18.-Semejanza-y-Proporcionalidad-de-Figuras-Planas-Presentación-2023.pdf

COLEGIO BAUTISTA TEMUCO
Registro propiedad intelectual nº 275.203 - Moraleja Editorial.
Se autoriza su uso con ﬁnes docentes a COLEGIO BAUTISTA TEMUCO durante el año 2023.
“Tú lo sabes, yo lo sé”
Mientras hacía una caminata en una colina cer-
cana, vi a este mochuelo juguetón. Me senté a
observar sus acciones. Se conﬁó tanto conmigo
que comenzó a guiñar sus ojos y a bostezar.
— FOTÓGRAFÍA: SAMEER WALUNJ —
FUENTE: THE COMEDY WILDLIFE PHOTO
CAPÍTULO 18
SEMEJANZA Y
PROPORCIONALIDAD
DE FIGURAS PLANAS

1. CONGRUENCIA
2. SEMEJANZA
a. Criterios de semejanza de triángulos
b. Razón de semejanza
3. MODELOS A ESCALA
4. DIVISIÓN INTERIOR DE TRAZOS
5. TEOREMA DE THALES
6. HOMOTECIA (EXCLUSIVO M2)
CAPÍTULO 18 | SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD DE FIGURAS PLANAS
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CAPÍTULO 18
“No existe una manera fácil. No im-
porta cuán talentoso seas, tu talen-
to te va a fallar si no lo desarrollas.
Si no estudias, si no trabajas duro, si
no te dedicas a ser mejor cada día”
— WILL SMITH —
ACTOR ESTADOUNIDENSE
1. CONGRUENCIA
2. SEMEJANZA
3. MODELOS A ESCALA
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CAPÍTULO 18
“No existe una manera fácil. No im-
porta cuán talentoso seas, tu talen-
to te va a fallar si no lo desarrollas.
Si no estudias, si no trabajas duro, si
no te dedicas a ser mejor cada día”
— WILL SMITH —
ACTOR ESTADOUNIDENSE

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1. CONGRUENCIA
Dos o más ﬁguras son congruentes si se cumple que son exactamente iguales tanto en forma como en
tamaño, es decir si sus lados y sus ángulos respectivos tienen igual medida.
El símbolo de congruencia es ( ≅ ).
∆ ABC ≅ ∆ DEF
AB ≅ DE BC ≅ EF CA ≅ FD
α β
γ
A B
C
α β
γ
D E
F
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1. CONGRUENCIA
Dos o más ﬁguras son congruentes si se cumple que son exactamente iguales tanto en forma como en
tamaño, es decir si sus lados y sus ángulos respectivos tienen igual medida.
El símbolo de congruencia es ( ≅ ).
∆ ABC ≅ ∆ DEF
AB ≅ DE BC ≅ EF CA ≅ FD
α β
β
γ
A B
C
α β
β
γ
D E
F

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2. SEMEJANZA
A diferencia de la congruencia, para que dos o más polígonos sean semejantes, es necesario que tengan
igual forma pero no necesariamente el mismo tamaño y, para que esto sea posible, se necesita que sus
ángulos respectivos sean congruentes y sus lados homólogos sean proporcionales. En tal caso, escribire-
mos tal relación con el símbolo de semejanza ( ∼ ).
Observación: Notemos que, a partir de estas dos definiciones anteriores (Congruencia y Semejanza),
siempre que dos figuras sean congruentes, serán también semejantes, pero al revés no necesariamente
es siempre cierto. Es decir, NO siempre dos figuras semejantes van a ser también congruentes. Esto porque
la congruencia exige condiciones adicionales.
En la figura adjunta nos presentan dos triángulos
semejantes.
Esto porque:
(1) Tienen los mismos 3 ángulos: α, β y γ.
(2) Sus lados correspondientes son
proporcionales.
α β
γ
A B
C
b
c
a
b· k
c· k
a· k
α β
γ
D E
F
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2. SEMEJANZA
A diferencia de la congruencia, para que dos o más polígonos sean semejantes, es necesario que tengan
igual forma pero no necesariamente el mismo tamaño y, para que esto sea posible, se necesita que sus
ángulos respectivos sean congruentes y sus lados homólogos sean proporcionales. En tal caso, escribire-
mos tal relación con el símbolo de semejanza ( ∼ ).
Observación: Notemos que, a partir de estas dos definiciones anteriores (Congruencia y Semejanza),
siempre que dos figuras sean congruentes, serán también semejantes, pero al revés no necesariamente
es siempre cierto. Es decir, NO siempre dos figuras semejantes van a ser también congruentes. Esto porque
la congruencia exige condiciones adicionales.
En la figura adjunta nos presentan dos triángulos
semejantes.
Esto porque:
(1) Tienen los mismos 3 ángulos: α, β y γ.
(2) Sus lados correspondientes son
proporcionales.
α β
β
γ
A B
C
b
c
a
b· k
c· k
a· k
α β
γ
D E
F

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¿Cuáles son los lados homólogos o correspondientes entre 2 triángulos?
Cuando tenemos dos triángulos que son semejantes, sus lados correspondientes son aquellos en cuyos
extremos encontramos vértices con los mismos ángulos interiores en ambos triángulos. Por ejemplo: El lado
AB del primer triángulo y el lado DE del segundo, son correspondientes, pues ambos van de un vértice con
ángulo interior α, hasta un vértice con ángulo interior β. Por la misma razón, son correspondientes BC con
EF, y AC con DF.
Es importante el orden en que escribimos los vértices del triángulo, pues no solo tiene como ﬁnalidad el
explicitar de qué triángulo se trata, sino que también los lados correspondientes entre ellos. Esto ayuda a
interpretar la forma en que se debe considerar la semejanza. Así, cuando decimos que los triángulos ABC y
DEF son semejantes y escribimos ∆ ABC ∼ ∆ DEF, estamos señalando el orden en que sus lados son
correspondientes entre sí:
Esta notación implica que los lados correspondientes son AB con DE ; BC con EF, y AC con DF. Esto resulta
fundamental a la hora de establecer la proporcionalidad entre ellos, pues se debe cumplir que, para algún
k R
! +
se tiene que:
AB
DE k
=
BC
EF k
=
CA
FD k
=
Y diremos que k es la razón de semejanza entre los triángulos.
∆ ABC ∼ ∆ DEF
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¿Cuáles son los lados homólogos o correspondientes entre 2 triángulos?
Cuando tenemos dos triángulos que son semejantes, sus lados correspondientes son aquellos en cuyos
extremos encontramos vértices con los mismos ángulos interiores en ambos triángulos. Por ejemplo: El lado
AB del primer triángulo y el lado DE del segundo, son correspondientes, pues ambos van de un vértice con
ángulo interior α, hasta un vértice con ángulo interior β. Por la misma razón, son correspondientes BC con
EF, y
EF, y
EF AC con DF.
Es importante el orden en que escribimos los vértices del triángulo, pues no solo tiene como ﬁnalidad el
explicitar de qué triángulo se trata, sino que también los lados correspondientes entre ellos. Esto ayuda a
interpretar la forma en que se debe considerar la semejanza. Así, cuando decimos que los triángulos ABC y
DEF son semejantes y escribimos ∆ ABC ∼ ∆ DEF, estamos señalando el orden en que sus lados son
correspondientes entre sí:
Esta notación implica que los lados correspondientes son AB con DE ; BC con EF, y
EF, y
EF AC con DF. Esto resulta
fundamental a la hora de establecer la proporcionalidad entre ellos, pues se debe cumplir que, para algún
k R
! +
se tiene que:
AB
DE k
=
BC
EF k
=
CA
FD k
=
Y diremos que k es la razón de semejanza entre los triángulos.
∆ ABC ∼ ∆ DEF

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NOTAS:
» La congruencia es un caso particular de semejanza, con k = 1.
» Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes entre sí.
» Todas las circunferencias son semejantes entre sí.
» Todos los polígonos regulares de igual cantidad de lados son semejantes entre sí. (Triángulos
equiláteros, cuadrados, entre otros).
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NOTAS:
» La congruencia es un caso particular de semejanza, con k = 1.
» Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes entre sí.
» Todas las circunferencias son semejantes entre sí.
» Todos los polígonos regulares de igual cantidad de lados son semejantes entre sí. (Triángulos
equiláteros, cuadrados, entre otros).

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Los criterios de semejanza nos indican la información mínima necesaria para aﬁrmar que dos triángulos
son semejantes.
i. LLL ii. AA
a· k
b· k
c· k
a
b
c
Dos triángulos son semejantes si sus lados
homólogos son proporcionales.
α α
β β
Dos triángulos son semejantes si dos pa-
res de ángulos homólogos tienen igual
medida.
iii. LAL iv. LLA>
b· k
c· k
b
c
α
α
Dos triángulos son semejantes si tienen
un ángulo homólogo de igual medida y
los lados adyacentes a él son proporcio-
nales.
b· k
c· k
b
c
γ
γ
dos de sus lados homólogos proporcio-
nales, y los ángulos opuestos al mayor
de sus lados, congruentes.
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Los criterios de semejanza nos indican la información mínima necesaria para aﬁrmar que dos triángulos
son semejantes.
i. LLL ii. AA
a· k
b· k
c· k
a
b
c
Dos triángulos son semejantes si sus lados
homólogos son proporcionales.
α α
β
β β
Dos triángulos son semejantes si dos pa-
res de ángulos homólogos tienen igual
medida.
iii. LAL iv. LLA>
b· k
c· k
b
c
α
α
un ángulo homólogo de igual medida y
los lados adyacentes a él son proporcio-
nales.
b· k
c· k
b
c
γ
γ
dos de sus lados homólogos proporcio-
nales, y los ángulos opuestos al mayor
de sus lados, congruentes.

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Otras ﬁguras semejantes
Toda paralela a un lado de un triángulo,
determina un triángulo semejante al pri-
mero.
Si AB //DE, entonces ∆ ABC ∼ ∆ DEC
A B
C
D E
En un triángulo rectángulo, toda perpen-
dicular a alguno de los lados genera un
triángulo semejante al primero.
Si AB ⊥ DE , entonces ∆ ABC ∼ ∆ DBE
α β
α
A B
C
D
E
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Otras ﬁguras semejantes
Toda paralela a un lado de un triángulo,
determina un triángulo semejante al pri-
mero.
Si AB //DE, entonces ∆ ABC ∼ ∆ DEC
A B
C
D E
En un triángulo rectángulo, toda perpen-
dicular a alguno de los lados genera un
triángulo semejante al primero.
Si AB ⊥ DE , entonces ∆ ABC ∼ ∆ DBE
α β
β
α
A B
C
D
E

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En figuras semejantes, no solo sus respectivos
lados homólogos están en una misma razón k,
sino que también lo están sus perímetros y sus
elementos secundarios que son segmentos, ta-
les como: sus alturas, sus transversales y sus me-
dianas.
Per metro DEF
Per metro ABC
a
a k
b
b k
c
c k
h
h k k
í
í $ $ $ $
T
T
= = = = =
_
_ i
i
α β
γ
A C
B
c· k
b· k
h· k
a· k
c
b
h
a
α β
γ
D F
E
Las áreas de figuras semejantes están en una
razón equivalente al cuadrado de la razón de
semejanza. Es decir:
rea DEF
rea ABC
k
Á
Á 2
T
T
=
_
_ i
i
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En figuras semejantes, no solo sus respectivos
lados homólogos están en una misma razón k,
sino que también lo están sus perímetros y sus
elementos secundarios que son segmentos, ta-
les como: sus alturas, sus transversales y sus me-
dianas.
Per metro ABC
a
a k
b
b k
c
c k
h
h k k
í
r m
í
r m $ $
a k
$ $
a k b k
$ $
b k $ $
c k
$ $
c k h k
$ $
h k
T
= = =
a k
= = =
a k b k
= = =
b k = =
h k
= =
h k
_
_ i
Pe
_ i
Per m
_ i
r metro
_ i
etro DE
_ i
DEF
_ i
F
í
_ i
í
r m
í
r m
_ i
r m
í
r m T
_ i
T
i
= = =
= = = = =
α β
β
γ
A C
B
c· k
b· k
h· k
a· k
γ
c
b
h
a
α β
β
γ
D
D F
E
γ
Las áreas de figuras semejantes están en una
razón equivalente al cuadrado de la razón de
semejanza. Es decir:
rea ABC
k
Á 2
a A
T
a A
=
_
_ i
re
_ i
rea D
_ i
a DEF
_ i
EF
Á
_ i
Á a D
T
a D
_ i
a D
T
a D
i

