Diseño y análisis de Vigas doblemente reforzadas

1. Ing. Jorge Gallardo Tapia

2.  Permite el uso de una menor sección transversal que el de
una viga simplemente reforzada. Esto especialmente es útil si
el tamaño de la viga es limitada para propósitos estéticos y
de arquitectura.
 Ayuda en reducir deflexiones de largo plazo.
 Los estribos de refuerzo por corte son amarrados a las barra
de compresión.
 Ayuda significativamente en la ductilidad de las vigas. El
refuerzo por compresión permite a la viga soportar grandes
niveles de movimientos y deformaciones bajo condiciones
extremas de carga que podrían ocurrir durante terremotos.
 Es usado frecuentemente donde los tramos de vigas tienen
mas de dos apoyos debido a consideraciones prácticas. El
Código del ACI requiere que un porcentaje del acero en
tensión en el tramo medio continúe a los apoyos, y por una
pequeña extensión este acero fácilmente puede ser usado
como refuerzo en compresión en la cara de las columnas de
apoyo.

3. Razones para proporcionar refuerzo de compresión:
 Reducción de las deformaciones de carga
permanente.
 Flujo de concreto en zona de compresión
 Transferencia de carga al acero de compresión
 Reducción del esfuerzo en el concreto
 Menos deformación en el tiempo
 Menor deflexión de carga permanente

4.  Incrementa la ductilidad
Reduce la
profundidad del
bloque de esfuerzos
Por aumento de la
deformación de acero se
obtienen curvaturas mayores

5.  Efecto del refuerzo de compresión sobre la
resistencia y la ductilidad de vigas reforzadas.

6.  Cambio del modo de falla de la compresión a la
tensión.
Zona de
compresiòn
permite que el acero de tensión ceda
antes del aplastamiento del concreto

7.  El Código del ACI (Sección 10.3.5.1) permite el
uso del refuerzo en compresión, en conjunto con
un refuerzo por tensión adicional, que
incrementa la resistencia de miembros en
flexión. Para desarrollar el par interno de una
sección de concreto reforzado, la fuerza de
compresión total C, tiene que ser igual a la
fuerza de tensión total T, que es proporcionado
por el acero. En una viga doblemente reforzada,
sin embargo, la fuerza a compresión es
desarrollada una parte por el concreto y una
parte por el acero en compresión.

10.  Se asume que parte del acero en tensión
proporciona la fuerza en tensión que equilibra la
fuerza de compresión en el concreto (C1 = T1), y
otra parte proporciona la fuerza de tensión que
equilibra la fuerza de compresión del acero (C2 =
T2). La Fig.DR1 muestra esas fuerzas.

11.  A´s = área del acero en compresión.
 d´ = distancia desde el centro del acero en compresión hasta el
extremo de
 compresión de la viga.
 As1 = área del acero a tensión para el par concreto-acero
 As2 = área del acero en tensión requerido para trabajar con el acero a
 compresión.
 As = área total del acero a tensión (As = As1 + As2).
 Mn1= momento resistente nominal del par concreto-acero.
 Mn2= momento resistente nominal del par acero-acero
 d = profundidad efectiva de la sección.
 dt = profundidad efectiva del acero extremo de tensión.
 εt = deformación a tensión neta para el acero de tensión extremo.
 ε´s = deformación en el acero en compresión.
 f´s = esfuerzo en el acero a compresión
 Es = módulo de elasticidad del acero.

12.  La Fig.DR2.a. muestra una viga doblemente
reforzada representada por la superposición de
dos “vigas”: (1)una viga simplemente reforzada
con un área de acero As1, y (2)una sección
imaginaria de acero en compresión-tensión, con
A´s de refuerzo en compresión y As2 como
refuerzo en tensión. Por lo tanto, el acero a tensión
total As, es As = As1 + As2.

13.  La Fig.DR2.b. muestra la distribución de
deformaciones en una viga doblemente reforzada
en el momento último. De manera que la viga
permanezca controlada a tensión, εt ≥ 0.005 cuando
εc = 0.003. Si ε´s ≥ εy entonces f´s = fy; sin embargo,
cuando ε´s < εy , f´s = Es εs . Entonces, para
determinar el nivel de esfuerzo en el acero a
compresión, f´s, es siempre necesario determinar la
deformación ε´s , y chequear la anterior relación.

