Cálculo Diferencial - Slides 1.pdf

Cálculo Diferencial
Preliminares
Sucesiones y Topología
Omar Enrique García Caicedo
oegarcia@unillanos.edu.co
25 de octubre de 2021
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Contenido
1. Sucesiones de Números Reales
2. Topología de los Números Reales
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Sucesiones de Números Reales I
Para poder hablar de límites, continuidad y derivadas es importante saber
el concepto de sucesión, pues de una forma u otra, todos esos conceptos
se reducirán a algún tipo de límite de una sucesión.
Definición 1
Una sucesión es una función x : N → R que asocia a cada número
natural n un número real xn que llamaremos n-ésimo término de
la sucesión.
Escribiremos (x1, x2, · · · , xn, · · · ) o (xn)n∈N o simplemente (xn), para
denotar una sucesión cuyo término n-ésimo es xn.
No debe confundirse a la sucesión (xn) con el conjunto {xn|n ∈ N} de sus
términos. Por ejemplo la sucesión xn = 1, ∀n ∈ N no es lo mismo que el
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Sucesiones de Números Reales II
conjunto {1} (el único término de la sucesión). Por otro lado las sucesiones
(0, 1, 0, · · · ) y (0, 0, 1, 0, · · · ) son diferentes pero el conjunto de sus
términos es el mismo, igual a {0, 1}.
Definición 2
Decimos que una sucesión es:
• acotada superiormente si existe c ∈ R tal que
xn ≤ c, ∀n ∈ N.
• acotada inferiormente si existe c ∈ R tal que
xn ≥ c, ∀n ∈ N.
• acotada si lo es superior e inferiormente, es decir, existe
c > 0 tal que |xn| ≤ c, ∀n ∈ N.
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Sucesiones de Números Reales III
Por ejemplo, dado a > 1, la sucesión xn = an, ∀n ∈ N es acotada
inferiormente pero no es acotada superiormente. En efecto, tenemos que
1 < a < an < an+1, para todo n ∈ N, esto nos dice que la sucesion es
acotda inferiormente tanto por 1 como a (hay más).
Por otro lado como a > 1, podemos escribir a = d + 1, con d > 0,
usando la desigualdad de Bernoulli, para todo n ∈ N se tiene que
an > 1 + nd y por tanto si tomamos c ∈ R tal que n >
c − 1
d
obtenemos
an > 1+nd > c, esto implica que la sucesión no es acotada superiormente,
pues, para este ejemplo sólo una cantidad finita de términos es acotado
superiormente por c.
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Sucesiones de Números Reales IV
Definición 3
Dada una sucesión x = {xn}n∈N, una subsucesión de x es la
restricción de la función x a un subconjunto (ordenado) infini-
to S = {n1 < n2 < n3 < · · · < nk < · · · } ⊆ N y se denota por
{xnk
}k∈N. Es importante notar que el conjunto S satisface que
para todo n ∈ N existe un nk ∈ S tal que n < nk. En particular,
una subsucesión es en sí misma una sucesión.
Por ejemplo, dado un número real a < −1, consideramos la sucesión
{an}n∈N. Si Ne es el conjunto de los números pares y No es el conjunto
de los números impares, obtenemos dos subsucesiones a saber:
◦

a2k

, ∀k ∈ N que satisface a2k 1, ∀k ∈ N, por tanto, esta
subsucesión está acotada inferiormente.
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Sucesiones de Números Reales V
◦

