JIM2019 - 1-Autour de Temple Run 2

Journée Internationale des Mathématiques 2019
Autour de Temple Run 2
Clément Boulonne (CBMaths)
14 mars 2019
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 1/52

Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus Vitesse
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème

Introduction
Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur
téléphone mobile : Temple Run 2 .

Introduction
Le but du jeu est de courir pour échapper à un monstre dont on lui a
volé une idole dans son antre.

Introduction
Courir, courir et éviter les obstacles qui sont devant vous : précipices,
rochers, piques, cascade d'eau...

Introduction
Courir, courir et éviter les obstacles qui sont devant vous : précipices,
rochers, piques, cascade d'eau...
Dans cette présentation, nous allons nous intéresser à quelques
aspects du jeu et inventer quelques problèmes mathématiques
autour de ceux-ci.

Calcul de vitesse de course
Sommaire

Objectif du jour
L'objectif du jour s'ache dans le menu et m'indique que je dois
courir 10000 mètres avant ce soir.

Objectif du jour
10000 mètres ou 10 kilomètres!!!

Objectif du jour
10000 mètres ou 10 kilomètres!!!
En combien de temps vais-je parcourir les 10000 kilomètres?

Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Sommaire
sur 10000 mètres
Généralisation
Le problème
Résolution
Le problème
Rappel de cours

sur 10000 mètres, dans la vraie vie
Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse
de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en :
1. sérieusement

Distance (en km) 6,5 10
Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
1. sérieusement

Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
en 1,53 heures!!
1. sérieusement

Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
en 1,53 heures!!
Heu non, pardon! En 1 heure, 31 minutes et 48 secondes environ. Soit
1 heures 30 de marche donc.
1. sérieusement

Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
en 1,53 heures!!
Il faudrait donc 1 heure 30 de jeu pour terminer les 10 kilomètres pour
l'objectif journalier.
1. sérieusement

Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
en 1,53 heures!!
Il faudrait donc 1 heure 30 de jeu pour terminer les 10 kilomètres pour
l'objectif journalier.
Si on complète l'objectif journalier, on peut avoir des récompenses en pièces
d'or et en gemmes.
1. sérieusement

sur 10000 mètres, sur Temple Run 2
Sauf que dans Temple Run 2 , le personne qu'on contrôle court!
Donc la vitesse est au moins doublée par rapport à de la marche
sportive 2
2. que je pratique quasi quotidiennement !

sur 10000 mètres, sur Temple Run 2
Sauf que dans Temple Run 2 , le personne qu'on contrôle court!
Donc la vitesse est au moins doublée par rapport à de la marche
sportive 2
Alors, en combien de temps vais-je parcourir les 10000 kilomètres
dans le jeu Temple Run 2 ?
2. que je pratique quasi quotidiennement !

Quelques mesures
On se place dans l'environnement Sky Summit avec le personnage
Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en
contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements.

Quelques mesures
Les premiers 1000 mètres se font en 45 secondes car il y a une phase
d'accélération du personnage;

Quelques mesures
ensuite, chaque kilomètre se fait en 30 secondes.

Quelques mesures
Si on fait un rapide calcul, on obtient :
t10 000 = 45 + 9 × 30 = 315 s,

Quelques mesures
Si on fait un rapide calcul, on obtient :
t10 000 = 45 + 9 × 30 = 315 s,
soit 5 minutes et 15 secondes.

Calcul de vitesse
La vitesse moyenne du jeu (en m/s) pour faire 10000 est donc :
V =
D
T
=
10000
315
≈ 31,75 m/s,

Calcul de vitesse
V =
D
T
=
10000
315
≈ 31,75 m/s,
ce qui nous fait du :
31,75 × 3,6 ≈ 114,3 km/h.

Calcul de vitesse
V =
D
T
=
10000
315
≈ 31,75 m/s,
31,75 × 3,6 ≈ 114,3 km/h.
Conclusion : la vitesse moyenne du personnage dans le jeu est de
114,3 km/h.

Calcul de vitesse
V =
D
T
=
10000
315
≈ 31,75 m/s,
31,75 × 3,6 ≈ 114,3 km/h.
Conclusion : la vitesse moyenne du personnage dans le jeu est de
114,3 km/h.
Conclusion sur les valeurs trouvées
Au vu des résultats trouvées (vitesse moyenne de course de 114,3 km/h),
on peut conclure que le jeu est irréaliste.