14. La Fig.DR2.c y d muestran las
fuerzas que generan los pares
concreto-acero en tensión y
acero en compresión-acero en
tensión. Considere el par
acero en compresión-acero en
tensión. Para formar un par,
la fuerza a compresión C2,
deberá ser igual a la fuerza de
tensión T2, como se muestra;
C2 = T2 , A´s f´s = As2 fy

18.  Paso 1.- acero en tensión y compresión fluyen.

 fs = f´s = fy

 A´s = 2 #7 = 2 x 3.88 = 7.76 cm2
 As = 6 #9 =6 x 6.41 = 38.46 cm2

 As2 = A´s

 As1 = As – A´s = 38.46 – 7.76 = 30.7 cm2

 Paso 2.-
 As1 fy 30.7 x 2800
 a = ------------- = -------------------- = 10.32 cm.
 0.85 f´c b 0.85 x 280 x 35

 a 10.32
 c = ----- = --------- = 12.14 cm.
 β1 0.85

 Paso 3.-

 dt = 75 – (4 + 1.27 + 2.86/2) = 68.3 cm.


19.  εt =
0.003 (dt – c)
c
=
0.003 (68.3 – 12.14)
12.14
= 0.0139

 εt = 0.0139 > εy =
fy
Es
=
2800
2 x 10⁶
= 0.0014


20.  Paso 3.a.-
 εt = 0.0139 > 0.005 ϕ = 0.90

 (la sección es controlada a tensión).
 Paso 4.-
 d´ = 4 + 1.27 + 2.22/2 = 6.38 cm.

 ε´s =
0.003 (c – d´)
c
=
0.003 (12.14 – 6.38)
12.14
= 0.00142

 ε´s = 0.00142 > εy = 0.0014

 Por lo tanto, fluye el acero en compresión, y la suposición
en el Paso 1 fue correcto. Debido a que el acero en
compresión fluye se sigue el proceso bajo el caso 1.

21.  Paso 5.-
 d = 75 – (4 + 1.27 + 2.86 + 2.54/2) = 65.6 cm.

 Mn1 = As1 fy (d – a/2) = 30.7 x 2800 (65.6 – 10.32/2) = 5195,422.4
kg-cm

 Mn1 = 51.95 t-m

 Paso 6.-
 Mn2 = A´s fy (d – d´) = 7.76 x 2800 (65.6 – 6.38) = 1286,732.2 kg-cm

 Mn2 = 12.87 t-m

 Paso 7.-
 Mn = Mn1 + Mn2 = 51.95 + 12.87 = 64.82 t-m

 Paso 8.-
 MR = ϕ Mn = 0.90 x 64.82 = 58.34 t-m

22.  Ejm.2.- Determine el momento resistente de diseño MR,
para la viga doblemente reforzada con 6 barras #8 para
acero en tensión como se muesra en la figura. Use f´c=280
kg/cm2, fy=2800 kg/cm2, Es=2 x 106 kg/cm2. Los estribos
son barras #4. La viga está sujeta a un momento de
flexión positivo.


23.  P.1.- fs= f´s = fy = 2800 kg/cm2

 A´s = 2 #7 = 7.76 cm2

 As = 6 #8 = 6 x 5.07 = 30.42 cm2.

 As1 = 30.42 - 7.76 = 22.66 cm2

 P.2.- As1 fy 22.66 x 2800
 a = ------------ = ------------------- = 7.62 cm
 0.85 f´c b 0.85 x 280 x 35

 a 7.62
 c = ----- = ------ = 8.96 cm.
 β1 0.85

 P.3.-
 dt = 75 – (4 + 1.27 + 2.54/2) = 68.46 cm

24. 
 0.003 (dt – c) 0.003 (68.46 – 8.96)
 εt = ----------------- = -------------------------- = 0.0199
 c 8.96

 2800
 εt = 0.0199 > εy = ---------- = 0.0014
 2 x 106

 P.3.a.- εt = 0.0199 > 0.005 ϕ = 0.90

 P.4.- d´ = 4 + 1.27 + 2.22/2 = 6.38 cm

 0.003 (c – d´) 0.003 (8.96 – 6.38)
 ε´s = ----------------- = -------------------------- = 0.000864
 c 8.96

 ε´s = 0.00086 < εy = 0.0014

 El acero en compresión no fluye cuando la deformación en el concreto alcanza
0.003. Por lo que, la suposición en el paso 1 no fue correcto. De aquí se sigue el
procedimiento para el caso 2.

