- Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. - Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga

1. Limit Fungsi
Adem ~ 1 ~
Pokok Bahasan : LIMIT FUNGSI
Pertemuan : 1
Materi : Limit Suatu Fungsi (1)
Aspek Kalkulus
SK : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
KD: 6.1 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga
Pengertian Limit Fungsi
Definisi: 1) Secara intuitif bahwa ( ) L
x
f
a
x
=
→
lim berarti nilai L adalah nilai f(x), jika x dekat ke a (x
dekat ke a dari arah kiri dan x dekat ke a dari arah kanan).
2) Secara aljabar bahwa fungsi f mempunyai limit L untuk x → a atau ( ) L
x
f
a
x
=
→
lim berarti
untuk  > 0 bagaimana pun kecilnya akan didapat bilangan positif  sedemikian
sehingga untuk nilai x yang memenuhi | x – a | <  berlaku | f(x) – L | < .

2. Limit Fungsi
Adem ~ 2 ~
Teorema-teorema Limit
Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang memenuhi limit di x = a, maka berlaku:
1. c
c
a
x
=
→
lim ; c elemen bilangan Real
2. ( ) ( )
x
f
c
x
f
c
a
x
a
x →
→

=
 lim
lim ; c elemen bilangan Real
3. ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x →
→
→

=
 lim
lim
lim
4. ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x →
→
→

=
 lim
lim
lim
5.
( )
( )
( )
( )
( ) 0
lim
;
lim
lim
lim 
=
→
→
→
→
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
a
x
6. ( )
( ) ( )
n
a
x
n
a
x
x
f
x
f 





=
→
→
lim
lim
7. ( ) ( )
n
a
x
n
a
x
x
f
x
f
→
→
= lim
lim
Pengayaan: Harap diketahui bahwa bilangan e = 2.7182818284590452353602874713527… adalah
sebuah bilangan irasional yang dapat diperoleh dari suatu bentuk limit berikut:
e
x
x
x
=






+

→
1
1
lim atau e
x
x
x
=






−
−

→
1
1
lim

3. Limit Fungsi
Adem ~ 3 ~
Contoh Soal:
1. a. 1
1
lim
2
=
→
x
b. 2
lim
2
=
→
x
x
c. 
=
→ 2
0
1
lim
x
x
d.
x
x
1
lim
0
→
= TA e. 
=

→
x
x
lim
Perhatikan gambar-gambar berikut dan nilai limit yang disajikan.
a. 1
1
lim
2
=
→
x

4. Limit Fungsi
Adem ~ 4 ~
b. 2
lim
2
=
→
x
x

5. Limit Fungsi
Adem ~ 5 ~
c. 
=
→ 2
0
1
lim
x
x

6. Limit Fungsi
Adem ~ 6 ~
d.
x
x
1
lim
0
→
tidak ada (TA)

7. Limit Fungsi
Adem ~ 7 ~
e.

=

→
x
x
lim

8. Limit Fungsi
Adem ~ 8 ~
2. ( ) 6
lim
3
lim
lim
6
3
lim
2
2
3
2
3
2 →
→
→
→
−
+
=
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x 8
6
2
3
23
=
−

+
=
3. e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=














+
=






+
=






+

→


→

→
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
lim
2
1
1
lim
2
1
1
lim
4.
( )
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=

+
=
















+






+






+
=






+






+
=






+

→

→

→

→

→
−

→
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
4
2
4
2
2
4
2
2
4
2
0
1
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim

9. Limit Fungsi
Adem ~ 9 ~
Rumus-rumus Limit Fungsi Trigonometri
1. 1
sin
lim
0
=
→ x
x
x
5.
b
a
bx
ax
bx
ax
x
x
=
=
→
→ sin
lim
sin
lim
0
0
2. 1
sin
lim
0
=
→ x
x
x
6.
b
a
bx
ax
bx
ax
x
x
=
=
→
→ tan
lim
tan
lim
0
0
3. 1
tan
lim
0
=
→ x
x
x
7.
b
a
bx
ax
bx
ax
x
x
=
=
→
→ sin
tan
lim
tan
sin
lim
0
0
4. 1
tan
lim
0
=
→ x
x
x
Contoh Soal:
5.
x
x
x
x
x
x
x
x
x 4
4
sin
lim
4
4
4
4
sin
lim
4
sin
lim
0
0
0 →
→
→
=

