16. Tasa de variación o razón de cambio. Razones relacionadas
Hasta este punto ya sabemos cómo usar la regla de la cadena para encontrar dy/dx de
manera implícita. Otra aplicación relevante de la regla de la cadena consiste en encontrar
razones de cambio de dos o más variables relacionadas que están cambiando respecto al
tiempo.
Si una variable y depende del tiempo t, entonces su derivada dy/dt se denomina razón de
cambio con respecto al tiempo, o sólo razón de cambio.
En un problema de razones de cambio relacionadas, la idea es calcular la razón de cambio
de una cantidad en términos de la razón de cambio de otra cantidad.
El procedimiento es determinar una ecuación que relacione las dos cantidades y aplicar la
regla de la cadena para derivar ambos miembros respecto al tiempo.
Si y se da de manera explícita en términos de t, el problema es sencillo; sólo derivamos y
luego evaluamos la derivada en el instante requerido.
En general, una razón de cambio con el tiempo es la respuesta a la pregunta: ¿cuán rápido
cambia la cantidad?
17.
18. EJEMPLO
Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies alejado de
un observador, quien se encuentra en el nivel del piso. Si el
globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8
pies por segundo, ¿qué tan rápido está aumentando la distancia
del observador al globo cuando éste se encuentra a 50 pies de
altura?
19. EJEMPLO
Cada arista de un cubo variable está aumentando a razón de 3
pulgadas por segundo. ¿Qué tan rápido está aumentando el
volumen del cubo cuando una arista es de 10 pulgadas de
longitud?
20. EJEMPLO
Suponga que una burbuja de jabón mantiene su forma esférica
conforme se expande, ¿qué tan rápido aumenta el radio cuando
éste es de 2 pulgadas, si se sopla aire a la burbuja a una razón de
4 pulgadas cúbicas por segundo?
21. EJEMPLO
Una escalera de 20 pies está recargada contra un edificio. Si la
parte inferior de la escalera se desliza a lo largo del pavimento
alejándose directamente del edificio a una velocidad de 2 pies
por segundo, ¿qué tan rápido está descendiendo el extremo
superior de la escalera, cuando el pie de la escalera está a 4 pies
del edificio?
22. EJEMPLO
Una mujer que está ante un acantilado, con un telescopio
observa cómo se aproxima un bote de motor a la playa que está
directamente debajo de ella. Si el telescopio está a 250 pies por
arriba del nivel del agua y si el bote se aproxima a 20 pies por
segundo, ¿a qué velocidad está cambiando el ángulo del
telescopio cuando el bote está a 250 pies de la playa?
23. EJEMPLO
El automóvil A se dirige hacia el oeste a 50 millas/h y el
automóvil B viaja hacia el norte a 60 millas/h. Ambos se dirigen
hacia la intersección de los dos caminos. ¿Con qué rapidez se
aproximan los vehículos entre sí cuando el automóvil A está a
0.3 millas y el automóvil B está a 0.4 millas de la intersección?
24. EJEMPLO
Un aeroplano que vuela hacia el norte, a 640 millas por hora,
pasa sobre cierta ciudad al mediodía. Un segundo aeroplano
que va hacia el este, a 600 millas por hora, está directamente
encima de la misma ciudad 15 minutos más tarde. Si los
aeroplanos están volando a la misma altitud, ¿qué tan rápido se
están separando a la 1:15 P.M.?
25. EJEMPLO
De un tubo sale arena a razón de 16 pies cúbicos por segundo. Si
al caer la arena se forma un montón cónico en el piso, cuya
altura siempre es ¼ del diámetro de la base, ¿qué tan rápido
aumenta la altura cuando el montón es de 4 pies de altura?
26. EJEMPLO
En un tanque cónico se vierte agua a una razón de 8 pies cúbicos
por minuto. Si la altura del tanque es de 12 pies y el radio de su
abertura circular es de 6 pies, ¿qué tan rápido se está elevando
el nivel del agua cuando este líquido tiene una profundidad de 4
pies?
27. EJEMPLO
Un hombre camina a lo largo de una trayectoria recta a una
rapidez de 4 pies/s. Un faro está situado sobre el nivel de la
tierra a 20 pies de la trayectoria y se mantiene enfocado hacia el
hombre. ¿Con qué rapidez el faro gira cuando el hombre está a
15 pies del punto sobre la trayectoria más cercana a la fuente de
luz?
32. Un agricultor tiene 2400 pies de material y quiere construir una barda para cercar un campo rectangular que
bordea un rio recto, de modo que no necesita barda a lo largo del rio. ¿Cuáles son las dimensiones que debe
tener el campo para encerrar el
área más grande?