Quelques remarques
Boost de vitesse
Le temps de parcours a été calculé sans prendre en compte les boosts de
vitesse disséminés tout au long du parcours. Le boost de vitesse accélère
d'un facteur 2 le jeu pendant 500 mètres.

Quelques remarques
Boost de vitesse
Le temps de parcours a été calculé sans prendre en compte les boosts de
vitesse disséminés tout au long du parcours. Le boost de vitesse accélère
d'un facteur 2 le jeu pendant 500 mètres.
Trébuchements
Tout au long du parcours, des obstacles se dressent devant nous. Si on
touche un des obstacles (exceptés ravins, cascades et piques), on trébuche.
Quand on trébuche, notre vitesse est réinitialisée et le monstre qui nous
poursuit apparaît à l'écran pour nous réduire la visibilité du parcours. Si on
trébuche une seconde fois alors que le monstre est toujours à l'écran, il
nous attrape pour nous dévorer (ce qui sonne la n de la partie).

Calcul de vitesse de course Généralisation
Sommaire
sur 10000 mètres
Généralisation
Le problème
Résolution
Le problème
Rappel de cours

Modélisation
Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de
vitesse ni trébuchements.

Modélisation
On peut remarquer que si on augmente la longueur du parcours, la
vitesse moyenne n'est pas constante.

Modélisation
Cela vient du fait que la première partie de course (les 1000 premiers
mètres) se parcourt en un temps plus long que les autres parties. On
en dira plus à la n de cette section.

Modélisation
Si on voulait modéliser cette situation pour calculer la vitesse moyenne
pour un parcours de x mètres, on utilise ce que l'on appelle une
fonction dénie par morceaux.

Modélisation
Si on voulait modéliser cette situation pour calculer la vitesse moyenne
pour un parcours de x mètres, on utilise ce que l'on appelle une
fonction dénie par morceaux.
On va dans un premier temps dénir la fonction D qui donne la
distance parcourue (en mètres) au bout de t secondes de jeu (t 0).

Après 1000 mètres
Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de
boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt
1000 mètres en 30 secondes.

Après 1000 mètres
Pour rappel, on a parcouru les 1000 premiers mètres en 45 secondes.

Après 1000 mètres
Soit D3 la fonction dénie sur [45; +∞[ donnant la distance
parcourue après t secondes de jeu (t 45).

Après 1000 mètres
D3 est une fonction ane (vitesse constante) telle que D3(45) = 1000
et D3(75) = 2000.

Après 1000 mètres
D3 est une fonction ane (vitesse constante) telle que D3(45) = 1000
et D3(75) = 2000.
On cherche donc les coecients a et b tels que D3(t) = at + b sur
l'intervalle [45; +∞[.

Après 1000 mètres
On cherche donc les coecients a et b tels que f (t) = at + b sur

Après 1000 mètres
On peut utiliser les propriétés des fonctions anes.

Après 1000 mètres
On peut utiliser les propriétés des fonctions anes.
Détermination des coecients, fonction ane
On munit le plan d'un repère orthonormé (O,#»
ı ,#»
 ) et soit A (xA ; yA) et
B (xB ; yB) deux points distincts de ce plan. La droite passant par les
points A et B est la courbe représentative d'une fonction ane f telle que
f (x) = ax + b avec :
a =
yB − yA
xB − xA
et b = yA − axA = yB − axB.

a =
yB − yA
xB − xA

a =
yB − yA
xB − xA
On a ainsi :
a =
2000 − 1000
75 − 45
=
1000
30
=
100
3
.
et b = 1000 − 1000 ×
3
2
= −
1000
2
= −500.

a =
yB − yA
xB − xA
On a ainsi :
a =
2000 − 1000
75 − 45
=
1000
30
=
100
3
.
et b = 1000 − 1000 ×
3
2
= −
1000
2
= −500.
Conclusion : D3(t) =
100
3
t − 500 sur [45; +∞[.

Les 1000 premiers mètres
Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers
mètres, il nous faut d'autres mesures :

on parcourt les 750 premiers mètres à vitesse constante en 36 secondes
(12 secondes par 250 mètres).

on parcourt les 250 mètres suivants en 9 secondes.

