Matemática aplicada a la ingeniería de suelos

1. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alumno: Alexander Edison Calsin Condori
Incremento De Esfuerzo Vertical
En Una Masa De Suelo (∆𝝈)

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3. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
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➢ Partimos De La Fórmula De La Carga Puntual:
∆𝝈 =
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅𝑹𝟓 ; 𝑹𝟐
= 𝒓𝟐
+ 𝒛𝟐
; 𝒓𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
; 𝒅𝒑 = 𝝎𝒅𝒙𝒅𝒚
➢ Integramos a lo largo de cada punto de la cargar uniformemente distribuida.
∫ 𝒅(∆𝝈) = ∫ ∫
𝟑𝝎𝒛𝟑𝒅𝒙𝒅𝒚
𝟐𝝅(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟓
𝟐
𝒙
𝟎
𝒚
𝟎
➢ Primero integramos respecto de x:
𝐈 = ∫
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅𝑹𝟓𝟎
𝒅𝒙 = ∫
𝟑𝝎𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟓
𝟐
𝒅𝒙
𝒙
𝟎
𝒙
𝟎
𝒂𝟐
= 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
; 𝒄 =
𝟑𝝎𝒛𝟑
𝟐𝝅
𝐈 = 𝒄 ∫
𝒅𝒙
(𝒙𝟐+𝒂𝟐)
𝟓
𝟐
𝒙
𝟎
𝑰𝟏 = ∫
𝒅𝒙
(𝒙𝟐+𝒂𝟐)
𝟓
𝟐
;
Transformamos la integral definida a una integral indefinida para facilitar cálculos posteriores.

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{
𝒙 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽
𝒅𝒙 = 𝒂 𝐬𝐞𝐜𝟐
𝜽𝒅𝜽
; Utilizando la sustitución trigonométrica
𝑰𝟏 = ∫
𝒂 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽𝒅𝜽
𝒂𝟒(𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+𝟏)
𝟓
𝟐
; 𝐭𝐚𝐧𝟐
𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐
𝜽 ; 𝑰𝟏 =
𝟏
𝒂𝟒 ∫
𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽
𝐬𝐞𝐜𝟓 𝜽
𝒅𝜽 =
𝟏
𝒂𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑
𝜽 𝒅𝜽
𝑰𝟏 =
𝟏
𝒂𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 (𝟏 − 𝐬𝐞𝐧𝟐
𝜽)𝒅𝜽 =
𝟏
𝒂𝟒 (∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝐬𝐞𝐧𝟐
𝜽𝒅𝜽)
𝑰𝟏 =
𝟏
𝒂𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 −
𝐬𝐞𝐧𝟑 𝜽
𝟑
) → 𝛁𝝈 =
𝒄
𝒂𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 −
𝐬𝐢𝐧𝟑 𝜽
𝟑
)
𝐈 =
𝒄
𝒂𝟒
(
𝒙
√𝒙𝟐+𝒂𝟐
−
𝒙𝟑
𝟑(√𝒙𝟐+𝒂𝟐)
𝟑) |
𝒙
𝟎
=
𝒄
𝒂𝟒
(
𝒙
√𝒙𝟐+𝒂𝟐
−
𝒙𝟑
𝟑(√𝒙𝟐+𝒂𝟐)
𝟑) =
𝒄
𝒂𝟒
𝒙
√𝒙𝟐+𝒂𝟐
(𝟏 −
𝒙𝟐
𝟑(𝒙𝟐+𝒂𝟐)
) ; 𝒂𝟐
= 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
𝐈 =
𝒄
𝒂𝟒
𝒙
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(
𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒚𝟐+𝟑𝒛𝟐−𝒙𝟐
𝟑(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
) =
𝟑𝝎𝒛𝟑
𝟐𝝅
𝟏
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟐
𝒙
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒚𝟐+𝟑𝒛𝟐
𝟑(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝐈 =
𝝎𝒛𝟑
𝟐𝝅
𝟏
(𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)𝟐
𝒙
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
(
𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚𝟐
+ 𝟐𝒛𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
) =
𝝎𝒙𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)𝟐√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
(
𝟐(𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐) + 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
)
𝐈 =
𝝎𝒙𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(
𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒚𝟐+𝒛𝟐)
+
𝒚𝟐+𝒛𝟐
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒚𝟐+𝒛𝟐)
) ; Finalmente tenemos:
𝐈 =
𝝎𝒙𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(
𝟏
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐 +
𝟐
𝒚𝟐+𝒛𝟐) ;