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3. MODELOS A ESCALA
Decimos que un modelo está hecho a escala, cada vez que se han salvaguardado las proporciones del
diseño original. En términos simples, es cuando hacemos una réplica, ya sea de un vehículo de juguete a
partir de las características de un vehículo real; o cuando dibujamos en un mapa las características geo-
gráficas de una cierta zona, pero en pequeño, etc.
Para realizar una réplica hecha a escala, se necesitan respetar las proporciones de la figura original, es decir,
necesitamos que la figura original y la réplica sean semejantes. Por lo tanto, si queremos hacer una réplica
que sea 10 veces más grande, utilizaremos una figura semejante a la original cuya razón de semejanza sea
10 : 1 ó 1 : 10 dependiendo de cómo estemos considerando el cociente. Esto significa que si en nuestra
figura original, el brazo de una persona medía 2 cm, en la réplica debería medir 20 cm, y así con cada
parte, debemos ir multiplicando por el factor que generará esta nueva figura.
Ejemplo:
Un triángulo ABC es la réplica a escala de otro triángulo DEF, equilátero y de perímetro igual a 36 cm. ¿Cuál
debería ser el perímetro del triángulo ABC si la escala utilizada para su elaboración como réplica respecto
al triángulo original fue 1 : 3?
Como nos dicen que la escala utilizada es 1 : 3 y estamos considerando al triángulo nuevo (la réplica
o figura a escala) con respecto al triángulo original, esto quiere decir que cada una de las partes del
triángulo réplica debe medir
3
1
de lo que medían las partes del triángulo original. Por lo tanto, si cada lado
del original medía 12 cm (es lo que se desprende del hecho de que su perímetro era 36 cm), el lado del
triángulo elaborado a escala debe medir 4 cm y, por lo tanto, su perímetro debe medir 12 cm.
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3. MODELOS A ESCALA
Decimos que un modelo está hecho a escala, cada vez que se han salvaguardado las proporciones del
diseño original. En términos simples, es cuando hacemos una réplica, ya sea de un vehículo de juguete a
partir de las características de un vehículo real; o cuando dibujamos en un mapa las características geo-
gráficas de una cierta zona, pero en pequeño, etc.
Para realizar una réplica hecha a escala, se necesitan respetar las proporciones de la figura original, es decir,
necesitamos que la figura original y la réplica sean semejantes. Por lo tanto, si queremos hacer una réplica
que sea 10 veces más grande, utilizaremos una figura semejante a la original cuya razón de semejanza sea
10 : 1 ó 1 : 10 dependiendo de cómo estemos considerando el cociente. Esto significa que si en nuestra
figura original, el brazo de una persona medía 2 cm, en la réplica debería medir 20 cm, y así con cada
parte, debemos ir multiplicando por el factor que generará esta nueva figura.
Ejemplo:
Un triángulo ABC es la réplica a escala de otro triángulo DEF, equilátero y de perímetro igual a 36 cm. ¿Cuál
debería ser el perímetro del triángulo ABC si la escala utilizada para su elaboración como réplica respecto
al triángulo original fue 1 : 3?
Como nos dicen que la escala utilizada es 1 : 3 y estamos considerando al triángulo nuevo (la réplica
o figura a escala) con respecto al triángulo original, esto quiere decir que cada una de las partes del
triángulo réplica debe medir
3
1
de lo que medían las partes del triángulo original. Por lo tanto, si cada lado
del original medía 12 cm (es lo que se desprende del hecho de que su perímetro era 36 cm), el lado del
triángulo elaborado a escala debe medir 4 cm y, por lo tanto, su perímetro debe medir 12 cm.

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Dado un punto P, que se ubica entre AB, este
divide interiormente al trazo en la razón m : n si
se cumple que:
AP : PB = m : n
A B
P
m· k n· k
Ejemplo:
Para dividir interiormente un segmento AB que mide 25 cm,
en la razón 2 : 3, debemos buscar un punto C, entre A y B, tal
que las distancias entre A y C, y entre C y B, respectivamente,
estén en dicha razón. Por lo tanto, hacemos que la longitud
del segmento AC sea 2k y la longitud del segmento CB sea
3k. Así, 2k + 3k = 25 y k = 5.
Luego concluimos que AC = 10 cm y CB = 15 cm.
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Dado un punto P, que se ubica entre AB, este
divide interiormente al trazo en la razón m : n si
se cumple que:
AP : PB = m : n
A B
P
m· k n· k
Ejemplo:
Para dividir interiormente un segmento AB que mide 25 cm,
en la razón 2 : 3, debemos buscar un punto C, entre A y B, tal
que las distancias entre A y C, y entre C y B, respectivamente,
estén en dicha razón. Por lo tanto, hacemos que la longitud
del segmento AC sea 2k y la longitud del segmento CB sea
3k. Así, 2k + 3k = 25 y k = 5.
Luego concluimos que AC = 10 cm y CB = 15 cm.

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1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de condiciones, por separado, permite determinar que un triángulo PQR es
semejante a otro triángulo TUV?
HABILIDAD: ARGUMENTAR. (DEMRE 2017)
A) ∢RPQ = 80º , ∢QRP = 60º , ∢UVT = 60º y el ángulo exterior al ∢TUV mide 140º.
B) PR = 8cm , VT = 12cm , RQ = 10cm y TU = 15cm.
C) RP //VT y RQ // VU.
D) VT = 10cm , UV = 10cm y TU = 10cm.
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1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de condiciones, por separado, permite determinar que un triángulo PQR es
semejante a otro triángulo TUV?
A) ∢RPQ = 80º , ∢QRP = 60º , ∢UVT = 60º y el ángulo exterior al ∢TUV mide 140º.
B) PR = 8cm , VT = 12cm , RQ = 10cm y TU = 15cm.
C) RP //VT y RQ // VU.
D) VT = 10cm , UV = 10cm y TU = 10cm.

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2. Un terreno cuadrado de área 160.000m
2
está representado en un mapa mediante un cuadrado de área
1cm
2
, ¿cuál es la escala de este mapa?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS. (DEMRE 2018)
A) 1 : 4.000
B) 1 : 160.000
C) 1 : 400
D) 1 : 40.000
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2. Un terreno cuadrado de área 160.000m
2
está representado en un mapa mediante un cuadrado de área
1cm
2
, ¿cuál es la escala de este mapa?
A) 1 : 4.000
B) 1 : 160.000
C) 1 : 400
D) 1 : 40.000

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3. En la figura adjunta se muestra un tronco de pirámide cuyas bases son paralelas y ABCD es un trapecio
isósceles. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Los trapecios ABCD y EFGH tienen igual área.
B) ∆ ABD ∼ ∆ CDB
C) ∆ HGE ∼ ∆ BCD
D)
Per metro ABCD
EG
BD
í
=
Per metro EFGH
í
H
E
A
D C
B
G
F
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3. En la figura adjunta se muestra un tronco de pirámide cuyas bases son paralelas y ABCD es un trapecio
isósceles. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Los trapecios ABCD y EFGH tienen igual área.
B) ∆ ABD ∼ ∆ CDB
C) ∆ HGE ∼ ∆ BCD
D)
Per metro ABCD
EG
BD
í
r m
í
r m
=
Per metro EFGH
í
r m
í
r m
H
E
A
D C
B
G
F

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4. ¿En cuál de los siguientes casos se veriﬁca siempre la semejanza planteada?
A) B)
C
A B
E
D
C
A B
D
Si AC = 6 cm , DC = 5 cm,
AB = 10 cm y EC = 3 cm,
entonces ∆ABC ∼ ∆EDC
Si los rayos AD y BD son
bisectrices del ∆ABC,
entonces ∆ADC ∼ ∆BDC
C) D)
C
A
B
E
D
C
A B
E
Si AB = 21 cm , BC = 15 cm,
BD = 7 cm y BE = 5 cm,
entonces ∆ABC ∼ ∆DBE
Si ∢CAE ≅ ∢EBC,
entonces ∆AEC ∼ ∆BEC
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4. ¿En cuál de los siguientes casos se veriﬁca siempre la semejanza planteada?
A) B)
C
A B
E
D
C
A B
D
Si AC = 6 cm , DC = 5 cm,
AB = 10 cm y EC = 3 cm,
entonces ∆ABC ∼ ∆EDC
Si los rayos AD y BD son
bisectrices del ∆ABC,
entonces ∆ADC ∼ ∆BDC
C) D)
C
A
B
E
D
C
A B
E
Si AB = 21 cm , BC = 15 cm,
BD = 7 cm y BE = 5 cm,
entonces ∆ABC ∼ ∆DBE
Si ∢CAE ≅ ∢EBC,
entonces ∆AEC ∼ ∆BEC

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5. En la ﬁgura adjunta los triángulos ABC y GFE son semejantes entre sí. ¿Cuál de las siguientes igualdades es
verdadera?
A)
í
í
per metro
per metro ABC
GFE 5
1
T
T
=
B)
rea GFE
rea ABC 1
10
á
á
T
T
=
C) ∢BAC : ∢FGE = 1 : 5
D) ∢BAC : ∢FGE = 1 : 25
E
F
30 cm
25 cm
15 cm
G
B
A
5 cm
3 cm
6 cm
C
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5. En la ﬁgura adjunta los triángulos ABC y GFE son semejantes entre sí. ¿Cuál de las siguientes igualdades es
verdadera?
A)
í
í
per m
í
r m
í etro
per m
í
r m
í etro ABC
GFE 5
1
T
T
=
B)
rea GFE
rea ABC 1
10
á
á
a G
T
a G
a A
T
a A
=
C) ∢BAC : ∢FGE = 1 : 5
D) ∢BAC : ∢FGE = 1 : 25
E
F
30 cm
25 cm
15 cm
G
B
A
5 cm
3 cm
6 cm
C

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6. Ingrid le hizo a su hijo una copia a escala de la camiseta de fútbol de su papá. El número en la camiseta del
papá está dentro de un círculo de área 64cm
2
, si la parte más ancha de la camiseta del papá mide 60cm y
la de su hijo mide 15cm, ¿cuál es el área del círculo que encierra el número en la camiseta del hijo?
A) 4cm
2
B) 8cm
2
C) 14cm
2
D) 16cm
2
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6. Ingrid le hizo a su hijo una copia a escala de la camiseta de fútbol de su papá. El número en la camiseta del
papá está dentro de un círculo de área 64cm
2
, si la parte más ancha de la camiseta del papá mide 60cm y
la de su hijo mide 15cm, ¿cuál es el área del círculo que encierra el número en la camiseta del hijo?
A) 4cm
2
B) 8cm
2
C) 14cm
2
D) 16cm
2

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7. En la ﬁgura adjunta, ABMN y AQPC son rectángulos. La longitud de AQ es menor que la longitud de PQ. ¿Cuál
de las siguientes medidas debe ser la longitud de AQ para que los rectángulos sean semejantes?
A) 5
2
cm
B) 5
3
cm
C) 2 cm
D)
2
5
cm
N
6 cm
3 cm
5 cm
Q
P C
A
M
B
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7. En la ﬁgura adjunta, ABMN y AQPC son rectángulos. La longitud de AQ es menor que la longitud de PQ. ¿Cuál
de las siguientes medidas debe ser la longitud de AQ para que los rectángulos sean semejantes?
A) 5
2
cm
B) 5
3
cm
C) 2 cm
D)
2
5
cm
N
6 cm
3 cm
5 cm
Q
P C
A
M
B

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8. ¿Cuál de las siguientes semejanzas es verdadera?
C
P
A B
M
N
A) ΔABC ∼ ΔMNP
M, N y P son los puntos
medios de los lados del
ΔABC.
P
B
M
A
C
N
B) ΔABC ∼ ΔMNP
MN // AB, NP // CB y
PM // AC
C
D
A B
C) ΔABC ∼ ΔCBD
CD ⊥ AB
D) Todas ellas.
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8. ¿Cuál de las siguientes semejanzas es verdadera?
C
P
A B
M
M
N
A) ΔABC ∼ ΔMNP
M, N y P son los puntos
medios de los lados del
ΔABC.
P
B
M
A
A
C
N
B) ΔABC ∼ ΔMNP
MN // AB, NP // CB y
PM // AC
C
D
A B
C) ΔABC ∼ ΔCBD
CD ⊥ AB
D) Todas ellas.

