la presente presentación es un recurso de la sociedad nacional de matemática de Nicaragua, y le será muy útil, para la articulación de la enseñanza de la trigonometría

1. Articulación en Trigonometría
Lic. Alberto Leonardo García Acevedo
XIII ENCUENTRO DE LA SOCIEDAD DE
MATETEMÁTICA

2. Introducción histórica de la trigonometría
EGIPTO 2000-1800 a.C.
En el problema 56 del Papiro de Rhind o de Ahmed (en la
figura se puede observar un detalle de este papiro) se
encuentran por primera vez rudimentos de trigonometría y
de teoría de triángulos semejantes. Del problema de
mantener la pendiente de cada cara constante durante la
construcción de una pirámide, surge lo que podríamos
considerar como la primera razón trigonométrica. Los
egipcios tenían en cuenta el cociente entre “el avance” y
“la subida” para medir la pendiente, es decir, lo hacían por
medio del cociente entre la variación horizontal y la
vertical (la actual cotangente) a la que llamaban “seqt”.
Hoy en día esta razón tiene importancia en arquitectura,
donde se llama a esta medida “desplome”. En el problema
56 de este Papiro, se pide calcular el “seqt” de una
pirámide de la que se conocen la altura y base.

3. BABILONIA 1900-1600 a. C.
En la tablilla 322 de la colección Plimpton, conservada en
la Universidad de Columbia, aparece otro “germen” de la
trigonometría. Esta tablilla muestra una tabla con una
serie de ternas pitagóricas formadas por números enteros
(idearon un método para obtenerlas) y aparece también en
la tabla la razón entre hipotenusa y cateto mayor (la actual
secante) en una secuencia de grado en grado de 31º a 45º.
Esta tabla fue utilizada en los problemas de medir áreas
de cuadrados o lados de triángulos rectángulos.
Pero las tablillas mesopotámicas y los papiros egipcios,
como todos los documentos prehelénicos, contienen
siempre casos prácticos, sin ninguna formulación general,
son unas matemáticas totalmente utilitarias.

4. EL NACIMIENTO DE LA TRIGONOMETRÍA. GRECIA.
La trigonometría surge en Grecia para dar respuesta a problemas clásicos de la
Astronomía de la época. Aristarco de Samos escribió un tratado (en torno al 260 A de
C.) titulado Sobre los tamaños y distancias del Sol y la Luna en el que, por medio de la
semejanza de triángulos, daba la relación entre las distancias Tierra-Sol y Tierra-Luna.
Otro trabajo que aportó nuevas muestras de que en aquella época se daba el ambiente idóneo
para el nacimiento de la trigonometría, es el de Eratóstenes de Cirene (276 A de C. -194 A
de C.), que, en su tratado, Sobre la medida de la tierra, aproxima el tamaño de ésta utilizando
una medición del ángulo entre dos ciudades, Assuan y Syena, situadas en el mismo
meridiano, obteniendo el resultado de un cincuentavo de círculo completo, para después
multiplicar por 50 la distancia entre estas dos ciudades y obtener así una aproximación
bastante buena de la longitud de la circunferencia de la tierra, de unos 250.000 estadios, o lo
que es lo mismo, unos 46.000 Km. En este trabajo se aprecia cómo se empiezan a relacionar
ángulos (en la circunferencia) y distancias (longitud del arco). El intento de profundizar en el
conocimiento de estas relaciones, para aplicarlo en multitud de problemas astronómicos, de
navegación, agrimensura, etc., fue lo que impulsó el desarrollo de la trigonometría.

5. Ángulo y Sistema Circular
Definición de ángulo trigonométrico
Definición. Un ángulo plano es la figura geométrica que se genera por la rotación
de un rayo alrededor de su origen (vértice). Los rayos inicial y final (o terminal) se
llaman lados del ángulo.
Si la rotación se realiza en sentido anti horario (positiva), la medida del ángulo generado es positiva, pero si la
rotación se realiza en sentido horario (negativa), la medida del ángulo es negativa. En general, la medida de un
ángulo toma un valor real cualquiera.

