materi perkuliahan integral ganda

1. EL2005 MATEMATIKA TEKNIK I
INTEGRAL GANDA
INSTITUT
TEKNOLOGI
SUMATERA
TA. 2019/2020

2. Definisi Integral Ganda (1/2)
• Misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi pada
daerah R yang berada di dalam
persegi panjang tertutup,
𝑅 = 𝑥, 𝑦 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 .
• Daerah R kemudian dipartisi menjadi
sejumlah n-partisi, 𝑃𝑛, dengan sub-
interval 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘 pada sumbu 𝑥 dan
𝑦𝑘−1, 𝑦𝑘 pada sumbu 𝑦.
• Apabila dipilih sebuah titik (𝑥𝑘, 𝑦𝑘)
pada partisi ke-𝑘 dengan luas ∆𝐴𝑘 =
∆𝑥𝑘 ∆𝑦𝑘, maka diperoleh:
𝐽𝑛 =
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑘, 𝑦𝑘 ∆𝐴𝑘 (∗)
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

3. Definisi Integral Ganda (2/2)
• Misalkan 𝑃 = max{∆𝐴𝑘} sebagai akibat dari 𝑛 menuju
tak hingga, maka 𝑓 disebut terintegral atas 𝑅 jika,
• Nilai limit ini disebut sebagai integral ganda 𝑓 atas 𝑅,
yaitu:
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
lim
|𝑃|→0
𝑘=1
𝑛
𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)∆𝐴𝑘 ada
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
atau
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

4. Sifat Integral Ganda
𝑅
𝑘𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑘
𝑅
𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑅
(𝑓 + 𝑔) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑅
𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑦 +
𝑅
𝑔 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑅
𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑅1
𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑦 +
𝑅2
𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑦
1. Perkalian dengan konstanta
2. Penjumlahan
3. Jika 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2
dimana fungsi f dan g dari (x,y) terdefinisi dan kontinyu pada daerah R.
; dimana k konstanta
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

5. Aplikasi Integral Ganda (1/3)
• Menghitung volume
• Menghitung massa total, massa
pusat (titik berat), dan momen
inersia
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

6. Aplikasi Integral Ganda:
Menghitung Volume (2/3)
• Luas penampang 𝐴 dari daerah R pada bidang
xy adalah
• 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)∆𝐴𝑘 pada Persamaan (*)
merepresentasikan volume dari partisi ke-k
dengan luas ∆𝐴𝑘 dan tinggi (𝑥𝑘, 𝑦𝑘)
• Apabila 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) > 0, volume di bawah
permukaan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dan di atas daerah R
pada bidang xy adalah
• Dalam hal ini, apabila luas penampang A
diketahui maka volume dapat dihitung.
𝐴 =
𝑅
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑉 =
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

7. Contoh 1
• Misalkan S adalah benda pejal pada oktan pertama yang
dibatasi oleh bidang-bidang koordinat, bidang 𝑥 + 2𝑦 = 4
dan silinder parabolik 𝑧 = 4 − 𝑦2. Tentukan volume S.
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

8. Penyelesaian:
Tentukan terlebih dahulu daerah pada bidang XY yaitu bidang 𝑧 = 0. Pada
bidang ini, silinder parabolik memberikan 0 = 4 − 𝑦2 atau 𝑦 = ±2. Diperoleh dua
garis 𝑦 = 2 dan 𝑦 = −2. Karena benda berada pada oktan pertama, maka hanya
𝑦 = 2 yang digunakan, sedangkan bidang 𝑥 + 2𝑦 = 4 memberikan garis 𝑥 + 2𝑦 =
4.
Jadi diperoleh segitiga, 𝑇 = (𝑥, 𝑦 : 0 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 − 2𝑦}
𝑉 =
0
2
0
4−2𝑦
4 − 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0
2
4𝑥 − 𝑥𝑦2
0
4−2𝑦
𝑑𝑦
=
0
2
4 4 − 2𝑦 − (4 − 2𝑦)𝑦2
𝑑𝑦 =
0
2
2𝑦3
− 4𝑦2
− 8𝑦 + 16 𝑑𝑦
=
1
2
𝑦4
−
4
3
𝑦3
− 4𝑦2
+ 16𝑦
0
2
= 40/3
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

