1. O documento apresenta 5 exercícios sobre sistemas termodinâmicos. Os exercícios 1 e 2 tratam de sistemas de partículas com spin, enquanto os exercícios 3, 4 e 5 tratam de sistemas de osciladores harmônicos e partículas de dois níveis de energia. 2. Nos exercícios, são obtidas expressões para a energia, número de estados, densidade de energia e calor específico em função de variáveis como temperatura, número de partículas e energia.

1. Lista 1 de Mecânica Estatística.
1. No problema do caminho aleatório, vimos que a distribuição binomial pode ser
aproximada pela gaussiana,
𝑝 𝐺( 𝑁1) = [2𝜋(∆𝑁1
∗
)2]−1 2⁄
exp [−
( 𝑁1 − 〈 𝑁1〉)2
2(∆𝑁1
∗
)2
]
a) Mostre que,
〈 𝑁1〉 𝐺 = ∫ 𝑁1
+∞
−∞
𝑝 𝐺( 𝑁1) 𝑑𝑁1 = 〈 𝑁1〉
b) Mostre também que,
〈(∆𝑁1
∗
)2〉 𝐺 = ∫ ( 𝑁1 − 〈 𝑁1〉 𝐺)2
+∞
−∞
𝑝 𝐺( 𝑁1) 𝑑𝑁1 = (∆𝑁1
∗
)2
2. Considere um sistema de 𝑁 partículas localizadas de spin 1 2⁄ , não interagentes, na
presença de um campo magnético 𝐻⃗⃗ .
a) Escreva o Hamiltoniano deste sistema.
b) Se 𝑁1 é o número de partículas com spin para “cima” e 𝑁2 é o número de
partículas com spin para “baixo”, escreva a equação da energia em função de 𝑁 e
𝑁1.
c) Obtenha o número de auto-estados acessíveis ao sistema Ω( 𝐸, 𝑁).
d) Faça o limite termodinâmico e expresse a densidade de energia 𝑢 em função da
temperatura.
3. Considere um sistema de 𝑁 osciladores harmônicos unidimensionais, localizados e
não interagentes, com a mesma frequência fundamental 𝜔.
a) Escreva a energia em função do número de partículas 𝑁 e do número de quantas
de energia 𝑀.
b) Obtenha o número de auto-estados acessíveis ao sistema, Ω( 𝐸, 𝑁), usando a
expressão para a combinação completa,
Ω =
( 𝑀 + 𝑁 − 1)!
𝑀! ( 𝑁 − 1)!
c) Faça o limite termodinâmico e mostre que a densidade de energia é função da
temperatura pela expressão,
𝑢 =
1
2
ℏ𝜔 +
ℏ𝜔
exp (
ℏ𝜔
𝑘 𝐵 𝑇
) − 1
d) Obtenha os limites de baixas e altas temperaturas.
e) Encontre a expressão para o calor específico pela relação termodinâmica
𝑐 =
𝜕𝑢
𝜕𝑇
.

2. 4. Seja um sistema de partículas com dois níveis de energia, onde 𝑁1 partículas
possuem energia nula e 𝑁2 partículas possuem energia 𝜀 > 0.
a) Obtenha o número de auto-estados acessíveis ao sistema Ω( 𝐸, 𝑁).
b) Faça o limite termodinâmico e mostre que a densidade de energia é função da
temperatura pela expressão,
𝑢 =
𝜀𝑒−𝛽𝜀
1 + 𝑒−𝛽𝜀
onde 𝛽 =
1
𝑘 𝐵 𝑇
.
c) Mostre que o calor especifico é dado por,
𝑐 = 𝑘 𝐵( 𝛽𝜀)2
𝑒−𝛽𝜀
(1 + 𝑒−𝛽𝜀)2
d) Calcule os limites de altas e baixas temperaturas.
5. Refaça o exercício 4 considerando que 𝑁1 partículas possuem energia 𝜀1 = −𝜀 e que
𝑁2 partículas possuem energia 𝜀2 = +𝜀 (observação: as expressões da densidade de
energia e calor específico são similares as do exercício 2).