จำนวนเชิงซ้อน.pdf

¨Ó¹Ç¹àªÔ§«éÍ¹
¨Ó¹Ç¹àªÔ§«éÍ¹
คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2
ชื่อ – สกุล
ชั้น เลขที่

คณิตศาสตรเพิ่มเติม ม.5 เทอม 2 จำนวนเชิงซอน
1 นายรัฐภูมิ เครือวัง
สมการพหุนาม 2
1 0
x + = ไมมีจำนวนจริงใด ๆ เปนคำตอบของสมการ เพราะจากที่ไดเรียนมา จาก
สมการขางตนจะไดวา 2
1
x = − ซึ่งไมมีจำนวนจริงใด ๆ ที่เมื่อยกกำลังสองแลวไดจำนวนจริงลบ ดวยเหตุนี้ จึง
ทำใหนักคณิตศาสตรไดสรางระบบจำนวนซึ่งขยายออกไปจากระบบจำนวนจริง เพื่อใหสมการพหุนามทั้งหมดมี
คำตอบในระบบจำนวนที่สรางขึ้นมาใหมนี้ โดยระบบจำนวนที่สรางขึ้นมาใหมนี้ มีชื่อวา “จำนวนเชิงซอน”
และเซตของจำนวนในระบบจำนวนใหมนี้ตองเปนเซตที่มีเซตของจำนวนจริงเปนสับเซต
ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของแตละขอตอไปนี้
1) i =
2) 2
i =
3) 3
i =
4) 4
i =
5) 13
i =
6) 56
i =
7) 135
i =
8) 224
i =
9) 512
i =
10) 917
i =
ตัวอยางที่ 2 จงหาคาของ 2 3 99
...
i i i i
+ + + + ตัวอยางที่ 3 จงหาคาของ ( )
3 4 65
2 ...
i i i i
+ + +
ขอสังเกต กำหนด 0
1
i = จะไดวา 4 4 1 4 2 4 3
1, , 1,
n n n n
i i i i i i
+ + +
= = =
− =
− เมื่อ { }
0
n∈ ∪

จำนวนเชิงซอน
1.1 จำนวนเชิงซอน
บทนิยาม 1
จำนวนเชิงซอน (Complex Number) คือ จำนวนที่เขียนในรูปคูอันดับ หรือ
เมื่อ และ เปนจำนวนจริง และ หรืออาจจะเขียนไดดังนี้
ให เปนเซตของจำนวนเชิงซอน จะไดวา

ตัวอยางที่ 4 จงหาสวนจริงและสวนจินตภาพของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้
1) 3 2i
+
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
2) 1 2i
−
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
3) 1 i
− −
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
4) 4 3i
−
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
5) 6
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
6) 13
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
ขอสังเกต 1. ถา ( )
Im 0
z = แลว z จะเปนจำนวนจริง
2. ถา ( )
Re 0
z = และ ( )
Im 0
z ≠ แลว z จะเปนจำนวนจินตภาพแท
ตัวอยางที่ 5 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซอน ( )
2,4 และ ( )
3, 1
−
สำหรับจำนวนเชิงซอน และ จะได
1. การเทากัน
ก็ตอเมื่อ และ
2. การบวก
3. การคูณ
สำหรับจำนวนเชิงซอน หรือ เมื่อ และ เปนจำนวนจริง
เรียก วา สวนจริง (real part) ของ และเขียนแทนดวย
และเรียก วา สวนจินตภาพ (imaginary part) ของ และเขียนแทนดวย

ตัวอยางที่ 6 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซอน ( )
3,2
− และ ( )
9, 6
− −
ตัวอยางที่ 7 จงหาจำนวนจริง a และ b ที่ทำให ( ) ( )
2 1 2 3 8
a i bi i
+ + − + = +
ตัวอยางที่ 8 จงหาจำนวนจริง a และ b ที่ทำให ( )( )
3 4 7
a i bi i
− + = −
ตัวอยางที่ 9 จงหาคาของ ( ) ( ) ( )
5 4 2 25 3 9
+ − − − − + − −
ตัวอยางที่ 10 จงหาคาของ ( )( ) ( )( )
3 3 1 1 9 1 3
i i
− + − − − − +