a2k+1

, ∀k ∈ N que satisface a2k+1 −1, ∀k ∈ N, por tanto,
esta subsucesión está acotada superiormente.
Definición 4
Decimos que una sucesión es:
• creciente si para todo n ∈ N se cumple que xn ≤ xn+1.
• estrictamente creciente si para todo n ∈ N se cumple que
xn xn+1.
• decreciente si para todo n ∈ N se cumple que xn+1 ≤ xn.
• estrictamente decreciente si para todo n ∈ N se cumple
que xn+1 xn.
• monótona si satisface alguna de las anteriores.
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Sucesiones de Números Reales VI
Toda sucesión decreciente (resp. creciente) es acotada inferiormente (resp.
superiormente) por su primer término. Y tambien una condición suficien-
te para que una sucesión sea acotada, es que esta posea una subsucesión
acotada. En efecto, sea {xnk
}k∈N una subsucesión de una sucesión mo-
nótona (por ejemplo creciente) {xn}n∈N. Para cualquier n ∈ N tenemos
que xnk
≤ c. Además para todo n ∈ N existe un nk tal que n nk, esto
implica que xn ≤ xnk
≤ c.
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Sucesiones de Números Reales VII
Diremos que un número real x es el límite de la sucesión {xn}n∈N si:
Para todo ε 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces
|xn − x| ε.
Si una sucesión tiene límite diremos que es convergente y se denotará
como: lı́m
n→∞ xn = x. En caso contrario diremos que la sucesión es diver-
gente.
Teorema 1 - Unicidad del Límite
El límite de una sucesión es único.
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Sucesiones de Números Reales VIII
Teorema 2
Si una sucesión {xn}n∈N es convergente a un número x entonces
toda subsucesión de esta es convergente al mismo número.
Teorema 3
Si una sucesión {xn}n∈N es convergente entonces es acotada.
Es de esperar que una sucesión acotada sea también convergente, pero
en general esto no es cierto, por ejemplo, tomemos la sucesión {xn}n∈N
dada por xn = 1+(−1)n+1 que es acotada pues xn ≤ 2 para todo n ∈ N,
pero no es convergente pues se tienen dos subsucesiones que convergen a
valores diferentes x2n = 2 y x2n−1 = 0.
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Sucesiones de Números Reales IX
Teorema 4
Si una sucesión {xn}n∈N es mónotona y acotada entonces es con-
vergente.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Toda sucesión acotada de números reales tiene una subsucesión
convergente.
Por ejemplo, sea 0 a 1 y consideramos la sucesión an para todo
n ∈ N, esta sucesión es decreciente y acotada pues se tiene la siguiente
desigualdad 0 a 1 =⇒ 0 an+1 an a 1 para todo n ∈ N,
por tanto la sucesión es convergente. Ahora, afirmamos que esta sucesión
converge a 0. Esto es cierto pues, dado ε 0, como 1
a 1 la propiedad
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Sucesiones de Números Reales X
arquimediana nos dice que existe N ∈ N tal que 1
aN 1
ε , esto es, aN ε,
entonces n N implica que an aN ε, es decir,
lı́m
n→∞ an
= 0
Cuando usemos la expresión Para n suficientemente grande nos referimos
a que Existe un N ∈ N tal que nN.
Teorema 5
Sea lı́m
n→∞ xn = a y b a, entonces para n suficientemente grande,
se tiene b xn. Análogamente, si a b entonces xn b para n
suficientemente grande.
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Sucesiones de Números Reales XI
Corolario 1
Sea lı́m
n→∞ xn = a y a 0, entonces para n suficientemente grande,
se tiene xn 0. Análogamente, si a 0 entonces xn 0 para n
suficientemente grande.
Corolario 2
Sean lı́m
n→∞ xn = a y lı́m
n→∞ yn = b. Si xn ≤ yn para todo n suficien-
temente grande entonces a ≤ b. En particular si para n suficiente-
mente grande, se tiene xn ≤ b entonces lı́m
n→∞ xn ≤ b.
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Sucesiones de Números Reales XII
Teorema del Sandwich
Si lı́m
n→∞ xn = lı́m
n→∞ yn = a y xn ≤ zn ≤ yn para n suficientemente
grande entonces lı́m
n→∞ zn = a.
Teorema 6
Si lı́m
n→∞ xn = 0 y {yn}n∈N una sucesión acotada (convergente o
no) entonces lı́m
n→∞ xn · yn = 0.
Por ejemplo, si xn = 1
n y yn = sen(n) entonces xn → 0 y yn no converge
pero |yn| ≤ 1, ∀n y así podemos concluir que lı́m
n→∞
sen(n)
n = 0.
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Sucesiones de Números Reales XIII
Por otro lado si la sucesión {yn}n∈N no es acotada entonces para el
producto xn · yn puede suceder cualquier cosa, por ejemplo:
◦ Diverge, por ejemplo tomando xn = 1
n y yn = n2 tenemos
1
n · n2 = n.
◦ Converge, por ejemplo tomando xn = 1
n y yn = n tenemos
1
n · n = 1.
También notemos que la siguiente desigualdad
||x| − |a|| ≤ |x − a|
implica que si lı́m
n→∞ xn = a entonces lı́m
n→∞ |xn| = |a|. Esto nos permitirá
escribir lo siguiente:
lı́m
n→∞ xn = a ⇐⇒ lı́m
n→∞ xn − a = 0 ⇐⇒ lı́m
n→∞ |xn − a| = 0
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Sucesiones de Números Reales XIV
Teorema 7
Si lı́m
n→∞ xn = a y lı́m
n→∞ yn = b entonces:
• lı́m
n→∞ xn ± yn = a ± b.
• lı́m
n→∞ xn · yn = a · b.
• lı́m
n→∞
xn
yn
= a
b , b 6= 0.
• lı́m
n→∞ (xn)k
= ak, con a 6= 0 si k 0.
Dada una sucesión {xn}n∈N decimos que:
◦ el límite de xn es mas infinito que escribimos lı́m
n→∞ x = +∞ si para
todo A 0 existe N ∈ N tal que n N implica que xn A.
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Sucesiones de Números Reales XV
◦ el límite de xn es menos infinito que escribimos lı́m
n→∞ x = −∞ si
para todo A 0 existe N ∈ N tal que n N implica que
xn −A.
Se enfatiza el hecho de que los símbolos +∞ y −∞ no son números y
que si alguna sucesión cumple alguna de las condiciones anteriormente
descritas tal sucesión no será convergente.
Como lı́m
n→∞ xn = +∞ ⇐⇒ lı́m
n→∞ −xn = −∞, limitaremos los comentarios
al primer caso.
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Sucesiones de Números Reales XVI
Teorema 8
• Si lı́m
n→∞ xn = +∞ y {yn}n∈N una sucesión acotada
inferiormente entonces lı́m
n→∞ xn + yn = +∞.
• Si lı́m
n→∞ xn = +∞ y existe c 0 tal que yn c para todo
n ∈ N entonces lı́m
n→∞ xn · yn = +∞.
• Si xn c 0, yn 0 para todo n ∈ N y lı́m
n→∞ yn = 0
entonces lı́m
n→∞
xn
yn
= +∞.
• Si {xn}n∈N es una sucesión acotada y lı́m
n→∞ yn = +∞
entonces lı́m
n→∞
xn
yn
= 0.
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Sucesiones de Números Reales XVII
Las hipótesis en el teorema anterior tienen el objetivo de evitar las llamadas
expresiones indeterminadas, ya que muestran un comportamiento errático.
El ítem (1) trata de evitar expresiones de la forma ∞ − ∞, el ítem (2)
trata de evitar expresiones de la forma 0 · ∞, el ítem (3) trata de evitar
expresiones de la forma
0
0
y el ítem (4) trata de evitar expresiones de la
forma
∞
∞
. Cabe destacar que las anteriores no son las únicas expresiones
indeterminadas que pueden haber, otros ejemplos son ∞0, 1∞, 00.
Ahora, tenemos una observación sobre el orden de magnitud. Si k ∈ N y
a, b 1, entonces tenemos que:
lı́m
n→∞ logb n = lı́m
n→∞ nk
= lı́m
n→∞ an
= lı́m
n→∞ n! = lı́m
n→∞ nn
= +∞
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Sucesiones de Números Reales XVIII
Además tenemos que:
lı́m
n→∞
logb n
nk
= lı́m
n→∞
nk
an
= lı́m
n→∞
an
n!
= lı́m
n→∞
n!
nn
= 0
Esto nos dice para n suficientemente grande se cumple que:
logb n nk
an
n! nn
donde la expresión p q significa p es insignificante frente a q y por eso
decimos que el crecimeinto polinomial supera al crecimiento logarítmico,
el crecimiento exponencial con base constante supera al crecimiento po-
linomial, el crecimiento factorial supera al crecimeinto exponencial con
base constante y el crecimiento factorial es superado por el crecimiento
exponencial con base creciente.
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Sucesiones de Números Reales XIX
Teorema de Stolz-Cesaro
Dadas dos sucesiones {xn}n∈N y {yn}n∈N tales que la sucesión