=
4
1
4 =

=

10. Limit Fungsi
Adem ~ 10 ~
Soal-soal Uji Kompetensi 1
1.
1
4
lim 3
2
2 +
−
→ x
x
x
= ....
a. 0 b. 1 c. 1
/9 d. 2
/3 e. 
2.
1
2
3
3
lim
2
1 −
−
→ x
x
x
x
= ....
a. 1 b. 0 c. -1 d. 3 e. 
3.
1
3
3
2
lim
2
0 −
−
+
→ x
x
x
x
= ....
a. 3 b. -3 c. 1
/3 d. 2 e. 1
4.
x
x
1
sin
lim

→
= …. (e-02-17)
a.  b. 0 c. 1 d. 2 e. 3
5.
x
x
x 8
3
sin
lim
0
→
= ....
a. 1 b. 0 c. 8
/3 d. 3
/8 e. 
6.
x
x
x 4
3
tan
lim
0
→
= ....
a. ¾ b. 4
/3 c. 1 d. 0 e. -1

11. Limit Fungsi
Adem ~ 11 ~
7.
t
t
t 2
3
tan
lim
0
→
adalah …. (ma-77-10)
a. 0 b. 1 c. 3 d. 3
2
e. 2
3
8.
bx
ax
x sin
sin
lim
0
→
adalah …. (md-00-14)
a. 0 b. 1 c.
b
a
d.
a
b
e. 
9.
x
x
x 3
sin
5
sin
lim
0
→
= …. (ma-78-06)
a. 1 b. 0 c. –1 d. 5
3
e. 3
5
10.
x
x
x 3
tan
2
sin
lim
0
→
= ....
a. 2
/3 b. 1 c. 0 d. -2
/3 e. -1
11. Nilai dari
cx
x
x
b
a
tan
sin
0
lim
→
adalah …. (e-92-26)
a.
b
ac
b.
c
ab
c.
a
bc
d.
bc
a
e.
ac
b

12. Limit Fungsi
Adem ~ 12 ~
12. Jika
x
x
x
sin
lim
0
→
= 1 , maka
1
)
(
sin
lim
1 −

−

→ x
x
x
= …. (ma-88-06))
a. 0 b. 1 c.  d. 
1
e. 2
1

13.
4
)
2
sin(
lim 2
2 −
−
→ x
x
x
= …. (md-98-14)
a. – 4
1
b. – 2
1
c. 0 d. 2
1
e. 4
1
14.
x
x
x
x sin
sin
2
lim 2
2
0
→
= .... (md-01-13)
a. 0 b.
2
1
c. 1 d. 2 e. 4
15. Tentukanlah nilai dari:
a.
x
x x
−

→






−
3
2
1
lim b. ( )x
x
x
1
2
1
lim
0
+
→
c. ( )x
x
x
2
1
lim
0
−
→
d. ( ) x
x
x
1
1
lim
0
−
→
e. ( )x
x
x
1
1
lim
0
−
→

13. Limit Fungsi
Adem ~ 13 ~
Pokok Bahasan : LIMIT FUNGSI
Pertemuan : 2 dan 3
Materi : Limit Suatu Fungsi (2)
Aspek Kalkulus
SK : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
KD: 6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
Nilai ( ) ( )
a
f
x
f
a
x
=
→
lim dengan syarat f(a) bukan bentuk tak tentu seperti
0
0
,


