1. Algebra abstracta
Semestre 4
Fascículo No. 5
Tabla de contenido
Conjuntos
Concepto de conjuntos
Universal
Conjunto vacío
Igualdad de conjuntos
Subconjuntos
Subconjunto propio
Superconjunto
Cardinalidad
Operaciones entre conjuntos
Unión
Intersección
Diferencias y complementos
Resumen
Bibliografía recomendada
Párrafo nexo
Autoevaluación formativa

2. Conjuntos
En esta parte del curso, estudiarás los conceptos de conjuntos: conjunto vacío,
igualdad de conjuntos, subconjuntos, unión, intersección, diferencias y
complementos y el universal, aplicando los conceptos hasta ahora estudiados de
la lógica proposicional en el análisis de éstos. Las ciencias de la computación son
finitas por naturaleza y en esta parte del curso, nos ocuparemos, principalmente,
de colecciones finitas de objetos, en contraste con las matemáticas continuas, que
estudian procesos infinitos.
Indicadores de logro
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Define el concepto de conjuntos a nivel de la lógica proposicional.
•
Reconoce los conjuntos y su clasificación.
•
Establece diferencias entre la clasificación de conjuntos.
•
Aplica los conceptos estudiados en el análisis de conjuntos.
•
En el dominio de los lenguajes, hay muchos conjuntos que incluyen el conjunto de
todos los caracteres, el conjunto de todas las vocales, el conjunto de todas las
conjunciones y el conjunto de todas las palabras. Nuestro principal interés en este
fascículo, está en objetos matemáticos, tales como el conjunto de todos los
números naturales, el conjunto de todas las premisas de una derivación o el
conjunto de todas las variables libres de una expresión.
Existe una conexión importante entre conjuntos y predicados: todos los individuos
que poseen una cierta propiedad colectivamente, forman un conjunto. Hay muchos

3. lenguajes de programación que utilizan tipos, tales como enteros, reales y
caracteres; los tipos son conjuntos.
Concepto de conjuntos
El concepto de conjunto es básico: es una reunión de objetos, los cuales reciben
el nombre de elementos del conjunto. Por ejemplo, si un cierto individuo x es
parte del conjunto A, entonces, a x se le llama elemento de A.
Un conjunto está determinado totalmente por sus miembros, es decir, por los
individuos que juntos forman el conjunto. Para describir un conjunto en particular
es necesario enumerar todos los elementos del conjunto en algún orden, para
indicar que esa enumeración es un conjunto, se coloca entre llaves la lista de
elementos. Por ejemplo: {3, 6, 7}; esta representación del conjunto se llama
notación de lista.
Sólo los conjuntos finitos pueden enumerarse explícitamente. Una notación de
lista para los conjuntos infinitos, estará dada por la notación de puntos
suspensivos, por ejemplo el conjunto de todos los números naturales pares: {0, 2,
4, 6...}. En lugar de unos puntos suspensivos que sugieran implícitamente una
regla de formación, se puede también indicar la regla de formación explícitamente.
Las reglas de formación, generalmente, son recursivas, y en este caso, se le llama
conjunto definido recursivamente. Un ejemplo de conjunto definido recursivamente
es el conjunto de todas las expresiones lógicas bien formadas.
Algunos conjuntos se representan por símbolos especiales: el conjunto de los
números naturales se representa mediante N. El conjunto de los números enteros

4. por Z y el conjunto de los números reales por R. Tanto N como Z son
enumerables, mientras que R no lo es.
Con frecuencia se da un universo de discurso, y todos los conjuntos que se van a
considerar deben de formarse a partir de los individuos de ese universo.
Universal
Se considera el universo de discurso como un conjunto, el conjunto que incluye
todos los individuos del Universo. Este conjunto se denomina conjunto Universal y
se denota como U. El conjunto Universal, es el más grande de todos los conjuntos.
Conjunto vacío
En el otro extremo está el conjunto vacío, aquél que no contiene ningún elemento.
Se denota por: { } o alternativamente por Ø.
Si un cierto individuo x es un elemento de un conjunto A. se escribe x ∈ A. Esto
se define como quot;x es un elemento de Aquot; o simplemente quot;x está en Aquot;. Por ejemplo,
si A es el conjunto {3, 7, 1}, entonces 3 ∈ A es verdadero, mientras que 6 ∈ A es
falso. Si un cierto elemento y no está en A, se escribe y ∉ A, lo cual es quot;y no es un
elemento de Aquot; o quot;y no está en Aquot;. Por ejemplo, 3 ∉{2, 4, 6} es verdadero. Por
supuesto, x ∈ Ø es falso siempre, y x ∈ U es verdadero siempre.
Igualdad de conjuntos

