Ciclo ou circunferêcnai trigonométrica, circunferência de centro na origem de raio 1, quandrantes no plano, radianos, arcos cõngruos, função seno, cosseno e simetria das funções seno e cosseno, relações importantes, relação fundamental da trigonometria, teorema de pitágoras, gráfico das funções seno e cosseno, simetria entre os quadrantes, identidades das relações de seno cosseno, similaridades e particularidades das funções seno e cosseno, alguns valores particulares entre o arco, seno e cosseno.
3. • Circunferência de centro na origem do sistema, de raio
unitário r = 1;
• Arcos de origem ponto A (1,0);
• Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário,
negativas sentido horário;
• Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário
4. Radiano
• Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um círculo por um arco
de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do
círculo.
5. Radiano
• Dizemos que a medida do arco é igual a 1 radiano ou seja 1
rad. Assim, podemos definir um radiano como sendo um arco
onde a sua medida é a mesma do raio da circunferência que
contém o arco.
• O valor do ângulo α será igual a 1 radiano, se somente se, o
valor do arco correspondente a ele for igual a 1 radiano.
6. • Por exemplo: como calcularíamos o comprimento de
uma circunferência em radianos sabendo que o seu
comprimento é igual a 2π r, utilizaremos da mesma
regra de três do exemplo anterior.
rad comprimento
1 -------------------- r
x -------------------- 2π r
xr = 2π r
x = 2π r
r
x = 2π rad
7. Ângulos côngruos
30º
E se o ângulo for 390º? E se o ângulo for 750º?
Caso Geral
α em graus
α + k.360º, k ε Z
α em radianos
α + k.2π, k ε Z
390º= 360º+30
13. 30°
2
3
5
,
0
2
1
Cosseno de 30° =0,87 ou
A projeção vertical, ou seja, o
seno de 150° tem o mesmo
valor do seno de 30°.
150°
180 – 150 = 30°
Para saber o seno e o
cosseno de 150°, pense:
quanto falta para 180°?
Podemos então “reduzir”
150° para 30°
O cosseno de 150° tem o mesmo valor do cosseno
de 30°, porém com sinal contrário (é negativo),
valendo então -0,87 ou
2
3
14. 60°
2
3
5
,
0
2
1
240°
240° = 180° + 60°
2
3
Estes arcos azuis são
opostos pelo vértice.
Sendo congruentes, suas
projeções também tem o
mesmo valor.
Seno de 240° = -seno de 60° = - 0,87
Seno de 60° = 0,87
Cos 60° = 0,5
Cos 240° = -cos 60° = - 0,5
15. Observe esta reta, que é
tangente ao círculo
trigonométrico, ou seja, toca o
círculo em um ponto apenas.
Este é o arco cuja
tangente
queremos medir
Traçamos uma reta
desde a origem dos
eixos, passando
pela extemidade
do arco, até a reta
tangente...
Eis então que surge a
representação da
tangente do ângulo
considerado!
16. Aumente o arco,
para ver o que
acontece com sua
tangente...
Imagine agora o
valor da tangente
para ângulos
maiores ainda.
Pergunta: há um
ângulo que terá
um valor absurdo
de tangente. Que
ângulo é esse?
17. Se o arco tem mais
que 90º e menos que
180º...
Neste caso, é preciso
traçar uma reta desde a
extremidade do arco até
a reta tangente, passando
pela origem.
18. Seno no ciclo trigonométrico: alguns valores particulares.
arco seno
0º 0
90º 1
180º 0
270º -1
360º 0
20. Paridade da função seno
1. A função seno é ímpar, isto é,
para esta função, elementos
simétricos possuem imagens
simétricas.
2. Exemplo:
sen 30º = 1/2
sen (-30º) = -1/2
22. Redução ao primeiro quadrante:
função seno.
sen x
-
x)
-
(2
sen
sen x
-
x)
(
sen
sen x
x)
-
(
sen
s
Identidade
23. Paridade da função cosseno
1. A função cosseno é par, isto é,
para esta função, elementos
simétricos possuem a mesma
imagem.
2. Exemplo:
cos 60º = 1/2
cos (-60º )= 1/2