1. จงหาสวนจริงและสวนจินตภาพของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้
1) 1
1
2
1
i
+
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
2) 1
2
1
5i
− +
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
3)
1
2
i
−
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
4) 2 2
1
2
1
i
−
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
5)
1
3
1
−
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
6)
1 1
2
2
i
−
( )
Re z คือ
( )
Im z คือ
2. จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้
1) ( )
2,3
− และ ( )
1,2
2) ( )
2, 2
− และ ( )
3, 1
−
3) ( )
1, 2
− − และ ( )
1,4
4) ( )
5, 1
− และ ( )
5,1
แบบฝกหัด 1.1

3. จงเขียนจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ใหอยูในรูป a bi
+ เมื่อ a และ b เปนจำนวนจริง
1) ( ) ( )
1
3 2 4
1
3
i i
− + −
2) ( ) ( )
1
5 4 2
1
3
i i
+ + −
3) ( ) ( ) 1
2 8 5
1
2
i i
− + −
4) ( )
2 2
1
1
2
i i −
5) ( )
1
1
4
i i
− −
6) ( )( )
1
4 3 3 2
1
i i
− +
7) ( )
2 1
4
1
3
i i
−
8) ( )
2 1
1
2
i −
9) ( )( ) 1
3 2 3 2
1
i i
+ −
10) ( )( )
1
2 5 3
1
2
i i
− − +

4. จงหาจำนวนจริง a และ b ในแตละขอตอไปนี้
1) ( )
3 2 4 5
a bi i
− =+
2) ( )
3 12
a bi
+ =
3) ( )
2 4 3
a a b i i
+ + = +
4) ( )
3 5 15 9
a bi i
+ = +
5) ( )
7 12
a b abi i
+ − = −
6) ( )( )
2 5 3
a bi i i
+ + =−
5. จงหาคาตอไปนี้
1) ( )
3
1 i
−
2) ( ) ( )
4 4
2 2
i i
+ − −
3) ( ) ( )
3 3
1 1
i i
− − +
4) ( ) ( )
5 4
2 2
i i
− +

ให 1 2 3
, ,
z z z เปนจำนวนเชิงซอน
สมบัติ การบวก การคูณ
ปด 1 2
z z
+ เปนจำนวนเชิงซอน 1 2
z z เปนจำนวนเชิงซอน
การสลับที่ 1 2 2 1
z z z z
+ = + 1 2 2 1
z z z z
=
การเปลี่ยนหมู ( ) ( )
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
+ + = + + ( ) ( )
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
=
การแจกแจง ( )
1 2 3 1 2 1 3
z z z z z z z
+ = +
ตัวอยางที่ 11 จงหาเอกลักษณการบวก ตัวผกผันการบวก เอกลักษณการคูณ และตัวผกผันการคูณของ
จำนวนเชิงซอนตอไปนี้
1) 1 i
−
เอกลักษณการบวก คือ
ตัวผกผันการบวก คือ
เอกลักษณการคูณ คือ
ตัวผกผันการคูณ คือ
2) 4 3i
− +
1.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซอน
เอกลักษณและตัวผกผันการบวก
ให
มี เปนเอกลักษณการบวกของ หรือ เปนเอกลักษณการบวกของ
และมี เปนตัวผกผันการบวกของ หรือ เปนตัวผกผันการบวกของ
เอกลักษณและตัวผกผันการคูณ
ให
มี เปนเอกลักษณการคูณของ หรือ เปนเอกลักษณการคูณของ
และมี เปนตัวผกผันการคูณของ หรือ เปนตัวผกผันการคูณของ

3) ( )
3,4
z =
4) 1 3i
+
5) 5i
6) 7i
7) ( )
4
4 3,
−
8) 3 2
i −
9) 2 2i
−
10) x yi
+
ตัวอยางที่ 12 จงหาสังยุคของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้
1) สังยุคของ 1 i
− คือ
2) สังยุคของ 2 i
− + คือ
3) สังยุคของ 3 2i
+ คือ
4) สังยุคของ 4 คือ
5) สังยุคของ i
− คือ
6) สังยุคของ xi คือ
สังยุคของจำนวนเชิงซอน
ให
สังยุคของจำนวนเชิงซอน เขียนแทนดวย