5. Axioma de extensionalidad: sean A y B dos conjuntos. Entonces A y B son
•
iguales si y sólo si tienen los mismos miembros. Si A y B son iguales, entonces
A = B.
Por lo cual:
[A = B] ⇔ [A ⊂ B ∧ B ⊂ A]
Ejemplo
Sean A = {b, c, d}, B ={d, c, b}, D ={1, 2, 3}, E ={3, 2, 2, 1}
Entonces, se cumple que A = B y que D = E; A y B son exactamente iguales
porque contienen exactamente los mismos miembros, los caracteres b, c, d, no
importa que el orden sea diferente; D y E son iguales, el hecho de que los
elementos en E estén enumerados en orden diferente que en D y que el número 2
aparezca dos veces en E es irrelevante.
A cada conexión lógica, le corresponde una operación de conjuntos. La igualdad
de A y B corresponde a la equivalencia de los predicados x ∈ A y x ∈ B. Por lo
tanto,
(A = B) ≡ (x ∈ A ⇔ x ∈ B) (1)
Los conjuntos pueden representarse gráficamente mediante diagramas de Venn.
En un diagrama de Venn, el conjunto universal se representa mediante un
rectángulo (o cualquier otra figura), y el conjunto de interés se representa
mediante el interior de un círculo o cualquier otra curva cerrada simple dentro del
rectángulo. Los diagramas de Venn son útiles también para visualizar conexiones
lógicas, pues para cada conexión lógica hay una operación correspondiente en los
conjuntos.

6. U
B
A
B es un subconjunto de A
Subconjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Al conjunto A se le llama subconjunto de B si todo
elemento de A es también elemento de B. Sin embargo, no todo elemento de B
necesita ser un elemento de A. La proposición de que a es un elemento de B se
expresa como: A ⊆ B.
Sea A ⊆ B, si x está en A, entonces x también debe estar en B, luego se define:
(A ⊆ B) ≡ (x ∈ A → x ∈ B) (3)
Esta definición enlaza la noción de subconjunto con la implicación lógica.
Observación

7. Recuerda que la equivalencia lógica puede expresarse en términos de implicación
lógica.
De manera similar, se puede expresar la igualdad de conjuntos utilizando la
relación de subconjuntos, por lo cual se tiene:
(A = B) ≡ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)
Realizando la demostración, se tiene:
A=B ≡ x∈A⇔x∈B Por ecuación (1)
≡ (x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A) Eliminación de ⇔
≡ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) Por ecuación (3)
Subconjunto propio
A es un subconjunto propio de B si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a
B. Si A es un subconjunto propio de B, escribimos A ⊂ B.
Un subconjunto propio es, esencialmente, sólo una parte de un conjunto. Por
ejemplo, las expresiones lógicas que son tautológicamente ciertas forman un
subconjunto propio del conjunto de todas las expresiones lógicas: todas las
tautologías son expresiones lógicas, pero hay expresiones lógicas que no son
tautologías.
Superconjunto

8. A es un superconjunto de B si B es un subconjunto de A. La proposición de que A
es un superconjunto de B se expresa como A ⊇ B. Además, A es un
superconjunto propio de B si A es un superconjunto de B que es diferente de B. En
este caso se escribe como: A ⊃ B.
Esta definición implica, por ejemplo, que el conjunto de todos los animales es un
superconjunto del conjunto de los vertebrados, que es, a su vez, un superconjunto
de todos los mamíferos.
Para expresar que A no es subconjunto de B, se escribe A ⊆ B; esta es otra
notación para representar ¬( A ⊆ B).
Cardinalidad
Sea A un conjunto con un número finito de elementos. La cardinalidad de A, se
representa por ⏐A⏐ o #A, es igual al número de elementos de A. Esta definición
sólo es aplicable a conjuntos con número finito de miembros o conjunto finitos. Si
A y B son conjuntos finitos con A ⊂ B, entonces A debe tener menos miembros
que B, es decir:
(A ⊂ B) → (#A < #B)
Operaciones entre conjuntos
Intersección
Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A ∩ B, llamado intersección de A y B, es el
conjunto que contiene todos los elementos comunes a ambos A y B.

