Este documento presenta el cálculo de los puntos de Lagrange (L1, L2, L3, L4 y L5) para los sistemas Tierra-Luna y Sol-Tierra. Usa las ecuaciones del movimiento newtoniano y el programa wxMaxima para resolverlas numéricamente y encontrar las posiciones de los puntos, incluyendo que el telescopio James Webb orbita el punto L2 de la Tierra-Luna a 1.1827d de distancia de la Tierra. También analiza la estabilidad de cada punto y encuentra que L1, L2 y L3

1. Cálculo del punto L2, el cuál orbita el telescopio James Webb
Miguel Bustamante 1.
,
February 15, 2022
1 miguelbustamante271@yahoo.com, San javier, Maule, Chile
Abstract
Este artı́culo presenta el cálculo de los puntos de Lagrange (L1,L2,L3,L4 y L5) del
sistema Tierra-Luna. La motivación fue el cálculo del punto orbital del telescopio James
Webb, que gira en torno del punto L2. A partir de los primeros principios, y con el
programa de acceso libre wxmaxima, se pudo calcular la posición relativa de los puntos
de la Tierra -Luna, como también del sistema Sol-Tierra. Este metodologı́a se puede
aplicar a cualquier sistema que cumpla con la condición m1 > m2 >> m3.
Author summary
Miguel Bustamante, Licenciado en Fı́sica de la Universidad de Chile, Magister en
Biofı́sica -Médica de la Universidad de Chile.
Independiente
Introducción 1
La NASA ha logrado poner en órbita el telescopio James Webb [2] cuyo lanzamiento fue 2
el 25 de diciembre del 2021. Lo interesante de esta hazaña, es que lo ha puesto en órbita 3
en torno del punto L2 de Lagrange. Pero.¿ que se significa esto? 4
Con el afán de mostrar que el cálculo y herramientas se presenta la deducción de los 5
puntos de Lagrange a partir de primeros principios, se puede realizar en notebooke con 6
la ayuda del programa wxmaxima. 7
Este tipo de problema corresponde al “problema de 3 cuerpos”. En general, no existe 8
solución analı́tica del “problema de tres cuerpos” [4]. Sólo existen unas pocas soluciónes 9
con relaciones entre las masas muy especı́ficos y/o particulares. En el problema de los 10
puntos de Lagrange, es un caso en particular [1], donde esta presente la siguiente 11
relación entre las masas involucradas: m1 > m2 >> m3. En la figura se observa el 12
esquema del problema, donde el centro del sistema de referencia está en el centro de 13
masa del sistema m1, m2. 14
1

2. Fig 1. Representación del problema
Sistema Tierra-Luna 15
En el sistema Tierra-Luna, la masa m1corresponde a la Tierra, m2a la Luna y m3 a la 16
de un satélite, como lo es el telescopio James Webb. Todos los cuerpos en el sistema 17
rotan a una misma frecuencia Ω en torno del centro de masa. Además, las posiciones 18
relativas entre las masas permanecen constantes. 19
Obviamente, la interacción entre los cuerpos por medio de la fuerza gravitacional. 20
Recordemos que la fuerza de gravedad entre dos masas, viene dado por la expresión 21
~
Fij = −G
mimj
k ~
ri − ~
rj k3
(~
ri − ~
rj)
donde el valor de la constante universal de gravedad G = 6.67384x10−11 Nm2
kg2 22
La fuerza neta que actúa sobre la masa m3 viene dado por la expresión 23
~
F31 + ~
F32 = m3
¨
~
r (1)
donde 24
~
F31 = −G
m1m3
k~
r31k3
~
r31
~
F32 = −G
m3m2
k~
r32k3
~
r32
y los vectores 25
~
r31 = xcmî + xî + r sin(θ)ĵ
, 26
~
r32 = xî + yĵ − (d − xcm)î
−
→
r = xî + yĵ. 27
Reemplazando las expresiones de los vectores en la ecuación 1 y seperamos por 28
componente en dirección de x y en la dirección en y. Los cuerpos rotan en torno del 29
centro de masa, en una órbita circular. Por tanto, hay una aceleración centrı́peta 30
dirijida al cm ¨
~
r = −Ω2 ~
r = −Ω2(x, y). 31
El sistema de ecuaciones que se obtinenen son 32
22 2/7

