego en un videojuego empezó siendo de 1400 puntos. El primer mes,
bajó la puntuación un 5%. El segundo, bajó un 10%. ¿Qué puntuación tiene Diego
actualmente? ¿Qué porcentaje ha disminuido en total su puntuación?
3) Daniel ten a € en su uenta y en dos meses onsiguió ahorrar otro 55% del dinero que
ya tenía. ¿Cuánto dinero ahorró en los dos meses?
4) El número de libros de Joana este año es un 35% superior al del año anterior. Si ahora tiene
810 libros, ¿cuántos libros tenía Joana el año pasado?
5) En 2010, el precio de la vivienda subió un 10%. En 2011, subió un 5%. ¿Cuál era el precio de
una vivienda en si en era de 8 €? ¿Su i el pre io un 5% en estos dos años?
¿Por qué?

12. PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un
número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.
Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente valor de la primera
magnitud, se obtiene siempre el mismo valor (constante). A esta constante se le llama razón de
proporcionalidad directa.
Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa se puede utilizar:
 La razón de proporcionalidad.
 Una regla de tres.
 El método de reducción a la unidad.
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un
número, la otra queda dividida o multiplicada por ese mismo número.
Al multiplicar cualquier valor de la primera magnitud por su correspondiente valor de la segunda
magnitud, se obtiene siempre el mismo valor. A este valor constante se le llama constante de
proporcionalidad inversa.
Para resolver un ejercicio de proporcionalidad inversa se puede utilizar:
 La razón de proporcionalidad.
 Una regla de tres.
 El método de reducción a la unidad.
Ejemplos de cantidades directamente proporcionales:
1) El peso de un producto y su precio son dos magnitudes directamente proporcionales.
Observemos que si 1kg de tomates cuesta 1, entonces:
 2kg de tomates costará 2
 0.5 kg de tomates costará 0.5 (50 centavos)
Es decir, por más kilogramos de tomate se pagarán más euros. Asimismo, por menos kilogramos
de tomate se pagará menos euros. Notemos, además, que dividir el peso entre el precio siempre
nos da 1 como cociente.
2) Otros ejemplos de magnitudes directamente proporcionales son:
 La distancia recorrida por un automóvil y el tiempo empleado en recorrer esa distancia —
recorrer el doble de distancia implica emplear el doble de tiempo—.
 El volumen de un cuerpo y su peso —un cuerpo con doble de volumen pesará el doble,
siempre que esté hecho del mismo material—.
 La cantidad de caramelos y el precio a pagar por ellos —pagarás el doble de pesos para
comprar el doble de caramelos—.

13. Ejemplos de proporcionalidad inversa
1) Supongamos que 3 pintores tardan 20 días en pintar un mural.
Es claro que si duplicamos el número de pintores, el tiempo que se necesita para pintar la barda se
reduce a la mitad, es decir 6 pintores tardarán 10 días.
De igual manera si reducimos el número de pintores a una tercera parte, el tiempo requerido para
realizar la misma tarea será el triple. Es decir 1 pintor, tardaría 60 días. Al saber lo que tarda un
pintor, ya podemos completar una tabla como la siguiente.
Así que el número de personas que realizan una tarea es inversamente proporcional al tiempo
que tardan.
A mayor número de personas corresponde menos tiempo.
A menor número de personas corresponde más tiempo.
2) Supongamos que un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60
km/h
La velocidad y el tiempo son otro ejemplo de magnitudes inversamente proporcionales:
A más velocidad corresponde menos tiempo.
A menos velocidad corresponde más tiempo.
Por lo que si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de
120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.
Ejercicios resueltos
1. Un grifo que larga 18l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto
tardaría si su caudal fuera de 7l por minuto?
“Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en
llenar el depósito.”
Solución:
l/min h
l/min h

14. 2. Tres obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?
“Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.”
Solución:
obreros h
obreros h
3. Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?
“Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas se correrán menos
kilómetros”.
Solución:
km h
km h
kms
4. Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?
“Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.”
Solución:
kg €
kg €
€
Ejercicios
1) El pre io por kilo de queso azul es de . 5€. ¿Cu nto nos ostar n 5g de queso? Indi ar si es
una proporcionalidad directa o inversa.
2) Un autobús recorre 70km en dos horas. ¿Cuánto tardará en realizar un viaje de 345km? Indicar
si es una proporcionalidad directa o inversa.
3) Si tardamos 3 horas en estudiar los 5 primeros temas del examen, ¿cuántas horas más
necesitamos para terminar de estudiar si en total hay 17 temas?
4) Tres personas tardan 12 horas en pintar un muro. ¿Cuántas personas se necesitan si se quiere
finalizar la tarea en tan solo 4 horas?