25.  P.5.- (0.85 f´c b β1) c2 + (6000 A´s – As fy)c – 6000 d´ A´s = 0

 (0.85 x 280 x 35 x 0.85) c2 + (6000 x 7.76 – 30.42 x 2800)c – 6000 x 6.38 x 7.76)=0

 (7080.5) c2 + (-38616)c – (297052.8) = 0

 c2 – 5.454 c – 41.954 = 0 (9.76, -4.3)

 P.6.-
 0.003 (dt – c) 0.003 (68.46 – 9.76)
 εt = ----------------- = -------------------------- = 0.018 εt = 0.018 > 0.005 ϕ = 0.90
 c 9.76


 P.7.-
 (c – d´) (9.76 – 6.38)
 f´s = --------- (6000) = (6000) ------------------- =
 c 9.76

 f´s = 2077.9 kg/cm2 < fy = 2800 kg/cm2

 a = β1 c = 0.85 x 9.76 = 8.3

26.  P.8 .-

 d = 75 – (4 + 1.27 + 2.54 +2.54/2) = 65.92


 Mn1 = (0.85 f´c b a)(d – a/2) = (0.85 x 280 x 35 x 8.3)(65.92 – 8.3/2)

 Mn1 = 42.71 t-m

 Mn2 = A´s f´s (d – d´) = 7.76 x 2077.9 (65.92 – 6.38)

 Mn2 = 9.6 t-m


 Mn = Mn1 + Mn2 = 42.71 + 9.6 = 52.31 t-m

 MR = ϕ Mn = 0.90 x 52.31

 MR = 47.08 t-m


27.  Si una sección simplemente reforzada no puede
desarrollar el momento factorado requerido y el
tamaño de la viga no puede incrementarse, una
sección doblemente reforzada puede ser
apropiada. En el diseño de vigas doblemente
reforzadas, las dimensiones de la sección son
conocidas, sólo se requiere determinar el
refuerzo. El diseño de una sección doblemente
reforzada sigue el mismo concepto que el
análisis: calcula la cantidad de acero necesario
para los pares concreto-acero en tensión, y acero
en compresión-acero en tensión, y suma los
resultados.

30.  Ejm.1.- La figura muestra la planta de piso y las
secciones de una edificación aporticada de concreto
reforzado. La losa tiene 15 cm. de espesor, considere
acabado de 120 kg/m2. La carga viva de piso es 610
kg/m2. Asuma que las vigas están integradas con las
columnas, f´c = 280 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2, el peso
unitario del concreto es 2.4 t/m3. Los estribos son
barras No.4. Diseñe los refuerzos para la viga extrema
y para la viga interior a lo largo de las líneas de
columna 1 y 2 (como se muestra en las secciones A-A
y B-B de la Fig.1) donde ocurren los máximos
momentos negativos. Considere vigas doblemente
reforzadas si es necesario. Use los coeficientes del
ACI para el cálculo de momentos.

32.  (a) Viga extrema a lo largo de la línea 1.

 Paso 1.-
 Cargas factoradas sobre la viga:

 Peso de losa : 2400 x 0.15 = 360 kg/m2
 Acabado : = 120 kg/m2
 --------------
 WD = 480 kg/m2

 WL = 610 kg/m2

 Ancho tributario: 3.175 m.

 WD = (480 x 3.175 + 2400 (0.35 x 0.6)) = 2028 kg/m

 WL = 610 x 3.175 = 1936.75 kg/m

 Wu = 1.2 WD + 1.6 WL = 1.2 x 2.03 + 1.6 x 1.94 = 5.54 t/m

 Tramo libre de viga = 12 – (0.35/2 + 0.35/2) = 11.65 m.

