13. Pembicaraan mengenai permutasi dan kombinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar membilang dan faktoral
a. Prinsip dasar membilang
Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam 𝑛1 cara, kejadian kedua 𝑛2 cara, demikian seterusnya sampai kejadian k dalam 𝑛𝑘 cara
keseluruhan kejadian dapat terjadi dalam :
𝑛1 x 𝑛2 x … x 𝑛𝑘 cara
Contoh soal :
Seorang pengusaha ingin berpergian dari jakarta ke ujung pandang melalui surabaya. Jika jakarta- surabaya dapat dilalui dengan 3
cara dan surabaya- ujung pandang dapat dilalui 2 cara, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba ke ujung pandang melalui
surabaya ?
Cara peyelesaian :
Misalkan : dari jakarta ke surabaya ( 𝑛1) = 3 cara
Dari surabaya ke ujung pandang ( 𝑛2 ) = 2 cara
Cara tersebut dapat tiba di ujung pandang melalui surabaya adalah :
𝑛1 𝑋 𝑛2 = 3 X 2 = 6 cara
14. b. Faktorial
Adalah perkalian semua bilangan bulat positif ( bilangan asli ) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan
bersangkutan atau sebaliknya. Faktorial dilambangkan “ ! “
Jika n = 1,2,…, maka :
n! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) … x 2 x 1
= n ( n -1 ) !
Catatan :
1 ! = 1
0! = 1
Contoh soal :
3! X 2!
Penyelesaian :
3! X 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12
15. 1. Permutasi
Adalah penyusunan atau pengaturan beberapa objek kedalam suatu
urutan tertentu.
Rumus -rumus permutasi
1. Permutasi dari n objek tanpa pengembalian
a. Permutasi dari n objek seluruhnya
Rumus :
nPn = n!
contoh soal :
tentukan nilai dari 4P4!
Penyelesaian :
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
b. Permutasi sebanyak r dari n objek
Rumus :
nPr =
𝑛!
𝑛−𝑟 !
( n ≥ r )
contoh soal :
tentukan nilai dari 6P4!
Penyelesaian :
6P4 =
6!
6−4 !
=
6 𝑋 5 𝑋 4 𝑋 3 𝑋 2 𝑋 1
2 𝑋 1
= 360
c. Permutasi melingkar
Sejumlah objek yang berbeda dapat disusul secara teratur dalam suatu lingkaran dalam
( n – 1 )! Cara.
Contoh soal :
Sebuah kelompok orang yang terdiri dari 4 orang mengelilingi meja bundar. Dalam berapa
cara orang itu dapat diatur sekeliling meja tersebut ?
Penyelesaian :
N = 4
P = ( n – 1 )!
= ( 4 – 1 )!
= 3!
= 6 cara
16. 2. Permutasi dari n objek dengan pengembalian
Rumus :
nPr = 𝑛𝑟
r ≤ n dan bilangan bulat positif
contoh soal :
tentukan permutasi dari ABC sebanyak dua unsur dengan pengembalian unsur yang terpilih !
penyelesaian :
n = 3 dan r = 2
3P2 = 32
= 9
Yaitu AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB
3. Permutasi dari n objek yang sama
Permutasi dari n objek yang sama dirumuskan :
nP𝑛1, 𝑛2 , 𝑛3, … =
𝑛!
𝑛1! . 𝑛2! . 𝑛3!…
dengan 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + … = n
contoh soal :
tentukan permutasi dari “ TAMAT “
penyelesaian :
n = 5, 𝑛1 = 2, 𝑛2 = 2, 𝑛3 = 1
5P2, 2, 1 =
5!
2!𝑋 2!𝑋 1!
=
5 𝑋 4 𝑋 3 𝑋 2 𝑋 1
2 𝑋 1 𝑋 2 𝑋 1 𝑋 1
= 30
17. 2. Kombinasi
Adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan objek tersebut
Contoh : ada 4 objek yaitu : A , B, C, D, kombinasi dari 3 objek adalah ABC, ABD, ACD,
BCD. Setiap kelompok hanya dibedakan berdasrkan objek yang diikut sertakan, bukan
urutannya
Oleh karena itu :
ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA
ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA
ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB
Rumus- rumus kombinasi
1. Kombinasi r dan n yang berbeda
Rumus :
𝐶𝑟
𝑛=
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !
n ≥ r
Contoh soal :
𝐶4
6
Penyelesaian :
𝑐4
6
=
6!
4! 6−4 !
= 15
2. Hubungan permutasi dengan kombinasi
Rumus :
𝑃𝑟
𝑛 = r! 𝐶𝑟
𝑛 atau 𝑐𝑟
𝑛=
𝑃𝑟
𝑛
𝑟!
Contoh soal :
Tentukan nilai dari pemutasi dan kombinasi berikut
𝑃4
3
Penyelesaian :
𝑃4
3
= 3! 𝐶3
4
= 3! X
4!
3! 4−3 !
= 6 X 4
= 24