Si on fait l'addition des temps sur les tronçons de 250 mètres, on
obtient bien :
t1 000 = 3 × 12 + 9 = 36 + 9 = 45 s,
ce qui valide notre temps mesuré lors des premières mesures.

Si on fait l'addition des temps sur les tronçons de 250 mètres, on
obtient bien :
t1 000 = 3 × 12 + 9 = 36 + 9 = 45 s,
ce qui valide notre temps mesuré lors des premières mesures.
On va devoir découper l'intervalle [0; 45] en deux : sur [0; 36], on
court à une vitesse constante et sur l'intervalle [36; 45], on a une
croissance de la vitesse (accélération).

Modélisation sur l'intervalle [0; 36]
Sur l'intervalle [0; 36], on peut modéliser le temps de parcours en
fonction de la distance parcourue à l'aide d'une fonction ane.

La fonction est même linéaire car sa courbe représentative (une droite)
passe par le point (0; 0).

On peut ainsi déterminer le coecient de la fonction si on remarque
que la courbe représentative passe par le point (36; 750) :
a =
750
36
=
125
6
.

On peut ainsi déterminer le coecient de la fonction si on remarque
que la courbe représentative passe par le point (36; 750) :
a =
750
36
=
125
6
.
Conclusion : la fonction qui modélise le temps de parcours en fonction
de la distance est la fonction D1(t) =
125t
6
dénie sur l'intervalle
[0; 36].

FFF

FFF
Sur l'intervalle [36; 45], on va procéder à un raccordement C1,
c'est-à-dire une fonction D2 dénie sur l'intervalle [36; 45] et telle
que : 










D2(36) = 125
6 × 36 = 750
D0
2(36) = 125
6
D2(45) = 1000
D0
2(45) = 100
3

FFF
Sur l'intervalle [36; 45], on va procéder à un raccordement C1,
c'est-à-dire une fonction D2 dénie sur l'intervalle [36; 45] et telle
que : 










D2(36) = 125
6 × 36 = 750
D0
2(36) = 125
6
D2(45) = 1000
D0
2(45) = 100
3
On fait donc une interpolation polynomiale, la fonction D2 admet 4
conditions donc son expression est, au minimum , un polynôme de
degré 3. Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels
que :
D2(t) = at3
+ bt2
+ ct + d.

Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels que :
D2(t) = at3
+ bt2
+ ct + d.

D2(t) = at3
+ bt2
+ ct + d.
On donne la dérivée de la fonction D2(t) en fonction de a, b, c et d :
D0
2(t) = 3at2
+ 2bt + c.

D2(t) = at3
+ bt2
+ ct + d.
On donne la dérivée de la fonction D2(t) en fonction de a, b, c et d :
D0
2(t) = 3at2
+ 2bt + c.
Les coecients a, b, c et d vérient le système d'équations suivant :











a × 363 + b × 362 + c × 36 + d = 750
a × 453 + b × 452 + c × 45 + d = 1000
3a × 362 + 2b × 36 + c = 125
6
3a × 452 + 2b × 45 + c = 100
3
⇔











46656a + 1296b + 36c + d = 750
91125a + 2025b + 45c + d = 1000
3888a + 72b + c = 125
6
6075a + 90b + c = 100
3 .

Modélisation sur l'intervalle [0,75; 1]
La solution du système donnée par le site WolframAlpha
(https://www.wolframalpha.com/) est la suivante :











a = − 25
1 458
b = 25
9
c = −225
2
d = 2000
; D2(t) = −
25
1458
t3
+
25
9
t2
−
225
2
t + 2000.

Modélisation sur l'intervalle [0,75; 1]
La solution du système donnée par le site WolframAlpha
(https://www.wolframalpha.com/) est la suivante :











a = − 25
1 458
b = 25
9
c = −225
2
d = 2000
; D2(t) = −
25
1458
t3
+
25
9
t2
−
225
2
t + 2000.
Conclusion : la fonction modélisant la distance parcourue au bout de t
secondes de jeu est la fonction D dénie sur [0; +∞[ de la manière
suivante :
f (x) :=





D1(x) = 125t
6 si x ∈ [0; 36]
D2(x) = − 25
1 458t3 + 25
9 t2 − 225
2 t + 2000 si x ∈ [36; 45]
D3(x) = 100t
3 − 500 si x ∈ [45; +∞[

Tracé de la courbe représentative
On obtient ainsi CD la courbe représentative de la fonction D sur

Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Sommaire
sur 10000 mètres
Généralisation
Le problème
Résolution
Le problème
Rappel de cours

On s'intéresse à l'évolution de la vitesse moyenne tout au long du
parcours de notre fugitif.