33.  El momento por flexion máximo factorado se dá cerca a la primera columna
interior (momento negativo):

 (Mu)- = Wu L2n / 10 = (5.54 x 11.652) / 10 = 75.2 t-m

 dasum = 75 – (4 + 1.27 + 2.54/2 ) = 68.46 cm.

 d* = 6.54 cm. = d´asum

 Paso 2.-
 ρtc = 0.319 β1 f´c / fy = 0.319 x 0.85 x 280 / 4200 = 0.018


 R = ϕ ρ fy (1 – 0.59 ρ
fy
f´c
) = 0.9 x 0.018 x 4200 ( 1 – 0.59 x 0.018 x
4200
280
)
=

 R = 57.2 kg/cm2


34.  Paso 3.-
 Calcular el momento resistente de diseño basado en el límite del refuerzo
de acero a tensión ρtc :

 ϕ Mn1 = R bd2 = 57.2 x 35 x 68.462

 ϕ Mn1 = 93.83 t-m > Mu = 75.2 t-m Se diseña como una viga
 simplemente reforzada

 Mu 75.2 x 105
 R = ------- = ----------------- = 45.84 kg/cm2
 b d2 35 x 68.462

 Paso 4.- 45.84 = 3780 ρ (1 – 8.85 ρ )

 8.85 ρ2 – ρ + 0.01213 = 0

 (0.099, 0.014)

 ρ = 0.014 > ρmin = 0.0033

35.  Paso 5.- Calcule el área requerida de acero:
 As = ρ b d = 0.014 x 35 x 68.46 = 33.5 cm2
 Usamos 6 ϕ No,9 = 38.46 cm2

 Paso 6.- Calcule el dreal :
 d = 75 – (4 + 1.27 + 2.86/2) = 68.3 cm ~ dasum = 68.46 cm

36.  (b) Viga interior a lo largo de la línea 2.

 Paso 1.-

 Ancho tributario = 6 m.

 WD = (480 x 6 + 2400 (0.35 x 0.70)) = 3468 kg/m

 WL = 610 x 6 = 3660 kg/m

 Wu = 1.2 WD + 1.6 WL = 1.2 x 3.5 + 1.6 x 3.7 = 10.12 t/m

 El momento máximo facturado:

 (Mu)- = Wu L2n / 10 = 10.12 x 11.652 / 10 = 137.35 t-m

 dasum = 85 – (4 + 1.27 + 1.27) = 78.46 cm

 d* = 6.54 cm = d´asum


37.  Paso 2.-
 ρtc = 0.319 β1 f´c / fy = 0.319 x 0.85 x 280 / 4200 = 0.018

 R = ϕ ρ fy (1 – 0.59 ρ
fy
f´c
)= 0.9 x 0.018 x 4200 ( 1 – 0.59 x 0.018 x
4200
280
)
 R = 57.2 kg/cm2

 Paso 3.-
 El límite del momento resistente para una sección simplemente
reforzada controlada a tensión es :

 ϕ Mn1 = R bd2 = 57.2 x 35 x 78.462

 ϕ Mn1 = 123.24 t-m < Mu = 137.35 t-m

 Desde que ϕ Mn1 < Mu , la viga tiene que ser diseñada como una
sección doblemente reforzada.

38.  Paso 4.-
 As1 = ρtc b d = 0.018 x 35 x 78.46 = 49.43 cm2

 ϕ Mn2 = Mu - ϕ Mn1 = 137.35 – 123.24

 ϕ Mn2 = 14.11 t-m

 La fuerza a compresión a ser llevado por el acero a compresión es :

 Cs2 =
ϕ Mn2
ϕ (d – d´)
=
14.11 x 10⁵
0.9 (78.46 – 6.54)
= 21 799 kg Cs2 = 21.8 t.

 Paso 5.- Determinar la profundidad de la zona en compresión:

 As1 fy 49.43 x 4200
 a = ------------ = -------------------- = 24.92 cm
 0.85 f´c b 0.85 x 280 x 35

 a 24.92
 c = ---- = -------- = 29.32
 β1 0.85

39.  Paso 6.- Calcule la deformación en el acero a compresión:

 0.003 (c – d´) 0.003 (29.32 – 6.54)
 ε´s = ------------------ = ---------------------------- = 0.00233
 c 29.32

 fy 4200
 εy = ----- = ------------ = 0.0021
 Es 2 x 106

 εy < ε´s Luego el acero en compresión fluirá, entonces: f´s = fy = 4200 kg/cm2


 Paso 7.- Calcule el refuerzo a compresión requerido (A´s) y el refuerzo a tensión adicional
para el par refuerzo en tensión-refuerzo en compresión (As2):

