Integrales, reglas de integración, métodos de resolución

1. Matemática Aplicada
a la Informática
Tema: Integral Indefinida, método
de sustitución, integral
exponencial
Docente: Mg. Martha Elizabeth Salazar Jácome

2. La calidad nunca es un accidente, siempre es
resultado de un esfuerzo de la inteligencia
(John Ruskiin)

3. Objetivo
Hallar la antiderivada de
una función, utilizando el
método directo o por el
método que más se adapte
a la función.
● Integral indefinida
● Definición
● Propiedades
● Antiderivada
● Método directo de
integración
● Método por
sustitución
● Integral exponencial
Contenidos

4. Bibliografía Recomendada
Cálculo integral (4a. ed.), Morales Téllez, Fernando -
Colín Uribe, María Patricia - Islas Salomón, Celia
Araceli, 2019, Grupo Editorial Éxodo.
https://elibro.net/e s/ereader/uisrael/1 30344?page=1
Cálculo integral: un nuevo enfoque, Guerrero Torres,
Gustavo, 2019, Grupo Editorial Patria.
https://elibro.net/e s/ereader/uisrael/1 21277?page=1

5. Integral Indefinida

7. Definición y Propiedades
● Se dice que F(x) es una primitiva o antiderivada de f (x); es decir, las
primitivas de f (x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f (x)
● Una característica distintiva de una función primitiva es que tiene
infinitas primitivas, que se diferencian entre sí mediante una
constante:
𝐹 𝑥 + 𝑐 ′
= 𝐹′
𝑥 + 0 = 𝐹′
𝑥 = 𝑓(𝑥)

8. Definición y Propiedades
● Así, dada una función f (x), la integración es el conjunto de métodos mediante
los cuales es posible calcular la función primitiva; esto es:
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐
● La expresión anterior representa el teorema fundamental del cálculo, que
consiste en hallar una función F(x), tal que f (x) es su derivada.

9. Definición y Propiedades
● De la ecuación se tiene que ∫ es el símbolo que representa a la integral, la
función f(x) es el integrando o función a integrar, x es la variable de
integración, dx es la diferencial de x, que indica cuál es la variable de la
función que se va a integrar, y c es una constante, conocida como constante
de integración, la cual puede tomar cualquier valor numérico real, y que, cada
vez que se resuelva una integral indefinida, es necesario sumarla al resultado
de la integración.

10. Propiedades de la integral Indefinida
● La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de
dichas funciones:
න 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
● La integral del producto de una constante por el integrando es igual a la
constante por la integral del integrando:
න 𝑘 ∗ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

11. Propiedades de la integral Indefinida
● Para la integral de una multiplicación, una división o una composición de
funciones no existe una fórmula que permita obtener el resultado directo de
la integración, como sucede en el caso de la derivación:
‫׬‬ 𝑓 𝑥 ∗ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ‫׬‬
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
𝑑𝑥 ‫׬‬ 𝑓 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
● En estos casos, el método de integración a emplear depende más que nada
de la relación existente entre las funciones f (x) y g(x).

12. Integrales inmediatas
● Puesto que la integral es la operación contraria de la derivada, para la
obtención de la integral de un monomio se siguen los mismos pasos que
para la derivada, pero en sentido contrario y con la operación contraria

13. Primeras fórmulas básicas
● ‫׬‬ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐
● ‫׬‬ 𝑘 ∗ 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐
● ‫׬‬ 𝑘 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ‫׬‬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
● ‫׬‬ 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ‫׬‬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ‫׬‬ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
● ‫׬‬ 𝑥𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐

14. Ejercicios
● ‫׬‬ 𝑥3𝑑𝑥 ● ‫׬‬ 8𝑥6𝑑𝑥

15. Ejercicios
● ‫׬‬
𝑥2−4
𝑋4 𝑑𝑥

16. Ejercicios
● ‫׬‬(4𝑥5
+ 6𝑥2
+ 8𝑥 + 3) 𝑑𝑥

17. Ejercicios
● ‫׬‬(𝑥2 − 1)2 𝑑𝑥

18. Ejercicios
● ‫׬‬ 3𝑥2(2𝑥 + 3)2 𝑑𝑥

19. Integral por Cambio de
Variable

20. Integral por cambio de variable
● Este método de integración se emplea cuando la integral contiene el
producto de dos polinomios, donde el polinomio de menor grado sea la
derivada del de mayor grado. Sin embargo, es posible que el polinomio de
mayor grado, a su vez, tenga exponente, en tal caso, el cambio de variable lo
realizará dicho polinomio, el cual se representa como u y se integra con la
fórmula:
න 𝑢𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ −1