On a vu, dans la partie précédente, que l'expression de la fonction
modélisant la distance parcourue par rapport au temps est diérente
sur trois intervalles donc ce n'est pas une fonction ane.

On a vu, dans la partie précédente, que l'expression de la fonction
modélisant la distance parcourue par rapport au temps est diérente
sur trois intervalles donc ce n'est pas une fonction ane.
La vitesse moyenne à l'instant t 0 correspond au coecient
directeur de la droite passant par les points (0,0) et (t,D(t)). Elle est
donnée par la formule :
VM(t) =
D(t) − D(0)
t − 0
=
D(t)
t
.

On étudie la fonction VM sur l'intervalle [45; +∞[. On a ainsi
l'expression de VM :
VM(t) =
D(t)
t
=
D3(t)
t
=
100t
3 − 500
t
=
100
3
−
500
t
,

VM(t) =
D(t)
t
=
D3(t)
t
=
100t
3 − 500
t
=
100
3
−
500
t
,
puis la dérivée V 0
M de la fonction VM :
V 0
M(t) =
500
t2
.

VM(t) =
D(t)
t
=
D3(t)
t
=
100t
3 − 500
t
=
100
3
−
500
t
,
V 0
M(t) =
500
t2
.
Comme t2 0 pour tout t ∈ [45; +∞[, la fonction dérivée V 0
M est
positive sur [45; +∞[ et donc la fonction VM est croissante sur
[45; +∞[.

VM(t) =
D(t)
t
=
D3(t)
t
=
100t
3 − 500
t
=
100
3
−
500
t
,
V 0
M(t) =
500
t2
.
Comme t2 0 pour tout t ∈ [45; +∞[, la fonction dérivée V 0
M est
positive sur [45; +∞[ et donc la fonction VM est croissante sur
[45; +∞[.
On peut aussi s'intéresser à la limite de la fonction VM :
` = lim
t→+∞
VM(t) = lim
t→+∞
100
3
−
500
t
=
100
3
car lim
t→+∞
−
500
t
= 0.

La courbe représentative de la fonction VM sur [45; +∞[ est
l'hyperbole tracée ci-dessous :

La courbe représentative de la fonction VM sur [45; +∞[ est
l'hyperbole tracée ci-dessous :
Voilà! Maintenant, vous savez tout sur comment a été programmé la
vitesse de course du fugitif dans Temple Run 2.

Obtenir le core au trésor
Sommaire

Obtenir le core au trésor Le problème
Sommaire
sur 10000 mètres
Généralisation
Le problème
Résolution
Le problème
Rappel de cours

Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course.

Ces cores sont à une hauteur h du sol.

Le fugitif peut sauter, chaque saut mesure 40 mètres. Le saut décrit
une courbe parfaitement parabolique et symétrique (c'est-à-dire que la
trajectoire atteint son maximum 20 mètres après le début du saut et la
hauteur atteinte en son maximum correspond à la hauteur h du core).

Le fugitif attrape le core s'il atteint 60 % de la hauteur maximale du
saut.

saut.
Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à
1000 mètres du départ.

saut.
À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour
que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor?

Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Sommaire
sur 10000 mètres
Généralisation
Le problème
Résolution
Le problème
Rappel de cours

Dans l'énoncé, il est marqué que chaque saut mesure 40 mètres et que
la trajectoire est parfaitement parabolique. Elle peut donc être
modélisée par une fonction du second degré :
S(x) = ax2
+ bx + c.

S(x) = ax2
+ bx + c.
Le coureur est au niveau du sol à d0 mètres du départ et atterit de
nouveau sur le sol à d0 + 40 mètres.

S(x) = ax2
+ bx + c.
De plus, la trajectoire de la parabole atteint son maximum h en
d0 + 20.

S(x) = ax2
+ bx + c.
De plus, la trajectoire de la parabole atteint son maximum h en
d0 + 20.
On a donc trois images de la fonction S :





S(d0) = 0
S(d0 + 20) = h
S(d0 + 40) = 0.

