Estudio de las ciencias físicas y su relación con la fuerza elástica de los cuerpos.

1. Fuerza elástica y energı́a potencial
elástica
Prof. Alex Avilés
Fı́sica I (1113)
Facultad de Quı́mica, UNAM.
jueves 1 de diciembre de 2022, CDMX
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2. Introducción
¿Por qué estudiamos la fuerza elástica?
1 La fuerza de atracción entre los átomos de una molécula o un sólido
varı́a de un modo muy parecido al de un muelle.
Modelo de un sólido Modelos de moléculas

3. Ley de Hooke
(1)
(2)
(3)
x
x
x
r = 0.0 m
~
Fs = 0.0 N
~
F
~
F
~
Fs
~
Fs
∆r > 0.0 m
∆r < 0.0 m
Figura 1 – Muelle horizontal.
Cuando un muelle se comprime o se
alarga una pequeña cantidad ∆~
r, la
fuerza que ejerce ~
Fs, es
~
Fs = −k∆~
r. (1)
Donde:
~
Fs : fuerza elástica del muelle,
k ≡ [N/m] : constante de fuerza,
~
F : fuerza aplicada,
∆r > 0.0 m : muelle estirado,
∆r < 0.0 m : muelle comprimido.

4. Ley de Hooke
(1)
(2)
(3)
x
x
x
r = 0.0 m
~
Fs = 0.0 N
~
F
~
F
~
Fs
~
Fs
∆r > 0.0 m
∆r < 0.0 m
Figura 2 – Muelle horizontal.
Para el caso unidimensional
tenemos:
~
Fs = Fxî = (−k∆x)î,
Fx = −k∆x.
(2)
- Ley de Hooke.

5. Fuerzas conservativas y no-conservativas
Condiciones de fuerza conservativa.
A
0
0
x
y
d~
ℓ1
d~
ℓ2
d~
ℓ3
d~
ℓ4
C1
C2
C3
C4
Figura 3 – El camino cerrado C consis-
te en cuatro segmentos rectilı́neos. Pa-
ra calcular el trabajo realizado por una
fuerza ~
F a lo largo de C, calculamos
H
C
~
F · d~
ℓ.
i) El trabajo total Wtotal efectuado por
una fuerza ~
F sobre un objeto en una
trayectoria cerrada (empieza en un
punto A y regresa al mismo punto A),
es cero:
Wtotal =
I
C
~
F · d~
ℓ =
Z
C1
~
F · d~
ℓ1
+
Z
C2
~
F · d~
ℓ2 +
Z
C3
~
F · d~
ℓ3
+
Z
C4
~
F · d~
ℓ4 = 0.0 J.

6. Fuerzas conservativas y no-conservativas
Condiciones de fuerza conservativa.
O x
y
A
B
Trayectoria
1
Trayectoria 2
WAB(1)
WAB(2)
Figura 4 – Dos trayectorias en el
espacio conectan los puntos A y B.
ii) El trabajo WAB efectuado por una
fuerza ~
F sobre un objeto desde el
punto A hasta el punto B, es el mismo
independientemente de la trayectoria
seguida:
WAB(1) = WAB(2);
WAB =
Z B
A
~
F · d~
ℓ.

7. La fuerza elástica es una fuerza conservativa
(1)
(2)
(3)
x
x
x
x0 = 0 m
x0 = 0 m
xf
~
F ap
~
Fs
∆x = xf − x0
Figura 5 – La fuerza aplicada ~
F ap
mueve el bloque hacia la derecha
tirando del muelle hasta xf.
Un ejemplo de fuerza conservativa
es la que ejerce un muelle estirado (o
comprimido) de masa despreciable.
~
Fs = Fxî = (−k∆x)î,
Fx = −k∆x.
El trabajo total Ws,total realizado por
el muelle para mover el bloque hasta
su posición inicial x = xf y devolverlo
luego a x = x0 es cero,
independientemente del valor de xf.
Ws,total =
Z
~
Fs · d~
ℓ1 +
Z
~
Fs · d~
ℓ2
=
Z xf
0
Fxî · dxî +
Z 0
xf
Fxî · dxî.

8. La fuerza elástica es una fuerza conservativa
(1)
(2)
(3)
x
x
x
x0 = 0 m
x0 = 0 m
xf
~
F ap
~
Fs
∆x = xf − x0
Figura 6 – La fuerza aplicada ~
F ap
mueve el bloque hacia la derecha
tirando del muelle hasta xf.
El trabajo total Ws,total realizado por
el muelle para mover el bloque hasta
su posición inicial x = xf y devolverlo
luego a x = x0 es cero,
independientemente del valor de xf.
Ws,total =
Z
~
Fs · d~
ℓ1 +
Z
~
Fs · d~
ℓ2
=
Z xf
0
Fxî · dxî +
Z 0
xf
Fxî · dxî
= −k
Z xf
0
xdx − k
Z 0
xf
xdx
= −
1
2
kx2
f −
−
1
2
kx2
f
= −
1
2
kx2
f +
1
2
kx2
f = 0.0 J.

9. Función de energı́a potencial asociada a una fuerza
conservativa
La función energı́a-potencial U se puede definir de tal modo que
el trabajo W realizado por una fuerza conservativa ~
F sea igual a la
disminución de la función energı́a-potencial:
W =
Z 2
1
~
F · d~
ℓ = −∆U,
es decir,
∆U = U2 − U1 = −
Z 2
1
~
F · d~
ℓ (3)
-Definición: función energı́a potencial
Para un desplazamiento infinitesimal, d~
ℓ, tenemos
dU = − ~
F · d~
ℓ.

10. Energı́a potencial elástica
Para un desplazamiento infinitesimal, d~
ℓ, tenemos
dU = − ~
F · d~
ℓ. (4)
Podemos calcular la función energı́a-potencial elástica Us aso-
ciada a la fuerza ~
Fs que ejerce el muelle utilizando la ecuación (4):
dUs = − ~
Fs · d~
ℓ = −Fxî · dxî = −Fxdx = −(−kx)dx = +kxdx.
Por lo tanto,
Us = Us(x) =
Z
kxdx =
1
2
kx2
+ Us0.
Donde Us0 es la energı́a potencial para x0 = 0.0 m. Si Us0 = 0.0 J,
resulta
Us =
1
2
kx2
(5)
-Energı́a potencial elástica

11. Energı́a potencial elástica II
Us(x) =
1
2
kx2
Fx = −
dUs
dx
Us(x)
x
x
(a)
(b)
~
Fs
∆x = xf − x0
Figura 7 – (a) Energı́a potencial elástica
Us en función del desplazamiento x para
un objeto sujeto a un muelle.
Para una fuerza conservativa general
en una dimensión,
dU = − ~
F · d~
ℓ = −Fxî · dxî = −Fxdx.
La fuerza es por tanto, la derivada con
signo menos de la función energı́a
potencial:
Fx = −
dU
dx
.
Esta expresión general puede
comprobarse para el caso de un
sistema bloque-muelle:
Fx = −
dUs
dx
= −
d
dx
1
2
kx2
= −kx.

12. Bibliografı́a
P. Tipler, G. Mosca. Fı́sica para la ciencia y la tecnologı́a. Vol.
1A. 6a edición. Reverté. México, 2016.
R. Resnick, D. Halliday, K. Krane. Fı́sica. Vol. 1. 5a edición,
Patria. México. 2014.
R. Serway. Fı́sica. Tomo 1, 6a edición. McGraw-Hill, México.
2009.
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