ตัวอยางที่ 13 กำหนดให 4 3
z i
= − แลวคาของ z z
+ เทากับเทาใด
ตัวอยางที่ 14 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ z z
+ เทากับเทาใด
z i
= + แลวคาของ z z
− เทากับเทาใด
สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน
ให เปนจำนวนเชิงซอน
1)
2)

z i
= − แลวคาของ z z
⋅ เทากับเทาใด
⋅ เทากับเทาใด
z i
= − และ 4 7
w i
= + แลวคาของ z w
+ เทากับ z w
+ หรือไม
ตัวอยางที่ 20 ถา z และ 1
z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ 1
z z
+ เทากับ z w
+ หรือไม
3)
ให และ เปนจำนวนเชิงซอน
4)

ในทำนองเดียวกัน จะไดวา
z i
= − และ 3
w i
= + แลวคาของ z w
⋅ เทากับ z w
⋅ หรือไม
ตัวอยางที่ 22 ถา z และ 1
z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ 1
z z
⋅ เทากับ z w
⋅ หรือไม
ในทำนองเดียวกัน จะไดวา
5)
6)
7)

z i
= − แลวคาของ ( )
z เทากับเทาใด
ตัวอยางที่ 24 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ ( )
z เทากับเทาใด
ตัวอยางที่ 25 กำหนดให 1
z i
= + แลวคาของ ( )
10
z เทากับ ( )
10
z หรือไม
ตัวอยางที่ 26 กำหนดให 1
z i
= − แลวคาของ ( )
6
z เทากับ ( )
6
8)
8)

ตัวอยางที่ 27 จงหาคาของจำนวนเชิงซอน 3 4
1 2
i
i
+
−
ตัวอยางที่ 28 จงหาคาของจำนวนเชิงซอน 2 9
9 2
i
i
−
+
ตัวอยางที่ 29 คาของ ( )( )
( )( )
2 1 3 1
3 1 2 1
i i i
i i i
+ − +
+
+ + −
เทากับเทาใด
ตัวอยางที่ 30 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนซึ่ง ( )( )
1 1 1
i z
+ + =
− แลว ( )
( )
15
4Re z z z
การหารจำนวนเชิงซอน
บทนิยาม สำหรับจำนวนเชิงซอน ใด ๆ

1. กำหนดให 1 3 2
z i
= − และ 2 2 5
z i
=− + จงหาคาในแตละขอตอไปนี้
1) 1
z
2) 2
z
3) 1 2
z z
4) 1 2
z z
5) 1 2
z z
⋅
6) 1 2
z z
+
2. กำหนด 4 3
z i
= + จงหาคาในแตละขอตอไปนี้
1) z z
+
2) z z
−
3) zz
4) 1
z−

3. จงหาตัวผกผันการบวกและตัวผกผันการคูณของจำนวนเชิงซอน z เมื่อกำหนด z ในแตละขอตอไปนี้
1) ( ) ( )
2 3 3
z i i
= − + − −
2) ( )
4
2 3
z i
= −
3) 6 28
z = + −
4) ( ) ( )
3 50 2 72
z = − − − − −
5) ( )
2
7
z i
= −
6) ( )( )
3 18 5 98
z = + − − −

4. จงเขียนจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ใหอยูในรูป a bi
+ เมื่อ ,
a b∈
1) 1
3 2i
−
2) 1
1 5i
−
−
3) 5 3
3 4
i
i
−
+
4) 2 7i
i
+
5) 1
2 3i
−
6) 1 3
5 2
i
i
−
−
+
5. จงหาจำนวนเชิงซอน z ที่สอดคลองกับสมการในแตละขอตอไปนี้
1) ( )
2 1
i z i
+ =
+
2) ( )
1 3
i z
+ =
3) ( )
3 4i z i
+ =
4) ( )
3 7 2
i z i i
− + = +

จากกราฟ เปนเวกเตอรที่เขียนแทนจำนวนเชิงซอน z a bi
= + ซึ่งเปนเวกเตอรที่มีจุดตั้งตนอยูที่จุด
( )
0,0
O และจุดสิ้นสุดคือจุด ( )
,
a b ซึ่งเปนจุดที่เขียนแทนจำนวนเชิงซอน a bi
+
θ เปนมุมที่เวกเตอรทำกับแกน x (ทิศทวนเข็มนาิกา) เรียกวา แอมพลิจูด (amplitude) ของ
จำนวนเชิงซอน และ tan
b
a
θ =
คาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน คือ ขนาดของเวกเตอรที่เขียนแทนจำนวนเชิงซอนนั้น
คาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน z a bi
= + เขียนแทนดวย 2 2
z a bi a b
= + = +
ตัวอยางที่ 31 จงหาขนาดของจำนวนเชิงซอน 2 3
z i
= −
ตัวอยางที่ 32 กำหนด 4 2 1
z z
− = − จงหา z
1.3 คาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน

z i
= − จงหาคาของ ,
z z
− และ z
ตัวอยางที่ 34 ถา z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ ,
z z
− และ z เทากันหรือไม
z i
= + แลวคาของ z z
⋅ เทากับ 2
⋅ เทากับ 2
สมบัติของคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน
1)
2)

z i
= − และ 3 2
w i
= + จงหาคาของ z w
⋅ และ z w
ตัวอยางที่ 38 ถา z และ w เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ z w
⋅ และ z w เทากันหรือไม
z i
= − และ 1
w i
= − แลวคาของ z
w
เทากับ
z
w
หรือไม
ตัวอยางที่ 40 ถา z และ w เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ แลวคาของ z
w
เทากับ
z
w
หรือไม
สมบัติของคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอน
3)
4)

สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน (เพิ่มเติม)
5)
ก็ตอเมื่อ และ
6)
สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซอน (เพิ่มเติม)
ให เปนจำนวนเชิงซอน ถา เปนจำนวนจริง และ เปนจำนวนจริงบวก
1) จะไดกราฟเปนรูปวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่จุดกำเนิด รัศมีเทากับ

1. จงเขียนจุดในระนาบเชิงซอนซึ่งแทนจำนวนเชิงซอนตอไปนี้
1) ( ) ( ) ( ) ( )
2,3 , 2, 1 , 4, 1 , 3,0
− − − −
1) 5 2 ,2 3 ,1 5 ,
i i i i
+ − − −

2. จงหาคาสัมบูรณของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้
1) 5 12i
− +
2) 11 60i
−
3) 5 3i
+
4) ( ) ( )
6 7 13 5
i i
− + − −
5) ( )
10
2 3i
− +
6) ( ) ( )
( )
20 4
40
3 2 3
1 2
i i
i
− +
+

เมื่อ z เปนจำนวนเชิงซอนใด ๆ รากที่สองของ z คือจำนวนเชิงซอนที่ยกกำลังสองแลวเทากับ z
ให z x yi
= + เปนจำนวนเชิงซอนซึ่ง x และ y เปนจำนวนจริงที่ไมใชศูนยพรอมกัน และให
w a bi
= + เปนรากที่สองของ z
พิสูจน
1.4 รากที่สองของจำนวนเชิงซอน

ตัวอยางที่ 41 จงหารากที่สองของ 5 12i
− +
ตัวอยางที่ 42 จงหารากที่สองของ 6 8i
−
ตัวอยางที่ 43 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2
2 5 12 0
x x
+ + =
ทฤษฎีบท
กำหนดให เปนจำนวนเชิงซอน และ แลวรากที่สองของ คือ
เมื่อ
เมื่อ

1. จงหารากที่สองของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้
1) 3 4i
− +
2) 1 2 2i
+
3) 2 5i
+
4) ( )( )
7 2 3 5
− − + −

1. จงหาเซตคำตอบของสมการตอไปนี้
1) 2
5 8 0
x x
+ + =
2) 2
2 4 0
x x
+ + =
3) 2
5 12 13 0
x x
+ + =
4) 2
3 2 7 0
x x
− + =

ถา z a bi
= + เปนจำนวนเชิงซอน และ 0
z ≠ จะเขียนแทน z บนระนาบเชิงซอนไดดังนี้
เมื่อกำหนดให θ เปนขนาดของมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่งวัดทวนเข็มนาิกาจากแกน x ทางดานบวก
และให r z
= แทนระยะทางระหวางจุดกำเนิด O กับ z จะได
2 2
r z a b
= = +
tan
b
a
θ =
sin
b
r
θ = หรือ sin
b r θ
=
cos
a
r
θ = หรือ cos
a r θ
=
จาก z a bi
= +
จะได ( )
cos sin
z r r i
θ θ
= +
( )
cos sin
z r i
θ θ
= +
ดังนั้น z a bi
= + สามารถเขียนอยูในรูปเชิงขั้วไดเปน ( )
cos sin
z r i
θ θ
= + โดยที่ tan
b
a
θ =
เรียก ( )
cos sin
r i
θ θ
+ วารูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซอน a bi
+ และเรียก θ วา อารกิวเมนต ของ z
เนื่องจาก ( )
cos cos 2n
θ θ π
= +
และ ( )
sin sin 2n
θ θ π
= + เมื่อ n I
∈
ดังนั้น ( ) ( )
( )
cos 2 sin 2
r n i n
θ π θ π
+ + + จะเปนรูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซอน a bi
+ ดวย
1.5 จำนวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว

ตัวอยางที่ 44 จงเขียนจำนวนเชิงซอนตอไปนี้ใหอยูในรูปเชิงขั้ว
1) 1 i
+
2) 2 2i
−
3) 1 3i
−
4) 2 2 3i
− +

ตัวอยางที่ 45 ถา ( )
1 2 cos75 sin 75
z i
= +
 
และ ( )
2 3 2 cos15 sin15
z i
= +
 
จงหา
1) 1 2
z z ในรูป a bi
+
2) 1
2
z
z
ในรูป a bi
+
3) 3
2
z ในรูป a bi
+
กำหนดให และ เปนจำนวนเชิงซอน โดยที่ และ
โดยที่ จะได
1.
2.

ตัวอยางที่ 46 จงเขียน ( )
4
2 2 3i
+ ในรูป a bi
+ เมื่อ ,
a b∈
ตัวอยางที่ 47 จงเขียน ( )
12
3 i
+ ในรูป a bi
+ เมื่อ ,
a b∈
ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร
ถา เปนจำนวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว และ จะได

1. จงเขียนจำนวนเชิงซอนแตละขอตอไปนี้ในรูปเชิงขั้ว
1) 3
2 2
i
+
2) 3 i
−
3) 2 3 2i
+
4) 5
5) 8i
−

2. จงเขียนจำนวนเชิงซอนแตละขอตอไปนี้ในรูป a bi
+ เมื่อ ,
a b∈
1) ( ) ( )
2 cos25 sin 25 4 cos35 sin35
i i
   
+ +
   
   
2) 1 2 2
cos sin 3 cos sin
3 36 36 9 9
i i
π π π π
   
   
+ +
   
   
   
   
3)
3 cos sin
3 3
6 cos sin
6 6
i
i
π π
π π
 
+
 
 
 
+
 
 
4)
( ) ( )
( )
9 cos37 sin37 4 cos72 sin 72
12 cos19 sin19
i i
i
   
+ +
   
+
   
 
5) ( )
9
3 i
−

การหาคำตอบของสมการ n
x z
= เมื่อ z เปนจำนวนเชิงซอนที่กำหนดให และ n เปนจำนวนเต็ม
บวก มีคำตอบของสมการคือ รากที่ n ของจำนวนเชิงซอน z เราจะใชทฤษฎีบทของเดอมัวฟวรมาชวยในการ
หารากที่ n ของจำนวนเชิงซอน
ตัวอยางที่ 48 จงหารากที่ 4 ของ 81
ตัวอยางที่ 48 จงหารากที่ 3 ของ 1 3i
+
1.6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซอน เมื่อ n เปนจำนวนนับที่มากกวา 1
ถา แลวรากที่ ของ มีทั้งหมด รากที่แตกตางกัน คือ
เมื่อ

1. จงหารากที่ 3 ของจำนวนเชิงซอนตอไปนี้
1) 64
2) 27i
−
3) 1 3i
− +

2. จงหารากที่ 4 -ของ 2 2
4 cos sin
3 3
i
π π
 
+
 
 
3. จงหารากที่ 5 ของ 4 4 3i
−

4. จงหาจำนวนเชิงซอนทั้งหมดที่สอดคลองกับสมการตอไปนี้
1) 3
0
z i
− =
2) ( )
3
2 8
z i i
+ =