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9. Un mapa está hecho a escala de 1:1.000.000. ¿Cuál es la distancia real que hay entre dos ciudades si en el
mapa esta distancia es de 30 cm?
A) 0,3 km
B) 30 km
C) 300 km
D) 3.000 km
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9. Un mapa está hecho a escala de 1:1.000.000. ¿Cuál es la distancia real que hay entre dos ciudades si en el
mapa esta distancia es de 30 cm?
A) 0,3 km
B) 30 km
C) 300 km
D) 3.000 km

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El teorema de Thales tiene muchas variantes como conclusión, y todas dignas de revisar, pero su esencia
consiste en analizar qué pasa con los segmentos que se generan cuando dos o más rectas son cortadas
por 3 o más rectas paralelas entre sí. Los casos más comunes son:
Caso 1:
Si AD //BE // CF
A
B
C
D
E
F
Entonces:
BC
AB
EF
DE
=
también se tiene que:
DE
AB
F
C
EF
BC
D
A
= =
Caso 2:
Si AC // BD y las transversa-
les se intersectan en el pun-
to O
A
B
C
D
O
Entonces:
AB
OA
CD
OC
=
también se tiene que
OB
OA
OD
OC
BD
AC
= =
Caso 3:
Si se cumple: AD // BC y las
transversales se intersectan
en el punto O
A
B
C
D
O
Entonces:
OD
CO
OA
BO
AD
BC
= =
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El teorema de Thales tiene muchas variantes como conclusión, y todas dignas de revisar, pero su esencia
consiste en analizar qué pasa con los segmentos que se generan cuando dos o más rectas son cortadas
por 3 o más rectas paralelas entre sí. Los casos más comunes son:
Caso 1:
Si AD //BE // CF
A
B
C
D
E
F
Entonces:
BC
AB
EF
DE
=
también se tiene que:
DE
AB
F
C
EF
BC
D
A
= =
BC
= =
BC
= =
Caso 2:
Si AC // BD y las transversa-
les se intersectan en el pun-
to O
A
B
C
D
O
Entonces:
AB
OA
CD
OC
=
también se tiene que
OB
OA
OD
OC
BD
AC
= =
OC
= =
OC
= =
Caso 3:
Si se cumple: AD // BC y las
transversales se intersectan
en el punto O
A
B
C
D
O
Entonces:
OD
CO
OA
BO
AD
BC
= =
BO
= =
BO
= =

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10. En el triángulo ABC de la ﬁgura adjunta, D pertenece a AC y E pertenece a AB. Si DE // BC , ¿cuál es la medida
del segmento AE?
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 7 cm
D) 9 cm A
C
B
E
D
6 cm
10 cm
x cm
( x + 2) cm
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10. En el triángulo ABC de la ﬁgura adjunta, D pertenece a AC y E pertenece a AB. Si DE // BC , ¿cuál es la medida
del segmento AE?
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 7 cm
D) 9 cm A
C
B
E
D
6 cm
10 cm
x cm
( x + 2) cm

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11. En la ﬁgura adjunta CD // AB, CD = 8cm, EC = 4cm y CB = 10cm. ¿Cuál es la medida de AB?
A) 3 cm
B) 12 cm
C) 10 cm
D)
3
16
cm
D
C
A
E
B
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11. En la ﬁgura adjunta CD // AB, CD = 8cm, EC = 4cm y CB = 10cm. ¿Cuál es la medida de AB?
A) 3 cm
B) 12 cm
C) 10 cm
D)
3
16
cm
D
C
A
E
B

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12. En la ﬁgura adjunta las rectas R4
y R5
intersectan a las rectas R1
, R2
y R3
. ¿Qué valor debe tomar x para que R1
// R2
// R3
?
A) 31
B) 11
C) 13
D) 22
R4
R5
(2x + 4) cm
(x + 2) cm
(x – 3) cm (x + 5) cm
R1
R2
R3
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12. En la ﬁgura adjunta las rectas R4
y R5
intersectan a las rectas R1
, R2
y R3
. ¿Qué valor debe tomar x para que R1
// R2
// R3
?
A) 31
B) 11
C) 13
D) 22
R4
R5
(2x + 4) cm
(x + 2) cm
(x – 3) cm (x + 5) cm
R1
R2
R3

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13. Constanza fabrica velas de parafina con forma de cono, cada una de dos colores: azul y rojo, como se
representa en la figura adjunta.
Rojo
Azul
Constanza quiere fabricar una vela de 12cm de altura y de 3cm de radio basal, de tal manera que la
parte de color rojo tenga una altura de 10cm.
Recuerde que el volumen de un cono está dado por: V =
3
1
π · r
2
· h, donde h es su altura y r es el radio de
su base.
¿Qué cantidad aproximada de parafina de color azul necesita para fabricar la vela? (Nota: Para los
cálculos considere π aproximado a 3).
A) 182,0cm
3
B) 104,4cm
3
C) 98,0cm
3
D) 45,5cm
3
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13. Constanza fabrica velas de parafina con forma de cono, cada una de dos colores: azul y rojo, como se
representa en la figura adjunta.
Rojo
Azul
Constanza quiere fabricar una vela de 12cm de altura y de 3cm de radio basal, de tal manera que la
parte de color rojo tenga una altura de 10cm.
Recuerde que el volumen de un cono está dado por: V =
3
1
π · r
2
· h, donde h es su altura y r es el radio de
su base.
¿Qué cantidad aproximada de parafina de color azul necesita para fabricar la vela? (Nota: Para los
cálculos considere π aproximado a 3).
A) 182,0cm
3
B) 104,4cm
3
C) 98,0cm
3
D) 45,5cm
3

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14. Un profesor plantea la siguiente situación: dos postes verticales, A y B, están a una distancia de 4 m y 12 m,
respectivamente, de una estaca enterrada en el suelo. De esta sale un cable recto que la une con las cimas
de los postes, como se representa en la siguiente ﬁgura.
3 metros
8 metros
B A 4 metros
El profesor solicita a Marcela que determine la altura del poste B. Ella realiza el siguiente procedimiento:
Paso 1: considera que con los datos del ejercicio se puede plantear la igualdad
altura poste B
4
3
8
= .
Paso 2: multiplica por 8 en ambos lados de la igualdad, obteniendo altura poste B
4
3 8
$
=
Paso 3: realiza la operatoria, obteniendo que la altura del poste B es 6m.
¿En qué paso Marcela cometió un error?
A) En el Paso 1
B) En el Paso 2
C) En el Paso 3
D) En ninguno de ellos
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14. Un profesor plantea la siguiente situación: dos postes verticales, A y B, están a una distancia de 4 m y 12 m,
respectivamente, de una estaca enterrada en el suelo. De esta sale un cable recto que la une con las cimas
de los postes, como se representa en la siguiente ﬁgura.
3 metros
8 metros
B A 4 metros
El profesor solicita a Marcela que determine la altura del poste B. Ella realiza el siguiente procedimiento:
Paso 1: considera que con los datos del ejercicio se puede plantear la igualdad
altura poste B
4
3
8
= .
Paso 2: multiplica por 8 en ambos lados de la igualdad, obteniendo altura poste B
4
3 8
3 8
$
3 8
=
Paso 3: realiza la operatoria, obteniendo que la altura del poste B es 6m.
¿En qué paso Marcela cometió un error?
A) En el Paso 1
B) En el Paso 2
C) En el Paso 3
D) En ninguno de ellos

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15. La siguiente ﬁgura representa una cancha rectangular de 36 m de largo.
Q P
M
A
Largo
B
Una persona ubicada en la esquina A envía un balón en línea recta a ras de piso a otra persona situada en
el punto P a 32 m de distancia, mientras que las personas ubicadas en la esquina B y en el punto Q realizan
el mismo ejercicio con otro balón. En cierto instante los balones chocan en el punto M.
Las personas situadas en P y Q están en el mismo borde de la cancha y el balón enviado desde A recorre
24 m hasta el choque.
¿Qué distancia separa a las personas ubicadas en P y en Q?
A) 5,3 m
B) 9 m
C) 12 m
D) 27 m
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15. La siguiente ﬁgura representa una cancha rectangular de 36 m de largo.
Q P
M
A
Largo
B
Una persona ubicada en la esquina A envía un balón en línea recta a ras de piso a otra persona situada en
el punto P a 32 m de distancia, mientras que las personas ubicadas en la esquina B y en el punto Q realizan
el mismo ejercicio con otro balón. En cierto instante los balones chocan en el punto M.
Las personas situadas en P y Q están en el mismo borde de la cancha y el balón enviado desde A recorre
24 m hasta el choque.
¿Qué distancia separa a las personas ubicadas en P y en Q?
A) 5,3 m
B) 9 m
C) 12 m
D) 27 m

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Una homotecia consiste en una ampliación o reducción de figuras geométricas que mantienen sus
formas. Es decir, de una homotecia resultan figuras semejantes a la original. En la práctica, para realizar
una homotecia necesitamos una figura inicial, un punto del plano (O) que será el centro de homotecia y
un factor o razón de homotecia k, que puede tomar cualquier número real distinto de cero. Para explicar
mejor la homotecia, revisemos lo que ocurre con el cuadrilátero ABCD, con diferentes valores de k.
Si k > 1, entonces la figura resultante es
más grande que la original.
OA’ > OA $ A’B’ > AB
Si 0 < k < 1, la figura resultante es más
pequeña que la original.
OA’ < OA $ A’B’ < AB
D
O
C
B
A A`
B`
C`
D`
D’
O
C’
B’
A’ A
B
C
D
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Una homotecia consiste en una ampliación o reducción de figuras geométricas que mantienen sus
formas. Es decir, de una homotecia resultan figuras semejantes a la original. En la práctica, para realizar
una homotecia necesitamos una figura inicial, un punto del plano (O) que será el centro de homotecia y
un factor o razón de homotecia k, que puede tomar cualquier número real distinto de cero. Para explicar
mejor la homotecia, revisemos lo que ocurre con el cuadrilátero ABCD, con diferentes valores de k.
Si k > 1, entonces la figura resultante es
más grande que la original.
Si 0 < k < 1, la figura resultante es más
pequeña que la original.
D
O
C
B
A A`
B`
C`
D`
D’
O
C’
B’
A’ A
B
C
D

29 / 119
Si –1 < k < 0, la figura resultante está al
otro lado del centro de homotecia y es
más pequeña que la original.
Si k < –1, la figura resultante está al otro
lado del centro de homotecia y es más
grande que la original.
A’
O
B’
D’
C’
A
B
C
D
A’
O
B’
D’
C’
A
B
C
D
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Si –1 < k < 0, la figura resultante está al
otro lado del centro de homotecia y es
más pequeña que la original.
Si k < –1, la figura resultante está al otro
lado del centro de homotecia y es más
grande que la original.
A’
O
B’
B’
B’
B’
B’
B’
B’
B’
B’
B’
D’
C’
A
B
C
D
A’
O
B’
D’
C’
A
B
C
D

