O documento apresenta um modelo de crescimento econômico de Solow com progresso técnico. Discute a função de produção, a acumulação de capital, o estado estacionário e os efeitos de aumentos na taxa de poupança nesta economia. Além disso, aborda questões teóricas sobre fatos estilizados do crescimento econômico.

1. Universidade Federal do Espírito Santo
Graduação – Ciências Econômicas
Professora: Mariana Fialho Ferreira
TEORIA MACROECONÔMICA IV – 2018/2
LISTA 1 – MODELO DE SOLOW
I. Considere o seguinte Modelo de Solow descrito pelas equações abaixo:
𝑌𝑡 = 𝐹(𝐾𝑡, 𝐿 𝑡) = 𝐾𝑡
∝
𝐿 𝑡
1−∝
, 0 <∝< 1
𝐿 𝑡 = 𝐿0 𝑒 𝑛𝑡
Em que Y é o produto, K é o estoque de capital agregado e L é o estoque de mão-de-
obra. Assuma que o capital deprecia à taxa 0 < 𝛿 ≤ 1 e que a taxa de poupança desta
economia seja dada por 0 ≤ 𝑠 ≤ 1.
a) A função de produção é dita neoclássica se satisfaz quatro propriedades. Enuncie
cada uma delas e, em seguida, mostre que a função de produção Cobb-Douglas
é, de fato, uma função de produção neoclássica.
b) Reescreva a função de produção em termos per capita. Mostre que ela (i) passa
pela origem, (ii) é vertical na origem, (iii) é positivamente inclinada e côncava e
(iv) é horizontal quando k aumenta indefinidamente. A partir das informações
fornecidas, desenhe-a no plano 𝑦 × 𝑘.
c) Segundo estimativas do Banco Mundial para 2018, o PIB (em milhões de dólares
internacionais, i.e., considerando a PPC) da China é mais de 10 vezes superior ao
da Coréia do Sul. Podemos considerar, portanto, que a China é um país mais rico
do que a Coréia do Sul? Relacione a sua resposta à função de produção per
capita derivada no item (b).
d) Kaldor (1963) listou uma série de fatos estilizados que tipificariam o processo de
crescimento econômico e que, portanto, deveriam ser explicados teoricamente.
Dentre eles, um diz respeito às participações do capital e do trabalho na renda.
O modelo em questão é adequado para explicá-lo? Justifique matematicamente
a sua resposta.
e) Derive a equação de acumulação de capital em termos per capita.
f) Determine matematicamente e graficamente o equilíbrio do estado estacionário
desta economia.
g) Qual a taxa de crescimento da renda per capita (y) no estado estacionário?
h) Um importante fato estilizado diz respeito ao comportamento das taxas de longo
prazo de crescimento do PIB per capita. O modelo em questão é adequado para
explicá-lo?
i) Qual a taxa de crescimento do produto (Y) no longo prazo?

2. II. Considere o seguinte Modelo de Solow descrito pelas equações abaixo:
𝑌𝑡 = 𝐹(𝐾𝑡, 𝐴 𝑡 𝐿 𝑡) = 𝐾𝑡
∝
(𝐴 𝑡 𝐿 𝑡)1−𝛼
, 0 <∝< 1
𝐿 𝑡 = 𝐿0 𝑒 𝑛𝑡
𝐴 𝑡 = 𝐴0 𝑒 𝑔𝑡
Em que Y é o produto, K é o estoque de capital agregado, L é o estoque de mão-de-obra,
A é a tecnologia. Assuma que o capital deprecia à taxa 0 < 𝛿 ≤ 1 e que a taxa de
poupança desta economia seja dada por 0 ≤ 𝑠 ≤ 1.
a) Derive a função de produção por unidade de trabalho eficiência.
b) Derive a equação de acumulação de capital por unidade de trabalho eficiência.
c) Determine matematicamente e graficamente o equilíbrio do estado estacionário
desta economia.
d) Qual a taxa de crescimento do produto por trabalhador efetivo (𝑦̃), da renda per
capita (𝑦) e do produto (𝑌) no longo prazo?
e) Demonstre que no longo prazo a relação capital produto (K/Y) é constante.
f) Quais os efeitos de um aumento da taxa de poupança nesta economia?
g) Uma elevação da poupança eleva o crescimento no curto prazo?
h) A mesma elevação de poupança altera o crescimento da economia no estado
estacionário?