xn
yn

n∈N
es convergente, entonces,
lı́m
n→∞
x1 + x2 + · · · + xn
y1 + y2 + · · · + yn
= lı́m
n→∞
xn
yn
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Sucesiones de Números Reales XX
Teorema de Stolz-Cesaro (Alternativo)
Dadas dos sucesiones {xn}n∈N y {yn}n∈N tales que la segunda
sucesión es estrictamente creciente y divergente. Si la sucesión

xn − xn−1
yn − yn−1

n∈N
lı́m
n→∞
xn − xn−1
yn − yn−1
= lı́m
n→∞
xn
yn
Con estos dos teoremas podemos enunciar los siguentes teoremas:
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Sucesiones de Números Reales XXI
Teorema Aditivo de Cesaro
Si la sucesión {xn}n∈N es convergente, entonces,
lı́m
n→∞
x1 + x2 + · · · + xn
n
= lı́m
n→∞ xn
Teorema Aditivo de Cesaro (Alternativo)
Dada una sucesión {xn}n∈N tal que la sucesión {xn − xn−1}n∈N
lı́m
n→∞ (xn − xn−1) = lı́m
n→∞
xn
n
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Sucesiones de Números Reales XXII
Teorema Multiplicativo de Cesaro
Si la sucesión {xn}n∈N de números positivos es convergente, en-
tonces,
lı́m
n→∞
n
√
x1 · x2 · · · xn = lı́m
n→∞ xn
Teorema Multiplicativo de Cesaro (Alternativo)
Dada una sucesión {xn}n∈N de números positivos tal que la suce-
sión

xn
xn−1

n∈N
lı́m
n→∞
n
√
xn = lı́m
n→∞
xn
xn−1
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Sucesiones de Números Reales XXIII
Lema de la Razón
Dada una sucesión {xn}n∈N de números no-nulos. Suponga que
0 l 1 y para n suficientemente grande