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De la figura adjunta podemos decir que:
A’B’ = AB ∙ k $ ' '
AB
A B = k
B’C’ = BC ∙ k $ ' '
BC
B C = k
C’D’ = CD ∙ k $ ' '
CD
C D = k
D’A’ = DA ∙ k $ ' '
DA
D A = k
D
O
C
B
a
a· k
b· k
c· k
d· k
b
c
d
A A`
B`
C`
D`
La homotecia cumple con las siguientes propiedades:
2 Siempre se cumple que todos los puntos de la figura resultante (imágenes homotéticas) están alineados
con respecto al centro de homotecia (O), con su punto correspondiente de la figura original (pre–
imagen).
2 Una homotecia con razón –1 equivale a una reflexión central respecto al centro de homotecia y a la vez,
a una rotación de 180º de la figura original, con respecto al centro de homotecia.
2 Si aplicamos una homotecia a un segmento, siempre obtendremos otro segmento que será paralelo al
original.
2 Si se realiza una homotecia en el plano cartesiano con centro en el origen a un punto A(x , y) con razón
de homotecia k, las nuevas coordenadas están dadas por A’(kx , ky).
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De la figura adjunta podemos decir que:
A’B’ = AB ∙ k $ ' '
AB
A B
' '
A B
' ' = k
B’C’ = BC ∙ k $ ' '
BC
B C
' '
B C
' ' = k
C’D’ = CD ∙ k $ ' '
CD
C D
' '
C D
' ' = k
D’A’ = DA ∙ k $ ' '
DA
D A
' '
D A
' ' = k
D
O
C
C
B
a
a· k
b· k
c· k
d· k
b
c
c
d
d
A A`
B`
C`
D`
La homotecia cumple con las siguientes propiedades:
2 Siempre se cumple que todos los puntos de la figura resultante (imágenes homotéticas) están alineados
con respecto al centro de homotecia (O), con su punto correspondiente de la figura original (pre–
imagen).
2 Una homotecia con razón –1 equivale a una reflexión central respecto al centro de homotecia y a la vez,
a una rotación de 180º de la figura original, con respecto al centro de homotecia.
2 Si aplicamos una homotecia a un segmento, siempre obtendremos otro segmento que será paralelo al
original.
2 Si se realiza una homotecia en el plano cartesiano con centro en el origen a un punto A(x , y) con razón
de homotecia k, las nuevas coordenadas están dadas por A’(kx , ky).

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16. ¿Cuál de las siguientes ﬁguras adjuntas es la que mejor representa al rectángulo PQRS y al rectángulo P’Q’R’S’
obtenido por una homotecia de centro P y razón
3
1
– , aplicada al rectángulo PQRS, donde el punto P’ es el
correspondiente de P, Q’ es el de Q, R’ es el de R y S’ es el de S?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2019)
P = P’ Q
R
S
S’ R’
Q’
A)
P = P’
Q
R
S
R’
Q’
S’
B)
C)
P = P’
Q
R
S
Q’
R’
S’
R = R’
Q
P
S S’
P’ Q’
D)
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16. ¿Cuál de las siguientes ﬁguras adjuntas es la que mejor representa al rectángulo PQRS y al rectángulo P’Q’R’S’
obtenido por una homotecia de centro P y razón
3
1
– , aplicada al rectángulo PQRS, donde el punto P’ es el
correspondiente de P, Q’ es el de Q, R’ es el de R y S’ es el de S?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2019)
P = P’ Q
R
S
S’ R’
Q’
A)
P = P’
Q
R
S
R’
Q’
S’
B)
C)
P = P’
Q
R
S
Q’
R’
S’
R = R’
Q
P
S S’
P’ Q’
D)

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17. Al triángulo PQR de la figura adjunta, se le aplica una homotecia con centro en el origen del plano cartesiano.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Si la razón de homotecia es 2, entonces el perímetro del triángulo
homotético es la mitad del perímetro del ∆PQR.
B) Si la razón de homotecia es mayor que 0 y menor que 1, entonces
el perímetro del triángulo homotético es mayor que el perímetro del
∆PQR.
C) Si la razón de homotecia es menor que –1, entonces el triángulo
homotético tiene menor área que el ∆PQR.
D) Si la razón de homotecia es –1, entonces el triángulo homotético es
el mismo ∆PQR.
E) Si la razón de homotecia es
2
3
, entonces el área del triángulo
homotético es más del doble del área del ∆PQR.
x
2 3 6
3
6
P Q
R
y
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17. Al triángulo PQR de la figura adjunta, se le aplica una homotecia con centro en el origen del plano cartesiano.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Si la razón de homotecia es 2, entonces el perímetro del triángulo
homotético es la mitad del perímetro del ∆PQR.
B) Si la razón de homotecia es mayor que 0 y menor que 1, entonces
el perímetro del triángulo homotético es mayor que el perímetro del
∆PQR.
C) Si la razón de homotecia es menor que –1, entonces el triángulo
homotético tiene menor área que el ∆PQR.
D) Si la razón de homotecia es –1, entonces el triángulo homotético es
el mismo ∆PQR.
E) Si la razón de homotecia es
2
3
, entonces el área del triángulo
homotético es más del doble del área del ∆PQR.
x
2 3 6
3
6
P Q
R
y

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18. Al triángulo ABC de la ﬁgura adjunta se le aplica una homotecia con centro en el punto M(–1,1) y razón de
homotecia –3, obteniéndose el triángulo PQR. Si la imagen del punto A es P y la imagen del punto B es Q,
¿cuáles son las coordenadas del punto R?
A) (9,–3)
B) (–6,–2)
C) (5,1)
D) (3,1)
E) (9,1)
y
x
–1
1
–3
3
–4
4
C
B
A
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18. Al triángulo ABC de la ﬁgura adjunta se le aplica una homotecia con centro en el punto M(–1,1) y razón de
homotecia –3, obteniéndose el triángulo PQR. Si la imagen del punto A es P y la imagen del punto B es Q,
¿cuáles son las coordenadas del punto R?
A) (9,–3)
B) (–6,–2)
C) (5,1)
D) (3,1)
E) (9,1)
y
x
–1
1
–3
3
–4
4
C
B
A

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19. Considere un cuadrado en el plano cartesiano cuyo perímetro es 20 unidades. Si a este cuadrado se le aplica
una homotecia de razón 2, ¿cuál es el área, en unidades cuadradas, del nuevo cuadrado?
A) 10
B) 25
C) 40
D) 50
E) 100
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19. Considere un cuadrado en el plano cartesiano cuyo perímetro es 20 unidades. Si a este cuadrado se le aplica
una homotecia de razón 2, ¿cuál es el área, en unidades cuadradas, del nuevo cuadrado?
A) 10
B) 25
C) 40
D) 50
E) 100

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20. A la circunferencia de centro O y radio R se le aplica una homotecia con centro O, obteniéndose una
circunferencia de centro O y radio r, con R > r, tal como se muestra en la figura adjunta. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es siempre verdadera?
A) La razón de homotecia es igual a 1.
B) La razón de homotecia es positiva.
C) La razón de homotecia es menor que 1.
D) Si se conoce la razón de homotecia, entonces se conoce la
medida de sus radios.
R
r
O
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20. A la circunferencia de centro O y radio R se le aplica una homotecia con centro O, obteniéndose una
circunferencia de centro O y radio r, con R > r, tal como se muestra en la figura adjunta. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es siempre verdadera?
A) La razón de homotecia es igual a 1.
B) La razón de homotecia es positiva.
C) La razón de homotecia es menor que 1.
D) Si se conoce la razón de homotecia, entonces se conoce la
medida de sus radios.
R
r
O

EJERCICIOS M1

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1. En la ﬁgura adjunta, los triángulos que se generan son semejantes. ¿Cuál es la altura del árbol?:
A) 6m
B) 8m
C) 12m
D) 18m
12 m
2 m
4 m
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1. En la ﬁgura adjunta, los triángulos que se generan son semejantes. ¿Cuál es la altura del árbol?:
A) 6m
B) 8m
C) 12m
D) 18m
12 m
2 m
4 m

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2. ¿Cuál de los siguientes pares de ﬁguras NO son siempre semejantes?
A) 2 circunferencias
B) 2 triángulos equiláteros
C) 2 rombos
D) 2 hexágonos regulares
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2. ¿Cuál de los siguientes pares de ﬁguras NO son siempre semejantes?
A) 2 circunferencias
B) 2 triángulos equiláteros
C) 2 rombos
D) 2 hexágonos regulares

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3. Los lados de un triángulo miden 30cm, 50cm y 60cm. ¿Cuánto mide el lado más largo de un triángulo
semejante con él y cuyo lado menor mide 20cm?
A) 30cm
B) 40cm
C) 50cm
D) 60cm
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3. Los lados de un triángulo miden 30cm, 50cm y 60cm. ¿Cuánto mide el lado más largo de un triángulo
semejante con él y cuyo lado menor mide 20cm?
A) 30cm
B) 40cm
C) 50cm
D) 60cm

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4. El triángulo ABC de la figura adjunta, es escaleno y rectángulo en C. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
A) ∢ACD ≅ ∢ABC
B) ∆ BCD ∼ ∆ BAC
C) ∆ ADC ∼ ∆ ACB
D) Todas las anteriores.
B
C
D
A
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4. El triángulo ABC de la figura adjunta, es escaleno y rectángulo en C. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
A) ∢ACD ≅ ∢ABC
B) ∆ BCD ∼ ∆ BAC
C) ∆ ADC ∼ ∆ ACB
B
C
D
A

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5. En la ﬁgura adjunta,
DF
AC
EF
BC
= . Entonces, el valor de BC es:
A) 8
B) 10
C) 14
D) 28
8 4
3x – 7 x
A B
C
D E
F
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5. En la ﬁgura adjunta,
DF
AC
EF
BC
= . Entonces, el valor de BC es:
A) 8
B) 10
C) 14
D) 28
8 4
3x – 7 x
A B
C
D E
F

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6. En el ∆ PQR de la ﬁgura adjunta, ST ⊥ PQ, QS ⊥ PRy RQ ⊥ PQ, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es
verdadera?
A) ∆ PQR ∼ ∆ QSR
B) ∆ PTS ∼ ∆ STQ
C) ∆ QRS ∼ ∆ PST
S
T
R
Q
P
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6. En el ∆ PQR de la ﬁgura adjunta, ST ⊥ PQ, QS ⊥ PRy RQ ⊥ PQ, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es
verdadera?
A) ∆ PQR ∼ ∆ QSR
B) ∆ PTS ∼ ∆ STQ
C) ∆ QRS ∼ ∆ PST
S
T
R
Q
P

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7. De acuerdo a la ﬁgura adjunta, ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
A) PQ = 8
B) ∢OPQ = 90º
C) ∆ SOR ∼ ∆ QOP
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7. De acuerdo a la ﬁgura adjunta, ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
A) PQ = 8
B) ∢OPQ = 90º
C) ∆ SOR ∼ ∆ QOP

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8. Si dos polígonos son semejantes, ¿cuál de las siguientes proposiciones es siempre verdadera?
A) Los polígonos tienen ángulos correspondientes de igual medida
B) Sus lados correspondientes son proporcionales
C) Los polígonos tienen la misma forma
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8. Si dos polígonos son semejantes, ¿cuál de las siguientes proposiciones es siempre verdadera?
A) Los polígonos tienen ángulos correspondientes de igual medida
B) Sus lados correspondientes son proporcionales
C) Los polígonos tienen la misma forma