 Cs2 21800
 A´s = ------- = ---------- = 5.19 cm2.
 f´s 4200


 f´s A´s 4200 x 5.19
 As2 = ---------- = ---------------- = 5.19 cm2
 fy 4200

40.  Paso 8.- Calcule el refuerzo a tensión total requerido (As) y seleccione las barras.
 As = As1 + As2 = 49.43 + 5.19
 As = 54.62 cm2 (9 ϕ No.9 = 57.69 cm2)
 Para el refuerzo a compresión:
 A´s = 5.19 cm2 (2 ϕ No.7 = 7.76 cm2 ó 2 ϕ No.6 = 5.7 cm2 )

 Paso 9.- Calcule valores actuales de d y d´:
 d = 85 – (4 + 1.27 + 2.86/2) = 78.3 cm ~ dasum = 78.46 cm
 d´= 4 + 1.27 + 1.91/2 = 6.225 cm < d´asum = 6.54 cm


41.  Ejm 2.- Para la viga que se muestra, diseñar la
sección de momento máximo considerando que
está ubicada en zona de alto riesgo sísmico y la
sección es rectangular; b = 25 cm, h = 50 cm, f´c =
210 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2, estribo ϕ 3/8”, WD
= 2.6 t/m, WL = 1.4 t/m.

42. P.1.-
 Wu = 1.2 WD + 1.6 WL = 1.2 x 2.6 + 1.6 x 1.4 = 5.36 t/m

 (Mu)max
- =
Wu L²n
12
=
5.36 x 7²
12
= 21.89 t-m

 Se asume:

 d´= 4 + 0.95 + 2.54/2 = 6.22 cm.

 d = h – d´ = 50 – 6.22 = 43.78 cm.

P.2.- ρtc = 0.319 β1 f´c / fy = 0.319 x 0.85 x 210 / 4200 = 0.01356

R = ϕ ρ fy (1 – 0.59 ρ
𝑓𝑦
f´c
)= 0.9 x 0.01356 x 4200 (1 - 0.59 x 0.01356 x
4200
210
)

 R = 43.06 kg/cm2

43.  P.3.-
 ϕ Mn1 = R b d2 = 43.06 x 25 x 43.782 =

 ϕ Mn1 = 20.63 t-m

 ϕ Mn1 = 20.63 t-m < Mu = 21.89 t-m

 Viga doblemente reforzada.

 P.4.-
 As1 = ρtc b d = 0.01356 x 25 x 43.78 = 14.84 cm2

 ϕ Mn2 = Mu - ϕ Mn1 = 21.89 – 20.63

 ϕ Mn2 = 1.26 t-m

 La fuerza a compresión a ser llevado por el acero a compresión es :

 ϕ Mn2 1.26 x 105
 Cs2 = ------------ = ----------------------- = 3 727.4 kg Cs2 = 3.73 t.
 ϕ (d – d´) 0.9 (43.78 – 6.22)

44.  P.5.-

 As1 fy 14.84 x 4200
 a = ------------ = -------------------- = 13.97 cm
 0.85 f´c b 0.85 x 210 x 25

 a 13.97
 c = ---- = -------- = 16.43
 β1 0.85

 P.6.-

 0.003 (c – d´) 0.003 (16.43 – 6.224)
 ε´s = ------------------ = ---------------------------- = 0.00186
 c 16.43

 fy 4200
 εy = ----- = ------------ = 0.0021
 Es 2 x 106

 ε´s = 0.00186 ≥ εy = 0.0021 NO

 f´s = ε´s Es = 0.00186 x 2 x 106 = 3720 kg/cm2

45.  P.7.-
 Cs2 3730
 A´s = ------- = ---------- = 1.0 cm2.
 f´s 3720


 f´s A´s 3720 x 1.0
 As2 = ---------- = ---------------- = 0.89 cm2
 fy 4200

 Paso 8.- Calcule el refuerzo a tensión total requerido (As) y seleccione las barras.