≤ l entonces
an → 0
Ahora damos algunos ejemplos de sucesiones y resultados importantes:
Dados a, d ∈ R y k ∈ N una sucesión o progresión aritmética de diferencia
d es una sucesión que satisface xk = a y xn+1 − xn = d de aquí vemos
que la sucesión tiene término general xn = a + (n − k)d para todo n k
y que para n, m ∈ N con m n se tiene que an = am + (n − m)d.
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Sucesiones de Números Reales XXIV
Por último observamos que esta sucesión ”comienza” en el término con
indice k, esto es, xk = a, pero en general consideraremos que la sucesión
inicia desde el índice 1, es decir, que el primer elemento siempre será el
término x1. Además es útil saber que la suma de los primeros n términos
de la sucesión es:
n
X
k=1
xk =
n
2
(x1 + xn) =
n
2
(x1 + xn) =
n
2

2x1 + (n − 1) d

De manera similar a, r ∈ R, r 6= 1, 0 y k ∈ N una sucesión o progresión
geométrica de razón r es una sucesión que satisface xk = a y xn+1 = xn·r
de aquí vemos que la sucesión tiene término general xn = a · rn−k para
todo n k y que para n, m ∈ N con m n se tiene que an = am ·rn−m.
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Sucesiones de Números Reales XXV
Por último observamos que esta sucesión ”comienza” en el término con
indice k, esto es, xk = a, pero en general consideraremos que la sucesión
inicia desde el índice 0, es decir, que el primer elemento siempre será el
término x0. Además es útil saber que la suma de los primeros n términos
de la sucesión es:
n−1
X
k=0
xk = a ·
1 − rn
1 − r
Otro ejemplo es: una sucesión {xn}n∈N se dice periódica si existe p ∈ N
tal que xn+p = xn para todo n ∈ N. Veamos que si esta sucesión es
convergente, necesarimente debe ser constante. En efecto, supongamos
que {xn}n∈N es periódica con periodo p y converge a x, entonces para
un par n, m consideramos las subsucesiones xn+kp y xm+kp para todo
k ∈ N, por la periodicidad de xn concluimos que estas dos sucesiones son
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Sucesiones de Números Reales XXVI
constantes (y por tanto convergentes) pues xn+kp = xn y xm+kp = xm
para todo k ∈ N y como la sucesión es convergente toda subsucesión de
esta converge al mismo límite, esto es, xn = xm = x y como la pareja
n, m fue escogida arbitrariamente, se tiene que la sucesión {xn}n∈N es
constante y en particular, xn = x para todo n ∈ N.
Para terminar definimos:
Definición 4
Una sucesión {xn}n∈N se dice sucesión de Cauchy, si para todo
ε 0 existe N ∈ N tal que para todo n, m N se tiene que
|xn − xm| ε
Estas sucesiones siempre son acotadas y además se tiene que una sucesión
de números reales es convergente si y solo si es sucesión de Cauchy.
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Topología de los Números Reales I
La topología se ocupa de las propiedades de un objeto geométrico que
se conservan bajo deformaciones continuas, tales como estirarse, tor-
cerse, arrugarse y doblarse, pero no rasgarse ni pegarse.
Un espacio topológico es un conjunto dotado de una estructura, deno-
minada topología, que permite definir deformaciones continuas de subes-
pacios y, de manera más general, todo tipo de continuidad.
Una propiedad que es invariante bajo tales deformaciones es una pro-
piedad topológica. Ejemplos básicos de propiedades topológicas son:
la dimensión, que permite distinguir entre una línea y una superficie;
la compacidad, que permite distinguir entre una línea y un círculo; la
conexidad, que permite distinguir un círculo de dos círculos que no se
cruzan.
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Topología de los Números Reales II
Definición 5
Una Topología en un conjunto no-vacío X es una familia T de
subconjuntos de X que satisface:
• ∅, X ∈ T .
• Si {Gi}i∈I ∈ T entonces
S
i∈I Gi.
• Si G1, G2 ∈ T entonces G1 ∩ G2 ∈ T .
El par (X, T ) se llama Espacio Topológico. y los elementos de
la topología T se llaman Conjuntos Abiertos.
Los ejemplos más simples de topologias en un conjunto no-vacío X son:
◦ Topología Discreta, esta topología está formada por el conjunto
potencia de X, esto es, TD = P(X) y el par (X, TD) se llama
Espacio Discreto.
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Topología de los Números Reales III
◦ Topología Indiscreta, esta topología está formada por el conjunto
TID = {X, ∅} y el par (X, TID) se llama Espacio Indiscreto.
Ahora definimos
Definición 6
Un subconjunto F ⊆ X se dice Conjunto Cerrado si Fc es un
conjunto abierto. Los conjuntos cerrados satisfacen las siguientes
propiedades:
• ∅, X son conjuntos cerrados.
• Si {Fi}i∈I es una familia de conjuntos cerrados entonces
T
i∈I Fi es un conjunto cerrado.
• Si F1, F2 ∈ T entonces F1 ∪ F2 ∈ T .
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Topología de los Números Reales IV
En la sección anterior usamos la función valor absoluto para definir la
noción de convergencia de sucesiones, la definición de topología ante-
riormente descrita nos permite estudiar la convergencia de sucesiones en
espacios abstractos, pero debido a que tenemos el valor absoluto podemos
construir la topología usual de los números reales, mediante la noción
de Espacio Métrico.
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Topología de los Números Reales V
Definición 7
Dado un conjunto no-vacío X, una función d : X ×X → R es una
métrica en X si satisface:
1. d(a, b) ≥ 0.
2. d(a, b) = 0 ⇐⇒ a = b.
3. d(a, b) = d(b, a).
4. d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c), ∀a, b, c ∈ X.
El par (X, d) se llama espacio métrico y el valor d(a, b) se llama
distancia entre a y b.
Para poder definir una topología en el espacio métrico (X, d) definimos
los siguientes conjuntos:
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Topología de los Números Reales VI
Definición 8
Dado un punto a ∈ X y r 0,
• la bola abierta centrada en a de radio r es el conjunto:
Br(a) = {x ∈ X|d(a, x) r}
• la bola cerrada centrada en a de radio r es el conjunto:
Br(a) = {x ∈ X|d(a, x) ≤ r}
Definimos la bola perforada como el conjunto:
B∗
r (a) = Br(a) − {a}
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Topología de los Números Reales VII
Notar que trivialmente se tiene X =
S
(r,a)∈R+×X Br(a), esto es, el con-
junto X es la unión de TODAS las bolas abiertas centradas en puntos de
X y de radio arbitrario r 0.
Lema 1
Sea (X, d) un espacio métrico, a, b ∈ X y δ1, δ2 0. Si c ∈
Bδ1 (a) ∩ Bδ2 (b), entonces existe δ 0 tal que Bδ(c) ⊆ Bδ1 (a) ∩
Bδ2 (b).
Dms. Para probar este resultado basta hacer
δ = mı́n {δ1 − d(a, c), δ2 − d(b, c)}
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Topología de los Números Reales VIII
de esta forma si y ∈ Bδ(c) entonces
d(y, c)
δ
2
=⇒ d(y, a) ≤ d(y, c) + d(c, a)