6.  Ángulos en posición normal
Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangulares está en posición normal o estándar si su vértice está en
el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición
normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal.
Ángulo en posición normal
Lado terminal
Vértice
Ángulo cuadrantal

7. Un ángulo pertenece al cuadrante en el que está ubicado su lado terminal. Los siguientes ángulos
están en posición normal, pero en diferentes cuadrantes
Ángulo del I cuadrante
I
Ángulo del II cuadrante Ángulo del III cuadrante Ángulo del IV cuadrante
I I I
II II
II II
III III III
III
IV IV IV IV
x x
x
x
y
y
y
y
 
No importa si el ángulo es positivo o negativo para estar en posición normal.

8. Ejemplo

9. Medida angular
Para la medición de ángulos disponemos de los tres siguientes sistemas:
Sistema sexagesimal o Ingles: El sistema sexagesimal es el que utilizaban los babilonios, en la
actualidad lo utilizamos para medir el tiempo y los ángulos. Su nombre se debe a que utiliza 60 como
base. Posiblemente los babilonios decidieron utilizar esta base porque 60 tiene muchos divisores, hecho
que les facilitó la manipulación de las fracciones. El uso del número sesenta como base para la
medición de ángulos, coordenadas y medidas de tiempo se vincula a la vieja astronomía y a la
trigonometría.
Sistema Sexagesimal. Su unidad de medida es el grado sexagesimal (1°), que se define así: Si consideramos la
circunferencia dividida en 360 partes iguales, un ángulo de un grado es el que tiene su vértice en el centro y sus
lados pasan por dos divisiones sucesivas.

10. 1° =
𝑚1𝑣
360
La 60 - ava parte de un ángulo de 1° se llama minuto (1) y la 60 ava parte de
1 se llama segundo (1). De este modo, 1° = 60, 1 = 60 y 1° = 3600.
Nota: Un ángulo nulo mide 0° y un ángulo recto mide 90°
Ejemplos.
1) Dado el ángulo de medida 36.71°, hallar su medida en grados, minutos y segundos.
Solución. Primero separamos la parte entera y la parte decimal,
36.71° = 36 + 0.71°
Ahora empleamos regla de tres simple directa para determinar cuántos minutos hay en 0.71°,
0.71° =
0.71∗60°
1°
= 42.6

11. De forma similar, determinamos cuántos segundos hay en 0.6
0.6 =
0.6∗60 1
 = 36
Así que 36.71° = 36°4236
El sistema sexagesimal se emplea en la navegación, topografía y diseño de equipos mecánicos. En
aplicaciones que requieren de matemáticas avanzadas, se utiliza el sistema radial o circular, el cual se basa en
la longitud de un arco de circunferencia.
Sistema Radial o Circular: Su unidad de medida
es el radián, que se define así: Si un ángulo
central de un círculo subtiende un arco de
longitud igual al radio del círculo, entonces se
dice que su medida es de un radián.

12. Puesto que la circunferencia de un círculo equivale a 2 veces el radio, tenemos que un rayo
genera un ángulo de 2 radianes al dar una vuelta o revolución completa, así que
1 𝑟𝑎𝑑 =
𝑚∠1𝑣
2
y 2 rad = 360°
Los dos sistemas de medida angular anteriores son los más utilizados en la trigonometría de
Educación Media. El siguiente sistema es más utilizado en ingeniería.
Cuando se usa la medida angular en radianes, no deben indicarse unidades. En consecuencia, si
un ángulo mide 5 radianes, escribimos  = 5 en lugar de  = 5 radianes. No debe haber
confusión en cuanto a que se usen radianes o grados, puesto que si  mide 5°, se escribe  = 5°
y no  = 5.
Sistema Centesimal o Francés: Su unidad de medida es el grado centesimal (1g) gradián o gonio,
que se define de forma similar al grado sexagesimal, con la diferencia que la circunferencia se
divide en 400 partes iguales. Un grado centesimal, equivale a 9/10 de 1° sexagesimal, 1g =
100m = 10000s.