III. Resolva as questões referentes ao Modelo de Solow: JONES, Charles I. e Dietrich
Vollrath (2015). Introdução à Teoria do Crescimento Econômico. Campus/Elsevier. Cap
2, p. 44-46, exs. 1 a 6.
IV. QUESTÕES ANPEC
1. ANPEC-2006, QUESTÃO 08: As afirmações abaixo referem-se à teoria do crescimento
econômico. Avalie as assertivas:
⓪ No modelo de Solow, se a economia tem um estoque de capital por trabalhador
que gera um equilíbrio de estado estacionário abaixo da chamada “regra de ouro” da
acumulação de capital, então o nível de consumo per capita máximo poderá ser atingido
se a geração corrente se dispuser a reduzir o próprio consumo.
④ No modelo de Solow com progresso técnico, um aumento permanente da taxa
de poupança leva a um aumento temporário da taxa de crescimento da renda per capita.
2. ANPEC-2006, QUESTÃO 11: Considere o modelo de Solow com uma função de
produção Cobb-Douglas: 𝑌 = 𝐾 𝛼
(𝑁𝐴)1−𝛼
, em que Y, K, N e A correspondem ao
produto, estoque de capital, número de trabalhadores e tecnologia, respectivamente.
Avalie as proposições abaixo referentes aos resultados deste modelo, no longo prazo:
⓪ A razão capital/produto cresce à mesma taxa que o progresso técnico.
① O salário (w) cresce à mesma taxa que progresso técnico.
② A taxa de remuneração do capital (r) é constante.

3. ③ A participação do lucro na renda (razão rK/Y) cresce à mesma taxa que o
progresso técnico.
④ A participação do trabalho na renda (razão wN/Y) é constante.
3. ANPEC-2008, QUESTÃO 8: Julgue as afirmativas:
⓪ De acordo com o modelo de Solow, quanto maior for o estoque de capital por
trabalhador, k*, no estado estacionário, maior será o nível de consumo no longo prazo.
① Como previsto pelo modelo de Solow, os dados entre países mostram que há
correlação positiva entre a taxa de poupança e a taxa de crescimento do produto no
longo prazo.
② Ao longo da trajetória de crescimento equilibrado, o modelo de Solow prevê que
o produto por trabalhador e o capital por trabalhador crescem à mesma taxa, dada pela
taxa de progresso tecnológico exógeno.
③ No modelo de Solow, em estado estacionário, a relação capital/trabalho cresce
à taxa de progresso técnológico e a relação capital/produto é constante.
4. ANPEC-2008, QUESTÃO 13: Considere um modelo de crescimento de Solow, com
taxa de poupança de 20% e taxa de depreciação do capital de 5% ao ano. Os mercados
de fatores são perfeitamente competitivos. A função de produção é dada por 𝑌 =
𝐾1/2
𝐿1/2
, em que: Y é o produto, K é o estoque de capital e L = N × E é o estoque de
trabalhadores efetivos, isto é, o número de trabalhadores N multiplicado pelo índice de
eficiência do trabalho, E. O número de trabalhadores N cresce à taxa de 3% ao ano e a
taxa de progresso técnico (taxa de crescimento de E) é de 2% ao ano. Pergunta-se: qual
o estoque de capital em unidades de trabalho efetivo, em estado estacionário?
5. ANPEC-2009, QUESTÃO 8: Considere o modelo de crescimento de Solow, com função
de produção 𝑌 = 𝐾∝
𝑁1−∝
, 0 < α < 1, em que Y é o produto, K é o estoque de capital e
N é o número de trabalhadores. Não há progresso técnico. Os mercados de fatores são
perfeitamente competitivos. Suponha que o capital por trabalhador encontra-se
inicialmente abaixo de seu nível de estado estacionário. Todos os parâmetros do modelo
são mantidos constantes ao longo do tempo. Julgue as seguintes afirmativas:
⓪ O salário real é crescente ao longo do tempo.
① A taxa real de juros é decrescente ao longo do tempo.
② A proporção da renda do trabalho no produto é crescente ao longo do tempo.
③ A razão investimento-produto é decrescente ao longo do tempo.
④ Se o capital por trabalhador inicial for maior do que o da regra de ouro, mas
menor do que o de estado estacionário, o consumo por trabalhador será decrescente
ao longo do tempo.