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➢ Por último integramos respecto de “y”:
∆𝝈 = ∫ [
𝝎𝒙𝒛𝟑
𝟐𝝅
𝟏
(𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
(
𝟏
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
+
𝟐
𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
)]
𝒚
𝟎
𝒅𝒚 ; 𝒗 =
𝝎𝒙𝒛𝟑
𝟐𝝅
∆𝝈 = 𝒗 ∫
𝒅𝒚
(𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
+ 𝟐𝒗 ∫
𝒅𝒚
(𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)𝟐√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
; 𝒄𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒚
𝟎
𝒚
𝟎
.𝑰𝟏 = 𝒗 ∫
𝒅𝒚
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒄𝟐+𝒚𝟐)√𝒄𝟐+𝒚𝟐
𝒚
𝟎
; Por sustitución trigonométrica (Integral Definida)
.{
𝒚 = 𝒄𝒕𝒂𝒏𝜽
𝒅𝒚 = 𝒄 𝐬𝐞𝐜𝟐
𝜽𝒅𝜽
; (𝒄𝟐
𝐭𝐚𝐧𝟐
𝜽 + 𝒄𝟐)
𝟏
𝟐 = 𝒄𝒔𝒆𝒄𝜽
.𝑰𝟏 = ∫
𝒄 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽𝒅𝜽
(𝒄𝟐 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+𝒛𝟐)𝒄𝒔𝒆𝒄𝜽(𝒄𝟐 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+𝒄𝟐)
.𝑰𝟏 =
𝒗
𝒄𝟐 ∫
𝒅𝜽
(𝒄𝟐 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+𝒛𝟐)𝒔𝒆𝒄𝜽
=
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒅𝜽
(𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+(
𝒛
𝒄
)
𝟐
)𝒔𝒆𝒄𝜽
=
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
(𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+(𝒉)𝟐)
=
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
(
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
+𝒉𝟐)
=
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽𝒅𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒉𝟐)
; 𝒉 =
𝒛
𝒄
.𝑰𝟏 =
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 +𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒉𝟐)
−
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 +𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒉𝟐)
; 𝑵𝒐𝒕𝒆: 𝒔𝒆𝒏𝟐
𝜽 +𝒄𝒐𝒔𝟐
𝜽𝒉𝟐
= 𝒔𝒆𝒏𝟐
𝜽(𝟏 − 𝒉𝟐) + 𝒉𝟐
.𝑰𝟏 =
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽(𝟏−𝒉𝟐)+𝒉𝟐
−
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽(𝟏−𝒉𝟐)+𝒉𝟐
; 𝑰𝟏 = 𝑰𝟏𝟏 − 𝑰𝟏𝟐

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Para: 𝑰𝟏𝟏
𝑰𝟏𝟏 =
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽(𝟏−𝒉𝟐)+𝒉𝟐 ; "𝑪𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆" 𝜽 ⇒ 𝒖
𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌𝟐
=
𝒉𝟐
(𝟏−𝒉𝟐)
𝑵𝒐𝒕𝒆: ∫
𝒅𝒙
𝒙𝟐+𝒂𝟐
=
𝟏
𝒂
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙
𝒂
) + 𝒄
.𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
𝑰𝟏𝟏 =
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒅𝒖
𝒖𝟐(𝟏−𝒉𝟐)+𝒉𝟐
=
𝒗
𝒄𝟒(𝟏−𝒉𝟐)
∫
𝒅𝒖
𝒖𝟐+
𝒉𝟐
(𝟏−𝒉𝟐)
=
𝒗
𝒄𝟒(𝟏−𝒉𝟐)
∫
𝒅𝒖
𝒖𝟐+𝒌𝟐
=
𝒗
𝒄𝟒(𝟏−𝒉𝟐)
{
𝟏
𝒌
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒖
𝒌
)} ; 𝒌𝟐
=
𝒉𝟐
(𝟏−𝒉𝟐)
➢ Sustituyendo “u”:
𝑰𝟏𝟏 =
𝒗
𝒄𝟒(𝟏−𝒉𝟐)
{
𝟏
𝒌
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒌
)} … 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 "𝜶"
𝑰𝟏𝟐 =
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽(𝟏−𝒉𝟐)+𝒉𝟐 =
𝒗
(𝟏−𝒉𝟐)𝒄𝟒 ∫
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+
𝒉𝟐
(𝟏−𝒉𝟐)
=
𝒗
(𝟏−𝒉𝟐)𝒄𝟒 ∫
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+𝒌𝟐 ; 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆:
➢ Para 𝑰𝟏𝟐:
𝑰𝟏𝟐 =
𝒗
(𝟏 − 𝒉𝟐)𝒄𝟒
∫
𝒖𝟐
𝒅𝒖
𝒖𝟐 + 𝒌𝟐
; 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 (𝒊𝒆𝒏𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐):
.𝑰𝟏𝟐 =
𝒗
(𝟏−𝒉𝟐)𝒄𝟒 ∫ (𝟏 −
𝒌𝟐
𝒖𝟐+𝒌𝟐) 𝒅𝒖 =
𝒗
(𝟏−𝒉𝟐)𝒄𝟒 ∫ 𝒅𝒖 −
𝒗
(𝟏−𝒉𝟐)𝒄𝟒 ∫
𝒌𝟐𝒅𝒖
𝒖𝟐+𝒌𝟐 =
𝒗
(𝟏−𝒉𝟐)𝒄𝟒 [𝒖 − 𝒌𝟐 𝟏
𝒌𝟐 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒖
𝒌
)]

7. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
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. 𝑰𝟏𝟐 =
𝒗
(𝟏−𝒉𝟐)𝒄𝟒 [𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒌𝟐 𝟏
𝒌
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒌
)] … 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 "𝜷"
➢ 𝑨𝒈𝒓𝒖𝒑𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝜶 𝒚 𝜷 𝒆𝒏 𝑰𝟏 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔:
.𝑰𝟏 =
𝒗
𝒄𝟒(𝟏−𝒉
𝟐
)
[
𝟏
𝒌
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒌
) − 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒌𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒌
)] =
𝒗
(𝟏−𝒉
𝟐
)𝒄
𝟒 [
𝟏+𝒌
𝟐
𝒌
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒌
) − 𝒔𝒆𝒏𝜽] ;𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒕𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒂 (𝒙,𝒚,𝒛)
.𝑰𝟏 =
𝒗
(𝟏−𝒉
𝟐
)𝒄
𝟒 [(
𝟏+𝒌
𝟐
𝒌
) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒚
𝒌√𝒚𝟐+𝒄𝟐
) −
𝒚
√𝒚𝟐+𝒄𝟐
] …𝑨𝒒𝒖í 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝜽 = 𝒇(𝒙,𝒄) ;𝒌 = 𝒇(𝒉) 𝒉 = 𝒇(𝒛
𝒄
⁄ )
➢ 𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔:(𝒉, 𝒌, 𝒄) ⇒ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
.𝒉 =
𝒛
𝒄
; 𝒌𝟐
=
𝒉𝟐
(𝟏−𝒉𝟐
)
=
𝒛𝟐
𝒄𝟐
𝟏−
𝒛𝟐
𝒄𝟐
=
𝒛𝟐
𝒄𝟐−𝒛
𝟐 =
𝒛𝟐
𝒙𝟐+𝒛
𝟐
−𝒛𝟐
=
𝒛𝟐
𝒙𝟐
.{
𝒄𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒌𝟐
=
𝒛𝟐
𝒙𝟐
;
𝟏+𝒌𝟐
𝒌
=
𝟏+
𝒛𝟐
𝒙𝟐
𝒛
𝒙
=
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝒛
; (𝟏 − 𝒉𝟐)𝒄𝟒
= (𝟏 −
𝒛𝟐
𝒄𝟐
) 𝒄𝟒
= (𝒄𝟐
− 𝒛𝟐)𝒄𝟐
= (𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐
− 𝒛𝟐)𝒄𝟐
= 𝒙𝟐(𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐)

8. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
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➢ 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝑰𝟏:
.𝑰𝟏 = 𝒗 [
𝟏
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
𝒙𝒛
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) −
𝟏
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
𝒚
√𝒚𝟐+𝒙𝟐+𝒛𝟐
] |
𝒚
𝟎
𝑰𝟏 = 𝒗 [
𝟏
𝒙𝟑𝒛
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
) −
𝒚
𝒙𝟐(𝒙𝟐 + 𝒛𝟐)√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
] … 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 (𝟏)
➢ 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑰𝟐:
.𝑰𝟐 = 𝟐𝒗 ∫
𝒅𝒚
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟐√𝒄𝟐+𝒚𝟐
; 𝒄
𝟐
= 𝒙
𝟐
+ 𝒛
𝟐
➢ Por sustitución trigonométrica (Integral Definida):
.{
𝒚 = 𝒄𝒕𝒂𝒏𝜽
𝒅𝒚 = 𝒄 𝐬𝐞𝐜𝟐
𝜽𝒅𝜽

9. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
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. 𝑰𝟐 = 𝟐𝒗 ∫
𝒄 𝐬𝐞𝐜𝟐
𝜽𝒅𝜽
(𝒄𝟐 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+𝒛𝟐)𝟐𝒄𝒔𝒆𝒄𝜽
=
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒔𝒆𝒄 𝜽𝒅𝜽
(𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+(
𝒛
𝒄
)
𝟐
)
𝟐 =
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒔𝒆𝒄 𝜽𝒅𝜽
(𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+(𝒌)𝟐)𝟐
=
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜽
(
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 +𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒌𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
)
𝟐 𝒅𝜽 ; 𝒌 = 𝒛
𝒄
⁄
. 𝑰𝟐 =
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 +𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒌𝟐)
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟒𝜽
𝒅𝜽 =
𝒗
𝒄𝟒 ∫
𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽
[𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽(𝟏−𝒌𝟐)+𝒌𝟐]𝟐
𝒅𝜽 =
𝒗
(𝟏−𝒌𝟐)𝟐𝒄𝟒 ∫
𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽
[𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 +
𝒌𝟐
(𝟏−𝒌𝟐)
]
𝟐 𝒅𝜽 ; 𝒉𝟐
=
𝒌𝟐
(𝟏−𝒌𝟐)
;
𝟏
(𝟏−𝒌𝟐)𝒄𝟒
=
𝟏
𝒙𝟒
.𝑰𝟐 =
𝒗
(𝟏−𝒌𝟐
)
𝟐
𝒄
𝟒 ∫ [
𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+𝒉𝟐
)
𝟐 −
𝒔𝒆𝒏𝟐
𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+𝒉𝟐
)
𝟐] 𝒅𝜽 =
𝒗
(𝟏−𝒌𝟐
)
𝟐
𝒄
𝟒 [∫
𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+𝒉𝟐
)
𝟐 𝒅𝜽 − ∫
𝒔𝒆𝒏𝟐
𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+𝒉𝟐
)
𝟐 𝒅𝜽] ; 𝑰𝟐 = 𝑰𝟐𝟏 − 𝑰𝟐𝟐
➢ Para 𝑰𝟐𝟏:
.𝑰𝟐𝟏 = ∫
𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+𝒉𝟐)𝟐
𝒅𝜽 {
𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
; 𝑯𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆
. 𝑰𝟐𝟏 = ∫
𝒅𝒖
(𝒖𝟐+𝒉𝟐)𝟐
; 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂:
.{
𝒖 = 𝒉𝒕𝒂𝒏𝝋
𝒅𝒖 = 𝒉 𝐬𝐞𝐜𝟐
𝝋𝒅𝝋

10. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
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.𝑰𝟐𝟏 = ∫
𝒉𝒔𝒆𝒄𝝋
(𝒉𝟐 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝝋+𝒉𝟐)𝟐
𝒅𝝋 =
𝟏
𝒉𝟑 ∫
𝐬𝐞𝐜𝟐 𝝋
(𝒕𝒂𝒏𝟐𝝋+𝟏)𝟐
𝒅𝝋 =
𝟏
𝒉𝟑 ∫
𝐬𝐞𝐜𝟐 𝝋
(𝐬𝐞𝐜𝟐 𝝋)𝟐
𝒅𝝋 =
𝟏
𝒉𝟑 ∫
𝟏
𝐬𝐞𝐜𝟐 𝝋
𝒅𝝋 =
𝟏
𝒉𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐
𝝋 𝒅𝝋 =
𝟏
𝒉𝟑
[
𝝋
𝟐
+
𝒔𝒆𝒏𝟐𝝋
𝟒
]
𝒉𝟐
=
𝒌𝟐
𝟏 − 𝒌𝟐
=
𝒛𝟐
𝒙𝟐 + 𝒛𝟐
𝟏 −
𝒛𝟐
𝒙𝟐 + 𝒛𝟐
=
𝒛𝟐
𝒙𝟐
; 𝒉 =
𝒛
𝒙
➢ Trasladando variables {𝝋 → 𝜽 → (𝒙,𝒚, 𝒛)} :
. 𝑰𝟐𝟏 =
𝟏
𝟐𝒉𝟑
(𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒖
𝒉
) +
𝒖
√𝒖𝟐+𝒉𝟐
𝒉
√𝒖𝟐+𝒉𝟐
) =
𝟏
𝟐𝒉𝟑
(𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒖
𝒉
) +
𝒖𝒉
𝒖𝟐+𝒉𝟐
) =
𝟏
𝟐𝒉𝟑
(𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒉
) +
𝒔𝒆𝒏𝜽𝒉
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+𝒉𝟐
)
. 𝑰𝟐𝟏 =
𝟏
𝟐(
𝒛
𝒙
)
𝟑 (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝒙𝒚
𝒛√𝒚𝟐+𝒄𝟐
) +
𝒚𝒉
√𝒚𝟐+𝒉𝟐
𝒚𝟐
𝒚𝟐+𝒄𝟐+𝒉𝟐
) =
𝒙𝟑
𝟐𝒛𝟑
[𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) +
𝒚𝒉
√𝒚𝟐+𝒉𝟐
𝒚𝟐+𝒉𝟐(𝒚𝟐+𝒄𝟐)
𝒚𝟐+𝒄𝟐
] =
𝒙𝟑
𝟐𝒛𝟑
[𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) +
𝒚𝒉√𝒚𝟐+𝒉𝟐
𝒚𝟐+𝒉𝟐(𝒚𝟐+𝒄𝟐)
]
. 𝑰𝟐𝟏 =
𝒙𝟑
𝟐𝒛𝟑
[𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) +
𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙(𝒙𝟐+(
𝒛
𝒙
)
𝟐
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐))
] =
𝒙𝟑
𝟐𝒛𝟑
[𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) +
𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
]
. 𝑰𝟐𝟏 =
𝒙𝟑
𝟐𝒛𝟑 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) +
𝒙𝟑
𝟐𝒛𝟑
𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)

11. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
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➢ Para 𝑰𝟐𝟐:
.𝑰𝟐𝟐 = ∫
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽+𝒉𝟐)𝟐
𝒅𝜽 ; {
𝝍 = 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒅𝝍 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝝍
; 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆
.𝑰𝟐𝟐 = ∫
𝝍𝟐
(𝝍𝟐+𝒉𝟐)𝟐
𝒅𝝍 ; "𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔"
.{
𝒖 = 𝝍
𝒅𝒖 = 𝒅𝝍
{
𝒅𝒗 =
𝟐
𝟐(𝝍𝟐+𝒉𝟐)𝟐
𝒗 =
−𝟏
𝟐(𝝍𝟐+𝒉𝟐)𝟐
∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖
{𝜽 → 𝝍 → (𝒙, 𝒚, 𝒛)} ; Trasladando a las variables originales:
.𝑰𝟐𝟐 =
−𝝍
𝟐(𝝍
𝟐
+𝒉
𝟐
)
𝟐 − ∫
−𝒅𝝍
𝟐(𝝍
𝟐
+𝒉
𝟐
)
=
−𝝍
𝟐(𝝍
𝟐
+𝒉
𝟐
)
𝟐 + ∫
𝒅𝝍
𝟐(𝝍
𝟐
+𝒉
𝟐
)
.𝑰𝟐𝟐 =
𝟏
𝟐
[
−𝝍
𝝍𝟐+𝒉𝟐
+
𝟏
𝒉
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝝍
𝒉
)] =
𝟏
𝟐
[
𝟏
𝒉
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒉
) −
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽+𝒉𝟐
] =
𝟏
𝟐
[
𝒙
𝒛
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) −
𝒚√𝒚𝟐+𝒄𝟐
𝒚𝟐+𝒉𝟐(𝒚𝟐+𝒄𝟐)
]