15. 5) Tres trabajadores recolectan 100 manzanos en 5 horas. Uno de ellos ha sufrido un accidente
laboral y no puede continuar con su tarea. Calcular cuánto se tardará en recolectar los 300
manzanos restantes entre los dos trabajadores activos
6) Cinco operarios tardan 9 horas en revisar el motor de todos los trenes de la estación. ¿Cuánto
se tardaría en realizar el mismo trabajo si se contratan a dos operarios más?

16. PROBABILIDADES
Probabilidad es un valor entre 0 y 1, que indica la posibilidad relativa de que ocurra un evento.
La fórmula de probabilidad es la siguiente:
Mientras más se acerca el valor de la probabilidad a 0, disminuye la posibilidad de que ocurra el
evento. Mientras más se acerca el valor a 1, aumenta la posibilidad de que ocurra.
La probabilidad de que ocurra un evento es 0, si es imposible que ocurra ese evento. Por otro
lado, la probabilidad de que un ocurra un evento es 1, si es seguro que ocurrirá ese evento.
Ejemplos
Ejemplo 1:
La moneda de México, tiene 2 caras: águila y sello. ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila al
lanzar una moneda?
Solución:
Primero calculamos el número total de casos posibles que se dan al lanzar la moneda. En este
problema, son 2 casos posibles, se obtiene águila o se obtiene sello.
Ahora, calculamos el número de casos favorables. Si lanzamos la moneda, tenemos 1 caso de
águila. Por lo tanto, la probabilidad de obtener águila sería:
Podemos colocar como respuesta: 0,5 o 50%.
Ejemplo 2:
¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado?
Solución:
Primero calculamos el número total de casos posibles que se dan al lanzar un dado. En este
problema, son 6 casos posibles, ya que el dado puede arrojar 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Ahora, calculamos el número de casos favorables. Si lanzamos un dado, tenemos 1 caso en el que
se obtiene 5. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un 5 sería:
La respuesta sería: 0,1667 o 16,67%.

17. Ejercicios
1) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 3 al lanzar un dado?
2) ¿Cuál es la probabilidad de que no salga un 4 al lanzar un dado?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor o igual que 3 al lanzar un dado?
4) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 3 al lanzar un dado?
5) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor o igual que 5 al lanzar un dado?
6) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 5 al lanzar un dado?
7) Si en una bolsa hay 5 papeles rojos, 3 verdes y 7 violetas, ¿cuál es la probabilidad de que
salga un papelito?
8) Si en una bolsa hay 5 papeles rojos, 3 verdes y 7 violetas, ¿cuál es la probabilidad de que
salga un papelito negro?
9) Si en una bolsa hay 5 papeles rojos, 3 verdes y 7 violetas, ¿cuál es la probabilidad de que
salga un papelito violeta?
10) Si en una bolsa hay 5 papeles rojos, 3 verdes y 7 violetas, ¿cuál es la probabilidad de que no
salga un papelito rojo?

18. ESTADÍSTICA
Estadística es la ciencia que se encarga de recolectar, describir e interpretar datos para hacer
comparaciones y establecer conclusiones. La estadística tiene dos grandes ramas: estadística
descriptiva y estadística inferencial.
Veamos algunos conceptos y definiciones de estadística:
Población: Es el conjunto de todos los elementos cuyas propiedades se van a estudiar. También es
llamada universo.
Muestra: Es un subconjunto de la población. En muchas ocasiones, es importante con criterios y
técnicas de muestreo. Una muestra representativa debe reflejar las características de la
población.
Individuo: Es cada uno de los elementos que componen la población. También se le conoce como
unidad estadística.
Datos: Es cada uno de los valores recolectados de la variable que se han obtenido al realizar un
estudio estadístico. Por ejemplo, si le preguntamos a 7 personas cuál es su bebida
preferida, obtenemos 7 datos: Sprite, Coca Cola, Pepsi, Coca Cola, agua, Gatorade, Coca Cola.
Tabla de frecuencias y gráficos estadísticos
Una tabla de frecuencias o distribución de frecuencias es una tabla que muestra cómo se
distribuyen los datos de acuerdo a sus frecuencias.
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio
estadístico. Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.
Ejemplo: Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas
máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33,
29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor y en la
segunda anotamos la frecuencia absoluta.

