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* X3
* X2
* X1
* Xn
Variable
Aleatoria
* P1
* P2
* P3
* Pn
Probabilidad
Función de Distribución
de Probabilidad
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Función de Distribución
de Probabilidad
V.A. Continua
V.A. Discreta
Función masa de probabilidad [fmp] Función de densidad de probabilidad [fdp]
b
a
x
x
x
p
b
X
a
P
x
p
x
p
x
X
P
)
(
]
[
1
)
(
)
(
]
[
dx
x
f
b
X
a
P
dx
x
f
x
f
b
a
)
(
]
[
1
)
(
)
(
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Distribuciones Discretas
de Probabilidad
Experimento Tipo
Bernoulli
2 Estados
ÉXITO FRACASO
7. La distribución binomial hace referencia a la probabilidad asociada a los distintos
números de éxitos ocurridos en un número de ensayos fijos (n) tipo experimento
Bernoulli, sin importar el orden en el que estos ocurran.
•Variable Aleatoria Discreta
Es el número de éxitos ocurridos en n
ensayos, por ello X=0,1,2,…,n.
•f(x): Función de probabilidad para que
ocurra un cierto número de éxitos.
•Parámetros: p y n.
•Su gráfica es un diagrama de barras,
donde a cada valor de la variable le
corresponde una probabilidad.
8. Por definición:
Para su cálculo Excel nos ofrece la siguiente sintaxis:
Nota: En Excel la operación de combinatoria esta definida por la sintaxis
COMBINAT
9. EJEMPLO:
Un examen de opción múltiple contiene 25 preguntas, cada una con cuatro respuestas.
Suponga que el estudiante sólo adivina las respuestas.
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta mas de 20
preguntas?.
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta a lo sumo 5
preguntas?
10. EJEMPLO:
Un examen de opción múltiple contiene 25 preguntas, cada una con cuatro respuestas.
Suponga que el estudiante sólo adivina las respuestas.
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta mas de 20 preguntas?.
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta a lo sumo 5 preguntas?
n: Número de preguntas = 25.
p: Probabilidad de contestar correctamente cada pregunta= ¼.
a) x > 20
→ f(x > 20) = f(x=25) +f(x=24) + … + f(x=21) =1-(f(x=0)+f(x=1)+…+ f(x=20)) = 1-F(x≤20)
f(x > 20) = 9,1E-10 + 5,51E-11 + 2,398E-12 + 6,661E-14 + 8,881E-16
f(x > 20) = 0
b) x ≤ 5
→ f(x ≤ 5) = f(x=0)+f(x=1)+…+f(x=5)
f(x ≤ 5) = 7,525E-4 + 6,271E-3 + 2,508 E-2 + 6,411E-2 + 1,175E-1 + 0,165
f(x ≤ 5) = 0,378
11. OTROS EJEMPLOS:
1. Una maquina produce piezas metálicas de los cuales el 5% son de excelente calidad, cuántas
piezas deberán producirse para que la probabilidad de que halla por lo menos una de
calidad excelente sea mayor a 0,5 ?.
2. Un jugador de baloncesto sabe por experiencia que fallara aproximadamente el 20% de los
tiros libres que lance a la canasta desde cierta distancia.
¿ Qué es mas probable, que falle a lo mas 2 de 5 o 4 de 10?.
3. Dado que no todos los pasajeros de una aerolínea abordan el vuelo para el que han
reservado un lugar, la aerolínea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La
probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es de 0,1 y el comportamiento de los
pasajeros es independiente. Determine: ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros
aborden el vuelo?, ¿ Cuál es la probabilidad de que el vuelo este vacío?.
12. EJERCICIO:
Un estudio determinó que el 40% de los alumnos de una universidad se
desayunan en alguna de las cafeterías del campus. Si una tarde se
escogen al azar 8 estudiantes de dicho campus. Determine la probabilidad
de que hayan tomado su desayuno en alguna de las cafeterías del
campus:
a) Exactamente 2 de ellos
b) Por lo menos 2 de ellos
c) Ninguno de ellos
d) No más de 3 de ellos
13. Esta distribución busca determinar la cantidad de eventos que deben ocurrir para
obtener el primer éxito, es decir, que en el último ensayo realizado se obtenga el
primer éxito siendo los anteriores fracasos.
• Las expresiones correspondientes a la función de distribución binomial negativa,
así como de la esperanza y la varianza de la variable discreta son:
1
*
)
(
x
q
p
x
P
p
x
E /
1
)
( 2
2 )
1
(
p
p
• Variable Aleatoria Discreta
Será el número de ensayos para que en
el último de ellos ocurra el primer éxito.
• f(x): Función de probabilidad para que
en x ensayos ocurra el primer éxito
• Parámetro: p.
14. Excel NO tiene la anterior formula programada en ninguna sintaxis.
15. Debemos considerar una distribución binomial negativa cuando se nos indague
por determinar el número de ensayos dentro de un experimento Bernoulli para
que ocurra el k-ésimo éxito.
• Variable Aleatoria Discreta
Será el número de ensayos para que en
el último de ellos ocurra el k-ésimo
éxito. X = k , k+1, k+2,…
• f(x): Función de probabilidad para que
en x ensayos haya k éxitos.
• Parámetros: k y p.