 As = As1 + As2 = 14.84 + 0.89 = = 15.73 cm2 (2 ϕ No.8 + 2 ϕ No.7 = 17.9 cm2)
 Para el refuerzo a compresión:

 A´s = 1.0 cm2 (2 ϕ No.6 = 5.7 cm2 )

 Paso 9.- Calcule valores actuales de d y d´:

 d = 50 – (4 + 0.95 + 2.54/2) = 43.78 cm > dasum SI

 d´= 4 + 0.95 + 1.91/2 = 5.91 cm < d´asum SI

46. 1. Considerando la sección transversal de la viga mostrada si f´c =
280 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2, se pide:
a) Determine la deformación unitaria a tensión neta ∈t de la viga
sin acero en compresión (A’s = 0) (1 pto)
b) Cual será el valor del refuerzo en compresión que el diseñador
deberá adicionar, si se desea incrementar la ductilidad de la
viga tal que ∈t no sea menor que 0.006? (2 ptos)
c) Después de la adición del refuerzo en compresión, cuál es el
valor de la fuerza a compresión interna total? (1 pto)
d) ¿Cuál es la capacidad a flexión nominal de la viga con refuerzo
a compresión? (2 ptos)
e) ¿Cuál es la profundidad del eje neutro, si sólo la mitad del
refuerzo en compresión requerido en el item (b)fuera
proporcionado? (2 ptos)

47. a) dt = 50 – (4+0.95+2.22/2) = 43.94 cm
d = 50 – (4+0.95+2.22+2.54/2) = 41.56 cm
As = 8 Nº7 = 31.04 cm2
T = C As fy = 0.85 f’c a b
a =
31.04 𝑥 4.2
0.85 𝑥 0.28 𝑥 30
= 18.26 cm
c = 18.26/0.85 = 21.48 cm
∈t =
𝑑𝑡 −𝑐
𝑐
x 0.003 =
43.94 −21.48
21.48
x 0.003 = 0.00314

48.  b) ∈t = 0.006

𝑐
𝑑𝑡
=
0.003
0.003+0.006
=
3
9
c =
𝑑𝑡
3
= 14.65 cm
 a = 0.85x 14.65 =
 a = 12.45 cm
 As1 =
𝑎 0.85 𝑓′𝑐 𝑏
𝑓𝑦
=
12.45𝑥 0.85𝑥 280𝑥30
4200
= 21.165 cm2
 ∈′
s = 0.003
𝑐−𝑑´
𝑐
= 0.003
14.65−6
14.65
= 0.00177 ∈′
s < ∈y
 f’s = E ∈′s = 2 x 10⁶ x 0.00177 = 3540 kg/cm²
 T = 31.04 x 4200 = 130368 kg
 Cc = 0.85 x280x30x12.45 = 88893 kg
 Cs = T – Cc = 41475 = A’s f’s
 A’s =
41475
3540
= 11.72 cm²
∈ 𝑡 = 0.006
0.003
c
dt

49.  c) Cc + Cs = 130368 kg = 130.37 t
 d) Mn = Cc (d-
𝑎
2
) + Cs (d – d’)
 = 88.9 (0.4156 -
0.1245
2
) + 41.5 (0.4156 – 0.06)
 Mn = 46.17 t-m
 e) c > 14.65 A’s =
11.72
2
= 5.86 cm²
 c < 21.48
 T = Cs + Cc = A’s f’s + 0.85 f´c b a
 130.37 = (5.86) (E ∈′s ) + 0.85 f´c b β1c
 130.37 = (5.86)(
2𝑥10⁶
10³
) (0.003 x
𝑐 −6
𝑐
)+ (0.85x0.28x 30x0.85xc)
 130.37 = 35.16 x
𝑐 −6
𝑐
+ 6.069 c
 6.069 c² - 95.21 c – 210.96 = 0 (17.66, - 1.97)
 c = 17.66
T
Cs = A’s f’s
Cc

50.  (0.85 f´c b β1) c2 + (6000 A´s – As fy)c – 6000 d´ A´s = 0
 (0.85x280x30x0.85) c2 + (6000x5.86 – 31.04x4200)c –
6000x6x5.86 = 0
 6069 c² – 95208 c – 210960 = 0 (17.66, -1.97)