9. Ejemplo
Sean A = {a, b, 1}, B = {a, 1, 2} y C = {2, 3, 4}. Halle las intersecciones A ∩ B, A ∩
C, y B ∩ C.
Entonces:
A ∩ B = {a, b, 1} ∩ {a, 1, 2} = {a, 1}
A ∩ C = {a, b, 1} ∩ {2, 3, 4} = { } = Ø
B ∩ C = {a, 1, 2} ∩ {2, 3, 4} = {2}
El diagrama de Venn de una intersección de dos conjuntos A y B está dado por el
área en que solapan los dos conjuntos A y B:
B
A
Las intersecciones corresponden a conjunciones: el objeto x pertenece a A ∩ B si
x pertenece a A y x pertenece a B, lo que concluye:
x ∈ (A ∩ B) ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (1)
También se puede utilizar la notación de constructores de conjuntos para expresar
la intersección así:
A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B} (2)
Tanto (1) como (2) se pueden definir de manera formal:

10. (A ∩ B) ⊆ A
Esta relación es válida como igualdad si todos los elementos de A son también
elementos de B, esto es, si A ⊆ B.
Actividad 5.1
Dados los conjuntos A = {2, 4, 6, 8}; B = {3, 4, 5, 6} y C = {1, 2, 3, 4}, Halle:
A∩B
•
B∩C
•
A∩C
•
Unión
Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A U B, llamado unión de A y B es el
conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen o bien a A o bien a B.
Ejemplo
Sea A el conjunto de todos los físicos y B el conjunto de todos los médicos. En
este caso, A U B incluye a todos los que sean o físicos o médicos o ambos.
El diagrama de Venn de una Unión de dos conjuntos A y B está dado por el área
cubierta por A o por B o por ambos:
B
A

11. La definición formal de una Unión es similar a la definición formal de una
intersección, salvo que se toman las disyunciones en lugar de las conjunciones: x
está en la unión de A y B si x está en A o en B, lo que significa:
x ∈ (A U B) ≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) (1)
También se puede utilizar la notación de constructores de conjuntos para expresar
la unión así:
A U B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B} (2)
Esto muestra que las uniones están estrechamente relacionadas con la conexión
lógica ∨.
Por definición, A U B contiene todos los elementos de A, es decir:
A⊆AUB
Esta relación es válida como igualdad si todos los elementos de A son también
elementos de B.
Actividad 5.2
Dados los conjuntos A = {2, 4, 6, 8}; B = {3, 4, 5, 6} y C = {1, 2, 3, 4}, Halle:
AUB
•
BUC
•
AUC
•

12. Diferencias y complementos
Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A - B llamado la diferencia de A y B, es el
conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Ejemplo
Sean A = {a, b, 1}, B = {a, 1, 2} y C = {2, 3, 4}. Halle las diferencias: A - B, B - A,
A - C, y B - C.
Entonces:
A - B = {a, b, 1} - {a, 1, 2} = {b}
B - A = {a, 1, 2} - {a, b, 1} = {2}
A - C = {a, b, 1} - {2, 3, 4} = {a, b, 1}
B - C = {a, 1, 2} - {2, 3, 4} = {a, 1}
El conjunto de los números compuestos es la diferencia entre el conjunto de los
números naturales y el conjunto de los números primos. Si se trabaja con un
sistema de ventanas en un computador, los pixels de una ventana forman un
conjunto. Si la ventana A está detrás de la ventana B, entonces la diferencia A - B
es exactamente el conjunto de pixels de A que son visibles.
El diagrama de Venn para la diferencia de dos conjuntos A y B está dado por:
B
A

