FUNCION DELTA DIRAC, ECUACIONES DE PULSO MAESTRIA MATEMATICA PARA INGENIEROS 2022, EJERCICOS RESUELTOS Y TEMATICA

1. Función delta de Dirac
Rosendo Ochoa Jiménez
Universidad Privada de Tacna
24 de setiembre del 2022

2. Función delta de Dirac
1 Función de Heaviside o escalón
Definicion
Propiedades
2 Función delta de Dirac
Definicion
Propiedades
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 2 / 42

3. Función de Heaviside o escalón Definicion
Función escalón
u(t) =
0 t 0
1 0 t
t
u(t)
0
1
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 3 / 42

4. Función de Heaviside o escalón Propiedades
Propiedades de la función escalón
t
u(t − α)
α
0
1
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 4 / 42

5. Función de Heaviside o escalón Propiedades
t
u(α − t)
α
0
1
u(α − t) = 1 − u(t − α)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 5 / 42

6. Función de Heaviside o escalón Propiedades
t
a u(t − α)
α
0
a
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 6 / 42

7. Función de Heaviside o escalón Propiedades
Función pulso rectangular
φ(t) =
0 t α, t β
1 α t β
t
φ(t)
0
1
α β
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 7 / 42

8. Función de Heaviside o escalón Propiedades
La función φ(t) se puede expresar mediante funciones escalón:
φ(t) = u(t − α) − u(t − β)
t
u(t − α)
0
1
α
t
u(t − β)
0
1
β
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 8 / 42

9. Función de Heaviside o escalón Propiedades
Sistemas LTI continuos
Z ∞
−∞
f(t)u(t − α)dt =
Z ∞
α
f(t)dt
Z ∞
−∞
f(t)u(α − t)dt =
Z α
−∞
f(t)dt
Z ∞
−∞
f(t) (u(t − α) − u(t − β)) dt =
Z β
α
f(t)dt
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 9 / 42

10. Función de Heaviside o escalón Propiedades
h(t) = e−4tu(t − 2)
t
h(t)
2
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 10 / 42

11. Función de Heaviside o escalón Propiedades
h(t) = e2tu(−1 − t)
t
h(t)
−1
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 11 / 42

12. Función de Heaviside o escalón Propiedades
h(t) = te−tu(t)
t
h(t)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 12 / 42

13. Función delta de Dirac Definicion
Función delta de Dirac
δ(t)
Sea la siguiente función, que depende de un parámetro positivo ε:
fε(t) =



0 t −
ε
2
, t
ε
2
1
ε
−
ε
2
t
ε
2
Si hacemos que ε sea lo mas pequeño posible, tenemos que en punto
t = 0 la función fε(t) diverge, por lo tanto no existe el limite:
No existe lim
ε→0
fε(t)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 13 / 42

14. Función delta de Dirac Definicion
t
fε(t)
−ε
2
ε
2
1
ε
Tomamos la integral: Z ∞
−∞
fε(t)dt = 1
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 14 / 42

15. Función delta de Dirac Definicion
Existe el limite de la integral:
lim
ε→0
Z ∞
−∞
fε(t)dt = 1
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 15 / 42

16. Función delta de Dirac Definicion
Sea la función φ(t), diferenciable, acotada y que:
lim
t→−∞
φ(t) = 0 lim
t→∞
φ(t) = 0
La función φ(t) se llama función de prueba.
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 16 / 42

17. Función delta de Dirac Definicion
Vamos ahora a calcular el límite:
lim
ε→0
Z ∞
−∞
fε(t)φ(t)dt
Z ∞
−∞
fε(t)φ(t)dt =
Z ε
2
− ε
2
1
ε
φ(t)dt
=
1
ε
Z ε
2
− ε
2
φ(t)dt
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 17 / 42

18. Función delta de Dirac Definicion
Teorema del valor medio:
Z b
a
f(t)dt = (b − a)f(c)
donde a c b
t
f(t)
a b
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 18 / 42

19. Función delta de Dirac Definicion
t
f(t)
a b
(b − a)f(a)
Z b
a
f(t)dt (b − a)f(b)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 19 / 42

20. Función delta de Dirac Definicion
Para c, que a c b:
t
f(t)
a b
f(c)
c
(b − a)f(a) (b − a)f(c) (b − a)f(b)
Entonces existe c, tal que:
Z b
a
f(t)dt = (b − a)f(c)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 20 / 42

21. Función delta de Dirac Definicion
Aplicando el teorema del valor medio:
1
ε
Z ε
2
− ε
2
φ(t)dt =
1
ε
ε
2
−
−
ε
2
φ(c)
= φ(c)
donde:
−
ε
2
c
ε
2
Si ε → 0, entonces c → 0.
Por lo tanto:
lim
ε→0
Z ∞
−∞
fε(t)φ(t)dt = φ(0)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 21 / 42