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.𝑰𝟐𝟐 =
𝟏
𝟐
[
𝒙
𝒛
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) −
𝒚√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝒙𝟐
] =
𝟏
𝟐
[
𝒙
𝒛
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) −
𝒙𝟐𝒚√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
]
. 𝑰𝟐𝟐 =
𝒙
𝟐𝒛
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) −
𝟏
𝟐
𝒙𝟐𝒚√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
➢ Luego operando y factorizando 𝑰𝟐 = 𝑰𝟐𝟏 − 𝑰𝟐𝟐 ; tenemos:
𝑰𝟐 =
𝟐𝒗
𝒙𝟒
[
𝒙
𝟐𝒛
(
𝒙𝟐
− 𝒛𝟐
𝒛𝟐
) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
) +
𝒙𝟐
𝟐
(
𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
𝒚√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒛𝟐(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)
]
… . 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝟐)
➢ Como ya tenemos 𝑰𝟏 ; 𝑰𝟐 ahora debemos verificar que estas ecuaciones son auténticas y satisfacen con las siguientes condiciones:
.
𝒅(𝑰𝟏)
𝒅𝒚
= 𝒗
𝟏
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
.
𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
= 𝟐𝒗
𝟏
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝒗 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ; 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆: ∫ 𝒅(𝒇) = 𝒇

13. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alumno: Alexander Edison Calsin Condori
𝒅(𝑰𝟏)
𝒅𝒚
= 𝒗
𝟏
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
; demostraremos primero esta ecuación para I1:
.
𝒅(𝑰𝟏)
𝒅𝒚
= 𝒗
𝒅{[
𝟏
𝒙𝟑𝒛
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)−
𝒚
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
]}
𝒅𝒚
=
𝒗
𝒙𝟑𝒛
(
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)
′
𝟏+
𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
−
𝒗
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐−𝒚
𝟐𝒚
𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
.
𝒅(𝑰𝟏)
𝒅𝒚
=
𝒗
𝒙𝟑𝒛
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐𝒙−𝒙𝒚
𝟐𝒚𝒛
𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
−
𝒗
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐−𝒚𝟐
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
=
𝒗
𝒙𝟑𝒛
𝒙𝒛(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝒚𝟐𝒛
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
−
𝒗
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
𝒙𝟐+𝒛𝟐
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
.
𝒅(𝑰𝟏)
𝒅𝒚
=
𝒗
𝒙𝟑𝒛
𝒙𝒛(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐−𝒚𝟐)
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
−
𝒗
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
=
𝒗
𝒙𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
[
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
−
𝟏
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
]
.
𝒅(𝑰𝟏)
𝒅𝒚
=
𝒗
𝒙𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
[
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚𝟐
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
] =
𝒗
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
[
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐−𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
]
.
𝒅(𝑰𝟏)
𝒅𝒚
=
𝒗
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
[
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐−𝒚𝟐)
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
] =
𝒗
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐+𝒛𝟐
(𝒙𝟐
+𝒛𝟐)(𝒛𝟐
+𝒚𝟐)
; (𝒙𝟐 + 𝒛𝟐)(𝒛𝟐 + 𝒚𝟐) = 𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒛𝟐(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)
➢ Finalmente se verifica la Ecuación (1) mediante la derivada de 𝑰𝟏:
.
𝒅(𝑰𝟏)
𝒅𝒚
=
𝒗
(𝒛𝟐+𝒚𝟐)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐

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.
𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
= 𝟐𝒗
𝟏
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟐
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
; Seguidamente demostraremos esta ecuación para I2:
.
𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
= 𝟐𝒗
𝒅[
𝟏
𝟐𝒛𝒙𝟑(
𝒙𝟐−𝒛𝟐
𝒛𝟐 )𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)+
𝟏
𝟐𝒙𝟐(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐 )
𝒚√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
]
𝒅𝒚
;
{
𝜷 =
𝟏
𝟐𝒛𝒙𝟑 (
𝒙𝟐−𝒛𝟐
𝒛𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)
𝜶 =
𝟏
𝟐𝒙𝟐 (
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐 )
𝒚√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
; {
𝑰𝟐 = 𝜷 + 𝜶
𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
=
𝒅(𝜷)
𝒅𝒚
+
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
➢ Calculamos
𝒅(𝜷)
𝒅𝒚
:
.
𝒅(𝜷)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒛𝒙𝟑
(
𝒙𝟐−𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
𝟏
𝟏+
𝒙𝟐𝒚𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
(𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝒙−𝒙𝒚(
𝟐𝒚𝒛
𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
=
𝟏
𝟐𝒛𝒙𝟑
(
𝒙𝟐−𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)𝒙𝒛
[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
.
𝒅(𝜷)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐−𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
𝟏
(𝒙𝟐+𝒚𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
➢ Calculamos
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
:
.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)](√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐+
𝟐𝒚𝟐
𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)−𝒚√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝟐𝒚(𝒙𝟐+𝒛𝟐)]
[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐
.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)](𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐+𝒚𝟐)−𝟐𝒚𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐

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.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)](𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒚𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]−𝟐𝒚𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐 ; 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔
.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝟐𝒚𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)]+𝒚𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐
.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)[𝒙𝟐𝒚𝟐+(𝒙𝟐+𝒛𝟐)𝒛𝟐+𝒛𝟐𝒚𝟐−𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐−𝟐𝒛𝟐𝒚𝟐]+𝒚𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐
.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)[(𝒙𝟐+𝒛𝟐)𝒛𝟐−𝒚𝟐𝒛𝟐−𝒙𝟐𝒚𝟐]+𝒚𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐
.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)[(𝒙𝟐+𝒛𝟐)𝒛𝟐−(𝒙𝟐+𝒛𝟐)𝒚𝟐]+𝒚𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐
.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)[𝒛𝟐−𝒚𝟐](𝒙𝟐+𝒛𝟐)+𝒚𝟐(𝒙𝟐𝒚𝟐)+𝒚𝟐𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐
.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)[𝒛𝟐−𝒚𝟐](𝒙𝟐+𝒛𝟐)+𝒚𝟐(𝒛𝟐+𝒚𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐
.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)[(𝒛𝟐+𝒚𝟐)(𝒛𝟐−𝒚𝟐)+𝒙𝟐(𝒛𝟐−𝒚𝟐)+𝒚𝟐(𝒛𝟐+𝒚𝟐)]
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐 =
𝟏
𝟐𝒙𝟐
(
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)[(𝒛𝟐+𝒚𝟐)𝒛𝟐+𝒙𝟐(𝒛𝟐−𝒚𝟐)]
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐

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.
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
=
𝟏
𝟐𝒙𝟐 (
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐 )
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)[𝒛𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟒+𝒛𝟐𝒙𝟐−𝒙𝟐𝒚𝟐]
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)]
𝟐 =
𝟏
𝟐𝒙𝟐 (
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐 )
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)[𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚𝟐]
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[(𝒙𝟐+𝒛𝟐)(𝒛𝟐+𝒚𝟐)]
𝟐
➢ Reemplazando las ecuaciones
𝒅(𝜷)
𝒅𝒚
;
𝒅(𝜶)
𝒅𝒚
𝒆𝒏
𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
:
. 𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
=
𝒗
𝒙𝟐 (
𝒙𝟐−𝒛𝟐
𝒛𝟐 )
𝟏
(𝒙𝟐+𝒚𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+
𝒗
𝒙𝟐 (
𝒙𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐 )
[𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚𝟐]
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐[𝒙𝟐𝒚𝟐+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)](𝒛𝟐+𝒚𝟐)
. 𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
=
𝒗
𝒙𝟐𝒛𝟐(𝒛𝟐+𝒚𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
[𝒙𝟐
− 𝒛𝟐
+
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)(𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚𝟐)
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒙𝟐𝒚𝟐 ] = 𝝀 [
𝒙𝟐𝒚𝟐(𝒙𝟐−𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐−𝒛𝟐)+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒙𝟐𝒚𝟐 ]
Donde: 𝝀 =
𝒗
𝒙𝟐𝒛𝟐(𝒛𝟐+𝒚𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
.
𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
= 𝝀 [
𝒙𝟐𝒚𝟐(𝒙𝟐−𝒛𝟐−𝒙𝟐−𝒛𝟐)+𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐−𝒛𝟐+𝒙𝟐+𝒛𝟐)
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)(𝒛𝟐+𝒚𝟐)
] = 𝝀 [
−𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐𝒛𝟐+𝟐𝒙𝟐𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)(𝒛𝟐+𝒚𝟐)
] = 𝝀 [
𝟐𝒙𝟐𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐−𝒚𝟐)
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)(𝒛𝟐+𝒚𝟐)
]
.
𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
=
𝒗
𝒙𝟐𝒛
𝟐
(𝒛𝟐+𝒚𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
[
𝟐𝒙𝟐𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)(𝒛𝟐+𝒚𝟐)
] ; 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆:
𝒅(𝑰𝟐)
𝒅𝒚
=
𝟐𝒗
(𝒛𝟐+𝒚𝟐)𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐

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➢ Reemplazando I1; I2 tenemos:
𝛁𝝈 = 𝒗 {
𝟏
𝒙𝟑𝒛
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
) −
𝒚
𝒙𝟐(𝒙𝟐 + 𝒛𝟐)√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
+
𝟏
𝒛𝒙𝟑
(
𝒙𝟐
− 𝒛𝟐
𝒛𝟐
) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
) +
𝟏
𝒙𝟐
(
𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒛𝟐
)
𝒚√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒛𝟐(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)
}
𝑰𝟏; 𝑰𝟐 Son sus antiderivadas respectivas; factorizamos y reducimos términos
∆𝝈 = 𝒗 {(
𝟏
𝒙𝟑𝒛
+
𝒙𝟐−𝒛𝟐
𝒙𝟑𝒛
)𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) +
𝒚
𝒙𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝒛𝟐 −
𝟏
𝒙𝟐+𝒛𝟐)} =
𝝎𝒙𝒛𝟑
𝟐𝝅
{
𝟏
𝒙𝒛𝟑 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) +
𝒚
𝒙𝟐√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(𝒛𝟐+𝒚𝟐)𝒛𝟐 −
𝟏
𝒙𝟐+𝒛𝟐)}
∆𝝈 =
𝝎
𝟐𝝅
[
𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙
(
𝟏
𝒚𝟐+𝒛𝟐 −
𝒛𝟐
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)] =
𝝎
𝟐𝝅
[
𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙
(
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)−𝒛𝟐(𝒚𝟐+𝒛𝟐)
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)]
∆𝝈 =
𝝎
𝟐𝝅
[
𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙
(
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)+(𝒙𝟐+𝒛𝟐)𝒙𝟐−𝒛𝟐(𝒚𝟐+𝒛𝟐)
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)] =
𝝎
𝟐𝝅
[
𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙
(
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)𝒙𝟐+(𝒙𝟐+𝒛𝟐)𝒙𝟐
(𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)]
∆𝝈 =
𝝎
𝟐𝝅
[
𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒙
𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟐𝒛𝟐)
(𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒙𝟐𝒚
𝟐
)(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)] =
𝝎
𝟐𝝅
[
𝒙𝒚𝒛(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟐𝒛𝟐)
(𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒙𝟐𝒚
𝟐
)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)] ; 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒏𝒅𝒐 ∶
∆𝝈 =
𝝎
𝟐𝝅
[
𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟐𝒛𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)] ; 𝒑𝒐𝒓 ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 "𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒂𝒙)":
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒚) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙+𝒚
𝟏−𝒙𝒚
) + 𝒌𝝅 Si:
{
𝒙𝒚 < 𝟏 ; 𝒌 = 𝟎
𝒙𝒚 > 𝟏 ∧ 𝒙 > 𝟎 ; 𝒌 = 𝟏
𝒙𝒚 > 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟎 ; 𝒌 = −𝟏
∆𝝈 =
𝟏
𝟐
(
𝝎
𝟐𝝅
) [𝟐 (
𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟐𝒛𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
))] ; multiplicamos por 2 y dividimos entre 2:
𝛁𝝈 =
𝝎
𝟒𝝅
[
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟐𝒛𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+ 𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
)] … 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟑)

18. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
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➢ Ahora operamos y aplicamos la propiedad en el término siguiente:
𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
(
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝟏−[
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
]
𝟐
)
= 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
)
Finalmente: 𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚
𝟐)… 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝝓
➢ Reemplazamos “𝝓” en la 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟑) tenemos:
∆𝝈 =
𝝎
𝟒𝝅
[
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐) + 𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐) − 𝒙𝟐𝒚
𝟐)]
Donde: 𝝎0 =
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟐𝒛𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚
𝟐)
. 𝛁𝝈 = 𝝎𝝎0 donde; 𝝎0: Coeficiente de influencia (factor de influencia)
➢ Para los ábacos de Fadum reemplazamos {
𝒎 = 𝒙
𝒛
⁄
𝒏 =
𝒚
𝒛
⁄
tenemos:
. ∆𝝈 =
𝝎
𝟒𝝅
[
𝟐𝒎𝒏√𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
(𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏)+𝒎𝟐𝒏𝟐
𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟐
𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒎𝒏√𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
(𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏)−𝒎𝟐𝒏𝟐)] ; Demostrado

19. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
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Esfuerzo debido a una carga lineal de longitud finita
➢ Partimos de la fórmula de la Carga puntual:
∆𝝈 =
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅𝑹𝟓 𝑹𝟐
= 𝒓𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒓𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
➢ Integramos a lo largo de cada punto de la cargar linealmente distribuida.
∫ 𝒅(∆𝝈) = ∫
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅𝑹𝟓𝟎
𝒅𝒚 = ∫
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟓
𝟐
𝒅𝒚
𝒚
𝟎
𝒚
𝟎
𝒂𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐
; 𝒄 =
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅
∆𝝈 = 𝒄 ∫
𝒅𝒚
(𝒚𝟐+𝒂𝟐)
𝟓
𝟐
𝒚
𝟎
𝑰𝟏 = ∫
𝒅𝒚
(𝒚𝟐+𝒂𝟐)
𝟓
𝟐
; Transformamos a una integral definida para facilitar cálculos posteriores.

20. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alumno: Alexander Edison Calsin Condori
{
𝒚 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽
𝒅𝒚 = 𝒂 𝐬𝐞𝐜𝟐
𝜽𝒅𝜽
; Utilizando la sustitución trigonométrica
𝑰𝟏 = ∫
𝒂 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽𝒅𝜽
𝒂𝟒(𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜽+𝟏)
𝟓
𝟐
; 𝐭𝐚𝐧𝟐
𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐
𝜽 ; 𝑰𝟏 =
𝟏
𝒂𝟒 ∫
𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽
𝐬𝐞𝐜𝟓 𝜽
𝒅𝜽 =
𝟏
𝒂𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑
𝜽 𝒅𝜽
𝑰𝟏 =
𝟏
𝒂𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 (𝟏 − 𝐬𝐞𝐧𝟐
𝜽)𝒅𝜽 =
𝟏
𝒂𝟒 (∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝐬𝐞𝐧𝟐
𝜽𝒅𝜽)
𝑰𝟏 =
𝟏
𝒂𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 −
𝐬𝐞𝐧𝟑 𝜽
𝟑
) → 𝛁𝝈 =
𝒄
𝒂𝟒 (𝒔𝒆𝒏𝜽 −
𝐬𝐞𝐧𝟑 𝜽
𝟑
)
∆𝝈 =
𝒄
𝒂𝟒
(
𝒚
√𝒚𝟐+𝒂𝟐
−
𝒚𝟑
𝟑(√𝒙𝟐+𝒂𝟐)
𝟑) |
𝒙
𝟎
=
𝒄
𝒂𝟒
(
𝒚
√𝒚𝟐+𝒂𝟐
−
𝒚𝟑
𝟑(√𝒚𝟐+𝒂𝟐)
𝟑) =
𝒄
𝒂𝟒
𝒚
√𝒚𝟐+𝒂𝟐
(𝟏 −
𝒚𝟐
𝟑(𝒚𝟐+𝒂𝟐)
) ; 𝒂𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐
∆𝝈 =
𝒄
𝒂𝟒
𝒚
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(
𝟑𝒚𝟐+𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒛𝟐−𝒚𝟐
𝟑(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
) =
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅
𝟏
(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
𝟐
𝒚
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝟐𝒚𝟐+𝟑𝒙𝟐+𝟑𝒛𝟐
𝟑(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
∆𝝈 =
𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅
𝟏
(𝒙𝟐 + 𝒛𝟐)𝟐
𝒚
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
(
𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚𝟐
+ 𝟐𝒛𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
) =
𝑷𝒙𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)𝟐√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
(
𝟐(𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐) + 𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
)
∆𝝈 =
𝑷𝒚𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒙𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(
𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
+
𝒙𝟐+𝒛𝟐
(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)(𝒙𝟐+𝒛𝟐)
) ; Finalmente tenemos:
∆𝝈 =
𝑷𝒚𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒙𝟐+𝒛𝟐)√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
(
𝟏
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+
𝟐
𝒙𝟐+𝒛𝟐
) ; Para Fadum: ∆𝝈 =
𝒑
𝒛
𝒎
𝟐𝝅(𝒎𝟐+𝟏)√𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
(
𝟏
𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
+
𝟐
𝒎𝟐+𝟏
) ; {
𝒎 = 𝒙
𝒛
⁄
𝒏 =
𝒚
𝒛
⁄
P0=
𝒎
𝟐𝝅(𝒎𝟐+𝟏)√𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
(
𝟏
𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
+
𝟐
𝒎𝟐+𝟏
) ; 𝛁𝝈 =
𝒑
𝒛
𝐏0

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Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alumno: Alexander Edison Calsin Condori
Esfuerzo debido a un área circularmente
Cargada
𝝎: 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆
𝝎 =
𝒑
𝑨
;𝑨: 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍
𝑷 = 𝝎𝑨
𝑷 = [𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶]𝝎 …(1)
𝒅𝑨 = 𝒅𝒓(𝒓𝒅𝜶)
𝒅𝑨 = 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶
➢ Partimos de la fórmula de la Carga puntual:
∆𝝈 =
𝟑𝑷
𝟐𝝅
𝟏
𝒛𝟐 [
𝟏
𝟏+(
𝒓
𝒛
)
𝟐]
𝟓
𝟐
… (𝟐)

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➢ Reemplazando (1) en (2) e integrando:
∫ 𝒅(∆𝝈) = ∫ ∫
𝟑
𝟐𝝅
(𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶)𝝎
𝒛𝟐
𝟏
[𝟏+(
𝒓
𝒛
)
𝟐
]
𝟓
𝟐
𝜶=𝟐𝝅
𝜶=𝟎
𝒓=𝒓
𝒓=𝟎
; los límites de integración:{
𝒓 → 𝟎
𝒖 → 𝒛𝟐; {
𝒓 → 𝒓
𝒖 → 𝒓𝟐
+ 𝒛𝟐
∆𝝈 =
𝟑𝝎𝒛𝟑
𝟐𝝅
(∫
𝒓𝒅𝒓
(𝒓𝟐+𝒛𝟐)
𝟓
𝟐
𝒓
𝟎
) (∫ 𝒅𝜶
𝟐𝝅
𝟎
) ;∆𝝈 = 𝟑𝝎𝒛𝟑 𝟏
𝟐
∫
𝒅𝒖
𝒖
𝟓
𝟐
𝒓𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐 ; Cambio de variable:{𝒖 = 𝒓𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒅𝒖 = 𝟐𝒓𝒅𝒓
∆𝝈 =
𝟑𝝎𝒛𝟑
𝟐
(
−𝟐𝒖
−𝟑
𝟐
⁄
𝟑
) |𝒓𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒛𝟐
= −𝝎𝒛𝟑
[
𝟏
(𝒓𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐
] +
𝝎𝒛𝟑
𝒛𝟑 = 𝝎𝒛𝟑
[
𝟏
𝒛𝟑 −
𝟏
(𝒓𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐
]
∆𝝈 = 𝝎𝒛𝟑
[
𝟏
𝒛𝟑 −
𝟏
(𝒓𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐
] = 𝝎 [𝟏 −
𝒛𝟑
(𝒓𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐
] = 𝝎 {𝟏 −
𝟏
[(
𝒓
𝒛
)
𝟐
+𝟏]
𝟑
𝟐
} ; 𝝎0= {𝟏 −
𝟏
[(
𝒓
𝒛
)
𝟐
+𝟏]
𝟑
𝟐
}(factor de influencia)
∆𝝈 = 𝝎𝝎0 ; donde: 𝝎0= 𝒇(𝒓
𝒛
⁄ )

23. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
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DEMOSTRAR LA FÓRMULA
[
√
( )
(
√
( )
)]
APARTIR DE LA INTEGRACIÓN DOBLE: