Primeira lista de variedades diferenciáveis (haverá outra)

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 1 - Revisão de Variedades
Geometria Riemanniana
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Mostre que se (U, φ) é uma carta em um atlas de uma variedade, então φ é C∞
.
2. Exercício 8.1 (Loring Tu)
3. Exercício 8.7 (Loring Tu)
4. Exercicio 8.8 (Loring Tu)
5. Prove a proposição 8.15 do livro do Loring Tu: Introduction to Manifolds
6. Seja F : Sn
→ Sn
dada por F(x) = −x. Mostre que F é um difeomorsmo.
7. Seja f : R → R2
dada por f(t) = (t2
, t3
), f é uma imersão?
8. Seja f : R → R2
dada por f(t) = (t3
− 4t, t2
− 4). Mostre que f é uma imersão mas não é um
mergulho.
9. Dê, explicitamente, um exemplo de uma imersão injetiva que não é um mergulho.
10. Mostre que o espaço projetivo real RPn
é compacto.
11. Seja f : M → N uma imersão injetiva. Prove que se M é compacta ou f é própria, então f é
um mergulho.
12. Seja Mn
uma variedade suave. Mostre que o brado tangente TM é um variedade suave de
dimensão 2n.
13. Seja M uma variedade suave. Se A ⊂ U ⊂ M com A fechado e U aberto. Mostre que existe
uma função φ ∈ C∞
(M) tal que 0 ≤ φ ≤ 1 em M, φ ≡ 1 em A e supp(φ) ⊂ U.
14. (Superfície de Veronese) Seja F : R2
→ R4
dada por
F(x, y, z) = (x2
− y2
, xy, xz, yz), p = (x, y, z) ∈ R3
.
Mostre que se p ∈ S2
, F(p) = F(−p). Então dena ¯F : RP2
→ R4
dada por ¯F[p] = F(p).
Mostre que a aplicação ¯F : RP2
→ R4
está bem denida e depois verique que ela é um
mergulho.