Mecánica de Fluidos 03. Conservación de la masa.

1. Conservación de la masa

2. Cinemática del flujo de fluidos
Descripciones lagrangianas y eulerianas

3. Líneas y trayectorias de corriente

4. La derivada material
D ⎛∂ ⎞
≡ ⎜ + v · ∇⎟
Dt ⎝ ∂t ⎠
En coordenadas cartesianas:
Dρ ∂ρ ⎡ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞⎤
= + ⎢(v x i x + v y i y + v z i z ) · ⎜ i x
⎜ ∂x + iy + i z ⎟⎥ρ
Dt ∂t ⎣ ⎝ ∂y ∂z ⎟⎦
⎠
∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ
= + vx + vy + vz
∂t ∂x ∂y ∂z
En coordenadas cilíndricas:
Dρ ∂ρ ⎡ ⎛ ∂ 1 ∂ ∂ ⎞⎤
= + ⎢(v r i r + v θ i θ + v z i z ) · ⎜ i r + i θ + i z ⎟⎥ρ
Dt ∂t ⎣ ⎝ ∂r r ∂θ ∂z ⎠⎦
∂ρ ∂ρ v θ ∂ρ ∂ρ
= + vr + + vz
∂t ∂r r ∂θ ∂z

5. Volúmenes y superficies de control
dQ ≡ V·n dS
Q = ∫∫ V·ndS
S
dS
dm ≡ ρV·n dS
&
m = ∫∫ ρV·ndS
dS
&
S
El volumen de fluido que atraviesa hacia fuera por un elemento dS de una
superficie de control durante el intervalo de tiempo dt es v·n dt dS, donde
n es la normal unitaria a la superficie S que apunta hacia fuera del volumen
de control.

6. Conservación de la masa
Forma integral de la conservación de la masa
d
∫∫∫ ρdV + ∫∫ ρv·ndS = 0
dt V S
Otras formas de expresar la conservación de la masa:
d
∫∫∫ ρdV = m ent − m sal
dt V
& &
tf
∫∫∫ ρ{t }dV − ∫∫∫ ρ{t }dV = ∫ [m {t} − m {t}]dt
V
f
V
i
&
ti
ent
& sal

7. Forma diferencial de la conservación de la masa
∂ρ
+ ∇·(ρv ) = 0
∂t
En coordenadas cartesianas:
∂ρ ∂ ∂ ∂
+ (ρv x ) + (ρv y ) + (ρv z ) = 0
∂t ∂x ∂y ∂z
En coordenadas cilíndricas:
∂ρ 1 ∂ 1 ∂ ∂
+ (rρv r ) + (ρv θ ) + (ρv z ) = 0
∂t r ∂r r ∂θ ∂z

8. Flujo incompresible
Dρ ⎛ ∂v x ∂v y ∂v z ⎞
⎜
<< ρ⎜ + + ⎟
⎟
Dt ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∇·V = 0 (incompresible)
Dρ
=0 (incompresible)
Dt

9. Conservación de las especies químicas
d
dt ∫∫∫ ρ i dV +
V
∫∫ ρ i v·n dS = 0
S
Sin reacciones químicas y en
ausencia de procesos difusivos
m i = ∫∫ ρ i v·ndS
&
S
∫∫∫ ρ i dV = (m i )ent − (m i )sal
d
& &
dt V
∂ρ i
+ ∇·(ρ i v ) = 0
∂t

10. Reacciones químicas
∂ρ i ⎛ ∂ρ i ⎞
+ ∇·(ρ i v ) = ⎜ ⎟
∂t ⎝ ∂t ⎠ quím
d ⎛ ∂ρ i ⎞
∫∫∫ ρ i dV + ∫∫ ρ i v·ndS = ∫∫∫ ⎜ ∂t ⎟ quím dV
dt V S V ⎝ ⎠
ri ≡ velocidad de desaparición de la especie química i