Pour que la modélisation soit cohérente, on peut noter Sd0 la fonction
dénie sur [d0 ; d0 + 40] et telle que :





Sd0(d0) = 0
Sd0(d0 + 20) = h
Sd0(d0 + 40) = 0.

Pour que la modélisation soit cohérente, on peut noter Sd0 la fonction
dénie sur [d0 ; d0 + 40] et telle que :





Sd0(d0) = 0
Sd0(d0 + 20) = h
Sd0(d0 + 40) = 0.
On peut xer la valeur d0 = 0 en remarquant que la trajectoire du
saut en un instant d0 quelconque peut se déduire par une translation
de la trajectoire du saut en l'instant 0. Soit donc à interpoler la
fonction suivante : 




S0(0) = 0
S0(20) = h
S0(40) = 0.

Les racines du polynômes S0 se situent en d1 = 0 et d2 = 40 donc le
polynôme s'écrit de la manière suivante :
S0(d) = αd(d − 40).

S0(d) = αd(d − 40).
On cherche donc α tel que S(20) = h. On a :
S0(20) = h ⇔ α × 20 × (−20) = h ⇔ −400α = h ⇔ α = −
h
400
.

S0(d) = αd(d − 40).
S0(20) = h ⇔ α × 20 × (−20) = h ⇔ −400α = h ⇔ α = −
h
400
.
Ainsi :
S0(d) = −
h
400
× d × (d − 40)

S0(d) = αd(d − 40).
S0(20) = h ⇔ α × 20 × (−20) = h ⇔ −400α = h ⇔ α = −
h
400
.
Ainsi :
S0(d) = −
h
400
× d × (d − 40)
et les translatées horizontales (pour d0 0) sont de la forme :
Sd0(d) = −
h
400
× (d − d0) × (d − d0 − 40).

Sur la gure suivante, on a tracé les courbes représentatives des fonctions
S0, S10, S20 et S30 en prenant comme valeur h = 2.

Obtenir le core au trésor Résolution
Sommaire
sur 10000 mètres
Généralisation
Le problème
Résolution
Le problème
Rappel de cours

Résolution

Résolution
On cherche donc d tel que S0(d) 60
100h. On résout l'équation :
S0(d) =
60
100
h ⇔ −
h
400
d(d−40) =
60h
100
⇔
−h
400
d2
+
40h
400
d−
60
100
h = 0

Résolution
S0(d) =
60
100
h ⇔ −
h
400
d(d−40) =
60h
100
⇔
−h
400
d2
+
40h
400
d−
60
100
h = 0
⇔ −
h
400
d2
+
−h
400
(−40d) +
−h
400
× 240 = 0

Résolution
S0(d) =
60
100
h ⇔ −
h
400
d(d−40) =
60h
100
⇔
−h
400
d2
+
40h
400
d−
60
100
h = 0
⇔ −
h
400
d2
+
−h
400
(−40d) +
−h
400
× 240 = 0
⇔ −
h
400
(d2 − 40d + 240) = 0 .

Résolution
Comme −
h
400
est diérent de 0 (car h 0), on se retrouve à résoudre
l'équation suivante :
d2
− 40d + 240 = 0.

Résolution
Comme −
h
400
d2
− 40d + 240 = 0.
On calcule le discriminant de l'équation :
∆ = (−40)2
− 4 × 240 = 1600 − 960 = 640 0.

Résolution
Comme −
h
400
d2
− 40d + 240 = 0.
∆ = (−40)2
− 4 × 240 = 1600 − 960 = 640 0.
√
∆ =
√
640 =
√
8 × 8 × 10 = 8
√
10.

Résolution
Comme −
h
400
d2
− 40d + 240 = 0.
∆ = (−40)2
− 4 × 240 = 1600 − 960 = 640 0.
√
∆ =
√
640 =
√
8 × 8 × 10 = 8
√
10.
On a donc deux solutions à l'équation :
d1 =
40 − 8
√
10
2
= 20− 4
√
10 et d2 =
40 + 8
√
10
2
= 20+ 4
√
10.