19. Tipos de gráficos estadísticos
Gráfico de barras
Un gráfico de barras es una representación gráfica en un eje cartesiano de las frecuencias de una
variable cualitativa o discreta.
En uno de los ejes se posicionan las distintas categorías o modalidades de la variable cualitativa o
discreta (en el ejemplo, el tipo de cereal) y en el otro el valor o frecuencia de cada categoría en
una determinada escala (en el ejemplo, la producción en millones de toneladas de granos).
Ejemplo:
Podríamos realizar las siguiente preguntas:
¿De qué cereal se produjo la mayor produccion? ¿Y la menor?
¿Cuántas toneladas de trigo se vendieron?
Gráfico de sectores
Un gráfico de sectores es una representación circular de las frecuencias relativas de una variable
cualitativa o discreta que permite, de una manera sencilla y rápida, su comparación.
Ejemplo
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
cebada trigo avena centeno
Producción agrícola 2007
Series1
5 estrellas
4 estrellas
3 estrellas
2 estrellas
1 estrella

20. Podríamos hacer las siguientes preguntas:
¿Cuáles son los hoteles que predominan en esa ciudad turística?
¿Los hoteles de una estrella son los menos eligieron los turistas?
Gráfico de líneas
En este tipo de gráfico se emplean líneas para delimitar el valor de una variable dependiente
respecto de otra independiente.
También puede usarse para comparar los valores de una misma variable o de diferentes
investigaciones utilizando el mismo gráfico (usando diferentes líneas). Es usual que se emplee
para observar la evolución de una variable a través del tiempo.
Ejemplo:
Veamos el precio de tres productos a lo largo del tiempo a través del siguiente gráfico:
Algunas preguntas que podrían hacerse:
¿En algún momento los tres productos valieron lo mismo?
¿Qué producto obtuvo el valor más alto del mercado? ¿En qué año?
Ejercicios
1) Observar el gráfico y responder:
a) ¿Entre qué meses hubo una caída en la cantidad de milímetros llovidos?
b) ¿En que mes la lluvia fue de 160ml?
c) ¿En enero cuántos ml cayeron?

21. 2) Observar el gráfico y responder:
a) ¿En qué meses los ingresos fueron de más de 1millón?
b) ¿Cuándo se dieron los gastos más altos?
c) ¿En algún momento los ingresos y gastos coincidieron?
3) Completa las tablas de frecuencias:
a)
b)

22. SUCESIONES
Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos, que se designan con una
letra y un subíndice que se corresponde con el lugar que ocupan:
a1 , a2 , a3 ,..., an
Los números a1 , a2 , a3 , ... se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión
 Por el término general
an = 2n – 1
a1 = 2 · 1 – 1 = 1
a2 = 2 · 2 – 1 = 3
a3 = 2 · 3 – 1 = 5
a4 = 2 · 4 – 1 = 7
{an} = 1, 3, 5, 7,..., 2n – 1
 Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del
anterior.
2, 4, 16, 256, ...
Ejercicios
Hallar el término que sigue en cada sucesión
a) 8, 3, -2, -7, - …
Podemos ver que entre ellos hay una diferencia de 5 unidades, por lo tanto haremos -
12-5=-17 y ese será el término que sigue.
b) 8…
c) 2, -4, 8, - ….
d) 5 ….
e) 5, 10, 17, 16, 50

23. SILOGISMOS
Se llama silogismo a una forma de razonamiento lógico deductivo, cuya estructura fija consta de
dos proposiciones distintas actuando como premisas y una tercera como conclusión del
razonamiento. A las dos primeras se las conoce como premisa mayor o universal y premisa
menor o particular respectivamente.
El silogismo tiene lugar siempre en los mismos tres pasos: Se parte de una primera premisa o
premisa mayor, que supone una afirmación general o universal, de carácter amplio (1), luego de
una segunda o menor de índole particular, específica respecto a una realidad puntual que
deseamos contrastar con la premisa primera (2) y así obtener finalmente una conclusión (3).
Ejemplos
Nicolás es un hombre
Nicolás es libre
aves son voladoras
Me gustan los animales voladores
Me gustan algunas aves
Ejercicios
Hallar las conclusiones teniendo en cuenta las premisas
a) Los planetas giran en orbitas
Marte es un planeta
b) Los vehículos deportivos son costosos
El nuevo Ferrari es un vehículo deportivo
c) Toda violencia es deplorable
Algunas protestas son violentas
d) Las mariposas de colores son llamativas
Los animales llamativos mueren primero