1. Investigación de operaciones
Docente: Dr Danilo Berroterán
I CUATRIMESTRE 2024
UNIVERSIDAD DE MANAGUA
U de M
UNIVERSIDAD DE MANAGUA
U de M
Investigación de operaciones
I CUATRIMESTRE 2024
2. Solución de modelos: Método gráfico – Isocuantas R2. Método simplex.
Tema 1. Fundamentos de Programación Lineal
Objetivo(s):
1. Analizar conceptos básicos y avanzados de modelación como técnica
primordial que se utiliza para el adecuado empleo de programación lineal.
Contenidos
3. Método Simplex
1947 Dr George Bernard Dantzig
Reflexiones sobre programación lineal
Método grafico
8. 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 = 𝟐𝟎
𝒔𝒊 𝒔𝟏 = 𝟎 − − −→ 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐𝟎
𝒔𝒊 𝒔𝟏 > 𝟎 − − −→ 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 < 𝟐𝟎
Analizando
Esto mismo ocurre con las otras restricciones
De esta manera la inecuación se satisface
9. 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 = 𝟐𝟎
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 = 𝟏𝟖
𝒙𝟏 + 𝒔𝟑 = 𝟖
Tenemos un sistema de 3
ecuaciones y 5 incógnitas
Tenemos más variables
que ecuaciones
Damos el valor de cero a
algunas incógnitas
𝑺𝑰 𝑿𝟏 = 𝟎 𝒀 𝑿𝟐 = 𝟎
𝑺𝟏 = 𝟐𝟎
𝑺𝟐 =18
𝑺𝟑 =8
𝑯𝒂𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒁 = 𝟎
𝑵𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆𝒔𝒂 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓
Nos interesa maximizar
𝒁 = 𝟕𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐
𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 ?
𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒏𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝟏 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝟐𝒙𝟏 + 𝒔𝟏 = 𝟐𝟎
𝟐𝒙𝟏 = 𝟐𝟎
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 = 𝟐𝟎
𝒙𝟏 ≤ 𝟏𝟎
11. 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒙𝟏𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒄
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 = 𝟏𝟖
𝟖 − 𝒔𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 = 𝟏𝟖
𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 − 𝒔𝟑 = 𝟏𝟎
No debemos sustituir el valor de 𝒙𝟏
en la tercera restricción p/q de ahí
despejamos la variable
MAX 𝒛 = 𝟓𝟔 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟕𝒔𝟑
𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒
𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 − 𝒔𝟑 = 𝟏𝟎
Estas ecuaciones las sustituiremos en
la función objetivo y en la primera y
en la segunda restricción
𝒛 = 𝟓𝟔 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟕𝒔𝟑
𝑺𝑼𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑨
𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒
𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 − 𝒔𝟑 = 𝟏𝟎
𝒙𝟏 + 𝒔𝟑 = 𝟖
12. Aunque estas expresiones se ven diferentes son completamente equivalente
𝑴𝑨𝑿 𝒁 = 𝟕𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐
𝑺𝑼𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑨
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟖
𝒙𝟏 ≤ 𝟖
MAX 𝒛 = 𝟓𝟔 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟕𝒔𝟑
𝑺𝑼𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑨
𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒
𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 − 𝒔𝟑 = 𝟏𝟎
𝒙𝟏 + 𝒔𝟑 = 𝟖
13.
14. REPETIMOS EL PROCESO
DANDO EL VALOR DE CERO A
ALGUNAS VARIABLES 𝑿𝟐 𝒀 𝑺𝟑
𝑺𝑰 𝑿𝟐 = 𝟎 𝒀 𝑺𝟑 = 𝟎
MAX 𝒛 = 𝟓𝟔 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟕𝒔𝟑
𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒
𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 − 𝒔𝟑 = 𝟏𝟎
𝑺𝑼𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑨
𝒙𝟏 + 𝒔𝟑 = 𝟖
𝑺𝟐 = 𝟏𝟎
𝑿𝟏 = 𝟖
𝑺𝟏 = 𝟒
Para ser más fácil identificar a que variables le
daremos el valor de cero es observando las que
aparecen el función objetivo
𝒛 = 𝟓𝟔 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟕𝒔𝟑
Z aumentará si incrementamos el valor de
𝒙𝟐
𝒔𝒊 𝑺𝟑 = 𝟎 →
𝒙𝟐 ≤ 𝟒
𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒
𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 = 𝟒
15. Una forma diferente es identificar a las
variables que no tomaran el valor de cero a estas
variables se les denomina variables básicas