6. ANPEC-2010, QUESTÃO 10: Considere o modelo de crescimento de Solow, com a
seguinte função de produção: 𝑌 = 𝐾1/3
(𝐴𝐿)2/3
, , em que Y, K, L e A são,
respectivamente, o produto, o estoque de capital, o número de trabalhadores e a
tecnologia. Os mercados de fatores são perfeitamente competitivos e a economia
encontra-se em uma trajetória de crescimento equilibrado, na qual o produto (Y) cresce
4% ao ano e a relação capital-produto (K/Y) é igual a 4. A taxa de depreciação do capital
é de 3% ao ano e o número de trabalhadores cresce 2% ao ano. Com base nessas
informações, julgue as afirmativas abaixo:

4. [Obs.: Se X=W*Z, use a aproximação: Tx.crescimento de X =Tx.crescimento de W +
Tx.crescimento de Z.]
⓪ A taxa de poupança da economia é de 28%;
① O produto por trabalhador efetivo é igual a 2;
② O estoque de capital por trabalhador efetivo encontra-se acima do nível
associado à “regra de ouro”;
③ Se a taxa de poupança aumentar 1 ponto percentual (tudo o mais constante), a
economia convergirá para uma nova trajetória de crescimento equilibrado, na qual o
nível de consumo por trabalhador efetivo será maior do que o nível original;
④ Se a taxa de depreciação aumentar (tudo o mais constante), a economia
convergirá para uma nova trajetória de crescimento equilibrado, na qual o salário real
crescerá a uma taxa mais baixa do que a original.
7. ANPEC-2011, QUESTÃO 12: Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos modelos de
crescimento:
⓪ No modelo de Solow sem progresso técnico, o aumento da taxa de depreciação
do capital leva a economia a uma nova trajetória de crescimento equilibrado, na qual a
taxa de retorno do capital é menor do que no equilíbrio original.
① No modelo de Solow, se o estoque de capital por trabalhador se encontra acima
do nível associado à “regra de ouro”, então o aumento da taxa de crescimento
populacional pode aumentar (tudo o mais constante) o nível de consumo per capita,
dado que permite diminuir o estoque de capital por trabalhador.
② Considere o modelo de Solow com progresso técnico incrementador de trabalho,
no qual a economia se encontra em uma trajetória de crescimento equilibrado, com taxa
de poupança de 30%, taxa de depreciação do capital de 3%, crescimento populacional
de 2% e crescimento da produtividade de 5% ao ano. Logo, a relação capital-produto na
trajetória de crescimento equilibrado é igual a 3.
8. ANPEC-2011, QUESTÃO 15: Julgue as afirmativas abaixo, a respeito dos modelos de
crescimento: Considere o modelo de crescimento de Solow com função de produção
dada por , sendo Y = produto, K = estoque de capital, L = número de
trabalhadores. Nessa economia, a população cresce a uma taxa constante igual a 5%, a
taxa de depreciação do estoque de capital é de 5%, e a taxa de poupança é de 20%.
Calcule o valor do salário real no estado de crescimento equilibrado.
9. ANPEC-2012, QUESTÃO 13: Considere uma função de produção representada
por 𝑌 = 𝐾 𝛼
(𝑁𝐴)1−𝛼
, em que Y é o produto, K é o estoque de capital, N é o número de
trabalhadores, A é a tecnologia e 0<α<1. Defina W como o salário por trabalhador e r
como a taxa de juros. Com base no modelo de Solow, avalie se as afirmativas abaixo são
Verdadeiras (V) ou Falsas (F):
⓪ A participação dos salários na renda (WN/Y) é constante.
① A participação dos juros na renda (rK/Y) cresce proporcionalmente ao progresso
técnico.
② A taxa de remuneração do capital é constante.
③ O salário cresce à uma taxa igual ao progresso técnico.
④ A razão capital-produto cresce à mesma taxa que o progresso técnico.

5. 10. ANPEC-2013, QUESTÃO 5: Classifique as afirmativas abaixo como Verdadeiras (V) ou
Falsas (F):
⓪ No Modelo de Solow, sem crescimento populacional e progresso tecnológico, há
apenas um nível de estoque de capital por trabalhador no estado estacionário no qual a
quantidade de investimento iguala a depreciação do capital.
① No Modelo de Solow, sem crescimento populacional e progresso tecnológico, o
nível de renda per capita dos países no estado estacionário depende do nível inicial de
capital por trabalhador da economia.
② No Modelo de Solow, sem crescimento populacional e progresso tecnológico,
um aumento permanente na taxa de poupança levará a um aumento permanente na
taxa de crescimento da renda per capita.
③ As modernas teorias do crescimento endógeno tentam explicar a taxa de
progresso tecnológico, que o Modelo de Solow considera exógeno.