3) 4
1 0
z + =
2) 6
64 0
z + =

ถา ( )
p x เปนพหุนามดีกรี n โดยที่ 1
n ≥ แลวจะเรียกสมการ ( ) 0
p x = วาเปนสมการพหุนาม
ดังนั้น สมการพหุนามจะอยูในรูป 1 2
1 2 1 0
... 0
n n n
n n n
a x a x a x a x a
− −
− −
+ + + + + =เมื่อ n เปนจำนวนเต็ม
บวก และ 1 2 1 0
, , ,..., ,
n n n
a a a a a
− − เปนจำนวนเชิงซอน โดยที่ 0
n
a ≠ จำนวนเชิงซอน a จะเปนคำตอบของ
สมการ ( ) 0
p x = ก็ตอเมื่อ ( ) 0
p a = เรียก ( ) 0
p a = วา คำตอบเชิงซอนของสมการ ( ) 0
p x =
ตัวอยางที่ 49 จงหาเซตคำตอบของสมการ 4 2
21 100 0
x x
− − =
17 60 0
x x
− + =
1.7 สมการพหุนามตัวแปรเดียว
ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต
ถา เปนพหุนามที่มีดีกรีมากกวาศูนย และมีสัมประสิทธิ์เปนจำนวนเชิงซอน แลวสมการ
จะมีคำตอบเปนจำนวนเชิงซอนอยางนอยหนึ่งคำตอบ
ถา เปนสมการพหุนามดีกรี โดยที่ และมีสัมประสิทธิ์เปนจำนวนเชิงซอนแลว
สมการนี้จะมีคำตอบทั้งหมด คำตอบ เมื่อนับคำตอบที่ซ้ำกันดวย

3 5 8 4 0
x x x
+ + + =
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
กำหนด เปนพหุนามที่มีดีกรีมากกวาหรือเทากับ 1 จะไดวาพหุนาม มี เปนตัว
ประกอบ ก็ตอเมื่อ
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
กำหนด เปนพหุนามในรูป โดยที่
และ เปนจำนวนเต็ม ซึ่ง
ถาจำนวนตรรกยะ เปนคำตอบของสมการ โดยที่ ห.ร.ม. ของ และ
เทากับ 1 แลว จะเปนตัวประกอบของ และ เปนตัวประกอบของ

ตัวอยางที่ 52 จงแสดงวา 6i เปนคำตอบของสมการ 4 3 2
4 6 12 0
x x x x
+ + + − =และหาเซตคำตอบ
ทั้งหมดของสมการนี้
ถาจำนวนเชิงซอน เปนคำตอบของสมการพหุนาม
โดยที่สัมประสิทธิ์ เปนจำนวนจริง แลวสังยุคของจำนวนเชิงซอน จะเปน
คำตอบของสมการพหุนามดวย

1. จงหาเซตคำตอบของสมการนี้
1) 3 2
2 6 8 0
x x x
− − − =
2) 3 2
2 3 14 15 0
x x x
+ − − =
3) 4 2
2 2 0
x x x
− + + =

4) 4 2
6 8 3 0
x x x
− − − =
2. จงแสดงวา 1 3i
− เปนคำตอบของสมการพหุนาม 3 2
4 5 10 12 0
x x x
− + + =พรอมทั้งหาคำตอบที่
เหลือทั้งหมด
3. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เปนจำนวนเต็ม และมี 1,4,2i และ 2i
− เปนคำตอบ

4. จงหาสมการพหุนามดีกรี 5 ที่มีสัมประสิทธิ์เปนจำนวนเต็ม และมี 1, 2, 3
− − และ 2 3i
− + เปนคำตอบ
5. จงหาเซตคำตอบของสมการพหุนาม 5 4 3 2
9 31 51 40 12 0
x x x x x
− + − + − =เมื่อทราบวา 1,2 เปน
คำตอบหนึ่งของสมการพหุนามนี้
6. จงหาเซตคำตอบของสมการพหุนาม 4 3 2
8 27 38 26 0
x x x x
− + − + =
เมื่อทราบวา 3 2i
− เปนคำตอบ
หนึ่งของสมการพหุนามนี้

จำนวนเชิงซ้อน.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to จำนวนเชิงซ้อน.pdf

Similar to จำนวนเชิงซ้อน.pdf (20)

จำนวนเชิงซ้อน.pdf