, ∞ – ∞, dan 00
.
Kalau f(a) berupa bentuk tak tentu, maka bentuk aljabar f(x) harus diubah dengan menyederhanakan,
perkalian dengan bilangan sekawan atau lainnya. Perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal:
6.
( )( ) ( ) 2
1
1
1
lim
1
1
1
lim
1
1
lim
1
1
2
1
=
+
=
+
=
−
−
+
=
−
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7.
( ) ( ) 1
1
0
1
lim
1
lim
lim 2
2
0
2
0
3
0
−
=
−
=
−
=
−
=
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

14. Limit Fungsi
Adem ~ 14 ~
8.
1
4
3
lim
4
3
lim 2
2
0
2
3
2
3
0 +
−
+
+
=
+
−
+
+
→
→ x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
1
0
0
4
0
0
=
+
−
+
+
=
9.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x −
+
+
−
+
+

−
−
+
=
−
−
+
→
→ 9
9
9
9
9
9
lim
9
9
lim
0
0
( ) ( )
( )
( )
3
1
3
3
2
0
9
0
9
2
9
9
2
lim
9
9
2
lim
9
9
9
9
lim
0
0
0
=
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
−
−
+
=
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
10. Nilai dari
x
x
x
x 2
1
2
1
4
lim
0 +
−
−
→
= .... (Kur 2004 04-05 P1-P11 01-31 No.19)
a. –2 b. 0 c. 1 d. 2 e. 4

15. Limit Fungsi
Adem ~ 15 ~
Pembahasan:
x
x
x
x 2
1
2
1
4
lim
0 +
−
−
→
=
x
x
x
x
x
x
x
x 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
lim
0 +
+
−
+
+
−

+
−
−
→
=
( )
( )
x
x
x
x
x
x 2
1
2
1
2
1
2
1
4
lim
0 +
−
−
+
+
−
→
= ( )
x
x
x
2
1
2
1
lim
0
+
+
−
−
→
= ( ) ( ) 2
1
1
0
2
1
0
2
1 −
=
+
−
=

+
+

−
− (Jawab : a)
11. Nilai dari
2
1
5
1
lim
2
1 −
−
−
→ x
x
x
= .... (TO OPBA 2006 I.19)
a. 0 b. 0,2 c. 0,4 d. 0,8 e. 1,6
Pembahasan:
2
1
5
1
lim
2
1 −
−
−
→ x
x
x
=
( )( )
2
1
5
2
1
5
2
1
5
1
1
lim
1 +
−
+
−

−
−
+
−
→ x
x
x
x
x
x
=
( )( )( )
4
1
5
2
1
5
1
1
lim
1 −
−
+
−
+
−
→ x
x
x
x
x

16. Limit Fungsi
Adem ~ 16 ~
=
( )( )( )
( )
1
5
2
1
5
1
1
lim
1 −
+
−
+
−
→ x
x
x
x
x
=
( )( ) ( )( ) ( )( ) 6
,
1
5
4
2
5
2
1
1
5
1
1
5
2
1
5
1
lim
1
=
=
+
−

+
=
+
−
+
→
x
x
x
(Jawab : e)
Limit x mendekati tak hingga
Untuk a, b, dan c elemen bilangan Real serta m dan n elemen bilangan Real positif.
1. 0
lim =

→ n
x x
c
2. 
=

→
n
x
kx
lim
3.






=


=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−

→
n
m
n
m
n
m
a
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
n
m
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
x
;
;
;
:
0
...
...
lim
0
1
1
2
2
1
1
0
1
1
2
2
1
1
4.








=


−

−
=





 +
+
−
+
+

→
p
a
p
a
p
a
a
q
b
r
qx
px
c
bx
ax
x
;
;
;
2
lim 2
2

17. Limit Fungsi
Adem ~ 17 ~
Contoh Soal: (Pembahasannya tidak menggunakan rumus, penggunaan rumus dipersilahkan untuk
dicoba sendiri)
12. 4
0
1
4
0
0
5
1
4
2
1
lim
5
4
2
1
lim
2
2
3
3
3
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−

→

→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
13.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5
3
5
3
5
3
lim
5
3
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
−
+
+
−
+
+






