mtk

1. Kekongruenan Segitiga | 1
BAB 1
KEKONGRUENAN SEGITIGA
A. Pendahuluan
Deskrpisi
Pada bab ini akan dibahas mengenai konsep dan prinsip tentang kongruensi serta
penyelesaian permasalahan yang berkaitan dengan kongruensi. Pembahasan mengenai
kongruensi dimulai dari pengenalan konsep kekongruenan, syarat dua buah segitiga
dikatakan kongruen, kemudian dilanjutkan dengan definisi dari garis-garis pada
segitiga (garis tinggi, garis berat dan garis bagi) serta teorema-teorema kongruensi
segitiga. Setiap definisi, sifat sifat dan teorema kekongruenan dilengkapi dengan contoh
untuk memperkuat pemahaman mahasiswa dalam mempelajari konsep kekongruenan.
Kemampuan Akhir
Mahasiswa dapat menggunakan konsep dan teorema kongruensi segitiga untuk
menyelesaikan masalah.
Indikator
1. Mahasiswa dapat menjelaskan syarat dua segitiga yang kongruen
2. Mahasiswa dapat menjelaskan definisi garis tinggi, garis berat dan garis bagi pada
segitiga
3. Mahasiswa dapat membuktikan teorema-teorema pada kongruensi dua segitiga
(S-S-S, S-Sd-S, Sd-S-Sd)
4. Mahasiswa dapat membuktikan bahwa alas suatu segitiga sama kaki sama besar
5. Mahasiswa dapat menggunakan teorema kongruensi pada segitiga untuk
menyelesaikan masalah

2. Kekongruenan Segitiga | 2
B. Materi
Definisi
Dua segitiga dikatakan sama dan sebangun atau kongruen bila segitiga yang
satu dapat menutupi segitiga yang lain dengan tepat atau sebaliknya.
Kekongruenan disimbolkan dengan ( ).
Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan Gambar 1, jika
memenuhi:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Gambar 1. Contoh dua segitiga yang kongruen
Sifat-sifat Segitiga Kongruen
1. Sifat Refleksif dari Kongruensi
2. Sifat Simetris dari Kongruensi
Jika maka
3. Sifat Transitif dari Kongruensi
Jika dan maka
Teorema Kekongruenan
Teorema 1.1 (Kongruensi S-S-S)
Jika pada dua segitiga, semua pasangan sisinya kongruen maka kedua segitiga
tersebut kongruen
Bukti
Diketahui : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

3. Kekongruenan Segitiga | 3
Pembuktian menggunakan sifat transitif kongruensi.
Untuk membuktikan , maka akan dibuktikan setiap segitiga kongruen
pada segitiga yang ketiga. Segitiga yang ketiga ini terletak sebagai bayangan dari
dengan menggunakan isometri.
Karena ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, maka ada isometri yang memetakkan ̅̅̅̅ pada pada ̅̅̅̅ , maka ada
bayangan yang kongruen dari segitiga yang berbagi sisi dengan .
Selanjutnya ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ maka ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ serta ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
maka ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ (sesuai sifat transitif kongruensi). Dengan demikian dan
membentuk layang-layang dimana sisi yang bersekutu ̅̅̅̅ adalah diagonal simetri dari
layang-layang tersebut.
Karena layang-layang tersebut refleksif-simetris pada ⃡ , maka adalah bayangan
refleksif dari . Sehingga jika seluruh pasangan sisi dari dan
kongruen, maka dapat dipetakan pada dengan isometri.
Jadi sesuai definisi kongruensi, .
Contoh 1.
Diketahui: ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ saling membagi dua di
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Buktikan apakah ?
Penyelesaian
No. Pernyataan Alasan
1. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Diketahui
2. ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ saling
membagi dua di
Diketahui

4. Kekongruenan Segitiga | 4
No. Pernyataan Alasan
3. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Karena adalah titik
tengah dari ̅̅̅̅ (definisi
titik tengah)
4. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Karena adalah titik
tengah dari ̅̅̅̅ (definisi
titik tengah)
5. Langkah 1,3,4 teorema
1.1 (S-S-S)
Teorema 1.2 (Kongruensi S-Sd-S)
Jika pada dua segitiga, pasangan dua sisi dan sudut apitnya kongruen, maka kedua
segitiga tersebut kongruen (Sisi-Sudut-Sisi atau S-Sd-S)
Bukti:
Diketahui ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan
Karena ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ maka dengan pembuktian S-S-S, petakan ̅̅̅̅ pada ̅̅̅̅. adalah
segitiga sama kaki dan merupakan bisector sudut D. Karena teorema segitiga sama
kaki yang simetris, maka bayangan refleksif dari pada ⃡ adalah F dan bayangan
refleksif dari adalah . Akibatnya
Karena adalah bayangan dari menggunakan isometrik, maka
sehingga sesuai sifat transitif kongruensi .