Y aparecen en una sola de las ecuaciones
MAX 𝒛 = 𝟓𝟔 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟕𝒔𝟑
𝑺𝑼𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑨
𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒
𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 − 𝒔𝟑 = 𝟏𝟎
𝒙𝟏 + 𝒔𝟑 = 𝟖
Con el coeficiente # 1
por otra parte si se fija en esta expresión
𝒛 = 𝟓𝟔 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟕𝒔𝟑
Podemos deducir que Z incrementará si aumentamos
el valor de x2
como estamos maximizando Z nos interesa
que su valor aumente, incrementaremos el valor de x2
como s3 = 0 entonces x2+ s1 = 4
Como s1 = 0 entonces x2 menor = 4
16. De manera similar en la tercera
restricción podemos deducir
𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎
𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 − 𝒔𝟑 = 𝟏𝟎
𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 = 𝟏𝟎
De manera similar en la segunda
ecuación podemos deducir
𝒙𝟏 = 𝟖
𝒙𝟏 + 𝒔𝟑 = 𝟖
Como no tenemos 𝒙𝟐 entonces
no tenemos restricción
La restricción que más limita el
crecimiento es la primera de aquí
despejaremos 𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒
El objetivo aquí determinar la restricción
de la cual despejaremos la variable que
deseamos incrementar
𝒙𝟐 = 𝟒 − 𝒔𝟏 + 𝟐𝒔𝟑
𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒐𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐
𝒁 = 𝟓𝟔 + 𝟒 𝟒 − 𝒔𝟏 + 𝟐𝒔𝟑 − 𝟕𝒔𝟑
𝒛 = 𝟓𝟔 + 𝟏𝟔 − 𝟒𝒔𝟏 + 𝟖𝒔𝟑 − 𝟕𝒔𝟑
𝒛 = 𝟕𝟐 − 𝟒𝒔𝟏 + 𝒔𝟑
17. No sustituiremos el valor de 𝑥2 en la primera
restricción por que de ahí se obtuvo el despeje
Entonces sustituiremos el valor de 𝑥2 en la segunda
restricción
𝒙𝟐 + 𝒔𝟐 − 𝒔𝟑 = 𝟏𝟎
𝒙𝟐 = 𝟒 − 𝒔𝟏 + 𝟐𝒔𝟑
𝟒 − 𝒔𝟏 + 𝟐𝒔𝟑 + 𝒔𝟐 − 𝒔𝟑 = 𝟏𝟎
Quedando de esta manera
−𝒔𝟏 + 𝒔𝟐 = 𝟔
En la tercera restricción tampoco
podemos sustituir por que el valor de
𝒙𝟐 no existe
Resumiendo solo cambia la función objetivo y la
segunda restricción
Ahora construiremos un nuevo sistema
Con esto construiremos un nuevo sistema
18. Ahora daremos le daremos a s1 y s3 el valor de 0 entonces
Lo que significa que si incremento el valor s3 aumenta Z
Como antes debemos determinar cual restricción limita más
el crecimiento de s3 dado si s1 = 0 entonces la primera
restricción es
Aquí se vuelve interesante ya que el coeficiente de s3 es -
Esto significa que s3 puede aumentar sin limite
Segunda restricción
Tercera restricción
Por lo que despejamos s3 de la Segunda restricción
Este valor lo sustituiremos en la función objetivo, en la
primera restricción y en la tercera restricción
𝑴𝑨𝑿 𝒁 = 𝟕𝟐 − 𝟒𝒔𝟏 + 𝒔𝟑
SUJETO A
𝟎𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒
−𝒔𝟏 +𝒔𝟐 + 𝒔𝟑 = 𝟔
𝒙𝟏 + 𝒔𝟑 = 𝟖
Si 𝒔𝟏 = 𝟎 𝒚 𝒔𝟑 = 𝟎
𝒙𝟐 = 𝟒
𝒔𝟐 = 𝟔
𝒙𝟏 = 𝟖
𝒁 = 𝟕𝟐 − 𝟒 𝒔𝟏 + 𝒔𝟑
Pero debemos estar consiente que;
𝒙𝟐 + 𝒔𝟏 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟐𝒔𝟑 = 𝟒
𝒔𝟐 + 𝒔𝟑 = 𝟓 →→→ 𝒔𝟑 ≤ 𝟔
𝒙𝟏 + 𝒔𝟑 = 𝟖 →→→ 𝒔𝟑 ≤ 𝟖
𝒔𝟑 = 𝟔 + 𝒔𝟏 − 𝒔𝟐
19. Este valor lo sustituiremos en la función objetivo, en la
primera restricción y en la tercera restricción
Ahora tenemos un nuevo sistema
20. Observando bien el sistema veras que le daremos a s1 y s2 el valor de cero
Lo mas importante es:
Si aquí aumento el valor de s1 o s2 el valor de Z
decrece
Primera tabla segunda tabla tercera tabla cuarta tabla
Son los vértices
24. Ahora construiremos un nuevo sistema Siguiendo la orientación más fácil identificar a que variables
le daremos el valor de cero es observando las que aparecen el
función objetivo
Las variables que aparecen en la función objetivo son s1 y s3 y
dando el valor de 0 a ellas nos queda así:
25. Pero observemos que :
𝒛 = 𝟕𝟐 − 𝟒𝒔𝟏 + 𝒔𝟑
Nótese que si incrementamos el valor
de s3 incrementamos el valor de z
Como en las situaciones anteriores
debemos determinar cual restricción es la
que más limita el crecimiento de s3
Como s1 es cero, la primera restricción es
Lo que es interesante
Cuando s3 es negativo entonces al darle valor
x2 aumentará
Es irrestricta
Segunda restricción
En la tercera restricción
Por lo que despejaremos s3 de la segunda
restricción
26. Este valor lo sustituiremos en la función objetivo
en la primera restricción y la tercera restricción
Obtenemos un nuevo sistema