δ
2
+ d(c, a) δ1 − d(a, c) + d(a, c) = δ1
de la misma manera
d(y, c)
δ
2
=⇒ d(y, b) ≤ d(y, c) + d(c, b)

δ
2
+ d(c, b) δ1 − d(b, c) + d(b, c) = δ2
esto implica que Bδ(c) ⊆ Bδ1 (a) ∩ Bδ2 (b).
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Topología de los Números Reales IX
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Topología de los Números Reales X
Gracias a las observaciones anteriores en un espacio métrico (X, d) pode-
mos definir la topología inducida por la métrica d como: el conjunto
de todas las uniones arbitrarias de bolas abiertas centradas en pun-
tos de X y de radio arbitrario r 0. Es decir, un conjunto G ⊆ X
es abierto si existe una familia arbitraria de bolas abiertas {Bi}i∈T
tales que:
G =
[
i∈I
B
Esto nos permite definir lo siguiente, dado un conjunto S ⊆ X:
◦ Un punto x ∈ S es interior a S o es un punto interior de S si
existe ε 0 tal que Bε(x) ⊆ S.
◦ Un punto x ∈ X es exterior a S o es un punto exterior de S si
existe ε 0 tal que Bε(x) ⊆ Sc.
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Topología de los Números Reales XI
◦ Un punto x ∈ X es adherente a S o es un punto de adherencia
de S si para todo ε 0 Bε(x) ∩ S 6= ∅.
◦ Un punto x ∈ X es punto límite o de acumulación de S si para
todo ε 0 B∗
ε (x) ∩ S 6= ∅.
◦ Un punto x ∈ X es punto ω−límite o de ω−acumulación de S
si para todo ε 0 B∗
ε (x) ∩ S 6= ∅ y esta intersección tiene una
cantidad infinita de puntos.
◦ Un punto x ∈ X es punto de condensación de S si para todo
ε 0 B∗
ε (x) ∩ S 6= ∅ y esta intersección tiene una cantidad
infinita de puntos.
◦ Un punto x ∈ X es punto de frontera de S si para todo ε 0
Bε(x) ∩ S 6= ∅ y Bε(x) ∩ Sc 6= ∅.
◦ Un punto x ∈ X es punto aislado de S si existe ε 0 tal que
B∗
ε (x) ∩ S = ∅, equivalentemente, Bε(x) ∩ S = {x}.
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Topología de los Números Reales XII
Con estos puntos dado un conjunto S podemos definir los siguientes con-
juntos:
◦ El interior de S, es el conjunto de todos los puntos interiores del
conjunto:
int(S) = {x ∈ S | ∃ε 0 : Bε(x) ⊆ S}
◦ El exterior de S, es el conjunto de todos los puntos exteriores del
conjunto, es decir, el interior del complemento de S:
ext(S) = int(Sc
) = {x ∈ X | ∃ε 0 : Bε(x) ⊆ Sc
}
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Topología de los Números Reales XIII
◦ La adherencia o clausura de S, es el conjunto de todos los
puntos de adherencia del conjunto:
S = {x ∈ X | ∀ε 0 : Bε(x) ∩ S 6= ∅}
◦ El conjunto derivado de S, es el conjunto de todos los puntos de
acumulación del conjunto:
S0
= {x ∈ X | ∀ε 0 : B∗
ε (x) ∩ S 6= ∅}
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Topología de los Números Reales XIV
◦ La frontera de S, es el conjunto de todos los puntos de frontera
del conjunto:
∂S = {x ∈ X | ∀ε 0 : Bε(x) ∩ S 6= ∅ ∧ Bε(x) ∩ Sc
6= ∅}
Estos conjuntos nos permitirán caracterizar los conceptos fundamentales
del cálculo, antes de continuar dado (X, d) un espacio métrico enunciamos
las siguientes propiedades:
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Topología de los Números Reales XV
Proposición 1 - Propiedades del Interior
• int(A) ⊆ A para todo A ⊆ X.
• Si A ⊆ B ⊆ X entonces int(A) ⊆ int(B).
• int(int(A)) = int(A) para todo A ⊆ X.
• int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B) para todo A, B ⊆ X.
• int(A) ∪ int(B) ⊆ int(A ∪ B) para todo A, B ⊆ X.
• A ⊆ X es abierto si y sólo si int(A) = A.
• Si A es un subconjunto abierto de X entonces A ⊆ B si y
solo si A ⊆ int(B).
• int(A) es la unión de todos los abiertos de X que están
contenidos en A.
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Topología de los Números Reales XVI
La tercera propiedad dice que el interior de un conjunto es un conjunto
abierto y las dos últimas propiedades justifican la afirmación: ”El interior
de A es el abierto más grande contenido en A.”
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Topología de los Números Reales XVII
Proposición 2 - Propiedades del Exterior
• Ext(A) es un conjunto abierto.
• Ext(A) ∩ A = ∅ para todo A ⊆ X.
• Si A ⊆ B ⊆ X entonces ext(B) ⊆ ext(A).
• int(A) ⊆ ext(ext(A)) para todo A ⊆ X.
• ext(A ∪ B) = ext(A) ∩ ext(B) para todo A, B ⊆ X.
• ext(A) ∪ ext(B) ⊆ ext(A ∩ B) para todo A, B ⊆ X.
• Si A es un subconjunto abierto de X entonces A ∩ B = ∅ si
y solo si A ⊆ ext(B).
• ext(A) es la unión de todos los abiertos de X que son
disyuntos con A.
