Presentación que trata el tema de la divisibilidad de números naturales, así como la descomposición y factorización.

1. Apuntes Matemáticas 1º ESO 1
•DIVISIBILIDAD

2. Apuntes Matemáticas 1º ESO 2
•RELACIÓN DE
DIVISIBILIDAD

3. Apuntes Matemáticas 1º ESO 3
 Hay relación de divisibilidad entre dos números naturales, a y b, cuando el mayor, a,
contiene al menor, b, una cantidad exacta de veces. Entonces se dice que a es
divisible por b.
 Dicho de otra manera, cuando al dividir a entre d, el resto da cero.
» Ejemplos:
 15 es divisible por 3
 Pues 15 contiene 5 veces al 3
 20 es divisible por 5
 Pues 20 contiene 4 veces al 5
 12 es divisible por 3
 Pues 12 contiene 4 veces al 3
 25 es divisible por 5
 Pues 25 contiene 5 veces al 5

4. Apuntes Matemáticas 1º ESO 4
– Ejemplos prácticos:
 Con los 23 alumnos de una clase queremos formar equipos de 5 jugadores
para que todos puedan jugar al baloncesto. ¿Lo podrá hacer?
No, puesto que entre 23 y 5 no hay relación de divisibilidad.
Al dividir 23 entre 5 da 4 de cociente y 3 de resto. División no exacta.
 Con los 90 alumnos de 1º ESO queremos formar equipos de 11 jugadores
para que todos puedan jugar al fútbol. ¿Lo podrá hacer?
No, puesto que entre 90 y 11 no hay relación de divisibilidad.
Al dividir 90 entre 11 da 8 de cociente y 2 de resto. División no exacta.
 Los 20 alumnos de 1º Bachillerato quieren formar equipos de 4 jugadores
para jugar todos al mus. ¿Lo podrá hacer?
Sí, puesto que entre 20 y 4 hay relación de divisibilidad.
Al dividir 20 entre 4 da 5 de cociente y 0 de resto. División exacta.

5. Apuntes Matemáticas 1º ESO 5
Múltiplos y divisores
 Un número natural, b , es divisor de otro, a, cuando la división a:b es
exacta
 a:b = c => b es divisor de a
 Un número natural, a , es múltiplo de otro, b, si al multiplicar b por un
número natural se obtiene a como resultado
 b.c = a => a es múltiplo de b
 Si la división de dos números naturales, a : b , es exacta, es decir, si hay
relación de divisibilidad entre ellos, entonces b es un divisor de a y,
recíprocamente, a es un múltiplo de b.
• Ejemplo: 15 : 3 = 5
 3 es un divisor de 15
 15 es un múltiplo de 3

6. Apuntes Matemáticas 1º ESO 6
 Dados dos números naturales, a y b , se dice que “a es
divisible por b”, o que “a es múltiplo de b”, o que “b
es divisor de a”, si la división a:b es exacta.
• EJEMPLO
• 45 = 3.3.5 = 9.5 = 3.15
• Podemos decir:
• “45 es divisible por 3”
• “45 es divisible por 5”
• “45 es divisible por 9”
• “45 es divisible por 15”
Múltiplos y divisores

7. Apuntes Matemáticas 1º ESO 7
• También:
• “45 es múltiplo de 3”
• “45 es múltiplo de 5”
• “45 es múltiplo de 9”
• “45 es múltiplo de 15”
• Y también:
• “3 es divisor de 45”
• “5 es divisor de 45”
• “9 es divisor de 45”
• “15 es divisor de 45”

8. Apuntes Matemáticas 1º ESO 8
PROPIEDADES
• PROPIEDADES DE MÚLTIPLOS
 Todo número es múltiplo de sí mismo.
 7.1 = 7
 Todo número es múltiplo de 1.
 5.1 = 5

 El 0 es múltiplo de cualquier número.
 0.3 = 0
 Todo número tiene infinitos múltiplos.
 M(5)={0, 5, 10, 15, 20 , …}

9. Apuntes Matemáticas 1º ESO 9
• PROPIEDADES DE DIVISORES
 Todo número es divisor de sí mismo.
 5 : 5 = 1
 El 1 es divisor de cualquier número.
 7 : 1 = 7

 El 0 no es divisor de ningún número.
 3 : 0 = No se puede
 El conjunto de los divisores de un número es finito.
 D(12)={1, 2, 3, 6, 12}
PROPIEDADES

10. Apuntes Matemáticas 1º ESO 10
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 2
2 Todos los números terminados en 0 o en cifra par.
10
14
100
72
1000
10104
96
111111111111111112

11. Apuntes Matemáticas 1º ESO 11
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 3
3 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 3
102, pues 1+0+2 = 3  102 : 3 = 34
120, pues 1+2+0 = 3  120 : 3 = 40
201, pues 2+0+1 = 3  201 : 3 = 67
501, pues 5+0+1 = 6  501 : 3 = 167
105, pues 1+0+5 = 6  105 : 3 = 35
702, pues 7+0+2 = 9  702 : 3 = 234
111111111, pues 1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9  111111111 : 3 = 37037037

12. Apuntes Matemáticas 1º ESO 12
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 5
5 Todo número que termine en 0 o en 5
110, pues 110 : 5 = 22
115, pues 115 : 5 = 23
1710, pues 1710 : 5 = 342
77775, pues 77775 : 5 = 15555
10000005, pues 10000005 : 5 = 2000001

13. Apuntes Matemáticas 1º ESO 13
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
11 Todo número en el cual el valor absoluto de la diferencia de la
suma de las cifras de lugar par e impar sea múltiplo de 11
495
9=9 , 4+5 = 9  9 – 9 = 0
Verificamos: 495 : 11 = 45
8195
8+9=17 , 1+5 = 6  17 – 6 = 11
Verificamos: 8195 : 11 = 745
91993
9+9+3=21 , 1+9 = 10  21 – 10 = 11
Verificamos: 91993 : 11 = 8363