9. Aplikasi Integral Ganda: Menghitung Massa,
Pusat Massa, dan Momen Inersia (3/3)
• Misalkan f(x,y) merupakan kerapatan atau densitas (=massa per satuan
luas) dari distribusi massa pada bidang xy, maka total massa pada daerah
R adalah
• Pusat massa atau titik berat pada daerah R memiliki koordinat 𝑥 dan 𝑦,
𝑀 =
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑥 =
1
𝑀 𝑅
𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 =
1
𝑀 𝑅
𝑦𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
terhadap
sumbu x :
terhadap
sumbu y :
dan
• Momen inersia (moment of inertia) 𝐼𝑥 and 𝐼𝑦 dari massa pada daerah R
adalah
𝐼𝑥 =
𝑅
𝑦2𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐼𝑦 =
𝑅
𝑥2𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐼0 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 =
𝑅
𝑥2
+ 𝑦2
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
• Momen inersia kutub (polar) 𝐼0 ∶
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

10. Perubahan Variabel
Pada Integral Ganda (1/5)
Transformasi (x,y)↔(u,v)
• Secara geometri, transformasi (x,y)↔(u,v) yaitu
memetakan 𝑢 = konstan dan 𝑣 = konstan ke kurva pada
bidang xy.
• Pada kasus ini diasumsikan,
sehingga,
• Bagaimana dengan 𝑑𝐴 atau 𝑑𝑥𝑑𝑦?
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 𝑢, 𝑣 )
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

11. Perubahan Variabel
Pada Integral Ganda (2/5)
• Luas 𝑑𝐴 pada bidang xy, hendak dinyatakan dalam u dan v,
o Batas daerah 𝑑𝐴 yaitu:
- Lengkungan u dan u+du
- Lengkungan v dan v+dv
o Perpotongan lengkungan u dan lengkungan v berupa
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
Dianggap z=0 karena kelengkungan berada dibidang xy.
o Turunan dari 𝑟, 𝑑𝑟 =
𝜕𝑟
𝜕𝑢
𝑑𝑢 +
𝜕𝑟
𝜕𝑣
𝑑𝑣
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

12. Perubahan Variabel
Pada Integral Ganda (3/5)
o Vektor singgung pada 𝑣 = konstan (𝑑𝑣 = 0),
𝑑𝑟
𝑣=konstan
=
𝜕𝑟
𝜕𝑢
𝑑𝑢
dan untuk 𝑢 = konstan (𝑑𝑢 = 0),
𝑑𝑟
𝑢=konstan
=
𝜕𝑟
𝜕𝑣
𝑑𝑣
o Luas sebagai perkalian silang dua vektor singgung dari masing-
masing lengkungan,
dua pasang tanda
tegak :
• pertama (dalam)
menyatakan
determinan
• kedua (luar)
menyatakan tanda
mutlak.
𝑑𝐴 =
𝜕𝑟
𝜕𝑢
𝑑𝑢 ×
𝜕𝑟
𝜕𝑣
𝑑𝑣 =
𝜕𝑟
𝜕𝑢
×
𝜕𝑟
𝜕𝑣
𝑑𝑢𝑑𝑣
𝑑𝐴 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
0
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
0
𝑑𝑢𝑑𝑣 =
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝑑𝑢𝑑𝑣
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

13. Perubahan Variabel
Pada Integral Ganda (4/5)
• Transformasi (x,y) ↔ (u,v)
• Determinan Jacobi
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑅∗
𝑓(𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 𝑢, 𝑣 )
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐽 =
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
=
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
=
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
−
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