5. Kekongruenan Segitiga | 5
Contoh 2.
Diketahui : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Buktikan :
Bukti:
No. Pernyataan Alasan
1. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Diketahui
2. ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Diketahui
3. Karena ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
4. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Sifat Reflektif
5. Langkah 2,3,4 teorema 1.2
(S-Sd-S)
Teorema 1.3 (Kongruensi Sd-S-Sd)
Jika pada dua segitiga, pasangan dua sudut dan satu sisi apitnya kongruen, maka
kedua segitiga tersebut kongruen (Sudut-Sisi-Sudut atau Sd-S-Sd)
Bukti:
Diketahui ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan
Perhatikan bayangan dari dengan isometri yang memetakan ̅̅̅̅ pada ̅̅̅̅.
Refleksikan pada ⃡ maka bayangan dari ̅̅̅̅̅ adalah ̅̅̅̅ dan bayangan dari
̅̅̅̅̅̅ adalah ̅̅̅̅. Sehingga bayangan dari adalah dan bayangan adalah
. Akibatnya
Karena adalah bayangan dari menggunakan isometrik, maka
sehingga sesuai sifat transitif kongruensi .

6. Kekongruenan Segitiga | 6
Contoh 3.
Diketahui: adalah titik tengah ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Buktikan bahwa
Bukti:
No. Pernyataan Alasan
1. Sudut yang saling bertolak belakang
2. adalah titik tengah
̅̅̅̅
Diketahui
3. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Titik tengah suatu ruas garis membagi ruas garis
tersebut menjadi dua ruas yang kongruen
4. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Diketahui
5. dan adalah
sudut siku-siku
Dua ruas garis yang saling tegak lurus berpotongan
membentuk sudut siku-siku
6. Berdasarkan langkah 4
7. Langkah 1,3,6 teorema 1.3 (Sd-S-Sd)
Teorema 1.4 (Kongruensi Sd-Sd-S)
Jika pada dua segitiga, pasangan dua sudut dan satu sisi di depan salah satu sudut
yang kongruen, maka kedua segitiga tersebut kongruen (Sudut-Sudut-Sisi atau
Sd-Sd-S)
Bukti:
Diketahui: Dua buah segitiga dan
̅̅̅̅ ̅̅̅

7. Kekongruenan Segitiga | 7
Akan dibuktikan bahwa
Bukti:
No. Pernyataan Alasan
1. Diketahui
2. Diketahui
3. Jika dua sudut pada suatu segitiga kongruen dengan
dua sudut pada segitiga kedua, maka sudut ketiga juga
kongruen
4. ̅̅̅̅ ̅̅̅ Diketahui
5. Langkah 2,3,4 teorema 1.3 (Sd-S-Sd)
1. Apakah jika dua buah segitiga yang memiliki tiga pasang sudut yang
bersesuaian sama besar atau kongruen (Sudut-Sudut-Sudut atau Sd-Sd-Sd)
maka kedua segitiga tersebut juga kongruen?
2. Apakah dua buah segitiga yang memiliki dua pasang sisi dan satu sudut yang
bersesuaian yang sama besar atau kongruen (Sisi-Sisi-Sudut atau S-S-Sd) maka
kedua segitiga tersebut kongruen?
Garis-garis Istimewa dalam Segitiga
1. Garis Tinggi Segitiga
Definisi
Garis tinggi segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan
tegak lurus dengan sisi di depannya
Pada , ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ maka ̅̅̅̅ adalah garis tinggi dari
titik dengan sisi dihadapannya. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ maka ̅̅̅̅
adalah garis tinggi dari titik dengan sisi
dihadapannya dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ maka ̅̅̅̅ adalah garis
tinggi dari titik dengan sisi dihadapannya. Setiap
Selidikilah!

8. Kekongruenan Segitiga | 8
segitiga memiliki tiga garis tinggi seperti ditunjukkan pada gambar.
2. Garis Berat Segitiga
Definisi
Garis berat segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga
sehingga membagi sisi di depannya menjadi dua bagian sama panjang.
dan adalah garis berat dalam
. Ketiga garis berat tersebut melalui
satu titik yaitu titik yang disebut titik berat
segitiga.
3. Garis Bagi Segitiga
Definisi
Garis bagi segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut pada segitiga
sehingga membagi sudut tersebut menjadi dua bagian sama besar.
adalah garis bagi dari
adalah garis bagi dari
adalah garis bagi dari