Résolution
Comme −
h
400
d2
− 40d + 240 = 0.
∆ = (−40)2
− 4 × 240 = 1600 − 960 = 640 0.
√
∆ =
√
640 =
√
8 × 8 × 10 = 8
√
10.
On a donc deux solutions à l'équation :
d1 =
40 − 8
√
10
2
= 20− 4
√
10 et d2 =
40 + 8
√
10
2
= 20+ 4
√
10.
Ainsi, entre la position d1 = 20 − 4
√
10 et d2 = 20 + 4
√
10,
le fugitif peut rattraper le core.

Conclusion nale
Pour trouver la distance d0 tel que d0 + (20 − 4
√
10) = 1000. Soit :
d0 + (20 − 4
√
10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4
√
10

Conclusion nale
√
10) = 1000. Soit :
d0 + (20 − 4
√
10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4
√
10
⇔ d0 = 980 + 4
√
10 ≈ 992,65 m.

Conclusion nale
√
10) = 1000. Soit :
d0 + (20 − 4
√
10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4
√
10
⇔ d0 = 980 + 4
√
10 ≈ 992,65 m.
Ainsi, le point (1000; 6h
10 ) appartient à la courbe représentative de la
fonction S992,645, il faudra donc sauter au maximum à 992,65 mètres
après le ligne de départ pour pouvoir obtenir le core qui se situe à

Conclusion nale
√
10) = 1000. Soit :
d0 + (20 − 4
√
10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4
√
10
⇔ d0 = 980 + 4
√
10 ≈ 992,65 m.
Ainsi, le point (1000; 6h
10 ) appartient à la courbe représentative de la
fonction S992,645, il faudra donc sauter au maximum à 992,65 mètres
après le ligne de départ pour pouvoir obtenir le core qui se situe à
Sur la gure suivante, on a pris la valeur h = 2 et 6h
10 = 1,2.

Achat du bonus Vitesse
Sommaire

Achat du bonus Vitesse Le problème
Sommaire
sur 10000 mètres
Généralisation
Le problème
Résolution
Le problème
Rappel de cours

Quand on ramasse des cores au trésor, on peut collecter des objets
tels que des masques ou des reliques.

Un masque rapporte 3 gemmes et une relique (plus rare) 7 gemmes.

Avec 25 gemmes, on peut s'acheter le bonus Vitesse qui nous
permettra (avec un nombre de pièces susant pendant la course),
courir 2 fois plus vite sur une distance de 250 mètres.

Avec 25 gemmes, on peut s'acheter le bonus Vitesse qui nous
permettra (avec un nombre de pièces susant pendant la course),
courir 2 fois plus vite sur une distance de 250 mètres.
Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser
pour obtenir le bonus Vitesse ?

Achat du bonus Vitesse Rappel de cours
Sommaire
sur 10000 mètres
Généralisation
Le problème
Résolution
Le problème
Rappel de cours

Pour résoudre rigoureusement ce problème, un petit rappel de cours
d'arithmétique s'impose :
Équation diophantienne
Soient a, b et c trois nombres entiers relatifs. Résoudre une équation
diophantienne, c'est déterminer tous les nombres entiers relatifs x et y qui
vérient :
ax + by = c.

Pour résoudre de tels équations, nous allons utiliser (sans les démontrer) les
résultats suivants :
Théorème de Bézout
L'équation ax + by = 1 (avec a et b deux entiers relatifs) admet des
solutions entières si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (c'est-à-dire si a et b
sont premiers entre eux).

Proposition
Si le couple (x; y) est solution de l'équation ax + by = 1 alors, pour d ∈ Z,
le couple (dx; dy) est solution de l'équation ax + by = d.

Proposition
Si le couple (x; y) est solution de l'équation ax + by = 1 alors, pour d ∈ Z,
le couple (dx; dy) est solution de l'équation ax + by = d.
Lemme de Gauss
Si un nombre entier a divise bc (b et c étant deux nombres entiers) et si
pgcd(a; b) = 1, alors a divise c.

Achat du bonus Vitesse Résolution du problème
Sommaire
sur 10000 mètres
Généralisation
Le problème
Résolution
Le problème
Rappel de cours

Pour résoudre le problème, il nous faut résoudre l'équation
diophantienne d'inconnues m et r suivante :
3m + 7r = 25 (E)
avec m le nombre de masques ramassés et r le nombre de reliques.

3m + 7r = 25 (E)
Comme m et r désignent des quantités, les valeurs m et r doivent être
positifs.