22. Función delta de Dirac Definicion
Se escribe de manera simbólica δ(t), como si existiera:
lim
ε→0
Z ∞
−∞
fε(t)φ(t)dt =
Z ∞
−∞
δ(t)φ(t)dt
a la que se le llama función delta de Dirac:
Z ∞
−∞
δ(t)φ(t)dt = φ(0)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 22 / 42

23. Función delta de Dirac Propiedades
Sea α un número real diferente de cero, calculamos la integral:
Z ∞
−∞
δ(αt)φ(t)dt
Hacemos el cambio de variable: x = αt.
Si α 0, entonces, para t → ±∞ se tiene x → ±∞.
Z ∞
−∞
δ(αt)φ(t)dt =
Z ∞
−∞
δ(x)φ
x
α
d
x
α
=
1
α
Z ∞
−∞
δ(x)φ
x
α
dx
=
1
α
φ(0)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 23 / 42

24. Función delta de Dirac Propiedades
Si α 0, entonces, para t → ±∞ se tiene x → ∓∞.
Z ∞
−∞
δ(αt)φ(t)dt =
Z −∞
∞
δ(x)φ
x
α
d
x
α
= −
Z ∞
−∞
δ(x)φ
x
α
d
x
α
= −
1
α
Z ∞
−∞
δ(x)φ
x
α
dx
= −
1
α
φ(0)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 24 / 42

25. Función delta de Dirac Propiedades
Z ∞
−∞
δ(αt)φ(t)dt =
1
|α|
φ(0)
=
1
|α|
Z ∞
−∞
δ(t)φ(t)dt
=
Z ∞
−∞
1
|α|
δ(t)φ(t)dt
Comparando los términos, que estan dentro de la integral, tenemos de
manera simbólica la igualdad:
δ(αt) =
1
|α|
δ(t)
Se puede ver, que la función delta de Dirac es par:
δ(−t) = δ(t)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 25 / 42

26. Función delta de Dirac Propiedades
Sea α un número real, calculamos la integral:
Z ∞
−∞
δ(t − α)φ(t)dt
Hacemos el cambio de variable: x = t − α.
Entonces, para t → ±∞ se tiene x → ±∞.
Z ∞
−∞
δ(t − α)φ(t)dt =
Z ∞
−∞
δ(x)φ (x + α) d (x + α)
=
Z ∞
−∞
δ(x)φ (x + α) dx
= φ(0 + α)
= φ(α)
φ(α) =
Z ∞
−∞
δ(t − α)φ(t)dt
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 26 / 42

27. Función delta de Dirac Propiedades
Sea la función continua f(t) y α un número real, tal que f(α) es
diferente de cero, calculamos la integral, aplicando la propiedad
anterior:
Z ∞
−∞
f(t)δ(t − α)φ(t)dt = f(α)φ(α)
= f(α)
Z ∞
−∞
δ(t − α)φ(t)dt
=
Z ∞
−∞
f(α)δ(t − α)φ(t)dt
De donde se tiene simbolicamente la igualdad:
f(t)δ(t − α) = f(α)δ(t − α)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 27 / 42

28. Función delta de Dirac Propiedades
Derivada generalizada
Sea φ(t), una función de prueba, y f(t) una función derivable,
entonces en la siguiente integral aplicamos la integral por partes:
Z ∞
−∞
df(t)
dt
φ(t)dt = f(t)φ(t)
∞
−∞
−
Z ∞
−∞
dφ(t)
dt
f(t)dt
Como φ(t) es una función de prueba, cumple con: φ(±∞) = 0,
entonces: Z ∞
−∞
df(t)
dt
φ(t)dt = −
Z ∞
−∞
dφ(t)
dt
f(t)dt
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 28 / 42

29. Función delta de Dirac Propiedades
Si la función f(t), contiene a la función delta de Dirac o a la función
escalón, entonces, considerando la formula anterior, su derivada se
llama generalizada y se define de la siguiente manera:
Z ∞
−∞
df(t)
dt
φ(t)dt = −
Z ∞
−∞
dφ(t)
dt
f(t)dt
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 29 / 42

30. Función delta de Dirac Propiedades
Cálculo la derivada de la función escalón:
Z ∞
−∞
du(t)
dt
φ(t)dt = −
Z ∞
−∞
dφ(t)
dt
u(t)dt
= −
Z ∞
0
dφ(t)
dt
dt
= −φ(t)
∞
0
= φ(0)
=
Z ∞
−∞
δ(t)φ(t)dt
Comparando las integrales:
du(t)
dt
= δ(t)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 30 / 42

31. Función delta de Dirac Propiedades
Cálculo la derivada de la función rampa:
Z ∞
−∞
d (tu(t))
dt
φ(t)dt = −
Z ∞
−∞
dφ(t)
dt
tu(t)dt
= −
Z ∞
0
dφ(t)
dt
tdt
= −tφ(t)
∞
0
+
Z ∞
0
φ(t)dt
=
Z ∞
−∞
u(t)φ(t)dt
Comparando las integrales:
d (tu(t))
dt
= u(t)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 31 / 42