9. Kekongruenan Segitiga | 9
Teorema 1.5 (Kongruensi Hipotenusa-Kaki (HK))
Jika pada dua segitiga siku-siku, hipotenusa dan kaki segitiga yang pertama
kongruen dengan hipotenusa dan kaki segitiga yang kedua, maka kedua segitiga
siku-siku tersebut kongruen.
Bukti:
Diketahui: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
dan adalah dua sudut
siku-siku.
Akan dibuktikan bahwa
Karena ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, maka terdapat refleksi komposit dari pemetaan ̅̅̅̅ pada ̅̅̅̅, dimana
bayangan dari pada sisi lain dari ̅̅̅̅ dari .
Dengan penjumlahan sudut, , dimana dan adalah kolinear.
Karena ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅, maka dengan sifat transitif kongruensi ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Hal
ini mengakibatkan segitiga sama kaki besar. Menerapkan teorema segitiga
samakaki, .
Jadi, dengan teorema kongruensi Sd-Sd-S, sehingga
(sesuai sifat transitif kongruensi)
Kondisi hipotenusa kaki adalah kasus yang spesial dari S-S-Sd ketika sudut yang
kongruen adalah sudut siku-siku. Karena kita dapat menyimpulkan teorema kongruensi
hipotenusa-kaki, maka kondisi S-S-Sd kadang-kadang dipakai. Pertanyaan yang sering
muncul adalah apakah kondisi S-S-Sd dapat membuktikan segitiga kongruen pada
setiap waktu?
Teorema 1.6 (Kongruensi SsSd)
Jika pada dua segitiga, dua sisi dan sudut yang berlawanan dengan sisi yang lebih
panjang dari kedua sisi tersebut pada segitiga pertama berturut-turut kongruen
dengan dua sisi dan sudut yang berlawanan dengan sisi yang lebih panjang dari
kedua sisi tersebut pada segitiga kedua, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

10. Kekongruenan Segitiga | 10
Contoh 4.
Jika ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan (begitu juga ) maka
Teorema 1.7
Pada segqitiga samakaki, kedua sudut alasnya sama besar
Bukti:
Diketahui: samakaki dengan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Akan dibuktikan bahwa:
No. Pernyataan Alasan
1. samakaki Diketahui
2. Gambar titik D yaitu titik
tengah ̅̅̅̅
Sebuah ruas garis memiliki satu dan hanya satu titik
tengah.
3. Tarik garis dari ke Definisi garis berat segitiga

11. Kekongruenan Segitiga | 11
No. Pernyataan Alasan
sehingga ̅̅̅̅ merupakan
garis berat
4. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Sifat refleksif
5. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Definisi titik tengah dan garis berat segitiga
6. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Diketahui
7. Langkah 4,5,6 teorema 1.1 (S-S-S)
8. Korespondensi bagian-bagian yang bersesuaian pada
segitiga-segitiga yang kongruen
Rangkuman
Dua buah segitiga dikatakan kongruen (sama dan sebangun) bila segitiga yang satu
dapat menutupi segitiga yang lain dengan tepat atau sebaliknya. Membuktika apakah
dua segitiga dikatakan kongruen atau tidak, cukup dengan menyelidiki salah satu
syarat berikut yaitu
1. Kedua segitiga emunya tiga pasang sisi yang sama panjang (S-S-S).
2. Kedua segitiga mempunyai dua pasang sisi sama panjang dan sudut yang
diapitnya sama besar (S,Sd,S).
3. Kedua segitiga mempunyai dua sudut sama besar dan sisi yang diapitnya sama
panjang (Sd,S,Sd).
4. Kedua segitiga mempunyai satu sisi sama, sudut pada sisi itu dan sudut
dihadapan sisi itu sama juga (Sd,Sd,S).

12. Kekongruenan Segitiga | 12
Soal Latihan
1. Diketahui dua buah segtiga dan dimana dan
̅̅̅̅ ̅
̅
̅̅. Tentukan apakah kedua segitiga tersebut kongruen!
2. Pada gambar disamping diketahui ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
. Tentukan apakah !
3. Perhatikan gambar berikut.
Diketahui: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Buktikan : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
4. Perhatikan gambar berikut.
Diketahui: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Buktikan
5. Diketahui ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Buktikan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

13. Kekongruenan Segitiga | 13
6. Perhatikan gambar berikut!
7. Diketahui samakaki. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. D perpanjangan ̅̅̅̅ pada ̅̅̅̅ sehingga
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ pada ̅̅̅̅ sehingga ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Buktikan !
Diketahui 𝐴 dan 𝐷 adalah sudut
siku-siku 𝐴𝐶𝐸 dan 𝐷𝐵𝐹.
𝐴𝐸
̅̅̅̅ 𝐷𝐹
̅̅̅̅ dan 𝐴𝐵
̅̅̅̅ 𝐷𝐶
̅̅̅̅.
Buktikan apakah:
a. 𝐸𝐶
̅̅̅̅ 𝐹𝐵
̅̅̅̅
b. 𝐶𝐸
̅̅̅̅ 𝐷𝐸
̅̅̅̅
c. 𝐴𝐶𝐸 𝐴𝐷𝐸