Este documento presenta un estudio sobre el cálculo del ángulo de elevación para el alcance máximo de un proyectil en presencia de viscosidad. Se aplica un algoritmo genético para determinar el ángulo óptimo de acuerdo a la velocidad de salida y la constante de viscosidad conocidas. Los resultados muestran que el ángulo de máximo alcance disminuye con el aumento de la viscosidad y depende de la velocidad. Adicionalmente, se obtiene una relación que describe el alcance máximo en términ

1. 1
Calculation of elevation angle for maximum
range in the presence of viscosity
Miguel Bustamante
Abstract
Resumen
Se presenta un estudio de alcance de proyectiles que estan bajom la accioon de una fuerza
viscosa. El alcance no se puede determinar por medios analticos; es mas, se ecuentra una
solucion del tiempo tracendente. En este trabajo, aplicamos algoritmo geneticos para ca-
clular el angulo optimo de alcance maximo, con una velocidad de salida, y constante de
viscosidad conocida. De

2. nicendo un parametro adicmensional, obtenemos una relacion in-
dependiente de la constante de viscocidad k. Sin embargo esta relacion no es facil dededucir,
reduciendo la relacion a una ecuacion del tipo parametrica.
Abstract
A scoping study of projectiles that are under the action of a force viscous is presented.
The scope can not be determined analytically; indeed,a solution of the time is mid tracen-
dente. In this paper, we apply the genetic algorithm to caclular optimum maximum angle
range, with an output speed and a known constant viscosity. De

3. nicendo adicmensional
a parameter, we obtain an independent relationship of viscosity constant k. However, this
relationship is not easy ti deduce, reducing an parametrical equation.
key words
projectile, viscosity, angle, genetic algorithm, elevation,Range.
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4. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 2
I. Introduction
El movimienton de los cuerpos es un tema presente desde que la razon ha estado presente
en el desarrollo humano [? ]. En particular el lanzamiento de proyectiles, es un topico
que se ha estudiado desde el el comienzo de los tiempos. Obviamente por aplicaciones del
tipo practico: predecir donde va a caer el proyectil, la ditancia maxima (alcance) son de
interes de los artilleros [? ]. Sin embargo, todo los intentos para describir el movimiento,
estaban basados en las a

5. rmaciones de Aristotles [? ] sobre el movimiento. Solamente
con la propuesta de Galileo-Galilei [? ], hubo una mejor compresion de los movimiento
que describen los cuerpos sobre la super

6. cie de la tierra. Supuso que el movimiento de un
cuerpo lanzado en la super

7. cie de la Tierra corresponde a la composicion de dos tiempo de
movimiento[? ? ? ]:
En el eje X, horizontal a la super

8. cie de la Tierra, un movimiento con velocidad
constante.
En el eje Y, un movimiento uniformente acelerado, cuya aceleracion corresponde a
g = 9:8 m=s2
Respecto de un sistema de referencia, en donde el proyectilo es lanzado desde el origen,
y el eje X coincide con la lena horizontal. Si de

9. nimos el alcance R como la distancia
horizontal a que cae desde el origen (0;0), de [? ] se de duce que
R =
v2
0
g
sin(2) (1)
De la ecuacion 1, el alcance maximo a una velocidad

10. ja, ocurre cuando angulo de max =
=4 (45). Sin embargo, estas ecuaciones de proyectiles estudiadas son una aproximacion,
estan despreciando el efecto de aire en la trayectoria.
Para modelar el efecto de aire (gas) en el movimiento, asumiremos que el cuerpo exper-imenta
una fuerza inversa a la direccion del movimiento, pero de magntiud proporcional a
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11. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 3
la velocidad del cuerpo. Este tipo de fuerza se denomina fuerza viscosa: ~ f(v) = k~v. k, es
una constante que da cuenta de la interaccion del cuerpo (proyectil) con el medio y tiene
unidades de [Ns/m][? ? ? ].Este termino esta relacioando con el coe

12. ciente balsitico del
proyecti~l. En nuestro estudio, los valores de la velocidad son del tipo subsonico, de modo que
no habra cambio en k en la trayectoria. La ecuacion dinamica asociado a este movimiento
es
k~v mg^j
= m
d~v
dt
(2)
y cuya solucion de la ecuacion 2 es[? ]
x(t) =
m
k
v0 cos()
1 ek=mt
(3)
y(t) =
mg
k
t
m
k
v0 sin() +
mg
k
1 ek=mt
(4)
Como se aprecia en el gra