3. x : −
Gm1(x + xcm)
p
(x + xcm)2 + y)2
3 (x + xcm) −
Gm2(x − (d − xcm)
p
(x − (d − xcm))2 + y2
= −Ω2
x (2)
y : −
Gm1y
p
(x + xcm)2 + y)2
3 −
Gm2y
p
(x − (d − xcm))2 + (y)2
3 = −Ω2
y (3)
donde xcm = d m2
m1+m2
. 33
Los puntos de Langrage deben satisfacer las ecuaciones 2 y 3.
Fig 2. Representación de los puntos de Lagrange, en el sistema Sol-Tierra
34
Puntos de Lagrange: L1,L2,L3 35
Vamos a suponer que y = 0. La ecuación 2, queda expresada de la forma 36
− G
m1
p
(x + xcm)2
3 (x + xcm) − G
m2(x − (d − xcm)
p
(x − (d − xcm)2
3 = −Ω2
(4)
Reescribiendo la ecuación 4, se puede expresar como 37
1
(x + xcm)|x + xcm|
+ a
1
(x − (d − xcm))|x − (d − xcm)|
−
Ω2
Gm1
r = 0 (5)
donde a = m2/m1 38
Debemos resolver la ecuación 5 numericamente aplicado al sistema a la Tierra - Luna. 39
En este sistema la masa de la Tierra es MT = 5.972x1024
kg y la masa de la Luna 40
ML =: 7.349x1022
kg. Esto da una razón a = 0.01230576021433355. Además sabemos 41
que el periodo del sistema corresponde a la Luna 29.5 dias = 2548800 s y la distancia 42
entre la Tierra y la Luna es de d = 38440000m. Uno de los incovenientes en resolver la 43
ecuación 5 son los magnitudes de las masas como de la constante gravitacional. Para 44
facilitar el cálculo, definimos u = x/d. Al reemplazar en la ecuación 5 se obtiene la 45
siguiente relación 46
g (u, xcmu, a) := 1
(u+xcmu) |u+xcmu| + a
(u−(1−xcmu)) |u−(1−xcmu)| + (−b) u 47
donde xcmu = xcm
d = 0.01215616930968374 y 48
b = Ω2
d3
Gm1
= 0.09740269896097852π2
= 0.961326106 49
22 3/7

4. Fig 3. Grafico de g(u), mostrando los ceros
Al graficar la función g(u) (figura 3), notamos que existe tres puntos donde la función es 50
cero. 51
Calculando las raices, con la aplicación wxmaxima con el cual se obtuvieron los 52
siguientes valores (Tabla 1) 53
Punto L i
1 0.8470663157837166d
2 1.182748549173182d
3 -1.058348752664077d
Table 1. Valores de las coordenadas en el eje del de las masas m1 y m2
En este caso, el telescopio está orbitando el punto L2=1.1827d=454629.88 km. El 54
punto L1 está entre a Luna y la Tierra, cercano a la Luna. L3, esta posterior a la 55
Tierra, practicamente a la misma distancia de la Luna a la Tierra. 56
Pero existen más puntos, que deben satisfacer la condición y 6= 0. 57
Puntos de Lagrange: L4, L5 58
Para estos puntos, la componente y es distinto de cero. En las ecuaciones 2 y 3, al 59
reemplazar las variables de x = ud y y = vd, se pueden reescribir de las formas 60
x : −
u + xcm
p
(u + xcmu)2 + v2
3 (u + xcmu) −
1
p
(u − (1 − xcmu))2 + v2
= bu (6)
y : −
1
p
(u + xcmu)2 + v2
3 −
a
p
(u − (d − xcmu))2 + v2
3 = b (7)
22 4/7

5. donde b = Ω2
d3
Gm1
. Aplicando algebra a las ecuaciones 6, 7 se puede obetener el siguiente 61
sistema de ecuaciones 62
(xcmu + u − 1)
2
+ v2
− p = 0
y 63
(xcmu + u)
2
+ v2
− q = 0
con p = a
2
3
b
2
3 xcmu
2
3
y q = 1
b
2
3 (1−xcmu)
2
3
. 64
Con los valores conocidos de p y q del sistema Tierra-Luna, la solución del sistema 65
anterior da u = 0.4878438306903162 con dos posibles valores de v, 66
v4 = −0.9271638587874336 y v5 = 0.9271638587874336 (Tabla 2). 67
As, las coordenadas de los puntos L4 y L5 son:
Punto L i
4 (0.4878438306903162d,0.9271638587874336d) =(1.87x108
, 3.56x108
)m
5 (0.4878438306903162d,-0.9271638587874336d) =(1.87x108
, 3.56x108
)m
Table 2. Valores de las coordenadas de los puntos L4 y L5
68
El ángulo que forman cada punto L4 y L5 respecto a la horizontal es 69
ϕ = atan(v/u) = 62.25◦
y cuyo centro del sistema esta en el centro de masa del sistema 70
m1 − m2. 71
Energı́a de la masa m3 72
Veamos la energı́a asociado a la masa m3. Esta masa tiene energı́a potencia 73
gravitacional, como energı́a cinética. 74
E(x, y) = −
Gm1m3
p
(x + xcm)2 + y2
−
Gm2m3
p
(x − (d − xcm)2 + y2
+
1
2
m3(
p
x2 + y2Ω)2
(8)
Si la masa m3 está dentro de estos puntos, debemos ver si es estable o inestable. Es 75
decir, en una perturbación en torno al punto, debiera mostrar una capacidad para 76
retornar al punto. En una expansión de Taylor de la función anterior, los términos 77
cuadráticos nos dan la información de la estabilidad de los puntos. 78
V (x, y) = V0+
∂V
∂x
(x−x0)+
∂V
∂y
(y−y0)+
∂2
V
∂x2
(x − x0)2
2
+
∂2
V
∂y2
(y − y0)2
2
+
∂2
V
∂x∂y
(x − x0)(y − y0)+. . .
En los puntos de Lagrange, la fuerzas relativas al sistema rotanto debe ser cero. En este 79
caso si V=E(x,y), las primeras de derivadas en los puntos de Lagrange es cero, como ya 80
sabemos. Debemos calcular la segunda derivada de V en cada punto para saber la 81
estabilidad de los puntos (Tabla 3). 82
Por los resultados numéricos asociados a cada punto, los punto L1, L2 y L3 son puntos 83
inestables, una pequeña perturbación los saca del equilibrio; los puntos L4 y L5 son 84
estables, a pesar con son máximos, y la estabilidad es por la fuerza de corioslis. 85
22 5/7

6. Li Vxx Vyy Vxy
1 ¸−7.794580849813977x10−11
4.808838291260972x10−11
0
2 −2.547350776624776x10−11
2.18522325466637x10−11
0
3 −6.198940261085475x10−12
1.221494879408256x10−11
0
4 8.382735381137604x10−12
−1.969555601185951x10−12
−7.616521620592216x10−12
5 8.382735381137604x10−12
−1.969555601185951x10−12
7.616521620592216x10−12
Table 3. Valores de las segundas derivadas en los puntos de Lagrange.
Discussion 86
Como hemos visto, a partir de primeros principios, se ha podido calcular los puntos de 87
Lagrange del sistema Tierra-Luna. En particular, el punto L2, el cual el telescopios 88
James Webb orbı́ta. 89
Apliquemos el procedimiento para el sistema Sol-Tierra. La masa del sol 90
m1 = MS = 1.9885x1030
kg, y la distancia Tierra- Sol d=1.496 ∗ 1010
m , con un perı́odo 91
T= 1 año=31.536x106
s. Como el Sol es 330000 veces mas grande que la Tierra, el centro 92
de masa del sistema está practicamente en el centro del Sol. Con estos datos, se obtienen 93
los siguientes valores para los puntos de Lagrange del sistema Sol-Tierra (Tabla 4). 94
Li Distancia [m]
1 0.998266139710441d 1.4934x1010
2 9.995100009638465d 1.4952x1011
3 -9.99509992825381d −1.4952x1011
4 (0.499996996740224,9.982585701164702)d (7.4799x109
, 1.4933x1011
)
5 (0.499996996740224,-9.982585701164702)d (7.298x109
, −1.4933x1011
)
Table 4. Posiciones de los puntos de Lagrange en el Sistema Sol-Tierra
Nótese que el punto L1 del sistema Sol-Tierra está solo a 0.0017d de la Tierra; el punto 95
L2 está a casi 10d lejos de la Tierra. 96
El ángulo que forma L4 y L5 respecto de la horizontal es de 87.132◦
, cecano a 90◦
. 97
Obviamente, con este método podemos calcular los puntos del sistema Sol-Jupiter. De 98
hecho, en los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Jupiter están los asteriodes demoniados 99
Troyanos [3] 100
Conclusion 101
Se calculó los puntos de Lagrange a partir de primeros principios. El cálculo numérico 102
fue por medio de un programa de acceso libre wxmaxima. Lo intersante de este 103
problema, es que un alumno que cursó electricidad y Magnetimso, está capacitado en 104
obtener estos resultados y como aplicarlos a otro sistema de tres cuerpos. Sólo debe 105
estar familiarizado con el programa. 106
References 107
1. Puntos de Lagrange.puntolagrange (document) 108
2. Webb’s Launch GSFC/NASA.webnasa (document) 109
22 6/7

7. 3. eswiki:141412359Wikipedia@Wikipedia Wikipedia. Asteroide troyano — wikipedia, 110
la enciclopedia libre, 2022. [Internet; descargado 12-febrero-2022].eswiki:141412359 111
(document) 112
4. eswiki:141297535Wikipedia@Wikipedia Wikipedia. Problema de los tres cuerpos — 113
wikipedia, la enciclopedia libre, 2022. [Internet; descargado 114
12-febrero-2022].eswiki:141297535 (document) 115
22 7/7