3m + 7r = 25 (E)
Comme m et r désignent des quantités, les valeurs m et r doivent être
positifs.
On résout donc le système suivant :





3m + 7r = 25
m 0
r 0.

On remarque tout d'abord que pgcd(3; 7) = 1 donc, d'après le
théorème de Bézout, l'équation :
3m + 7r = 1 (E1)
a des solutions entières.

3m + 7r = 1 (E1)
Pour trouver une solution particulière, on peut utiliser l'algorithme
d'Euclide inversée :
7 = 3 × 2 + 1
1 = 7 − 3 × 2

3m + 7r = 1 (E1)
Pour trouver une solution particulière, on peut utiliser l'algorithme
d'Euclide inversée :
7 = 3 × 2 + 1
1 = 7 − 3 × 2
Ainsi, une solution particulière de (E1) est :
m0 = −2 et r0 = 1.

On peut déduire une solution particulière de (E) en considérant
m1 = 25m0 = −50 et r1 = 25r0 = 25. On a alors :
3 × (−50) + 7 × 25 = 25. (E0)

m1 = 25m0 = −50 et r1 = 25r0 = 25. On a alors :
3 × (−50) + 7 × 25 = 25. (E0)
On peut alors combiner l'équation (E0) et (E) comme suivant :
−3 × 50 + 7 × 25 − (3m + 7r) = (25 − 25)
⇔ −(3 × 50 − 7 × 25) + 3m + 7r = 0
⇔ 3m − 3 × 50 + 7r − 7 × 25 ⇔ 3(m + 50) + 7(r − 25) = 0.

m1 = 25m0 = −50 et r1 = 25r0 = 25. On a alors :
3 × (−50) + 7 × 25 = 25. (E0)
On peut alors combiner l'équation (E0) et (E) comme suivant :
−3 × 50 + 7 × 25 − (3m + 7r) = (25 − 25)
⇔ −(3 × 50 − 7 × 25) + 3m + 7r = 0
⇔ 3m − 3 × 50 + 7r − 7 × 25 ⇔ 3(m + 50) + 7(r − 25) = 0.
En passant +7(r − 25) de l'autre côté du signe = , on obtient :
3(m + 50) = −7(r − 25).

On utilise ensuite deux fois le lemme de Gauss comme suit :

3 divise −7(r − 25) et pgcd(3; −7) = pgcd(3; 7) = 1 donc 3 divise
(r − 25). Il existe donc un entier relatif k tel que 3k = r − 25,
c'est-à-dire r = 3k + 25.

−7 divise 3(m + 50) et pgcd(3; −7) = 1 donc −7 divise (m + 50). Il
existe donc un entier relatif k tel que −7k = m + 50, c'est-à-dire
m = −7k − 50.

−7 divise 3(m + 50) et pgcd(3; −7) = 1 donc −7 divise (m + 50). Il
existe donc un entier relatif k tel que −7k = m + 50, c'est-à-dire
m = −7k − 50.
Ainsi les solutions de l'équation diophantienne (E) sont les éléments
de l'ensemble :
{k ∈ Z : m = −7k − 50 et r = 3k + 25} .

On cherche maintenant les solutions simultanément positives,
c'est-à-dire les entiers relatifs k vériant :
(
3k + 25 0
−7k − 50 0
⇔
(
3k −25
−7k 50
⇔
(
k −25
3
k 6 −50
7

On cherche maintenant les solutions simultanément positives,
c'est-à-dire les entiers relatifs k vériant :
(
3k + 25 0
−7k − 50 0
⇔
(
3k −25
−7k 50
⇔
(
k −25
3
k 6 −50
7
En combinant les deux inéquations et en remarquant que :
−
25
3
≈ 8,33 et −
50
7
≈ −7,14,
on obtient :
−8,33 6 k 6 −7,14.

Ainsi, il existe une solution entière simultanément positive pour
k = −8.

k = −8.
On a donc :
r = 3 × (−8) + 25 = 1 et m = −7 × (−8) − 50 = 56 − 50 = 6.

k = −8.
On a donc :
r = 3 × (−8) + 25 = 1 et m = −7 × (−8) − 50 = 56 − 50 = 6.
Il faut donc ramasser une relique et six masques au minimum pour
obtenir le bonus Vitesse .

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