13. co 1, existe una diferencia entre el alcance del proyectil (R)
sin viscosidad y con viscosidad. Sabemos que el maximo alcance ocurre con una angulo de
max = =4 (45) en ausencia de atmosfera. sin embargo, no es claro que el alcance maximo
tenga un maximo al mismo angulo de =4 cuando tenemos viscosidad. Es este punto que
queremos investigar, es decir como cambia el angulo de alcance maximo en funcion de la
visocidad k y la rapidez de lanzamiento.
II. Procedimiento
El problema planteado, es un problema de optimizacion: buscamos el maximo alcance
para un valor de viscocidad k, y velocidad v dados. Es por eso que aplicamos el algoritmo
genetico (GA) [? ] para resolver este problema.
Este problema, es un problema de una sola variable. La variable es el angulo de lan-zamiento
que esta en el dominio max 2 [0 : =2]. Los pasos a seguir: Seleccion, Torneo,
cruzamiento y mutacion.
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14. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 4
Fig. 1
Trayectorias de proyectiles, con y sin viscosidad, con una misma velocidad de salida y
angulo
A. Seleccion
Selecionamos i, con (i=1 a 1000) valores de angulo elegidos al azar del dominio (i 2
[0; =2]) . Con estos valores calculamos el valor de vuelo ti asociado a este angulo i. Esto lo
resolvemos, igualando la ecuacion 4 por el metodo de Newton para la busqueda del cero de la
funcion [? ]. La semilla inicial en la busqueda del cero es el valor del tiempo correspondiente
al alcance maximo sin viscosidad t = 2v sin()
g . Con el valor de i y ti, evaluamos la funcion
4 y nos da el valor del alcance Ri para el angulo i.
B. Torneo
Con 1000 candidatos, los hacemos competir por torneo, eligiendo 1 par al azar del
conjunto. Si se cumple que Rj Rk, se seleciona el angulo j . Por medio del torneo,
seleccionamos 300 canditados. Se guarda el valor de R cuyo alcance sea maximo, con el
angulo correspodiente
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15. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 5
C. Cruzamiento
Del conjunto seleccionado por torneo, producimos cruzamiento: se eligen dos padres al
azar y promediamos sus valores para generar un hijo k = (i + j)=2. Del conjunto de 300,
solo se cruzan 200, creando 200 hijos con 100 de la generacion anterior.
D. Mutacion
Del conjunto obtenido por cruzamiento, se somete a todo el conjunto a una prueba de
mutacion. Se compara un numero aleatorio con la probabilidad 0.03. Si el numero aleatorio
es menor que esta probabilidad se asigna al angulo j un valor aleatorio entre 0 y =2
Con la nueva generacion, se hacen competir en el torneo de modo que cada vez guarde
el valor el valor del alcance maximo y el angulo correspodiente, completando el ciclo. El
criterio de ajuste, es cuando el alcance maximo, no varia mas.
Codigo: https://www.dropbox.com/s/xttlkj3eh0mcd0m/R.cpp?dl=0
III. Resultados
Con el algoritmo anterior, obtenemos el maximo alcance R para un angulo max a una
velocidad v, como se observa en la tabla 8. Como sabemos en el caso ideal (sin viscocidad),
el alcance maximo depende solo de la velocidad, ya que el angulo es =4. Pero al introducir
la viscosidad (constante k), se observa que el sin(max) (gra

16. co 2) va cambiando en funcion
de la velocidad.
Obviamente un comportamiento no es lineal; es mas, existe un intervalo en el angulo
dependiendo de viscocidad. Al gra

17. car el angulo maximo y el angulo mnimo en funcion de
la constante k, se obtiene que que aumenta la diferencia entre los angulo, dando cuenta de
la dependencia de la velocidad.
Como era de esperarse, para k peque~nos, los angulo convergen a =4 = 0:7853, pero
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18. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 6
Fig. 2
sin(max) en funcion de la velocidad
Fig. 3
Angulo maximo y mnimo en funcion de k
aumenta el rango entre ellos, cuando crece k (gra

19. co 3).
Al gra

20. car el alcance en funcion de la velocidad se observa que cuando crece k, el alcance
decae, siempre acotado superiormente por la relacion ideal (Ecuacion 1). Es por esto que
de

21. namos el siguiente parametro
=
Rg
v2
.
Segun el resultado de la ecuacion 1,este valor es maximo para un angulo de =4 , y
para el valor del parametro = 1. Este es un paramtero adimensional y sirve para poder
comparar los alcances maximos con velocidades que van desde los v= 10 m/s a 150 m/s con
el angulo maximo de alcance como se observa en el gra

22. co 4 para distintos valores de k. Del
gra

23. co se observa que esta contenido en una region y que solo depende del angulo. Esto
hace interesante el parametro ya que se reduce el nivel de informacion.
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24. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 7
Si asumismos que la relacion entre y el sin(2max viene dado por al expresion 6
a( 1)2 + (sin(2max))2 = 1 (5)
con a una constante. Segun, , la relacion (1 )2 v/s cos(2max), debera tener compor-tamiento
del lineal.
Por el gra

25. co 5, en una representacion del logaritmo natural de la variables, se obtiene,
en que todos los puntos estan en una region. Calculamos cadapendiente asociada a un valor
de k, y vemos la relacion del logaritmo de la pendiente en funcion del logaritmo de k
El logarimto natural de pendientes m(k) (gra