④ O resíduo de Solow mede a proporção do crescimento que não pode ser
explicada pelo crescimento no capital ou no trabalho.
11. ANPEC-2013, QUESTÃO 14: Considere o modelo de crescimento de Solow, com
função de produção dada por , sendo Y = produto, K = estoque de capital,
L = número de trabalhadores. Nessa economia não há crescimento populacional nem
progresso tecnológico. A taxa de poupança é de 40% e a taxa de depreciação do estoque
de capital é de 20%. Calcule o estoque de capital por trabalhador no estado estacionário.
12. ANPEC-2014, QUESTÃO 7: Classifique as afirmativas como verdadeiras (V) ou falsas
(F):
⓪ No modelo de Solow, a taxa de crescimento do produto em estado estacionário é
dada pela soma da taxa de crescimento populacional e taxa de progresso
tecnológico;
① No modelo de Solow com crescimento da população e sem progresso técnico, o
estoque de capital é constante no estado estacionário;
④ No modelo básico de crescimento de Solow, a taxa de crescimento de equilíbrio de
longo prazo independe da taxa de poupança.
13. ANPEC-2015, QUESTÃO 6: Segundo o modelo de crescimento de Solow, classifique
as afirmativas como verdadeiras (V) ou falsas (F):
⓪ Quando a economia está no estado estacionário, o produto por trabalhador
cresce à taxa do progresso tecnológico.
① Sem progresso tecnológico, a economia converge para uma taxa de crescimento
estável, em que é zero o crescimento da renda per capita.
② O progresso tecnológico depende da taxa de crescimento populacional.
③ As economias com maiores taxas de poupança terão maiores taxas de
crescimento econômico em estado estacionário.
④ A taxa de crescimento do produto por trabalhador no longo prazo é zero.

6. 14. ANPEC-2015, QUESTÃO 15: Considere concorrência perfeita em todos os mercados
e uma função de produção agregada na forma 𝑌 = 𝐾1/2
(𝐴𝐿)1/2
, , em que e são,
respectivamente, as quantidades de capital e de trabalho, e é o estado da tecnologia. As
taxas de crescimento do produto, do estoque de capital e do estoque de trabalho são,
respectivamente: 4,5%, 4% e 2%. Pelo método da contabilidade do crescimento, calcule
a razão entre a taxa de progresso técnico e o resíduo de Solow.
15. ANPEC-2016, QUESTÃO 15: Considere um modelo de crescimento de Solow com as
seguintes características:
i) 𝑌(t) = 𝐾(𝑡)1/3
(𝐴(𝑡)𝐿(𝑡))2/3
, é a função de produção agregada, em que Y(t) é o
produto, K(t) é a quantidade de capital, L(t) é a quantidade de trabalho e A(t) é o estado
da tecnologia;
ii) 𝑛 + 𝛿 + 𝑔 =
1
12
, em que 𝑛, 𝛿 e 𝑔 são, respectivamente, as taxas de crescimento
populacional, de depreciação do capital e de progresso técnico;
iii) a taxa de poupança está no nível da regra de ouro.
Calcule o produto por trabalhador efetivo no estado estacionário.
16. ANPEC-2017, QUESTÃO 13: Avalie as assertivas abaixo:
⓪ Uma característica indesejável no modelo de Solow com progresso técnico é que
ele não é capaz de gerar crescimento da renda per capita no estado estacionário.
① No modelo de Solow com progresso técnico, tecnologia é um recurso comum.
③ De acordo com os fatos estilizados de Kaldor, a parcela da renda devida ao capital
cresce ao longo do tempo.
④ Num modelo de Solow com função de produção 𝑌(t) = 𝐾(𝑡)1−α
(𝐴(𝑡)𝐿(𝑡))α
, a
taxa de poupança sob a regra de ouro é 1-α.
17. ANPEC-2017, QUESTÃO 14: Considere um modelo de crescimento de Solow com
progresso tecnológico em que os mercados de fatores são perfeitamente competitivos.
A função de produção é dada por 𝑌(t) = 𝐾(𝑡)1/2
(𝐴(𝑡)𝐿(𝑡))1/2
, em que Y é o produto,
A é o índice de eficiência do trabalho, L é o número de trabalhadores, K é o estoque de
capital e AL é o estoque de trabalhadores efetivos. Dado que a taxa de poupança é de
30%, a taxa de depreciação do capital é de 4% ao ano, o número de trabalhadores cresce
à taxa de 2% ao ano e o progresso tecnológico (taxa de crescimento de A) é de 4% ao
ano, calcule o estoque de capital em unidades de trabalho efetivo em estado
estacionário.