14. Contoh 2
Tentukan integral ganda pada daerah R
𝑅
𝑥2
+ 𝑦2
𝑑𝑥 𝑑𝑦
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

15. Penyelesaian:
Berdasarkan bentuk atau geometri R digunakan
transformasi:
𝑥 + 𝑦 = 𝑢, 𝑥 − 𝑦 = 𝑣
maka, 𝑥 =
1
2
𝑢 + 𝑣 , 𝑦 =
1
2
𝑢 − 𝑣
Determinan Jacobi:
Batas daerah R : 0 ≤ 𝑢 ≤ 2, 0 ≤ 𝑣 ≤ 2.
Dengan demikian,
𝐽 =
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
=
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
=
1
2
1
2
1
2
−
1
2
= −
1
2
𝑅
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0
2
0
2
1
2
𝑢2 + 𝑣2
1
2
𝑑𝑢 𝑑𝑣 =
8
3
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

16. Contoh 3
Penyelesaian:
Kita gunakan 𝑢 = 𝑦 − 𝑥 dan 𝑣 = 𝑦 + 𝑥 atau 𝑥 = (𝑣 − 𝑢)/2, 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)/2
Maka,
Pemetaan di atas dilakukan pada batas-batas daerah R, menghasilkan:
𝑅
𝑒
𝑦−𝑥
𝑦+𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Tentukan penyelesaian dari integral ganda berikut:
; dimana 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 − 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1}
𝐽 =
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
=
−
1
2
1
2
1
2
1
2
= −
1
2
𝑥 = 0 → 𝑣 = 𝑢
𝑦 = 0 → 𝑣 = −𝑢
𝑥 + 𝑦 = 1 → 𝑣 = 1
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

17. Sehingga 𝑅 ∗= {𝑢, 𝑣): −𝑣 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣, 0 ≤ 𝑣 ≤ 1. Oleh karena itu, integral dalam uv,
0
1
−𝑣
𝑣
𝑒𝑢/𝑣
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑢, 𝑣)
𝑑𝑢𝑑𝑣 =
0
1
−𝑣
𝑣
𝑒𝑢/𝑣
1
2
𝑑𝑢𝑑𝑣 =
1
4
𝑒 −
1
𝑒
Berikut ilustrasi pemetaan daerah integrasi dari R ke R*,
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

18. Perubahan Variabel
Pada Integral Ganda (5/5)
Transformasi (x,y) ↔ (r,𝜽)
• Perubahan variabel (x,y) ke bentuk koordinat polar (r,𝜃)
dilakukan dengan mengatur,
Dengan demikian diperoleh integral ganda pada koordinat
polar sebagai berikut:
dimana R* merupakan daerah pada bidang 𝑟𝜃 plane sesuai dengan R
pada bidang xy.
• Determinan Jacobi: 𝐽 =
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝜕(𝑟, 𝜃)
=
cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃
sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃
= 𝑟
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑅∗
𝑓 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
dan
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

19. Contoh 4
Misalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) merupakan
kepadatan massa pada suatu
daerah R seperti yang
ditunjukkan pada gambar
disamping. Tentukan:
a. Massa total
b. Massa pusat atau titik berat
(center of gravity)
c. Momen inersia (moments of
inertia) 𝐼𝑥, 𝐼𝑦, 𝐼0.
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera

20. Penyelesaian:
Untuk menyelesaian permasalahan ini digunakan transformasi ke
koordinat polar.
a. Massa total
𝑀 =
𝑅
𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
0
𝜋/2
0
1
𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 =
0
𝜋/2
1
2
𝑑𝜃 =
𝜋
4
b. Pusat massa atau titik berat memiliki koordinat
𝑥 =
4
𝜋 0
𝜋/2
0
1
𝑟 cos 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 =
4
𝜋 0
𝜋/2
1
3
cos 𝜃 𝑑𝜃 =
4
3𝜋
𝑦 =
4
3𝜋
(untuk alasan simetris)
c. Momen inersia
𝐼𝑥 =
𝑅
𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0
𝜋/2
0
1
𝑟2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 =
0
𝜋/2
1
4
𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜃 =
𝜋
16
𝐼0 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 =
𝜋
8
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera
𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 (untuk alasan simetris)

21. THANK YOU, NEXT.
Teknik Elektro Insitut Teknologi Sumatera