 −
−
+
=





 −
−
+

→

→
( )
4
1
1
8
0
1
0
1
8
5
1
3
1
8
lim
5
3
8
lim
5
3
5
3
lim
2
2
2
2
2
2
=
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
−
−
+
=

→

→

→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

18. Limit Fungsi
Adem ~ 18 ~
Rumus-rumus trigonometri yang perlu diingat yang biasa digunakan dalam penyelesaian soal limit
trigonometri, diantaranya:
o sin2
x + cos2
x = 1
o cos x = sin (90o
– x)
o sin x = cos (90o
– x)
o sin 2x = 2 sin x cos x.
o cos 2x = cos2
x – 2 sin2
x
o cos 2x = 2 cos2
x – 1
o cos 2x = 1 – 2 sin2
x
Contoh Soal:
14.
( )
2
2
1
2
0
2
0
sin
2
1
1
lim
cos
1
lim
x
x
x
x
x
x
−
−
=
−
→
→

19. Limit Fungsi
Adem ~ 19 ~
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
2
1
2
0
1
1
2
sin
sin
2
lim
sin
sin
2
lim
sin
2
lim
=




=



=




=
=
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
15. 3
0
3
0
3
0
cos
tan
tan
lim
cos
cos
sin
tan
lim
sin
tan
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=

−
=
−
→
→
→
( )
( )
2
1
2
1
2
0
0
2
0
1
cos
1
lim
tan
lim
cos
1
tan
lim
=

=
−

=
−

=
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

20. Limit Fungsi
Adem ~ 20 ~
16. Nilai dari 3
0 2
2
cos
3
sin
3
sin
lim
x
x
x
x
x
−
→
= .... (Kur 2004 04-05 P1-P11 01-31 No.20)
a. ½ b. 2
/3 c. 3
/2 d. 2 e. 3
Pembahasan:
3
0 2
2
cos
3
sin
3
sin
lim
x
x
x
x
x
−
→
=
( )
3
0 2
2
cos
1
3
sin
lim
x
x
x
x
−
→
=
( )
( )
3
2
0 2
sin
2
1
1
3
sin
lim
x
x
x
x
−
−
→
=
( ) 3
2
1
2
3
2
sin
2
3
sin
lim
2
3
2
0
=


=
→ x
x
x
x
(Jawab : e)
17. Nilai dari 3
0 6
6
cos
tan
tan
lim
x
x
x
x
x
−
→
= .... (TO OPBA 2006 I.20)
a. ½ b. 2
/3 c. 3
/2 d. 2 e. 3
Pembahasan:
3
0 6
6
cos
tan
tan
lim
x
x
x
x
x
−
→
=
( )
3
0 6
6
cos
1
tan
lim
x
x
x
x
−
→

21. Limit Fungsi
Adem ~ 21 ~
=
( )
( )
3
2
0 6
3
sin
2
1
1
tan
lim
x
x
x
x
−
−
→
=
( ) ( ) 3
6
3
2
1
6
3
sin
2
tan
lim
2
3
2
0
=


=
→ x
x
x
x
(Jawab : e)
Soal-soal Uji Kompetensi 2
Ipk: Menghitung limit fungsi aljabar mendekati bilangan tertentu
16.
2
10
3
lim
2
2 −
−
+
→ x
x
x
x
= ....
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
17.
( ) ....
3
3
lim 2
=
−
−
−
+
→ a
x
a
x
a
x
a
x
a. a b. a + 1 c. a + 2 d. a + 3 e. a + 4 s-02-I

22. Limit Fungsi
Adem ~ 22 ~
18.
x
x
x
x
x
x 4
4
3
3
lim 2
2
3
4 −
−
−
−
→
= ....
a. 0 b. 5¼ c.  d. 8¼ e. semua salah
19.
x
x
x
x
x 3
18
3
lim 2
2
3 −
−
+
→
= ....
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 6
20. ....
4
6
5
2
lim
2
2
=
−
+
+
−
→ x
x
x
x
a. –½ b. –¼ c. 0 d. ¼ e. ½ s-04-II
21.
9
12
5
3
lim 2
2
3 −
−
−
→ x
x
x
x
= ....
a. 3 b. -3 c. 6
/13 d. 13
/6 e. -13
/6
22.
4
1
2
3
lim 2
3
2 −
+
+
→ x
x
x
x
= ....
a. 0 b. 1 c. 9 d. -9 e. 
23.
1
2
1
lim 2
2
1 +
−
−
→ x
x
x
x
= ....

