2. ÍNDICE
● ¿Qué es un número primo?
● Los números primos gemelos
● Ejemplos de números primos gemelos
● Propiedades de los números primos gemelos
● Distribución
● Teorema de Brun
● Conjetura de los números primos
3. ¿QUÉ ES UN NÚMERO PRIMO?
Es bien sabido por mucha gente que un número primo es aquel número natural
(1, 2, 3, 4, … ) que tiene solo dos divisores, por un lado el propio número, todo
número natural tiene como divisor así mismo, por lo que para diferenciar los del
segundo divisor debe ser el 1, ya que el 1 divide a todos los números. Como
ejemplo sencillo tenemos los números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... Mientras otros
números como el 4, 9, también cumplen estas condiciones pero tienen un
divisor más en el caso del 4 el 2 y en el caso del 9 el 3.
Ahora vamos a entrar a un mundo nuevo dentro de los números primos, los
primos gemelos, nombrados así por Paul Stäckel. Criba de Eratóstenes, algoritmo para calcular números primos
menos a un número dado.
4. LOS NÚMEROS PRIMOS GEMELOS
Como hemos dicho antes entramos en una subdivisión de los números primos. Sean p y q
números primos de manera de que p<q, son llamados primos gemelos si p y q distan de dos
unidades en una recta real, es decir, q-p=2. Una forma más simple de verlo es que q=p+2,
así que la pareja (p,q)=(p,p+2) es una pareja de números primos gemelos.
Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Los únicos dos números primos
consecutivos son el 2 y el 3. La cuestión surge de encontrar dos números primos que sean
impares consecutivos, es decir que la diferencia del mayor al menor sea 2.
5. EJEMPLOS DE NÚMEROS PRIMOS GEMELOS
Ahora veremos parejas de números primos que cumplen las condiciones impuestas para ser
primos gemelos. En los primos antes de 1000 existen 35 parejas de primos gemelos:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137,
139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283),
(311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617,
619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).
Y se puede ver la distribución de los encontrados hasta ahora en la siguiente página .
6. EJEMPLOS DE NÚMEROS PRIMOS GEMELOS
ENORMES
A partir de 2007 se crearon dos proyectos para estudiar grandes números primos, Twin Prime
Search y PrimeGrid, generando el par de primos gemelos más grande conocido hasta la fecha en
Agosto 2022 siendo:
2996863034895 · 21290000 ± 1
Se expresa así, pues la pareja dista dos y por tanto se puede expresar como el número entre ambos
primos ± 1
Ej: la pareja (3,5) también se expresa como 4 ± 1.
7. PROPIEDADES (1)
La primera propiedad de estos números es:
5 es el único primo que pertenece a dos parejas
de primos gemelos siendo estas (3,5) y (5,7).
Esto es porque todo par de primos gemelos
mayor que (3,5) es de la forma (6n-1,6n+1) o
también posible escribirlo como 6n±1, para n
algún número natural, lo que implica es que todo
número entre dos parejas de primos gemelos es
un múltiplo de 6.
8. PROPIEDADES (2)
La segunda propiedad es:
Para un par (m, m+2) es primo gemelo sí y solo si cumple:
4( (m - 1)! + 1 ) = - m en [mod (m(m + 2))].
En palabras, al dividir 4((m-1)!+1) por m(m+2) nos da un
resto igual a -m en módulo (m(m+2)), para cualquier primo
gemelo.
Visualización del funcionamiento de la aritmética modular, la herramienta utilizada para
probar esta propiedad.
9 + 4 = 1 en mod(12) y 9 + 4 = -11 en mod(12)
9. PROPIEDAD (3)
Para esta tercera propiedad nos dirigiremos a 1915 cuando Viggo Brun probó que la suma
de los inversos de los números primos gemelos es convergente, el valor de este número se
le llama la constante de Brun, con notación B2
Mientras que la suma de los inversos de todos los primos si que diverge, la estimación más
precisa hasta el momento de la constante es: 1,902160583104.
10. DISTRIBUCIÓN
Ahora vamos a hablar de la distribución de estos números ya que todavía no está demostrado si existen
infinitos primos gemelos o no, pero la mayoría de las investigaciones apuntan a que sí. De ser cierto lo
anteriormente dicho se probaría la Conjetura de los números primos gemelos. La prueba más cercana a esto
es la conjetura de Hardy-Littlewood que postula una ley de distribución de estas parejas de primos:
11. DISTRIBUCIÓN
Hablando de la constante C2, es la constante de los números primos gemelos definida
mediante el producto de Euler:
Esta conjetura aunque está justificada informalmente no está demostrada realmente y
por tanto no se puede tomar como cierta, pero ha ayudado a descubrir muchas de las
parejas de números primos gemelos.
12. TEOREMA DE BRUN
Este teorema es el que demuestra que la suma de los inversos de los números primos
gemelos converge. Además, su mismo argumento sirve para demostrar que el número de
primos gemelos menores que un número N no excede:
Para alguna constante C>0, especificamente, este número está acotado por:
Donde C’=8C2 la constante de los
números primos gemelos
anteriormente nombrada.
13. CONJETURA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
Esta conjetura establece que hay infinitos primos p tales que p + 2 también es primo.
Durante los años se ha intentado encontrar una demostración de esta conjetura, hasta el
momento se ha podido probar para algún número entero N menor que 70 millones, hay
infinitos pares de números primos que difieren en N (Yitang Zhang, 2013) un poco lejos de 2,
que es lo necesario para los primos gemelos. Un año después, 2014, se consiguió probar
para un N menor que 246 y asumiendo las conjetura de Elliott-Halberstam (relacionada con
la distribución de números primos) el límite es 6, en otras palabras, sin tomar en cuenta la
anterior conjetura, existen infinitas parejas de números primos que distan algún valor menor
que 246, y asumiendo la conjetura, existirían infinitas parejas de números primos que distan
algún valor menor que 6, muy cerca a 2 la distancia necesaria para los primos gemelos.