32. Función delta de Dirac Propiedades
Cálculo la derivada de la función delta de Dirac:
Z ∞
−∞
d (δ(t))
dt
φ(t)dt = −
Z ∞
−∞
dφ(t)
dt
δ(t)dt
= −
dφ(t)
dt |t=0
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 32 / 42

33. Función delta de Dirac Propiedades
1. Simplifique las expresiones:
a) (t3 − 4t − 1)δ(t − 3)
b) ( sen t − t)δ(t − π)
c) (cos t − t)δ(t − π)
d) (e−t2
− 1)δ(t − 1)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 33 / 42

34. Función delta de Dirac Propiedades
Solución
En este caso se aplica la formula:
f(t)δ(t − α) = f(α)δ(t − α)
a) (t3 − 4t − 1)δ(t − 3)
f(t) = t3
− 4t − 1
α = 3
f(3) = 33
− 4 · 3 − 1 = 14
Respuesta:
(t3
− 4t − 1)δ(t − 3) = 14δ(t − 3)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 34 / 42

35. Función delta de Dirac Propiedades
b) ( sen t − t)δ(t − π)
f(t) = sen t − t
α = π
f(π) = sen π − π = −π
Respuesta:
( sen t − t)δ(t − π) = −πδ(t − π)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 35 / 42

36. Función delta de Dirac Propiedades
c) (cos t − t)δ(t − π)
f(t) = cos t − t
α = π
f(π) = cos π − π = −1 − π
Respuesta:
(cos t − t)δ(t − π) = −(1 + π)δ(t − π)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 36 / 42

37. Función delta de Dirac Propiedades
d) (e−t2
− 1)δ(t + 1)
f(t) = e−t2
− 1
α = −1
f(−1) = e−(−1)2
− 1 = e−1
− 1
Respuesta:
(e−t2
− 1)δ(t + 1) = e−1
− 1
δ(t + 1)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 37 / 42

38. Función delta de Dirac Propiedades
2. Encuentre la primera derivada de las siguientes funciones:
a) f(t) = e−4tu(t − 2)
b) f(t) = e2tu(−1 − t)
c) f(t) = (cos t − t)u(t − π)
d) f(t) = te−tu(t) + e−4t
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 38 / 42

39. Función delta de Dirac Propiedades
Solución
a)
df(t)
dt
=
d
dt
e−4t
u(t − 2)
=
d
dt
e−4t
u(t − 2) + e−4t d
dt
(u(t − 2))
= −4e−4t
u(t − 2) + e−4t
δ(t − 2)
= −4e−4t
u(t − 2) + e−8
δ(t − 2)
Respuesta:
d
dt
e−4t
u(t − 2)
= −4e−4t
u(t − 2) + e−8
δ(t − 2)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 39 / 42

40. Función delta de Dirac Propiedades
b)
df(t)
dt
=
d
dt
e2t
u(−1 − t)
=
d
dt
e2t
(1 − u(t + 1))
=
d
dt
e2t
(1 − u(t + 1)) + e2t d
dt
(1 − u(t + 1))
= 2e2t
(1 − u(t + 1)) + e2t
(−δ(t + 1))
= 2e2t
(1 − u(t + 1)) − e−2
δ(t + 1)
Respuesta:
d
dt
e2t
u(−1 − t)
= 2e2t
(1 − u(t + 1)) − e−2
δ(t + 1)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 40 / 42

41. Función delta de Dirac Propiedades
c)
df(t)
dt
=
d
dt
((cos t − t)u(t − π))
=
d
dt
(cos t − t) u(t − π) + e2t
(cos t − t) u(t − π)
= (− sen t − 1) u(t − π) + (cos t − t) δ(t − π)
= − ( sen t + 1) u(t − π) + (cos π − π) δ(t − π)
= − ( sen t + 1) u(t − π) − (1 + π) δ(t − π)
Respuesta:
d
dt
((cos t − t)u(t − π)) = − ( sen t + 1) u(t − π) − (1 + π) δ(t − π)
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 41 / 42

42. Función delta de Dirac Propiedades
d)
df(t)
dt
=
d
dt
te−t
u(t) + e−4t
=
d
dt
te−t
u(t) + te−t d
dt
u(t) − 4e−4t
= e−t
− te−t
u(t) + te−t
δ(t) − 4e−4t
= e−t
(1 − t) u(t) − 4e−4t
Respuesta:
d
dt
te−t
u(t) + e−4t
= e−t
(1 − t) u(t) − 4e−4t
Rosendo Ochoa Jiménez (UPT) Función delta de Dirac 24 de setiembre del 2022 42 / 42