23. Limit Fungsi
Adem ~ 23 ~
a. 0 b. 1 c. 2 d. ½ e. 
24. 2
2
2
3
lim
a
x
ax
x
a
x −
−
→
= ....
a. a b. ½a c. 1
/3a d. ¼a e. 1
/5a
25.
1
4
5
lim 3
2
1 −
+
−
→ x
x
x
x
= .... (UN D9-P45 67 No. 22)
a. 3 b. 2½ c. 2 d. 1 e. -1
26. 3
3
2
lim
a
x
ax
x
a
x −
−
→
= ....
a. -1
/3a b. 1
/3a c. -3a d. 3a e. -1
/3a
27.
2
3
1
2
lim 2
2
1 −
−
−
−
→ x
x
x
x
x
= ....
a. 3
/5 b. 2
/3 c. ½ d. 0 e. 
28.
20
15
2
lim 2
2
5 −
−
−
−
→ x
x
x
x
x
= ....
a. 7
/9 b. 8
/9 c. 9
/8 d. 9
/7 e. 

24. Limit Fungsi
Adem ~ 24 ~
29.
3
3
6
1
2
5
4
lim 2
3
2
3
4
1 −
−
−
+
−
→ x
x
x
x
x
x
= ....
a. 5
/3 b. 1
/3 c. -5
/3 c. -2 e. 
30. Nilai dari ....
0
lim
=
+
→ x
x
x
x
a. 0 b. √2 c. 3 d. 1 e. 2 u-01-B
31.
x
x
x −
−
→ 2
4
lim
4
= ....
a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. 6
32.
x
x
x −
−
→ 3
9
lim
9
= ....
a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. 6
33.
25
5
lim
25 −
−
→ x
x
x
= ....
a. 0,1 b. 0 c. 1 d. 2 e. 10
34.
16
2
lim 2
4 −
−
→ x
x
x
= .... (UN 2006, D10-P1 No. 23)

25. Limit Fungsi
Adem ~ 25 ~
a. ½ b. 1
/8 c. 1
/16 d. 1
/32 e. 1
/64
35. ....
1
1
lim 2
=
−
−
→ x
x
x
x
n
(u-98-RC-2)
a. 2n – 1 b. 1 – 2n. c. 2n d. 2n – 2 e. 2n + 2
36. ....
2
9
4
3
8
3
2
lim 2
2
=
−
+
−
−
+
→ x
x
x
x
x
a. –4
/5 b. 0 c. 2
/5. d. 5
/2 e.  u-00-B
37. ....
2
1
2
1
4
0
lim
=
+
−
−
→ x
x
x
x
a. –2. b. 0 c. 1 d. 2 e. 4 UN-04-05
38. ....
1
1
0
lim
2
2
=
+
−
→ x
x
x
a. –3 b. 2 c. –2 d. 0. e. –1
39. ....
3
3
2
2
2
3
lim
=
−
−
−
→ x
x
x
(u-99-RC-4)
a. 0 b. 2
/3 c. 2
/3 d. 1. e. 3
/2

26. Limit Fungsi
Adem ~ 26 ~
40. ....
lim
=
−
−
→ b
a
b
b
a
a
b
a
a. 0 b. 3a c. 3
b d. 3b. e.  u-96-B
41. ....
2
2
2
2
2
2
lim
=
−
+
−
−
→ x
x
x
x
x
x
a. 0 b. 2 c. 4 d. 8. e. 10 s-04-I
42.
( )( ) ....
3
3
3
3
lim
=
−
+
−
→ x
x
x
x
a. 0 b. 3 c. 6 d. 12. e. 15 s-04-III
43. ....
1
1
lim
0
=
−
−
+
→ x
x
x
x
a. 0 b. ½ c. 1. d. √2 e. 4 u-92-B
44. Nilai dari ....
5
3
4
lim
2
2
2
=
+
−
−
→
x
x
x
a. −12 b. − 6 c. 0 d. 6 e. 12
45. Nilai ....
6
4
2
1
2
lim
2
1
=
+
−
+
−
→ x
x
x

27. Limit Fungsi
Adem ~ 27 ~
a. 4 b. 2 c. 0 d. −1 e. −2
46. Nilai ....
2
4
3
1
lim
2
1
=
+
−
+
−
−
→ x
x
x
x
a. –4 b. –2 c. 0 d. 2 e. 4
47.
7
4
9
lim
2
2
3
+
−
−
→
x
x
x
= ....
a. 8 b. 4 c. 2¼ d. 1 e. 0
48.
5
16
9
lim
2
2
3
−
+
−
→
x
x
x
= ....
a. 8 b. -3 c. -5 d. 5 e. 10
49.
5
3
4
lim
2
2
2
+
−
−
→
x
x
x
= ....
a. 6 b. 8 c. 9 d. 10 e. 12
50.
4
9
25
lim
2
2
5
−
−
−
→
x
x
x
= ....
a. 0 b. 1 c. 2 d. 8 e. 

28. Limit Fungsi
Adem ~ 28 ~
51.
2
1
5
1
lim
2
1 −
−
−
→ x
x
x
= ....
a. 0 b. 0,2 c. 0,4 d. 0,8 e. 1,6
52.
1
5
4
6
lim
2
3 +
−
−
−
→ x
x
x
x
= .... (UN D9-P12 67 No. 22)
a. -8 b. -6 c. 6 d. 8 e. 
53.
x
x
x
x
−
−
+
→
2
2
lim
0
= .... (spmb 2004, RI, 442, No.10)
a. ¼√2 b. ½ c. ½√2. d. √2 e. 2√2
54. Nilai 





−
+
−
−
→ 8
2
3
4
2
2
lim
2
2
x
x
x
x
= .....
a.
12
7
− b.
4
1
− c.
12
1
− d.
24
1
− e. 0
55. Nilai ....
2
1
4
6
lim 2
2
=






−
−
−
−
→ x
x
x
x
a.
2
1
− b.
4
1
− c. 0 d.
4
1
e.
2
1

29. Limit Fungsi
Adem ~ 29 ~
56.
4
4
2
1
lim 2
2 −
−
−
→ x
x
x
= .... (UM-UGM 2004 No. 8)
a. 0 b. ¼ c. ½ d. 2 e. 4
Ipk: Menghitung limit fungsi aljabar mendekati tak hingga
56.
1
4
lim 3
2
+
−

→ x
x
x
= ....
a. 0 b. 1 c. 1
/9 d. 2
/3 e. 
57.
2
3
4
1
2
3
lim 4
5
+
+
−
+

→ x
x
x
x
x
= ....
a. ¾ b. 0 c. -½ d. 1 e. 
58.
1
2
4
1
3
6
lim 3
2
−
+
+
+

→ x
x
x
x
x
= ....
a. 3
/2 b. 1 c. -1 d. 0 e. -
59. 2
2
3
4
3
1
2
5
lim
x
x
x
x
x −
−
+
+

→
= ....
a. 0 b. 1 c. 1
/3 d. 5
/3 e. -2

30. Limit Fungsi
Adem ~ 30 ~
60. 2
2
2
10
7
7
lim
x
x
x
x −
−
−

→
= ....
a. 5½ b. 0 c. -7 d.  e. tak tentu
61.
16
9
8
2
3
lim 2
2
−
−
−

→ x
x
x
x
= ....
a. 3 b. 1
/3 c. -3 d. 0 e. 
62. ( ) ....
9
11
9
1
3
lim 2
=





 +
−
−
−

→
x
x
x
x
a. – 1 b. 0 c. 1
/6 d. 3
/6 e. 5
/6. un-94-05
63.
( )( )
( )( )
....
1
2
2
5
4
lim =
−
+
−
+