13. El radián es el ángulo que representa lo que ha tenido que girar una rueda cuando ha rodado una distancia equivalente al
radio de la misma. Antiguamente el grado era la unidad para los constructores de calendarios. El ángulo recto era la unidad
para los constructores urbanos. El radián era la unidad para los constructores de ruedas.
En síntesis, tenemos las siguientes equivalencias entre los tres sistemas de medida angular:
1) 2 rad = 360° = 400g
2)  rad = 180° = 200g
O bien, en resumen, 9° = 10g,  rad = 180° y  rad = 200g
Nota: Un ángulo recto mide 100g y un ángulo llano mide 200g
Ejemplos.
1) Dado el ángulo de medida 36.71g, hallar su medida en grados, minutos y segundos.
Solución. 36.71g = 36g + 0.71g = 36g + 0.71*100m = 36g 71m.
2) 62.47863g = 62g +0.47*100m +0.00863*10,000s = 62g47m86.3s.

14. Conversiones de un sistema de medida a otro
Para convertir la medida un ángulo dado del sistema sexagesimal al
centesimal, o viceversa (de grados a radianes o de radianes a grados),
utilizamos las equivalencias de la tabla siguiente y una regla de tres
simple directa.
Cambios de Medidas Angulares

15. ● Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las aplicaciones de la trigonometría en campos como la topografía, agrimensura y la navegación, entre
otros, requieren de la obtención de distancias, las cuales muchas veces es imposible obtenerlas mediante una
medición directa. Para solventar este tipo de problemas los antiguos babilonios recurrieron a lo que hoy
conocemos como resolver triángulos rectángulos.
Una forma de definir las razones trigonométricas, de una forma mecánica y geométrica, pero que nos puede
resultar de mucha utilidad, empleando un triángulo rectángulo, es la siguiente:
Definición. Sea ACB un triángulo rectángulo en C, como se muestra en la figura siguiente:

16. Entonces las llamadas razones o funciones trigonométricas de los ángulos
agudos  y  son las siguientes:
a) Seno: Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Así: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑎
𝑐
𝑦 𝑠𝑒𝑛 =
𝑏
𝑐
b) Coseno: Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Así: 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑏
𝑐
𝑦 𝑐𝑜𝑠 =
𝑎
𝑐
c) Tangente: Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Así: 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑎
𝑏
𝑦 𝑡𝑎𝑛 =
𝑏
𝑎
d) Cotangente: Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
Así: 𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑏
𝑎
𝑦 𝑐𝑜𝑡 =
𝑎
𝑏

18. Valores de las razones trigonométricas para los ángulos más usuales

19. La siguiente tabla nos permite recordar fácilmente los valores de las razones trigonométricas para los llamados
ángulos notables

20. Obtención de las Razones Trigonométricas de 37° y 53°.
Se obtienen a partir de los siguientes triángulos notables en donde k  R+.
Sobre la base de los triángulos anteriores se pueden construir otros, de relativa importancia, para
obtener de ellos sus razones trigonométricas

22. Estrategias para el cálculo de los valores de las razones trigonométricas
1) Cuando un ángulo es agudo, y se conoce una de sus seis razones trigonométricas, es inmediato el cálculo
de los valores de las razones trigonométricas restantes, simplemente construyendo un triángulo
rectángulo ubicando a continuación uno de los ángulos agudos, e identificando sus lados, de acuerdo con
la razón trigonométrica dada, y finalmente aplicamos el teorema de Pitágoras.
2) Cuando una razón trigonométrica es igual a su respectiva co-razón o cofunción trigonométrica,
inmediatamente se debe asumir que la suma de sus ángulos es 90°.

23. 3) Toda vez que una razón trigonométrica de cierto ángulo es igual a la misma razón de otro ángulo, entonces se
debe afirmar que dichos ángulos son iguales (pero esto ocurre sólo cuando se trata de ángulos agudos).
4) Ante la presencia de las razones trigonométricas de los ángulos 30°, 60°, 45°, 37° y 53°, debemos utilizar sus
respectivos triángulos notables de dichos ángulos.
5) Si se tiene el valor de una razón trigonométrica de un ángulo dado, y se desea calcular los valores de las razones
trigonométricas del ángulo mitad o del ángulo doble, se procede a realizar construcciones geométricas adecuadas
Resolución de Triángulos Rectángulos.
La trigonometría es útil para resolver problemas geométricos y calcular longitudes o áreas en la realidad. Con un
teodolito se pueden medir ángulos, tanto en el plano vertical como en el horizontal, que nos permiten, aplicando las
razones trigonométricas, hallar distancias o calcular alturas de puntos inaccesibles. En estos casos aunque el
triángulo de partida no sea rectángulo, trazando su altura podemos obtener dos triángulos rectángulos a resolver con
los datos que tenemos.

24. Resolver un triángulo rectángulo es determinar la longitud de sus lados y la medida de sus
ángulos, para lo cual deben ser conocidos al menos un lado y un ángulo agudo. En la
resolución de triángulos rectángulos se presentan tres casos, los que se resuelven por medio
de los siguientes teoremas.

25. Teoremas
Teorema 1. Conocida la hipotenusa (m) y un ángulo agudo ()
Teorema 2. Conocido un ángulo agudo () y su cateto
adyacente (m)
Teorema 3. Conocido un ángulo agudo () y su cateto opuesto
(m)

26. Aplicaciones de los triángulos rectángulos
Ángulos de elevación y de depresión
El ángulo de elevación es el ángulo comprendido entre la línea
del horizonte y la línea de la visual al objeto observado. Ángulo
de depresión es el ángulo comprendido entre la línea del
horizonte y la línea de la visual al objeto observado.

27. Ángulo de Observación. Es el ángulo formado por dos líneas visuales que definen un campo de observación
respecto de un observador. Este ángulo puede ubicarse en cualquier plano.
El ángulo de observación está comprendido entre 0° y 180°.

28. Ángulos Horizontales: Son aquellos ángulos que se encuentran en un mismo plano horizontal. Estos ángulos
están constituidos por las denominadas direcciones cardinales: este (E), oeste (O), norte (N) y sur (S).
Rumbo o dirección: Es la dirección considerada o trazada en el
plano horizontal, y principalmente cualquiera de las comprendidas
en la rosa náutica. Para definir un rumbo o dirección de
movimiento se toma como referencia cualquiera de los puntos
cardinales.
Direcciones NE, NO, SE y SO. (Noreste, Noroeste, Sureste y
Suroeste respectivamente)

29. Área de una región triangular.
El área de una región triangular está determinada por el semi producto de dos de sus lados por el seno del
ángulo comprendido por dichos lados.
El método de doble observación o de las dos
tangentes
Este método es utilizado por los topógrafos para
determinar la altura de una montaña a la cual no
pueden acercarse.

30. El método de doble observación se utiliza cuando tenemos que hallar una altura de un objeto y tenemos como
datos dos ángulos de observación desde dos puntos, situados al mismo lado del objeto, que están separados una
distancia también conocida. También el dato conocido puede ser la altura y lo que tenemos que hallar es la
distancia entre los puntos de observación.
En este problema conocemos o podemos determinar la distancia AB y los ángulos de observación α y  y debemos
determinar la altura H.
En la figura podemos observar los dos triángulos rectángulos AHC y BHC.
En el AHC tenemos tan 𝛼 =
ℎ
𝑥+𝑦
En el BHC tenemos tan 𝛽 =
ℎ
𝑦
Para hallar la altura h, resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores.

31. Esquema para convertir funciones trigonométricas en otras

32. Sugerencias para demostrar identidades de funciones trigonométricas
Para demostrar identidades trigonométricas no existe un procedimiento ni técnica especial, las siguientes
sugerencias pueden ser útiles en la demostración de identidades trigonométricas:
1) Escoger el miembro que te parezca más complicado, generalmente es más fácil empezar con el
miembro más complicado.
2) Efectúa sustituciones utilizando las relaciones o identidades fundamentales. A menudo resulta útil
expresar el miembro escogido en términos de senos y cosenos,
3) Realiza las manipulaciones algebraicas necesarias, como sumas o restas de fracciones, o productos o
factorización de polinomios para transformar el primer miembro hasta hacerlo idéntico al segundo, o
bien para transformar ambos miembros por separado hasta hacerlos idénticos.
4) Verifica la expresión final contra la forma que se trata de obtener. A menudo es conveniente escribir
formas alternativas del miembro que se está manipulando.

33. 5) No es recomendable pasar expresiones de un miembro a otro pues es posible cometer error, cuando las
implicaciones son de un sólo sentido y no de equivalencia. En caso de que usted, esté seguro, puede
proceder como estime conveniente. Cada miembro debe ser trabajado de forma independiente, es decir, no
se deben realizar operaciones en ambos miembros como se realizan en la resolución de ecuaciones. La
práctica nos permitirá determinar cuál de los caminos es el mejor a seguir, así como un análisis minucioso de
la identidad propuesta.
Sugerencias para resolver ecuaciones trigonométricas
1) Si contiene más de una función trigonométrica, utiliza las identidades para tratar de escribir la ecuación
en términos de una función trigonométrica del mismo ángulo.
2) Considera una función trigonométrica particular como incógnita y resuelve la ecuación.
3) Muchas veces ayuda el procedimiento algebraico, como la factorización.
4) Elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación
5) Después de despejar la función trigonométrica en la ecuación trigonométrica, debes determinar los
valores del ángulo que satisfagan la ecuación.

34. Algunos criterios que se deben considerar para resolver inecuaciones trigonométricas
A fin de establecer un criterio claro para el proceso de resolución de cualquier inecuación trigonométrica,
consideramos lo siguiente:
1) Ordenar, acomodar y/o resolver la inecuación de modo que se observe una inecuación más sencilla en la
que se pueda apreciar la presencia de dos funciones (una trigonométrica y la otra una función elemental
conocida), en lo posible claras y graficables manualmente.
2) Las gráficas de las funciones deben estar superpuestas en el mismo sistema de coordenadas cartesianas.
3) Establecer y/o calcular los puntos de intersección de las gráficas, los que se obtienen de la solución general
de la ecuación que resulta de igualar las funciones graficadas.
4) A partir de los puntos de intersección de las gráficas, establecer la región o las regiones (el intervalo o los
intervalos principales que cumplan con la última inecuación indicada en 1). Dicho intervalo o intervalos
representan la solución o soluciones de la inecuación dada.
5) A partir de la solución principal de la inecuación se obtiene la solución general de la inecuación original.

35. Nota: Teniendo la Inecuación Trigonométrica Elemental deberá resolver en los cuadrantes correspondientes
para Rx + . Deberá ubicarse en la Circunferencia Trigonométrica los arcos hallados anteriormente, para
luego representar en la Función Trigonométrica en un intervalo adecuado, donde se satisfacen las
desigualdades iniciales. Para la solución general se agregará 2n (n  Z) esto en el caso que la inecuación
involucre: sen, cos, sec, csc.
M = b, c es el campo de valores de x para los cuales f y g existen.
El número 𝛼 ∈ 𝑀 lleva el nombre de solución (raíz) de la ecuación f(x)= g(x) ya que al sustituirlo en lugar
de la incógnita x, la ecuación se convierte en una igualdad numérica lícita f (𝛼)=g (𝛼)
En el conjunto M, si x ≠ 𝛼 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑥 ≠ 𝑔 𝑥 : luego afirmamos que 𝑓(𝑥) > 𝑔 𝑥 ó 𝑓 𝑥 < 𝑔(𝑥) y
esto solamente se cumple al particionar el conjunto M en:
𝑥 𝑏, ∞) cumple (Gráfica de g está encima de f)
x  ( ∞, c cumple 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥) (Gráfica de g está encima de g)
Por lo tanto: 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥). Si 𝑥 ( ∞, 𝑐

36. Un triángulo no rectángulo o triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto. A fin de
resolver estos triángulos, necesitamos conocer tres elementos de ellos, uno de los cuales debe ser un lado.
Hay cuatro casos distintos
 Caso 1: se conoce un lado y dos ángulos (LAA o ALA).
 Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).
 Caso 3: se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (LAL).
 Caso 4: se conocen tres lados (LLL).
En la siguiente figura se ilustran los cuatro casos

37. Por Geometría Euclidiana sabemos que LAA, LAL y LLL determinan triángulos únicos. En trigonometría,
para determinar los elementos faltantes se emplean la ley de los senos, la ley del coseno y la propiedad de la
suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo
 +  +  = 180°
La ley de los senos era conocida vagamente por Ptolomeo (150 DC) y por Nasir Eddin. La ley fue enunciada
claramente por Regiomontano.
La ley de los cosenos aparece por primera vez en los Elementos de Euclides (Libro II), pero en una
forma tal que los cuadrados de los lados del triángulo se suman, y se resta un rectángulo que representa
el coseno. La forma actual de la ley del coseno fue establecida por François Vieta.

38. Teorema. La ley de los Senos. Los lados de un triángulo cualquiera
son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos
correspondientes, esto es
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛𝛾
𝑐
Teorema. La ley del Coseno. Sea un triángulo ABC, con lados
de longitudes a, b y c y ángulos internos ,  y , como se
muestra en la siguiente figura:
Entonces:
i) a2 = b2 + c2 – 2bccos
ii) b2 = a2 + c2 – 2accos
iii) c2 = a2 + b2 – 2abcos

39. Casos en la resolución de triángulos
Dados dos lados de un triángulo y un ángulo opuesto a uno de los lados dados,
en general, es posible resolver el triángulo mediante el uso de la Ley del Coseno.
Sin embargo, se debe tener en cuenta que, con la información dada, y
dependiendo de los valores propuestos, como podemos recordar de la Geometría
Euclidiana, el triángulo puede no tener solución, tener solución única o tener
dos soluciones.
Para fijar ideas, supongamos que se dan los lados a y b y el ángulo . Observe
las situaciones que se presentan en las siguientes figuras, estos seis casos cubren
todas las posibilidades:

41. Estrategias de resolución de triángulos
Todos los ejercicios posibles de resolución de triángulos se reducen a completar
los valores desconocidos de sus lados y sus ángulos a partir de ciertos datos, uno
de ellos tiene que ser un lado.
Proceso para resolver un triángulo

42. Teorema. Teorema de las tangentes o teorema de Nepper. Dado un triángulo plano ABC, con
lados a, b y c opuestos a los ángulos A, B y C, se cumple que
1)
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
=
𝑡𝑎𝑛
𝐴−𝐵
2
𝑡𝑎𝑛
𝐴+𝐵
2
2)
𝑐−𝑎
𝑐+𝑎
=
𝑡𝑎𝑛
𝐶−𝐴
2
𝑡𝑎𝑛
𝐶+ 𝐴
2
3)
𝑏−𝑐
𝑏+𝑐
=
𝑡𝑎𝑛
𝐵−𝐶
2
𝑡𝑎𝑛
𝐵+𝐶
2
Es decir, esta ley establece que la diferencia de dos de los lados es a su suma, como la tangente
de la semidiferencia de sus respectivos ángulos opuestos a la tangente de la semisuma de los
mismos.

43. Muchas
gracias