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Topología de los Números Reales XVIII
Las dos últimas propiedades justifican la afirmación: ”El exterior de A
es el abierto más grande que es disyunto con A.”
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Topología de los Números Reales XIX
Proposición 3 - Propiedades de la Adherencia
• A ⊆ A para todo A ⊆ X.
• Si A ⊆ B ⊆ X entonces A ⊆ B.
• A = A para todo A ⊆ X.
• A ∩ B ⊆ A ∩ B para todo A, B ⊆ X.
• A ∪ B = A ∪ B para todo A, B ⊆ X.
• A ⊆ X es cerrado si y sólo si A = A.
• Si A es un subconjunto cerrado de X entonces B ⊆ A si y
solo si B ⊆ A.
• A es la intersección de todos los cerrados de X que están
contienen a A.
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Topología de los Números Reales XX
La relación entre la adherencia y el interior de un conjunto es
X − int(A) = X − A
La tercera propiedad dice que la adherencia de un conjunto es un
conjunto cerrado y las dos últimas propiedades justifican la afirmación:
”La Adherencia de A es el cerrado más grande que contiene a A.”
Un conjunto A se dice Denso en X si A = X.
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Topología de los Números Reales XXI
Proposición 4 - Propiedades del conjunto Derivado
• (A0)0
⊆ A0 para todo A ⊆ X.
• Si a ∈ A0 entonces a ∈ (A − {a})0
.
• Si A ⊆ B ⊆ X entonces A0 ⊆ B0.
• A0 ∪ B0 = (A ∪ B)0
para todo A, B ⊆ X.
• A ⊆ X es cerrado si y sólo si A0 ⊆ A.
• A = A ∪ A0 para todo A ⊆ X.
• A0 ⊆ A para todo A ⊆ X.
• a ∈ A es un punto aislado si y solo si a /
∈ A0.
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Topología de los Números Reales XXII
Un conjunto A se dice Discreto si todos sus puntos son aslados, esto
es, A0 = ∅. Un conjunto A se dice perfecto si todos sus puntos son
de acumulación, esto es, A=A’.
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Topología de los Números Reales XXIII
Proposición 5 - Propiedades de la Frontera
• ∂A es un conjunto cerrado para todo A ⊆ X.
• ∂A = ∂(X − A) para todo A ⊆ X.
• ∂A = A ∩ (X − A) = A − int(A) para todo A ⊆ X.
• ∂(int(A)) ⊆ ∂A, ∂(A) ⊆ ∂A y ∂(∂A) ⊆ ∂A para todo
A ⊆ X.
• A = A ∪ ∂A para todo A ⊆ X.
• int(A) = A − ∂A para todo A ⊆ X.
• X = int(A) ∪ ∂A ∪ int(X − A) para todo A ⊆ X.
• A ⊆ X es abierto y cerrado si y sólo si ∂A = ∅.
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Topología de los Números Reales XXIV
De la quinta propiedad se deduce que un conjunto es cerrado si y solo
si contiene a su frontera y de la sexta propiedad que un conjunto es
abierto si y solo si es disyunto con su frontera.
Ahora definimos:
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Topología de los Números Reales XXV
Definición 9
Dados un subconjunto A ⊆ X y una familia {Oi}i∈I de subcon-
juntos no-vacíos de X se dice Recubrimiento o Cubierta de A
si:
A ⊆
[
i∈I
Oi
J ⊆ I entonces la familia {Oj}j∈J se dice Sub-recubrimiento o
Sub-cubierta de A y además si I = {i1, i2, · · · , in} entonces
la familia {Oik
}n
k=1 se dice Recubrimiento Finito o Cubierta
Finita de A.
Esto nos permite defininr el concepto de Conjunto Compacto:
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Topología de los Números Reales XXVI
Definición 10
Un subconjunto A ⊆ X es Compacto si todo recubriento abier-
to de A tiene un sub-recubrimiento finito.
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Topología de los Números Reales XXVII
Teorema 9
Dado un subconjunto A ⊆ X las siguientes afirmaciones son equi-
valentes:
• A es compacto.
• toda familia de conjuntos cerrados con intersección vacía
tiene una subfamilia finita con intersección vacía.
• toda familia de conjuntos cerrados no-vacíos tales que toda
intersección de una cantidad finita de ellos es no-vacía
implica que la intersección de todos es no-vacía.
Un par de conceptos relacionados son:
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Topología de los Números Reales XXVIII
Definición 11
Un subconjunto A ⊆ X es Acotado si existen ε 0 y x ∈ X
tal que
A ⊆ Bε(x)
.
Definición 12
Un subconjunto A ⊆ X es Totalmente Acotado si para todo
ε 0 existe una familia finita de bolas abiertas {Bε(xi)}n
i=1
tal que
A ⊆
n
[
i=1
Bε(xi)
.
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Topología de los Números Reales XXIX
Esto implica que todo conjunto compacto es totalmente acotado y
que todo conjunto totalmente acotado es acotado.
Teorema 10
Si A ⊆ X es compacto entonces es cerrado y acotado.
Los conjuntos compactos y totalmente acotados tienen las siguientes pro-