→ x
x
x
x
x
a. - b. 1
/5 c. 2 d. 5. e.  u-98-C
64. Nilai dari ( ) ....
3
1
2
lim =
+
−
−

→
x
x
x
a. –2 b. –1 c.  d. 0 e. 1
65. ....
3
4
)
5
4
(
lim 2
=





 −
−
+

→
x
x
x
x
a.  b. 8 c. 5
/4. d. ½ e. 0

31. Limit Fungsi
Adem ~ 31 ~
66. ( )( )
( ) ....
lim =
−
+
+

→
x
q
x
p
x
x
a. 0 b. pq c. p – q d. ½ (p + q). e. p + q
67. Nilai dari ....
2
lim 2
=





 −
−

→
x
x
x
x
a.  b. 0 c. ½ d. 1. e. 2 u-94-B
68. Nilai dari ( ) ....
5
2
9
2
3
lim 2
=





 +
−
−
−

→
x
x
x
x
a. 0 b. 1
/3 c. -1 d. –4
/5 e. –5
/3. u-92-A
Ipk: Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri
56. ....
6
sin
3
tan
0
lim
2
=
→ x
x
x
x
a. ½ b. 1
/3 c. 1
/6 d. 1
/12. e. 1
/18 u-01-C
57.
x
x
x
x
x 3
tan
2
tan
3
sin
2
sin
lim
0
→
= ....
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e .
58.
x
x
x
x 3
tan
2
3
sin
lim
2
0
→
= ....

32. Limit Fungsi
Adem ~ 32 ~
a. 1½ b. ½ c. 4½ d. 1 e. 
59.
( ) ....
2
tan
.
3
sin
1
6
cos
0
lim
2
2
=
−
→ x
x
x
x
x
a. 3 b. –3. c. 2 d. –2 e. –1 u-99-B
60.
( )( )
( )( )
( )
....
2
1
)
1
sin(
3
1
1
lim
2
=
+
−
−
−
−
→ x
x
x
x
x
x
a. -2
/9. b. -2
/3 c. 0 d. 2
/3 e. 4
/9 u-00-C
61. Nilai dari
( ) ( ) ....
3
5
2
3
tan
2
3
lim
2
=






−
−
−
+
→ x
x
x
x
x
a. 0 b. ½ c. 5/7 d. 1 e. 2
62. Nilai
( ) ( ) ....
10
3
2
sin
6
2
lim
2
=






−
−
+
+
−
→ x
x
x
x
x
a. -4
/3 b. -4
/7 c. -2
/5 d. 0 e. 1
63. Nilai dari ....
2
2
cos
3
sin
3
sin
0
lim
3
=
−
→ x
x
x
x
x
a. ½ b. 2
/3 c. 3
/2 d. 2 e. 3 un-05-E

33. Limit Fungsi
Adem ~ 33 ~
64. ....
)
sin(
lim
4
1
2
1
2
1
2
1 =

−

−

→ x
x
x
a. 4√ b. 2√. c. √ d. ½ √ e. ¼ √ s-03-II
65. Nilai dari ....
2
sin
sin
2
2
lim
0
=
+
→ x
x
x
x
a. –½ b. –¼ c. ¼ d. ½ . e. 1
66.
1
1
sin
lim
0 −
−
→ x
x
x
= .... (spmb 2004, RI, 442, No.11)
a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 e. -2
67. Nilai ....
4
cos
1
3
tan
0
lim
=
−
→ x
x
x
x
a. 3
/32 b. 3
/16 c. 3
/8 d. 4
/3 e. 8
/3 un-05-C
68. 3
0 6
6
cos
tan
tan
lim
x
x
x
x
x
−
→
= ....
a. ½ b. 2
/3 c. 3
/2 d. 2 e. 3
69. 2
0
1
2
cos
lim
x
x
x
−
→
= ....
a. 0 b. -2 c. 2 d. 1 e. 