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9. En la ﬁgura adjunta, ∆ ABC ∼ ∆ DEF , AB : DE = 1 : 3 y h = 3 , entonces h’ mide:
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
A B
C
D E
F
h h’
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9. En la ﬁgura adjunta, ∆ ABC ∼ ∆ DEF , AB : DE = 1 : 3 y h = 3 , entonces h’ mide:
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
A B
C
D E
F
h h’

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10. En la figura adjunta, H es el ortocentro del triángulo ABC y AD mide 4 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo
AHC de la figura?
A) 26
B) 28
C) 30
D) 32
A B
C
D
E
x + 2
x – 1
13
4
8
H
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10. En la figura adjunta, H es el ortocentro del triángulo ABC y AD mide 4 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo
AHC de la figura?
A) 26
B) 28
C) 30
D) 32
A B
C
D
E
x + 2
x – 1
13
4
8
H

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11. Si ∆ ABC ∼ ∆ DEF, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente al segmento AB?
A)
F
BC DE
D
$
B)
BC
EF AC
$
C)
DF
AC DE
$
D)
D
AC D
E
F
$
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11. Si ∆ ABC ∼ ∆ DEF, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente al segmento AB?
A)
F
BC DE
D
$
B)
BC
EF AC
$
C)
DF
AC DE
$
D)
D
AC D
E
F
$

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12. Si ∆ABC ∼ ∆JOT, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
A) BC ∙ OT = AC ∙ JT
B) AB ∙ JO = AC ∙ JT
C) AB ∙ JT = BC ∙ OT
D) AC ∙ OT = BC ∙ JT
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12. Si ∆ABC ∼ ∆JOT, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
A) BC ∙ OT = AC ∙ JT
B) AB ∙ JO = AC ∙ JT
C) AB ∙ JT = BC ∙ OT
D) AC ∙ OT = BC ∙ JT

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13. ¿En cuál de los casos siguientes podemos aﬁrmar que dos triángulos son semejantes?
A) Tienen un ángulo respectivamente congruente.
B) Tienen un ángulo respectivamente congruente comprendido entre lados proporcionales.
C) Tienen dos de sus lados respectivamente proporcionales.
D) Tienen un ángulo respectivamente congruente y un lado proporcional.
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13. ¿En cuál de los casos siguientes podemos aﬁrmar que dos triángulos son semejantes?
A) Tienen un ángulo respectivamente congruente.
B) Tienen un ángulo respectivamente congruente comprendido entre lados proporcionales.
C) Tienen dos de sus lados respectivamente proporcionales.
D) Tienen un ángulo respectivamente congruente y un lado proporcional.

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14. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es siempre verdadera?
A) Dos triángulos isósceles son semejantes cuando tienen igual el ángulo del vértice
B) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcionales
C) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen las hipotenusas iguales
D) Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus lados respectivamente paralelos
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14. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es siempre verdadera?
A) Dos triángulos isósceles son semejantes cuando tienen igual el ángulo del vértice
B) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcionales
C) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen las hipotenusas iguales
D) Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus lados respectivamente paralelos

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15. En el ∆ABC de la figura adjunta, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) ∆AHD ∼ ∆CEH
B) ∆ADC ∼ ∆BDC
C) ∆AEB ∼ ∆CDB
D) ∆AEC ∼ ∆AEB
A B
C
D
E
H
50º
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15. En el ∆ABC de la figura adjunta, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) ∆AHD ∼ ∆CEH
B) ∆ADC ∼ ∆BDC
C) ∆AEB ∼ ∆CDB
D) ∆AEC ∼ ∆AEB
A B
C
D
E
H
50º

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16. En la ﬁgura adjunta, AC ⊥ BD y ED ⊥ AB, ¿cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
A) FD ∙ FE = FA ∙ FC
B) AC ∙ ED = AB ∙ BD
C) FD ∙ FA = FC ∙ FE
D) AE ∙ DC = FC ∙ FE
A B
C
D
E
F
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16. En la ﬁgura adjunta, AC ⊥ BD y ED ⊥ AB, ¿cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
A) FD ∙ FE = FA ∙ FC
B) AC ∙ ED = AB ∙ BD
C) FD ∙ FA = FC ∙ FE
D) AE ∙ DC = FC ∙ FE
A B
C
D
E
F

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17. Los rectángulos ABCD, EFCG y EHIJ de la ﬁgura adjunta son semejantes en la razón 2 : 1 : 3. ¿Cuál es el
perímetro de la región sin achurar del rectángulo HIJE?
A) 38 cm
B) 40 cm
C) 42 cm
D) 44 cm
E H
I
J
A B
C
D
F
G
12 cm
6 cm
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17. Los rectángulos ABCD, EFCG y EHIJ de la ﬁgura adjunta son semejantes en la razón 2 : 1 : 3. ¿Cuál es el
perímetro de la región sin achurar del rectángulo HIJE?
A) 38 cm
B) 40 cm
C) 42 cm
D) 44 cm
E H
I
J
A B
C
D
F
G
12 cm
6 cm

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18. En el ΔABC de la ﬁgura adjunta, se ha trazado CE tal que ∢ECB = ∢BAC. Si AB = 5cm y BC = 4cm, entonces
AE mide:
A) 1,25cm
B) 1,8cm
C) 2,5cm
D) 3,2cm
A B
C
E
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18. En el ΔABC de la ﬁgura adjunta, se ha trazado CE tal que ∢ECB = ∢BAC. Si AB = 5cm y BC = 4cm, entonces
AE mide:
A) 1,25cm
B) 1,8cm
C) 2,5cm
D) 3,2cm
A B
C
E

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19. En la ﬁgura adjunta, los triángulos ABC y DBC son isósceles. Si AC = BC = 4 2 y DC = DB = 8, entonces AB mide:
A) 2 3
B) 4 2
C) 4
D) 5
D B
C
A
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19. En la ﬁgura adjunta, los triángulos ABC y DBC son isósceles. Si AC = BC = 4 2 y DC = DB = 8, entonces AB mide:
A) 2 3
B) 4 2
C) 4
D) 5
D B
C
A

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20. En relación a la ﬁgura adjunta se sabe que AB // DE y que el área del triángulo DEC es 8 cm
2
, ¿cuál es el área
del trapecio ABED?
A) 4,5 cm
2
B) 8,5 cm
2
C) 10,5 cm
2
D) 12,5 cm
2
D
A
C
E
B
1 cm
4 cm
8 cm
2
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20. En relación a la ﬁgura adjunta se sabe que AB // DE y que el área del triángulo DEC es 8 cm
2
, ¿cuál es el área
del trapecio ABED?
A) 4,5 cm
2
B) 8,5 cm
2
C) 10,5 cm
2
D) 12,5 cm
2
D
A
A
C
E
B
1 cm
4 cm
8 cm
2

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21. La razón entre la altura del triángulo ABC y la altura correspondiente del triángulo MNP es 7:10. Si los dos
triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón entre las áreas de estos triángulos?
A) 7:10
B) 10:7
C) 49:100
D) 343:1.000
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21. La razón entre la altura del triángulo ABC y la altura correspondiente del triángulo MNP es 7:10. Si los dos
triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón entre las áreas de estos triángulos?
A) 7:10
B) 10:7
C) 49:100
D) 343:1.000

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22. En la ﬁgura adjunta, R1
//R2
. Si EC = 36cm y CB = 81cm, entonces
rea ABC
rea CDE
Á
Á
T
T
=
A)
9
4
B)
3
2
C)
81
16
D)
4
9
R1
R2
C
D
E
B
A
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//R2
. Si EC = 36cm y CB = 81cm, entonces
rea ABC
rea CDE
Á
Á
a A
T
a A
a C
T
a C
=
A)
9
4
B)
3
2
C)
81
16
D)
4
9
R1
R2
C
D
E
B
A

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23. En la figura adjunta, se tiene que ΔABC ∼ ΔDEF. Si AB = 2cm y DE = 6cm, ¿cuál de las afirmaciones es
verdadera?
A) Si CM = 4cm, entonces FN = 16cm.
B) Si perímetro ΔABC = 7cm , entonces perímetro ΔDEF
= 21cm.
C) Si área ΔABC = 6cm
2
, entonces
área ∆ DEF = 36cm
2
.
D) Si BC = 2cm, entonces EF = 4cm.
E
N
F
D
B
M
C
A
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23. En la figura adjunta, se tiene que ΔABC ∼ ΔDEF. Si AB = 2cm y DE = 6cm, ¿cuál de las afirmaciones es
verdadera?
A) Si CM = 4cm, entonces FN = 16cm.
B) Si perímetro ΔABC = 7cm , entonces perímetro ΔDEF
= 21cm.
C) Si área ΔABC = 6cm
2
, entonces
área ∆ DEF = 36cm
2
.
D) Si BC = 2cm, entonces EF = 4cm.
E
N
F
D
B
M
C
A

60 / 119
24. Si ∆ ABC ∼ ∆ DEF, entonces el perímetro y área del triángulo DEF son, respectivamente:
A) 18cm y 13,5cm
2
B) 12cm y 6cm
2
C) 8cm y 4cm
2
D) 8cm y 2 3
2
cm
2
4,5 cm
3 cm
4 cm
B C
A
E F
D
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24. Si ∆ ABC ∼ ∆ DEF, entonces el perímetro y área del triángulo DEF son, respectivamente:
A) 18cm y 13,5cm
2
B) 12cm y 6cm
2
C) 8cm y 4cm
2
D) 8cm y 2 3
2
cm
2
4,5 cm
3 cm
4 cm
B C
A
E F
D

61 / 119
25. Los triángulos ABC y DEF de la figura adjunta, son semejantes. S y S’ representan las áreas del primer y segundo
triángulo, respectivamente. Si S : S’ = 1 : 4 y hC
, hF
, tC
, tF
son alturas y transversales de gravedad, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es verdadera?
A) a : d = 1 : 4
B) hC
: hF
= 1 : 4
C) hC
: hF
= tC
: tF
D) tC
: tF
= d : a
tc
tF
a
hF
hc
A B
C
D
F
d
E
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25. Los triángulos ABC y DEF de la figura adjunta, son semejantes. S y S’ representan las áreas del primer y segundo
triángulo, respectivamente. Si S : S’ = 1 : 4 y hC
, hF
, tC
, tF
son alturas y transversales de gravedad, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es verdadera?
A) a : d = 1 : 4
B) hC
: hF
= 1 : 4
C) hC
: hF
= tC
: tF
D) tC
: tF
= d : a
tF
a
hF
hc
A B
C
D
F
d
E
tc

62 / 119
26. En el rectángulo ABCD de la ﬁgura adjunta, se tiene que GF // AD y EH // CD. Si AE : EF : FC = 3 : 2 : 5, entonces
¿cuál es el perímetro del polígono ABHE?
A) 34,8
B) 35,2
C) 35,4
D) 36,8
E
A B
C
D
F
G
12
16
H
62 / 119
26. En el rectángulo ABCD de la ﬁgura adjunta, se tiene que GF // AD y EH // CD. Si AE : EF : FC = 3 : 2 : 5, entonces
¿cuál es el perímetro del polígono ABHE?
A) 34,8
B) 35,2
C) 35,4
D) 36,8
E
A B
C
D
F
G
12
16
H

63 / 119
27. En la ﬁgura adjunta, ∢BAC ≅ ∢ EDC, CE : EB = 3 : 1, CE = 21 y AB = 4. ¿Cuál es la medida del segmento DE?
A) 1,3
B) 3
C) 12
D) 28
A
D
C
E
B
63 / 119
27. En la ﬁgura adjunta, ∢BAC ≅ ∢ EDC, CE : EB = 3 : 1, CE = 21 y AB = 4. ¿Cuál es la medida del segmento DE?
A) 1,3
B) 3
C) 12
D) 28
A
A
D
D
C
E
B

64 / 119
28. Las rectas R1
y R2
de la ﬁgura adjunta, son paralelas y los trazos BD y AE se cortan en C. Si AC = 6cm, AB = 10cm
y CE = 9cm, entonces ED mide:
A) 13 cm
B) 14 cm
C) 15 cm
D) 18 cm
A
C
D E
B
R1
R2
64 / 119
28. Las rectas R1
y R2
de la ﬁgura adjunta, son paralelas y los trazos BD y AE se cortan en C. Si AC = 6cm, AB = 10cm
y CE = 9cm, entonces ED mide:
A) 13 cm
B) 14 cm
C) 15 cm
D) 18 cm
A
C
D E
B
R1
R2

65 / 119
// R2
, AB = 4cm, OC = 6cm y OB = 2cm. ¿Cuánto mide CD?
A) 12cm
B) 4cm
C) 3cm
D)
3
4
cm
A B
C D
O
R1
R2
65 / 119
// R
// R
// 2
, AB = 4cm, OC = 6cm y OB = 2cm. ¿Cuánto mide CD?
A) 12cm
B) 4cm
C) 3cm
D)
3
4
cm
A B
C D
O
R1
R2

66 / 119
30. En la ﬁgura adjunta, FG // DE // CB, FG = 8cm, AC = 50cm y AF:FD:DC = 3:2:5. La medida de BC es:
A)
3
56
cm
B)
3
80
cm
C) 40cm
D) 80cm
A
B
C
D
E
F
G
66 / 119
30. En la ﬁgura adjunta, FG // DE // CB, FG = 8cm, AC = 50cm y AF:FD:DC = 3:2:5. La medida de BC es:
A)
3
56
cm
B)
3
80
cm
C) 40cm
D) 80cm
A
B
C
D
E
F
G

67 / 119
31. En la ﬁgura adjunta, ED //CB, DB = x + 6 y AB = 3x + 6, entonces la medida de AD es:
A) 1 metro
B) 2 metros
C) 4 metros
D) 8 metros
E
D
C
B
A
4 m 12 m
67 / 119
31. En la ﬁgura adjunta, ED //CB, DB = x + 6 y AB = 3x + 6, entonces la medida de AD es:
A) 1 metro
B) 2 metros
C) 4 metros
D) 8 metros
E
D
C
B
A
4 m 12 m

68 / 119
32. En la ﬁgura adjunta, triángulo PQR isósceles en R, RP //TM, RQ // TN, PM = 2 , PM : MS = 1 : 2, TS = 3, entonces
el valor de RP es:
A) 7,5
B) 2,5
C)
4
3 10
D)
2
10 Q
R
P M N
S
T
68 / 119
32. En la ﬁgura adjunta, triángulo PQR isósceles en R, RP //TM, RQ // TN, PM = 2 , PM : MS = 1 : 2, TS = 3, entonces
el valor de RP es:
A) 7,5
B) 2,5
C)
4
3 10
3 1
3 1
3 1
D)
2
10 Q
R
P M N
S
T

69 / 119
33. En la ﬁgura adjunta, si AB // DE y el perímetro del triángulo escaleno ABC es 12 cm, ¿cuál es el perímetro del
triángulo DEC?
A) 21
B) 24
C) 26
D) 30
3
z
C
B
A
E
D
x + 3
2(x + y) 8
6y – x
69 / 119
33. En la ﬁgura adjunta, si AB // DE y el perímetro del triángulo escaleno ABC es 12 cm, ¿cuál es el perímetro del
triángulo DEC?
A) 21
B) 24
C) 26
D) 30
3
z
C
B
A
E
D
x + 3
2(x + y) 8
6y – x

70 / 119
34. Si en la ﬁgura adjunta, R1
// R2
// R3
, ¿cuál es el valor de 2w?
A) 6
B) 7
C) 9
D) 18
R1
R2
R3
w
6 x + 3
3 12
x – 3
70 / 119
34. Si en la ﬁgura adjunta, R1
// R
// R
// 2
// R
// R
// 3
, ¿cuál es el valor de 2w?
A) 6
B) 7
C) 9
D) 18
R1
R2
R3
w
6 x + 3
3 12
x – 3

71 / 119
35. En la ﬁgura adjunta, AB // CD, ¿cuál es el valor de AE?
A) 22,5
B) 11
C) 10
D) 6,4
12
8
A C
E
D
B
15
71 / 119
35. En la ﬁgura adjunta, AB // CD, ¿cuál es el valor de AE?
A) 22,5
B) 11
C) 10
D) 6,4
12
8
A C
E
D
B
15

72 / 119
36. En la ﬁgura adjunta, AB // DE. Si AC = 5a y DC = 2a, entonces el valor de BC es:
A) 15
B) 9
C) 6
D) 3
C
x
D
A B
E
x + 3
72 / 119
36. En la ﬁgura adjunta, AB // DE. Si AC = 5a y DC = 2a, entonces el valor de BC es:
A) 15
B) 9
C) 6
D) 3
C
x
D
A B
E
x + 3

73 / 119
37. En la ﬁgura adjunta, AB // CD // EF. Suponiendo que todos los trazos indicados a continuación se miden con la
misma unidad de medida μ, y si AC = 6μ, CE = 4μ y DF = 6μ, entonces BF =
A) 4μ
B) 9μ
C) 12μ
D) 15μ
A
C
E F
D
B
73 / 119
37. En la ﬁgura adjunta, AB // CD // EF. Suponiendo que todos los trazos indicados a continuación se miden con la
misma unidad de medida μ, y si AC = 6μ, CE = 4μ y DF = 6μ, entonces BF =
A) 4μ
B) 9μ
C) 12μ
D) 15μ
A
C
E F
D
B

74 / 119
38. En la ﬁgura adjunta se cumple que CD //AB, OA = 12cm, OD = 18cm y CB = 35cm. Entonces, OC mide:
A) 14cm
B) 15cm
C) 16cm
D) 21cm A B
C D
O
74 / 119
38. En la ﬁgura adjunta se cumple que CD //AB, OA = 12cm, OD = 18cm y CB = 35cm. Entonces, OC mide:
A) 14cm
B) 15cm
C) 16cm
D) 21cm A B
C D
O

75 / 119
// R2
// R3
. El valor de AB es:
A) 2
B) 2,6
C) 9,3
D) 24
R1
R2
R3
A
B
C F
E
D
5
8 15
75 / 119
// R
// R
// 2
// R
// R
// 3
. El valor de AB es:
A) 2
B) 2,6
C) 9,3
D) 24
R1
R2
R3
A
B
C F
E
D
5
8 15

76 / 119
40. En la ﬁgura adjunta, AE = 2 ∙ ED y BE = 3cm. ¿Cuánto debe medir BC para que AB //CD?
A) 1,5cm
B) 4,5cm
C) 6cm
D) 9cm
E
C
D
B
A
76 / 119
40. En la ﬁgura adjunta, AE = 2 ∙
∙ ED y BE = 3cm. ¿Cuánto debe medir BC para que AB //CD?
A) 1,5cm
B) 4,5cm
C) 6cm
D) 9cm
E
C
D
B
A

77 / 119
41. En la ﬁgura adjunta, AB = BC = CD = DE = EF = 2cm y EG = 3cm. ¿Cuánto mide AH?
A) 6,6 cm
B) 9 cm
C) 12 cm
D) 15 cm
A B C D E F
G
H
77 / 119
41. En la ﬁgura adjunta, AB = BC = CD = DE = EF = 2cm y EG = 3cm. ¿Cuánto mide AH?
A) 6,6 cm
B) 9 cm
C) 12 cm
D) 15 cm
A B C D E F
G
H

78 / 119
42. En la ﬁgura adjunta, AC //DE, BE = 35, EC = 15 y AB = 50, entonces la medida de AD es:
A) 15
B) 18,75
C) 31,25
D) 35
D
A
E
C
B
78 / 119
42. En la ﬁgura adjunta, AC //DE, BE = 35, EC = 15 y AB = 50, entonces la medida de AD es:
A) 15
B) 18,75
C) 31,25
D) 35
D
A
E
C
B

79 / 119
43. En la ﬁgura adjunta, CE = 2cm, DE = 6cm y AB = 12cm, entonces la medida de AC es:
A) 3cm
B) 4cm
C) 5cm
D) 6cm
A B
C
D E
55º
60º
65º
79 / 119
43. En la ﬁgura adjunta, CE = 2cm, DE = 6cm y AB = 12cm, entonces la medida de AC es:
A) 3cm
B) 4cm
C) 5cm
D) 6cm
A B
C
D E
55º
60º
65º

80 / 119
44. En el ΔABC de la ﬁgura adjunta, PQ es tal que el ∢QPC es congruente con el ∢CBA. Si AB = 15cm, AC = 18cm
y PQ = 5cm, entonces CQ mide:
A) 6cm
B) 5cm
C) 4cm
D) 3cm
Q
A B
C
P
80 / 119
44. En el ΔABC de la ﬁgura adjunta, PQ es tal que el ∢QPC es congruente con el ∢CBA. Si AB = 15cm, AC = 18cm
y PQ = 5cm, entonces CQ mide:
A) 6cm
B) 5cm
C) 4cm
D) 3cm
Q
A B
C
P

81 / 119
45. En la ﬁgura adjunta, AB //DC, el valor de AE es:
A) 18
B) 40
C) 50
D) 60
A
10
D
E
6
30
C
B
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45. En la ﬁgura adjunta, AB //DC, el valor de AE es:
A) 18
B) 40
C) 50
D) 60
A
10
10
D
E
6
30
C
B

82 / 119
46. En la ﬁgura adjunta, AB // CD, ¿cuál es el valor de AB?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 32 A
B
E
C
D 6
16
10
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46. En la ﬁgura adjunta, AB //
//
// CD, ¿cuál es el valor de AB?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 32 A
B
E
C
D 6
16
10

83 / 119
47. En la ﬁgura adjunta, las rectas R4
y R5
intersectan a las rectas paralelas R1
, R2
y R3
. ¿Cuál es el valor de x?
A) 1
B) 3,5
C) 5
D) 8
3x x + 13
7
R1
R2
R3
8
R4
R5
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47. En la ﬁgura adjunta, las rectas R4
y R5
intersectan a las rectas paralelas R1
, R2
y R3
. ¿Cuál es el valor de x?
A) 1
B) 3,5
C) 5
D) 8
3x x + 13
7
R1
R2
R3
8
R4
R5

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48. En el ∆ABC de la ﬁgura adjunta, DF //BC. Si AF = 4 ∙ FB y AD = 20cm, entonces el valor de DC mide:
A) 5cm
B) 8cm
C) 10cm
D) 15cm
A B
D
C
F
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48. En el ∆ABC de la ﬁgura adjunta, DF //BC. Si AF = 4 ∙
∙ FB y AD = 20cm, entonces el valor de DC mide:
A) 5cm
B) 8cm
C) 10cm
D) 15cm
A B
D
C
F

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49. En la ﬁgura adjunta, AB //CD , ¿cuál es el valor de AE?
A) 45
B) 35
C) 25
D) 20
30
10 15
E
C
D
B
A
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49. En la ﬁgura adjunta, AB //CD , ¿cuál es el valor de AE?
A) 45
B) 35
C) 25
D) 20
30
10 15
E
C
D
B
A

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50. En la ﬁgura adjunta, AC = m y BC = p , entonces p es igual a:
A) n
mq
B) m
nq
C) m n
mq
–
D)
m n q
m
–
^ h A B
C
D E
q
n
70º
70º
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50. En la ﬁgura adjunta, AC = m y BC = p , entonces p es igual a:
A) n
mq
B) m
nq
C) m n
mq
m n
–
m n
D)
m n q
m
m n
–
m n
^ h A B
C
D E
q
n
70º
70º

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51. Un proyector arroja una imagen de tal manera que si se ubica a 12 metros de un muro, ésta tiene una altura de
3 metros, como se muestra en la ﬁgura adjunta. Si el proyector se acerca al muro, quedando a una distancia
de 8 metros de este, ¿qué altura tendrá la imagen proyectada?
A) 1,5 m
B) 1,8 m
C) 2 m
D) 2,5 m
12 m
3 m
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51. Un proyector arroja una imagen de tal manera que si se ubica a 12 metros de un muro, ésta tiene una altura de
3 metros, como se muestra en la ﬁgura adjunta. Si el proyector se acerca al muro, quedando a una distancia
de 8 metros de este, ¿qué altura tendrá la imagen proyectada?
A) 1,5 m
B) 1,8 m
C) 2 m
D) 2,5 m
12 m
3 m

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52. Si se unen los puntos medios de los tres lados de un triángulo, se forma otro triángulo que es semejante al
original. La razón entre el área del nuevo triángulo y al área del triángulo original es a : b. ¿Cuál es el valor de
la expresión 2a + 3b, si a y b son primos relativos?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
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52. Si se unen los puntos medios de los tres lados de un triángulo, se forma otro triángulo que es semejante al
original. La razón entre el área del nuevo triángulo y al área del triángulo original es a : b. ¿Cuál es el valor de
la expresión 2a + 3b, si a y b son primos relativos?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14

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53. Una estrella vuela a 30.000km de altura. En el momento preciso en que vuela sobre el punto P ubicado en
tierra, se le lanza un cohete desde este punto, impactando a la estrella en el punto Q, como se muestra en la
figura adjunta. Si BC = 15.000km, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) La estrella recorrió de A a B, lo mismo que de B a Q.
B) El cohete viajó de P a Q el doble de lo que viajó la estrella
de A a Q.
C) El impacto se produjo porque el cohete viajó con la
misma rapidez que la estrella.
D) El impacto se produjo a 30.000km del punto A.
A B
C
P
Q
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53. Una estrella vuela a 30.000km de altura. En el momento preciso en que vuela sobre el punto P ubicado en
tierra, se le lanza un cohete desde este punto, impactando a la estrella en el punto Q, como se muestra en la
figura adjunta. Si BC = 15.000km, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) La estrella recorrió de A a B, lo mismo que de B a Q.
B) El cohete viajó de P a Q el doble de lo que viajó la estrella
de A a Q.
C) El impacto se produjo porque el cohete viajó con la
misma rapidez que la estrella.
D) El impacto se produjo a 30.000km del punto A.
A B
C
P
Q

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54. En la figura adjunta, AD // BE // CF. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A)
DE
AB
EF
BC
=
B) Si
BC
AB
= 2 y DE = 4, entonces DF =8
C) Si AC // DF, entonces ABED es un rectángulo
D) AB · AC = DE · DF
F
C
D
B
A
E
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54. En la figura adjunta, AD // BE // CF. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A)
DE
AB
EF
BC
=
B) Si
BC
AB
= 2 y DE = 4, entonces DF =8
C) Si AC // DF, entonces ABED es un rectángulo
D) AB · AC = DE · DF
F
C
D
B
A
E

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55. En la ﬁgura adjunta, AB = 4 cm y CD · BE = 60 cm
2
. ¿Cuánto debe medir CE para que AB // CD?
A) 12 cm
B) 12,5 cm
C) 15 cm
D) 17,5 cm
A B
E
D
C
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55. En la ﬁgura adjunta, AB = 4 cm y CD · BE = 60 cm
2
. ¿Cuánto debe medir CE para que AB // CD?
A) 12 cm
B) 12,5 cm
C) 15 cm
D) 17,5 cm
A B
E
D
C

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56. En la ﬁgura adjunta, DC // AB; OA = 2 cm y OB = 2OA. La medida de BD es:
A)
AC
2
cm
B) AC cm
C)
AC
3
2
cm
D) AC
2 cm
C
D
B
A
O
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56. En la ﬁgura adjunta, DC // AB; OA = 2 cm y OB = 2OA. La medida de BD es:
A)
AC
2
cm
B) AC cm
C)
AC
3
2
cm
D) AC
2 cm
C
D
B
A
O
O
O

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57. En la ﬁgura adjunta, ¿qué valor debe tener x para que AB sea paralelo con DE?
A)
5
4
B)
3
2
C) 6
D) 4
C
D E
B
A
3x – 2
3x
x + 2
4x –1
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57. En la ﬁgura adjunta, ¿qué valor debe tener x para que AB sea paralelo con DE?
A)
5
4
B)
3
2
C) 6
D) 4
C
D E
B
A
3x – 2
3x
x + 2
4x –1

94 / 119
58. Las bases del trapecio de la ﬁgura adjunta miden 15 cm y 7 cm y los lados no paralelos 12 cm y 5 cm. Los lados
del triángulo formado por: la base menor del trapecio y las prolongaciones de los lados no paralelos de éste,
miden en centímetros:
A) 5 ; 7 y 7
B)
8
35
;
2
21
y 7
C) 21 ; 15 y 7
D)
4
35
;
4
21
y 7
5
7
x
12
15
y
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58. Las bases del trapecio de la ﬁgura adjunta miden 15 cm y 7 cm y los lados no paralelos 12 cm y 5 cm. Los lados
del triángulo formado por: la base menor del trapecio y las prolongaciones de los lados no paralelos de éste,
miden en centímetros:
A) 5 ; 7 y 7
B)
8
35
;
2
21
y 7
C) 21 ; 15 y 7
D)
4
35
;
4
21
y 7
5
7
x
12
15
y

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59. En la ﬁgura adjunta, el triángulo ABC se encuentra intersectado por la recta L, paralela a AB. ¿Cuál de las
siguientes expresiones representa la medida de CD?
A)
EB
CE
DA
$
B)
CE
EB
DA
$
C)
CE
DA
EB
$
D)
DA
EB CE
$
C
L E
B
A
D
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59. En la ﬁgura adjunta, el triángulo ABC se encuentra intersectado por la recta L, paralela a AB. ¿Cuál de las
siguientes expresiones representa la medida de CD?
A)
EB
CE
DA
$
B)
CE
EB
DA
$
C)
CE
DA
EB
$
D)
DA
EB CE
$
C
L E
B
A
D

96 / 119
60. En el trapecio ABCD de bases AB y CD de la ﬁgura adjunta, AE = x + 2; BE = x + 5; CE = x – 1; BD = 2x + 6. ¿Cuál
es el valor de x?
A) –10
B) 2
C) 5
D) 7
A B
C
D
E
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60. En el trapecio ABCD de bases AB y CD de la ﬁgura adjunta, AE = x + 2; BE = x + 5; CE = x – 1; BD = 2x + 6. ¿Cuál
es el valor de x?
A) –10
B) 2
C) 5
D) 7
A B
C
D
E

97 / 119
61. Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 10 cm, y su proyección sobre la hipotenusa mide 5 cm,
¿cuál es el área del triángulo?
A) 20 3 cm
2
B) 25 3 cm
2
C) 50 2 cm
2
D) 50 3 cm
2
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61. Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 10 cm, y su proyección sobre la hipotenusa mide 5 cm,
¿cuál es el área del triángulo?
A) 20 3 cm
2
B) 25 3 cm
2
C) 50 2 cm
2
D) 50 3 cm
2

98 / 119
62. En la ﬁgura adjunta, si el punto E está sobre el lado BC del triángulo ABC, y ∆ADB ∼ ∆CDE, ¿cuál es el perímetro
del triángulo ABC, si AC = 22,8?
A) 48,6
B) 50,8
C) 54,2
D) 58,4
C
E
B
A
D 4,5
7
9
98 / 119
62. En la ﬁgura adjunta, si el punto E está sobre el lado BC del triángulo ABC, y ∆ADB ∼ ∆CDE, ¿cuál es el perímetro
del triángulo ABC, si AC = 22,8?
A) 48,6
B) 50,8
C) 54,2
D) 58,4
C
E
B
A
D 4,5
4,5
7
9

99 / 119
63. ¿Cuál es el valor de x + y en la ﬁgura adjunta, si AB//DE?
A) –1
B)
2
1
-
C) 0
D)
2
1
6
3
A
C
E
D
B
3x + 1
6
10 + 2y
4,5
99 / 119
63. ¿Cuál es el valor de x + y en la ﬁgura adjunta, si AB//DE?
A) –1
B)
2
1
-
C) 0
D)
2
1
6
3
A
C
E
D
B
3x + 1
6
10 + 2y
4,5

100 / 119
64. Si el triángulo ABC de la ﬁgura adjunta tiene a su ortocentro en el punto G, ¿cuánto mide AE?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 22
A
C
B
E
x
12
2x + 1
G
D
3
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64. Si el triángulo ABC de la ﬁgura adjunta tiene a su ortocentro en el punto G, ¿cuánto mide AE?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 22
A
C
B
E
x
12
2x + 1
G
G
D
3

101 / 119
65. Dada la ﬁgura adjunta, si ∢ACB y ∢BDE miden lo mismo, entonces ¿cuánto mide x?
A) w
z z w
w
-
+
^ h
B) y
z w z
y
+
-
^ h
C)
w y
z
z
y
-
+
^ h
D) z
y w z
z
+
-
^ h
A B
D
C
E
w z
x
y
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65. Dada la ﬁgura adjunta, si ∢ACB y ∢BDE miden lo mismo, entonces ¿cuánto mide x?
A) w
z z w
w
-
+
^
z z
^
z z h
B) y
z w z
y
+
-
^
z w
^
z w h
C)
w y
z
w y
z
w y
y
w y
-
w y
+
^
w y
^
w yh
D) z
y w z
z
+
-
^
y w
^
y w h
A B
D
C
E
w z
x
y

EJERCICIOS M2
SEMEJANZA Y
PROPORCIONALIDAD
DE FIGURAS PLANAS

103 / 119
1. En la ﬁgura adjunta, ∢CBA = β, ∢ACB = γ y ∢BAC = α, se puede determinar la medida de x si:
(1) EF = 8cm
(2) ∢FED = α y ∢EDF = β
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
4
3
6
B
C
A D
F
E
x
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1. En la ﬁgura adjunta, ∢CBA = β, ∢ACB = γ y ∢BAC = α, se puede determinar la medida de x si:
(1) EF = 8cm
(2) ∢FED = α y ∢EDF = β
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
4
3
6
B
C
A D
F
E
x

104 / 119
2. En la figura adjunta, a la circunferencia de radio R y centro en O, se le realizan dos homotecias con centro O,
obteniendo las circunferencias de radios R’ y R’’. Al respecto, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Si la razón de homotecia cuya imagen es la circunferencia
de radio R’’ es 3, entonces R’’ = 3R.
B) Para obtener la circunferencia de radio R’, la razón de
homotecia debe ser mayor que 1.
C) Para obtener la circunferencia de radio R’’, la razón de
homotecia debe estar entre 0 y 1.
D) Las circunferencias de radios R’ y R” se pueden obtener
mediante composiciones de transformaciones isométricas.
O x
R’’
y
R
R’
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2. En la figura adjunta, a la circunferencia de radio R y centro en O, se le realizan dos homotecias con centro O,
obteniendo las circunferencias de radios R’ y R’’. Al respecto, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Si la razón de homotecia cuya imagen es la circunferencia
de radio R’’ es 3, entonces R’’ = 3R.
B) Para obtener la circunferencia de radio R’, la razón de
homotecia debe ser mayor que 1.
C) Para obtener la circunferencia de radio R’’, la razón de
homotecia debe estar entre 0 y 1.
D) Las circunferencias de radios R’ y R” se pueden obtener
mediante composiciones de transformaciones isométricas.
O x
R’’
y
R
R’

105 / 119
3. A un triángulo equilátero de lado L se le aplica una homotecia de razón 4 : 3. ¿Cuál es la medida de L si el
nuevo perímetro es 40 cm?
A) 5 cm
B) 10 cm
C) 15 cm
D) 20 cm
E) 30 cm
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3. A un triángulo equilátero de lado L se le aplica una homotecia de razón 4 : 3. ¿Cuál es la medida de L si el
nuevo perímetro es 40 cm?
A) 5 cm
B) 10 cm
C) 15 cm
D) 20 cm
E) 30 cm

106 / 119
4. En la figura adjunta, O es centro de homotecia que transforma al cuadrilátero ABCD en el cuadrilátero A’B’C’D’,
con una razón de homotecia igual a 2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Si A’D’ = 2cm, entonces AD = 4cm.
B) Si A’B’ = 6cm, entonces AB = 3cm.
C) Si el área de ABCD es 11cm
2
, entonces el área de
A’B’C’D’ es 22cm
2
.
D) Si OB = 10cm, entonces BB’ = 20cm.
A
A’
D
D’
C
C’
B B’
O
106 / 119
4. En la figura adjunta, O es centro de homotecia que transforma al cuadrilátero ABCD en el cuadrilátero A’B’C’D’,
con una razón de homotecia igual a 2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Si A’D’ = 2cm, entonces AD = 4cm.
B) Si A’B’ = 6cm, entonces AB = 3cm.
C) Si el área de ABCD es 11cm
2
, entonces el área de
A’B’C’D’ es 22cm
2
.
D) Si OB = 10cm, entonces BB’ = 20cm.
A
A
A’
D
C
B B’
D’
C’
O

107 / 119
5. En la ﬁgura adjunta, se muestra una homotecia de centro O y razón –1,5 que transforma al triángulo ABC en
el triángulo MNQ. Si BC = 5cm, ¿cuál es la medida del segmento QN?
A) 0,6
B) 1,5
C) 3,3
D) 7,5
E) 8
A
M
Q
N
C
B
O
107 / 119
5. En la ﬁgura adjunta, se muestra una homotecia de centro O y razón –1,5 que transforma al triángulo ABC en
el triángulo MNQ. Si BC = 5cm, ¿cuál es la medida del segmento QN?
A) 0,6
B) 1,5
C) 3,3
D) 7,5
E) 8
A
M
Q
N
C
B
O

108 / 119
6. A un pentágono ABCDE se le aplicó una homotecia de razón igual a 0,25 respecto del origen, obteniéndose
el pentágono A’B’C’D’E’. Si el área del pentágono A’B’C’D’E’ es igual a 9 cm
2
, ¿cuál es el área del pentágono
ABCDE?
A) 36 cm
2
B) 72 cm
2
C) 81 cm
2
D) 144 cm
2
E) 163 cm
2
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6. A un pentágono ABCDE se le aplicó una homotecia de razón igual a 0,25 respecto del origen, obteniéndose
el pentágono A’B’C’D’E’. Si el área del pentágono A’B’C’D’E’ es igual a 9 cm
2
A un pentágono ABCDE se le aplicó una homotecia de razón igual a 0,25 respecto del origen, obteniéndose
2
A un pentágono ABCDE se le aplicó una homotecia de razón igual a 0,25 respecto del origen, obteniéndose
, ¿cuál es el área del pentágono
ABCDE?
A) 36 cm
2
B) 72 cm
2
C) 81 cm
2
D) 144 cm
2
E) 163 cm
2

109 / 119
7. Al triángulo de vértices A(–2 , 2), B(2 , 2) y C(2 , 4), se le aplica una homotecia de centro en P(4 , 0) y razón igual
a –0,5. ¿Cuál es la imagen de C?
A) (–1 , 2)
B) (8 , –8)
C) (7 , –6)
D) (5 , –2)
E) (1 , 6)
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7. Al triángulo de vértices A(–2 , 2), B(2 , 2) y C(2 , 4), se le aplica una homotecia de centro en P(4 , 0) y razón igual
a –0,5. ¿Cuál es la imagen de C?
A) (–1 , 2)
B) (8 , –8)
C) (7 , –6)
D) (5 , –2)
E) (1 , 6)

110 / 119
8. La razón de homotecia entre la figura 2 y la figura 1 de la figura adjunta es igual 2. Si el área de la figura 1 es
igual a 16 cm
2
, ¿cuál es el área de la figura 2?
A) 4 cm
2
B) 8 cm
2
C) 16 cm
2
D) 32 cm
2
E) 64 cm
2
1
2
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8. La razón de homotecia entre la figura 2 y la figura 1 de la figura adjunta es igual 2. Si el área de la figura 1 es
igual a 16 cm
2
La razón de homotecia entre la figura 2 y la figura 1 de la figura adjunta es igual 2. Si el área de la figura 1 es
2
La razón de homotecia entre la figura 2 y la figura 1 de la figura adjunta es igual 2. Si el área de la figura 1 es
, ¿cuál es el área de la figura 2?
A) 4 cm
2
B) 8 cm
2
C) 16 cm
2
D) 32 cm
2
E) 64 cm
2
1
2

111 / 119
9. En la ﬁgura adjunta, ΔABC ∼Δ DEC si:
(1) D y E puntos medios
(2) DE, mediana
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
D
A
C
E
B
111 / 119
9. En la ﬁgura adjunta, ΔABC ∼Δ DEC si:
(1) D y E puntos medios
(2) DE, mediana
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
D
D
A
A
C
E
B

112 / 119
10. En la ﬁgura adjunta, el rectángulo EFGH es el resultado de una homotecia, con centro O, aplicada al rectángulo
DABC. Si los perímetros son 24cm y 36cm, respectivamente, entonces:
A) La razón de homotecia es 3 : 2.
B) La razón de homotecia es 4 : 9.
C) La razón entre las áreas de los rectángulos EFGH y
DABC es 4:9.
D) La razón entre las diagonales de los rectángulos
DABC y EFGH es 2:3.
A
F
G
H
E
C
D
B
O
112 / 119
10. En la ﬁgura adjunta, el rectángulo EFGH es el resultado de una homotecia, con centro O, aplicada al rectángulo
DABC. Si los perímetros son 24cm y 36cm, respectivamente, entonces:
A) La razón de homotecia es 3 : 2.
B) La razón de homotecia es 4 : 9.
C) La razón entre las áreas de los rectángulos EFGH y
DABC es 4:9.
D) La razón entre las diagonales de los rectángulos
DABC y EFGH es 2:3.
A
F
G
H
E
C
D
B
O

113 / 119
11. En la ﬁgura adjunta, el triángulo A’B’C’ es el resultado de aplicar una homotecia con centro en O al triángulo
ABC. Si OA mide
5
3
de AA’, entonces la razón de homotecia es:
A)
5
3
B)
8
3
C)
3
8
D)
3
5
E)
2
5
A A’
C’
B’
C
B
O
113 / 119
11. En la ﬁgura adjunta, el triángulo A’B’C’ es el resultado de aplicar una homotecia con centro en O al triángulo
ABC. Si OA mide
5
3
de AA’, entonces la razón de homotecia es:
A)
5
3
B)
8
3
C)
3
8
D)
3
5
E)
2
5
A A’
C’
B’
C
B
O
C’

114 / 119
12. Dada la ﬁgura adjunta, si A’ es el punto homotético de A respecto a P, con razón
3
2
– , ¿cuánto
mide el segmento A’A?
A) 9 cm
B) 12 cm
C) 15 cm
D) 18 cm
E) 20 cm
A
P
A’
6 cm
114 / 119
12. Dada la ﬁgura adjunta, si A’ es el punto homotético de A respecto a P, con razón
3
2
– , ¿cuánto
mide el segmento A’A?
A) 9 cm
B) 12 cm
C) 15 cm
D) 18 cm
E) 20 cm
A
P
A’
6 cm

115 / 119
13. En la ﬁgura adjunta, si al segmento AB se le aplica una homotecia con centro en el origen y razón –4, entonces
la coordenada de la imagen de A es:
A) (4 , – 10)
B) (–4 , 10)
C) (–8 , – 20)
D) (8 , – 20)
E) (8 , 20)
A
x
y
B
2
5
0
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13. En la ﬁgura adjunta, si al segmento AB se le aplica una homotecia con centro en el origen y razón –4, entonces
la coordenada de la imagen de A es:
A) (4 , – 10)
B) (–4 , 10)
C) (–8 , – 20)
D) (8 , – 20)
E) (8 , 20)
A
x
y
B
2
5
0

116 / 119
14. Si al segmento AB del gráfico de la figura adjunta, le aplicamos una homotecia de razón –2, con centro en (–3 , 0),
¿cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento resultante?
A) (–7 , –1)
B) (–8 , 7)
C) (–9 , 1)
D) (–8 , –1)
E) (–9 , –1)
x
y
2
A
–3
B
116 / 119
14. Si al segmento AB del gráfico de la figura adjunta, le aplicamos una homotecia de razón –2, con centro en (–3 , 0),
¿cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento resultante?
A) (–7 , –1)
B) (–8 , 7)
C) (–9 , 1)
D) (–8 , –1)
E) (–9 , –1)
x
y
2
A
–3
B

117 / 119
15. En la ﬁgura adjunta, A’C’ = 3, B’C’ = 5, PC’ = 6, AC = 6. Si se muestra una homotecia con centro en P del triángulo ABC,
rectángulo en A, ¿cuál es el valor de la suma x + y + z?
A) 18
B) 20
C) 22
D) 25
E) 38
A
A`
C`
B`
C
B
P
z
y
x
117 / 119
15. En la ﬁgura adjunta, A’C’ = 3, B’C’ = 5, PC’ = 6, AC = 6. Si se muestra una homotecia con centro en P del triángulo ABC,
rectángulo en A, ¿cuál es el valor de la suma x + y + z?
A) 18
B) 20
C) 22
D) 25
E) 38
A
A`
A`
C`
B`
C
B
P A`
z
y
y
x

CAPÍTULO 18
RESPUESTAS
118 / 119
1. A
2. D
3. D
4. C
5. A
6. A
7. D
8. D
9. C
10. B
11. B
12. B
13. D
14. A
15. C
16. B
17. E
18. C
19. E
20. C
1. A
2. C
3. B
4. D
5. C
6. D
7. D
8. D
9. D
10. B
11. C
12. D
13. B
14. C
15. C
16. A
17. C
18. B
19. C
20. A
21. C
22. C
23. B
24. A
25. C
26. D
27. B
28. C
29. A
30. B
31. C
32. A
33. B
34. D
35. C
36. A
37. D
38. D
39. B
40. B
41. D
42. A
43. B
44. A
45. C
46. C
47. D
48. A
49. D
50. C
51. C
52. D
53. A
54. A
55. C
56. D
57. D
58. B
59. B
60. D
61. D
62. B
63. D
64. C
65. B
1. C
2. A
3. B
4. B
5. D
6. D
7. D
8. E
9. D
10. C
11. C
12. C
13. C
14. C
15. B
CAPÍTULO 18
RESPUESTAS
118 / 119
1. A
2. D
3. D
4. C
5. A
6. A
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8. D
9. C
10. B
11. B
12. B
13. D
14. A
15. C
16. B
17. E
18. C
19. E
20. C
1. A
2. C
3. B
4. D
5. C
6. D
7. D
8. D
9. D
10. B
11. C
12. D
13. B
14. C
15. C
16. A
17. C
18. B
19. C
20. A
21. C
22. C
23. B
24. A
25. C
26. D
27. B
28. C
29. A
30. B
31. C
32. A
33. B
34. D
35. C
36. A
37. D
38. D
39. B
40. B
41. D
42. A
43. B
44. A
45. C
46. C
47. D
48. A
49. D
50. C
51. C
52. D
53. A
54. A
55. C
56. D
57. D
58. B
59. B
60. D
61. D
62. B
63. D
64. C
65. B
1. C
2. A
3. B
4. B
5. D
6. D
7. D
8. E
9. D
10. C
11. C
12. C
13. C
14. C
15. B

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