piedades:
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Topología de los Números Reales XXX
Proposición 6 - Propiedades de Conjuntos Compactos
• Subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son también
compactos.
• La unión finita de conjuntos compactos es compacta.
• La intersección arbitraria de conjuntos compactos es un
conjunto compacto.
• Todo conjunto finito es compacto.
• Si A, B ⊆ X son conjuntos compactos disyuntos entonces
existen abiertos U, V ⊆ X disyuntos tales que A ⊆ U y
B ⊆ V .
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Topología de los Números Reales XXXI
Proposición 7 - Propiedades de Conjuntos Totalmente Acotados
• Todo subconjunto de un conjuntos totalmente acotado es
tambien totalmente acotado.
• La unión finita de conjuntos totalmente acotados es
totalmente acotada.
• Todo subconjunto finito de X es totalmente acotado.
Una sucesión en X (como habíamos definido antes) es una función s :
N → X tal que a cada número natural n le asigna un punto x del espacio
X que denotamos como es usual xn, debido a que el valor absoluto es
una métrica (más adelante veremos que esto es cierto) entonces todas
las propiedades que tienen las sucesiones en los reales serán válidas (hay
algunas excepciones) también en X.
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Topología de los Números Reales XXXII
De esta manera una sucesión será convergente a un punto a si cum-
ple:
∀ ε 0 ∃ N ∈ N : d(xn, a) ε
Además una sucesión {xn}n∈N será de Cauchy si para todo ε 0
existe N ∈ N tal que n, m N implica que d(xn, xm) ε. Con esta
definición decimos que el espacio métrico (X, d) es Completo si toda
sucesión de Cauchy en X es convergente a un punto de X.
Y ahora podemos caracterizar objetos de una topología usando sucesiones:
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Topología de los Números Reales XXXIII
Proposición 8 - Caracterizaciones Usando Sucesiones I
Dado un conjunto A ⊆ X se cumple que:
• A es abierto si y solo si para todo x ∈ A y toda sucesión
{xn}n∈N ⊆ X que converge a x existe N ∈ N tal que
xn ∈ A para todo n N.
• A es cerrado si y solo si el límite de toda sucesión
convergente {xn}n∈N ⊆ A pertenece a A.
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Topología de los Números Reales XXXIV
Proposición 9 - Caracterizaciones Usando Sucesiones II
Dado un conjunto A ⊆ X se cumple que:
• A es compacto si y solo si toda sucesión {xn}n∈N ⊆ A tiene
una subsucesión convergente a un punto de A. En este caso
A se dice Secuencialmente Compacto.
• A es compacto si y solo si todo subconjunto infinito de A
tiene al menos un punto de acumulación. En este caso A se
dice Numerablemente Compacto.
• A es compacto si y solo es completo y totalmente acotado.
Ahora definimos la una métrica en el espacio Rn para n ∈ N:
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Topología de los Números Reales XXXV
Definición 13
La Métrica Euclidiana en Rn es la función:
den : Rn
× Rn
→ R
(x, y) 7→ den (x, y) = kx − yk =
v
u
u
t
n
X
i=1
(xi − yi)2
donde x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) y así el par
(Rn, den ) es un espacio métrico llamado Espacio Euclidiano n-
dimensional.
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Topología de los Números Reales XXXVI
El caso que nos interesa es cuando n = 1 en el cual esta métrica tiene
la forma de1 = |x − y| para todo x, y ∈ R. Las bolas abiertas y cerradas
toman la forma:
◦ Bε(a) = ]a − ε, a + ε[ Intervalos Abiertos.
◦ Bε(a) = [a − ε, a + ε] Intervalos Cerrados.
Veamos que esta función (para cualquier dimensión) satisface la definición
de métrica:
Las tres primeras propiedades son triviales debido a que:
1.
Pn
i=1(xi − yi)2 ≥ 0 pues toda suma de cuadrados en los reales es
no-negativa.
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Topología de los Números Reales XXXVII
2. den (x, y) =
pPn
i=1(xi − yi)2 = 0 si y solo si
Pn
i=1(xi − yi)2 = 0
y como es una suma de cuadrados se debe tener que cada sumando
es cero, de esta manera xi − yi = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n lo que
implica que x = y pues todas sus componentes correspondientes
son iguales.
3. Basta ver que (xi − yi)2 = (yi − xi)2.
La última condición se probará en diferentes etapas y para esto usaremos
las notaciones den (x, y) = kx − yk y den (x, 0) = kx − 0k = kxk ∈ R y
x • y =
Pn
i=1 xiyi:
1. Si x 6= 0 entonces podemos considerar el elemento
x
kxk
.
2.