34. Limit Fungsi
Adem ~ 34 ~
70.
1
2
cos
lim
2
0 −
→ x
x
x
= ....
a. ½ b. -½ c. 1 d. -1 e. -2
71.
x
x
x
x sin
cos
2
cos
lim
4
−

→
= .... (UN 2006, D10-P11 No. 14)
a. 0 b. ½√2 c. 1 d. √2. e. 
72. ....
sin
cos
sin
2
1
lim
2
4
=
−
−

→ x
x
x
x
a. 1 b. ½√2 c. √2. d. 0 e.  u-01-B
73. ....
2
cos
2
sin
1
lim 2
4
=
−

→ x
x
x
a. - ½ b. 0 c. ½. d. ¼ e. 1
/6 u-01-A
74.
( ) ....
12
12
3
2
cos
1
lim 2
2
2
=








+
−
−
−
→ x
x
x
x
a. 0 b.
3
1
c.
3
1
d. 1 e. 3

35. Limit Fungsi
Adem ~ 35 ~
75. Nilai ....
4
4
)
2
cos(
1
lim 2
2
=
+
+
+
−
−
→ x
x
x
x
a. 0 b.
4
1
c.
2
1
d. 2 e. 4
76.
( )
....
1
1
1
cos
1
1
sin
lim
1
=
−






−






−
→ x
x
x
x
a. -1 b. - ½ c. 0 d. ½ e. 1. u-01-A
77.
x
x
x
x 2
sin
3
cos
1
lim
0
−
→
= ....
a. 4½ b. 1¼ c. 1½ d. 1 e. 
78.
x
x
x
x 6
cos
1
3
tan
5
lim
0 −
→
= .... (UN 2006, D10-P1 No. 24)
a. 0 b. 5
/9 c. 5
/6 d. 5
/3 e. 
79.
x
x
x
x
2
1
0 tan
2
cos
1
lim
−
→
= .... (UN D9-P12 67 No. 23)
a. -4 b. -2 c. 1 d. 2 e. 4
80.
x
x
x
x 6
cos
1
3
sin
2
lim
0 −
→
= .... (UN D9-P45 67 No. 23)
a. -1 b. -1
/3 c. 0 d. 1
/3 e. 1

36. Limit Fungsi
Adem ~ 36 ~

37. Limit Fungsi
Adem ~ 37 ~
.

38. Limit Fungsi
Adem ~ 38 ~

39. Limit Fungsi
Adem ~ 39 ~

40. Limit Fungsi
Adem ~ 40 ~
PRO ULANGAN HARIAN LIMIT
Kiri: Tentukan nilai limit berikut:
1. lim
𝑥→3
𝑥2
− 3𝑥 + 2
2𝑥 − 3
2. lim
𝑥→0
tan 8𝑥 − sin5𝑥 + tan 3𝑥
2𝑥
3. lim
𝑥→∞
(√4𝑥2 − 𝑥 − √4𝑥2 − 3𝑥 + 7)
4. lim
𝑥→0
𝑥
√4 − 𝑥 − (2 − 𝑥)
5. lim
𝑥→0
cos 4𝑥 − 1
2𝑥 tan 2𝑥
Kanan: Tentukan nilai limit berikut:
1. lim
𝑥→2
𝑥2
− 2𝑥 − 3
2𝑥 − 2
2. lim
𝑥→0
sin 3𝑥 − tan 5𝑥 + sin 8𝑥
2𝑥
3. lim
𝑥→∞
(√9𝑥2 − 4𝑥 + 5 − √9𝑥2 − 𝑥)
4. lim
𝑥→3
𝑥2
− 9
√10 + 2𝑥 − (𝑥 + 1)
5. lim
𝑥→−1
(2𝑥 + 3) sin(𝑥 + 1)
𝑥2 + 4𝑥 + 3