13. Formalmente, x está en A - B si x está en A y no está en B:
x ∈ (A - B) ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∉ B)
Alternativamente el conjunto A - B es el conjunto de todos los elementos que están
en A, pero no están en B.
A - B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
Si U es el conjunto universal, entonces U - A es el conjunto de todos los elementos
que no están en A. El conjunto U - A se denomina el complemento de A.
Complementos
Sea A un conjunto. El complemento de A, se escribe ~A, es el conjunto de todos
los objetos que no pertenecen a A.
Se muestra el diagrama de Venn de ~A, el complemento del conjunto A está dado
por los puntos que están fuera de la representación de A. El complemento
corresponde a la negación. Entonces, x está en el complemento de A si y sólo si x
no está en A.
x ∈ ~A ≡ ¬(x ∈ A)
A

14. Por consiguiente, el complemento de A es el conjunto de todos los puntos que no
están en A; esto es:
~A = {x | x ∉ A}
Se utilizan paréntesis para indicar el orden con el que se llevan a cabo las
operaciones. Alternativamente, se utilizan las reglas de prioridad. Se le da
prioridad superior a ~ seguida por ∩ y U. La prioridad menor se le da a -. Se
presenta una tabla que da algunas identidades básicas que son útiles para
manipular expresiones que involucran conjuntos.
Observación
Toda Ley dada en la siguiente tabla, corresponde a una Ley dada en el fascículo
3: tabla para las Leyes de Conjunción, Disyunción y Negación.
En ambos casos las Leyes vienen en pares duales. La única excepción a esto es
la Ley de doble complementación, que es su propio dual.
Actividad 5.3
Si U = {1, 2, 3, ...., 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10},
B = {1, 2, 3, 4, 5} y C = {2, 4, 6, 8}, escriba los elementos de cada uno de los
conjuntos correspondientes:
A-B
•
U-C
•

15. B-A
•
Tabla 5.1 Identidades básicas de conjuntos
LEYES NOMBRE
Ley de complementación
A U ~A = U
Ley de exclusión
A ∩ ~A = ∅
Leyes de Identidad
A∩U=A
AU∅=A
Leyes de dominación
AUU=U
A∩∅=∅
Leyes de Idempotencia
AUA=A
A∩A=A
Ley de doble Complementación
~ (~A) = A
Leyes de Conmutatividad
AUB=BUA
A∩B= B∩A
Leyes de Asociatividad
(A U B) U C = A U (B U C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Leyes de Distributividad
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Leyes de Morgan
~ (A ∩ B) = ~ A U~ B
~ (A U B) = ~ A ∩~ B

16. Observación
Las leyes de la anterior tabla pueden demostrarse utilizando las definiciones
formales de uniones e intersecciones y las leyes de la Tabla del fascículo 3.
Ejemplo
Demostración de la Ley Conmutativa que involucra una intersección:
x ∈ (A ∩ B) ≡ x ∈ A ∧ x ∈ B
≡x∈B∧x∈A
≡ x ∈ (B ∩ A)
Resumen
En este fascículo se estudiaron los conceptos de conjuntos: el universal, conjunto
vacío, igualdad de conjuntos, subconjuntos y las operaciones entre conjuntos:
unión, intersección, diferencias y complementos.
Bibliografía recomendada
JOHNSONBAUGH, Richard. Matemáticas Discretas. Grupo Editorial Iberoamérica.
México: 1988, capítulo 2.
GROSSMAN, Stanley. Matemática discreta y lógica. Grupo Editorial Iberoamérica.
México: 1988, capítulo 5.

17. Párrafo nexo
En el siguiente fascículo, se estudiarán las tuplas, sucesiones y conjuntos de
potencia, par ordenado, producto cartesiano colecciones de conjuntos sucesiones
y cadenas. De esta manera, se estudiará cierto número de estructuras
relacionadas con los conjuntos.
Autoevaluación formativa
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas?. Donde R ={1, 2, 3},
S ={3, 4, 5} y U es el conjunto Universal.
a. R ⊆ S
b. R ⊄ S
c. ∅ ⊂ R
d. U ⊄ R
2. Hallar la unión, la intersección y el conjunto diferencia de A y B, donde A = {1,
3, 4, 5} y B = {3, 5, 7, 8}.
3. Demostrar que:

18. a. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
b. A U ∅ = A
c. A - (B ∩ C) = (A - B) U (A - C)