x
kxk
±
y
kyk

≥ 0 para todo x, y ∈ R − {0}.
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Topología de los Números Reales XXXVIII
3. Veamos que |x • y| ≤ kxkkyk. En efecto 0 ≤

x
kxk
±
y
kyk

2
=
n
X
i=1

xi
kxk
±
yi
kyk
2
=
n
X
i=1

xikyk ± yikxk
kxkkyk
2
esto implica que
0 ≤
n
X
i=1
(xikyk ± yikxk)2
=
n
X
i=1

(xikyk)2
± 2xiyikxkkyk + (yikxk)2

=
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Topología de los Números Reales XXXIX
kyk2
n
X
i=1
x2
i + kxk2
n
X
i=1
y2
i ± 2kxkkyk
n
X
i=1
xiyi =
kxk2
kyk2
± kxkkyk(x • y)
concluimos que
kxkkyk ± (x • y) ≥ 0
reescribiendo la expresión tenemos:
kxkkyk + (x • y) ≥ 0 ∧ kxkkyk − (x • y) ≥ 0
de manera equivalente
−kxkkyk ≤ x • y ≤ kxkkyk ⇐⇒ |x • y| ≤ kxkkyk
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Topología de los Números Reales XL
4. Veamos que kx + yk ≤ kxk + kyk. En efecto
kx + yk2
=
n
X
i=1
(xi + yi)2
=
n
X
i=1
x2
i + 2xiyi + y2
i

=
n
X
i=1
x2
i + 2
n
X
i=1
xiyi +
n
X
i=1
y2
i =
kxk2
+ 2x • y + kyk2
≤ kxk2
+ 2kxkkyk + kyk2
obtenemos
kx + yk2
≤ (kxk + kyk)2
⇐⇒ kx + yk ≤ kxk + kyk
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Topología de los Números Reales XLI
5. Por último para x, y, z ∈ Rn se tiene que
den (x, y) = kx − yk = k(x − z) + (z − y)k
≤ kx − zk + kz − yk = den (x, z) + den (z, y)
En conclusión la función den es una métrica para todo n ∈ N.
Ahora que estamos en el contexto de los espacios euclidianos el teorema
10 se vuelve una equivalencia:
Teorema de Heine-Borel o Teorema de Borel-Lebesgue
A ⊆ Rn es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
Ahora hablaremos de la conexidad:
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