16. Note que el primer argumento es el
número de fracasos, dado por x-k.
Excel NO calcula la función acumulada
de esta distribución.
Las expresiones correspondientes a la función de distribución binomial negativa,
así como de la esperanza y la varianza de la variable discreta son:
* Por su parte, Excel nos ofrece la siguiente sintaxis para su uso:
17. EJEMPLO:
Las probabilidades de tener hijo o hija son ambas de 0,5. Encuentre las
probabilidades de que:
A. El cuarto niño de una familia sea el primer varón.
B. El séptimo niño de una familia sea la segunda hija.
C. El decimo niño de una familia sea el cuarto o el quinto hijo varón.
18. EJEMPLO:
Las probabilidades de tener hijo o hija son ambas de 0,5. Encuentre las
probabilidades de que:
A. El cuarto niño de una familia sea el primer varón.
B. El séptimo de una familia sea la segunda hija.
C. El decimo niño de una familia sea el cuarto o el quinto hijo varón.
Del enunciado podemos conocer que:
p: Probabilidad de tener hijo o hija = 0,5 .
a) K = 1, x = 4
→ f(x = 4) = 0,063
b) K = 2, x = 7
→ f(x = 7) = 0,047
c) K = 4 , x = 10
→ f(x = 10) = 0,082
K = 5 , x = 10
→ f(x = 10) = 0,123
∑ = 0,082 + 0,123 = 0,205
19. EJERCICIO: Usted pasa todas las mañanas a la misma hora por un cruce donde el semáforo
está en verde el 20 % de las veces. Suponga que cada mañana representa un evento
independiente.
a) En cinco mañanas consecutivas, ¿Cuál es la probabilidad de que el semáforo esté en
verde exactamente un día?.
b) En 20 mañanas, ¿Cuál es la probabilidad de que el semáforo esté en verde exactamente
cuatro días?.
c)En 20 mañanas,¿ Cuál es la probabilidad de que el semáforo este en verde más de cuatro
días?.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que la luz del semáforo se
encuentre en verde sea la cuarta mañana desde el inicio del experimento?
e) ¿ Cuál es la probabilidad de que la luz del semáforo no se encuentre en verde durante diez
mañanas consecutivas?
20. EJERCICIO: Suponga que cada una de las llamadas que hace una persona a La
Mega tiene una probabilidad de 0,02 de que la línea este ocupada. Suponga que
las llamadas son independientes.
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la décima
que realiza la persona?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar más de cinco veces para
encontrar desocupada la línea?
c) ¿ Cuál es el número promedio de llamadas que deben realizarse para encontrar
la línea libre?
21. Es una forma particular de la distribución binomial. Utiliza como
único parámetro, una frecuencia de eventos sobre unidad de
medida. Las particularidades más importantes de esta
función son:
n
0
p
p
n
Frecuencia
Poisson.
Estadística aplicada a través de Excel Page 21
22. Gracias a las condiciones definidas anteriormente, y con la
ayuda de algunas operaciones algebraicas, podemos llegar a
la función que representa a la distribución discreta de
Poisson:
!
)
(
x
e
x
p
x
Poisson.
Estadística aplicada a través de Excel Page 22
24. Esta función de distribución puede ser ilustrada de mejor
manera con un ejemplo:
Supongamos que en una fábrica de
láminas de madera artificial, se
encuentran algunos defectos sobre
la superficie, como manchas de
pintura o imperfecciones.
Necesitamos conocer la
probabilidad de que aparezcan
estos defectos.
Poisson.
Estadística aplicada a través de Excel Page 24
25. Para empezar dividimos la superficie de la tabla en un número
finito de partes. A manera de suposición inicial, diremos que
las únicas posibilidades son: Encontrar una mancha o no
encontrar ninguna, en alguna de las partes, aunque esto no
sea cierto del todo:
Poisson.
Estadística aplicada a través de Excel Page 25
26. Esta falencia en la suposición inicial va a ir disminuyendo a
medida que se aumentan las divisiones:
Poisson.
Estadística aplicada a través de Excel Page 26
27. Y de esta forma podemos continuar haciendo tender el número
de divisiones a un número muy grande:
Poisson.
Estadística aplicada a través de Excel Page 27
28. A continuación se muestran las probabilidades de cada uno de
los casos estudiados, siendo ν la probabilidad de encontrar
un defecto en toda el área:
# divisiones Probabilidad de
encontrar un defecto en
alguna zona
Producto de las columnas
anteriores (promedio de
probabilidades)
4 ν/4 ν
16 ν/16 ν
64 ν/64 ν
n ν/n ν
Poisson.
Estadística aplicada a través de Excel Page 28
29. Estadística aplicada a través de Excel Page 29
La probabilidad dada por la distribución de Poisson es la probabilidad de
ocurrencia de cierta cantidad de éxitos sin tener en cuanta la posición
en la cual ocurra. Es similar a la binomial.
La sintaxis que nos ofrece Excel para esta distribución está predefinida:
Poisson.
Número de Eventos Frecuencia ν FALSO: No acumulada
VERDADERO: Acumulada
30. EJEMPLO:
El número de accidentes que se producen en una vía de cierta ciudad es, en
promedio, de 2 a la semana. Determine:
a) La probabilidad de que no se registre ningún accidente en una semana
determinada