V. Considere o seguinte Modelo de Solow descrito pelas equações abaixo:
𝑌𝑡 = 𝐵𝑡 𝐾𝑡
𝛼
𝐿 𝑡
1−𝛼
𝐴 𝑡 = 𝐴0 𝑒 𝑔𝑡
𝐿 𝑡 = 𝐿0 𝑒 𝑛𝑡
𝐵𝑡 ≡ 𝐴 𝑡
1−𝛼
Em que Y é o produto, K é o estoque de capital agregado, L é o estoque de mão-de-obra,
A é um termo de produtividade neutro no sentido de Harrod e B é um termo de
produtividade neutro no sentido de Hicks.

7. Assuma que o capital deprecie a uma taxa  , que a taxa de poupança desta economia
seja dada por s e que 𝛼 = 1
3⁄ .
a) Mostre, partindo da função de produção, de que forma a taxa de crescimento do
produto dessa economia pode ser decomposta na contribuição da produtividade
total dos fatores (PTF), B, na contribuição do capital físico, K, e na contribuição da
mão-de-obra, L.
b) Mostre como a taxa de crescimento da PTF se relaciona com g.
c) Mostre que se supusermos que os fatores de produção são pagos por seus
produtos marginais, então a fração do produto utilizada para a remuneração do
capital (capital share) e a fração do produto utilizada para o pagamento de salários
(labor share) são, respectivamente, iguais aos expoentes do capital físico e da mão-
de-obra na função de produção.
d) [Resíduo de Solow] Defina por Z a taxa de crescimento da PTF, i.e., 𝑍 ≡
𝐵̇
𝐵
. Mostre
que se (i) possuirmos dados tanto os níveis quanto para as taxas de crescimento do
estoque de capital físico e da mão-de-obra, e (ii) supusermos que os fatores de
produção são pagos por seus produtos marginais e conhecermos o valor de 𝛼, então
é possível calcular o valor de Z como um resíduo. (OBS: Essa estimativa do
crescimento da PTF é conhecida como “Resíduo de Solow”).
e) Considere uma economia que comece no estado estacionário com uma taxa de
progresso tecnológico, g, de 2%. Suponha então que essa taxa duplique em caráter
permanente. Decomponha o crescimento dessa economia, tanto antes da mudança
quanto depois que a economia atingiu sua nova trajetória de crescimento
equilibrado. Para isso, utilize a decomposição da taxa de crescimento do produto
por trabalhador na contribuição do capital físico por trabalhador e na da PTF, dada
por:
𝑦̇
𝑦
= 𝛼
𝑘̇
𝑘
+
𝐵̇
𝐵
(Dica: Encontre primeiro a taxa de crescimento do produto por trabalhador como
uma função da taxa de progresso tecnológico, g, a partir da trajetória de
crescimento equilibrado).
f) Quanto do aumento na taxa de crescimento do produto por trabalhador decorre
da mudança na taxa de crescimento do capital por trabalhador e quanto se deve à
mudança no crescimento da PTF?
VI. Explique, com base no modelo de Solow, a tese da convergência absoluta. Qual a
diferença entre a convergência absoluta e a convergência condicional? O modelo de
Solow prevê a convergência condicional?
VII. Considere o seguinte Modelo de Solow descrito pelas equações abaixo:
𝑌𝑡 = 𝐾𝑡
𝛼
(𝐴 𝑡 𝐿 𝑡)1−𝛼
𝐴 𝑡 = 𝐴0 𝑒 𝑔𝑡

8. 𝐿 𝑡 = 𝐿0 𝑒 𝑛𝑡
Em que Y é o produto, K é o estoque de capital agregado, L é o estoque de mão-de-obra
e A é um termo de produtividade neutro no sentido de Harrod.
Assuma que o capital deprecie a uma taxa  , que a taxa de poupança desta economia
seja dada por s. Sejam g = 1,8% a.a., n = 1,6% a.a. e δ = 5,6% a.a.
a) Supondo que os fatores de produção sejam pagos pelo seu produto marginal e
que a fração utilizada para a remuneração do capital (i.e., o capital share) seja
igual a 1/3, calcule a velocidade de convergência em uma vizinhança do estado
estacionário e interprete o resultado.
b) A partir do resultado obtido no item a, calcule a meia-vida da convergência e
interprete o resultado.