21. Ejemplo:
න
3
2 − 3𝑥 𝑑𝑥

22. Ejemplo:
න
3𝑥3
4𝑥4 + 5
𝑑𝑥

23. Ejemplo:
න
7𝑥 𝑑𝑥
(4𝑥2 − 1)3
𝑑𝑥

24. Ejemplo:
න
(𝑥 + 1)
𝑥2 + 2𝑥 − 4
𝑑𝑥

25. Ejemplo:
න
(6𝑥2 − 12𝑥 + 14)
4
(𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 4)3
𝑑𝑥

26. Ejemplo:
න 4𝑥3
− 14𝑥 − 3 𝑥4
− 7𝑥2
− 3𝑥 5
𝑑𝑥

27. Integral de funciones
exponenciales

28. Integración de funciones exponenciales
● A pesar de que se trate de Integrar una función exponencial, es
necesario realizar un cambio de variable, por lo que u es el exponente,
Para ello, se obtiene su derivada, se completa la integral y se hace el
cambio de variable de la x a la u; después, se integra con la fórmula
‫׬‬ 𝑒𝑢
𝑑𝑢 = 𝑒𝑢
+ 𝑐 y, al final, se regresa el cambio de variable.

29. Ejercicios
● ‫׬‬ 𝑒4𝑥𝑑𝑥 ● ‫׬‬ 5𝑥2𝑒2𝑥3
𝑑𝑥

30. Ejercicios
● ‫׬‬
7𝑒3𝑥
3
(4𝑒3𝑥−5)2
𝑑𝑥

31. Ejercicios
● ‫׬‬
4𝑥2
𝑒7𝑥3 𝑑𝑥

32. Ejercicios
● ‫׬‬
−2𝑒4𝑥
3
(7𝑒4𝑥−2)4
𝑑𝑥

33. Integral de Funciones que
dan como resultado un
logaritmo natural

34. Integral de funciones que dan como resultado un logaritmo
natural
● Saber identificar cuando una integral dará como resultado un logaritmo
natural, requiere reconocer el cumplimiento de las siguientes condiciones:
○ La integral debe contener una Fracción.
○ El denominador debe tener exponente uno, o sea, no estar dentro de un paréntesis.
○ El numerador debe ser la derivada del denominador:
● En este caso, el cambio de variable lo hace el denominador; luego, se deriva, se
completa la integral y se hace el cambio de variable a u, lo que dará como
resultado la fórmula:
● Por último, después de integrar, se regresa el cambio de variable.
න
𝑑𝑢
𝑢
= ln 𝑢 + 𝑐

35. Leyes de logaritmos
● Para simplificar los resultados, se hace uso de las leyes de los logaritmos:
ln 𝑎 ∗ 𝑏 = ln 𝑎 + ln(𝑏)
ln
𝑎
𝑏
= ln 𝑎 − ln(𝑏)
ln 𝑎𝑛 = n ∗ ln 𝑎
ln
𝑚
𝑎𝑛 =
𝑛
𝑚
∗ ln 𝑎

36. Ejercicios
● ‫׬‬
𝑥2 𝑑𝑥
1−𝑥3

37. Ejemplo:
‫׬‬
𝑥2+2𝑥+2 𝑑𝑥
𝑥+2
Fracción impropia (grado del numerador mayor que denominador)

38. Ejercicios
● ‫׬‬
2𝑥+5 𝑑𝑥
𝑥2+5𝑥+6

39. Ejemplo:
න
𝑥2
− 4𝑥 + 6 𝑑𝑥
𝑥 − 1

40. Resumen y Conclusión

41. Diseño instruccional
•Revise el material de apoyo colocado en la SECCIÓN EXPOSICIÓN
•Ingrese a los enlaces a videos sugeridos para que pueda profundizar sobre el
tema a tratar en clases, colocados en la SECCIÓN EXPOSICIÓN
•Participe en la actividad colocada en el SECCIÓN REBOTE
•Participe en el Foro de la SECCIÓN CONSTRUCCIÓN.
•Resuelva los ejercicio propuestos de la SECCIÓN COMPROBACIÓN, la tarea
debe ser resuelta a mano no a computadora, con buena letra, grabe el
documento con su nombre y apellido y en formato PDF, súbala antes de la fecha
especificada, no se receptarán tareas atrasadas.

42. Gracias
Responsabilidad con pensamiento positivo

43. Tu futuro nos inspira
0998492883 msalazar@uisrael.edu.ec