26. co 6) en funcion del ln(k), se observa una
relacion del tipo
ln(m(k)) = c ln(k)2 + d ln(k) + e
con c=0.012918, d=-0.0940 y e=0.2179 ajustado por mnimos cuadrados, con una factor de
correlacion de 0.977.
As, la ecuacion de toma la forma
(max) = 1 + cos(2max)m(k) (6)
De la ecaucion 6, y recordando la de

27. nicion de , podemos escribir que el alcance en funcion
de los parametro k; max es
Rk =
v2
g
(max) (7)
dando un alcance para un angulo maximo en viscosidad k.
IV. Conclucion
En el estudio del alcance maximo de un proyectil en presencia de viscosidad caracteri-ozado
por k, muestra la relacion entre el valor de la constante k con el angulo de maximo
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28. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 8
alcance, como tambien de la velocidad. Lo ultimo era de esperarse, ya que entre mayor la ve-locidad
de salida, mayor el alcance. Sin embargo, que el angulo disminuya el valor a medida
que sube el valor de k, indica que el camino optimo es aquel que minimiza la trayectoria,
de modo que que tenga una menor perdida de energa. En un analaisis de los datos, hemos
podido encontrar una relacion que describe el alcance maximo en presencia de viscocidad.
Se debe acotar la velocidad maxima de trabajo fue de 150 m/s, que esta por debajo de la ve-locidad
del sonido. Velocidades posteriores pueden tener efecto turbulentos que cuya accion
estan fuera de la teora de este problema. En resumen, se podido encontrar una relacion de
alcance dependiente de la velocidad v, la viscocidad k, y un paraemetro adimensional .
References
[1] Composicion de movimientos. http://www.sc.ehu.es/sbweb/

29. sica/cinematica/parabolico/composicion/[2] Aristoteles, May 2014. http://es.wikipedia.org/w/index.php Aristiteles.
[3] Ballistic coecient, May 2014. http://en.wikipedia.org/w/index.php Ballistic coe-
cient.
[4] Balstica, May 2014. http://es.wikipedia.org/w/index.php BalisticDistance.
[5] Galileo galilei, May 2014. http://es.wikipedia.org/w/index.php Galileo Galilei.
[6] Horror vacui (physics), May 2014. http://en.wikipedia.org/w/index.php Horror vacu
(physics).
[7] Range of a projectile, May 2014. http://en.wikipedia.org/w/index.php Rangeof apro-jectile.
[8] Viscosidad, May 2014. http://es.wikipedia.org/w/index.php Viscosidad.
[9] Ferdinand Beer, E. Russell Johnston Jr, and Phillip Cornwell. Vector Mechanics for
Engineers: Dynamics. McGraw-Hill Science/Engineering/Math, New York, 10 edition
edition, January 2012.
August 31, 2014|10 : 13pm DRAFT

30. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 9
[10] Shoichiro Nkamura. Metodos Numericos aplicado con Software. Perason, 1992.
[11] Sue Ellen Haupt Randy L. Haupt. PRACTICAL GENETIC ALGORITHMS. A JOHN
WILEY SONS, INC., PUBLICATION, 2004.
[12] William F. Riley. Engineering Mechanics: Dynamics. Wiley, New York, 2 edition
edition, December 1995.
[13] Reginald J. Stepheson. Mechanics and properties of Matter. 1960.
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31. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 10
Fig. 4
Relacion entre y el sin(2max)
Fig. 5
Relacion de ( 1)2 v/s cos(2max)
Fig. 6
Relacion de ln(( 1)2) con
ln(cos(2max))
Fig. 7
Ln(Pendiente) en funcion de k
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32. CALCULATION OF ELEVATION ANGLE FOR MAXIMUM RANGE IN THE PRESENCE OF VISCOSITY 11
k=0,05 k=0,1 k=0,5
V(m/s) Angulo(max) R Angulo(max) R Angulo(max) R
10,0 0,77365 9,73576 0,76244 9,30851 0,68758 6,88774
20,0 0,76244 37,23404 0,74144 34,22904 0,61878 20,77454
30,0 0,75171 80,25415 0,72210 71,26139 0,56650 37,48403
40,0 0,74144 136,91617 0,70421 117,87480 0,52485 55,58442
50,0 0,73158 205,63091 0,68758 172,19338 0,49057 74,45608
60,0 0,72210 285,04554 0,67205 232,79678 0,46167 93,78989
70,0 0,71299 374,00119 0,65751 298,58975 0,43686 113,41600
80,0 0,70421 471,49921 0,64383 368,71418 0,41525 133,23433
90,0 0,69575 576,67444 0,63095 442,48825 0,39619 153,18268
100,0 0,68758 688,77352 0,61878 519,36346 0,37923 173,22079
110,0 0,67968 807,13743 0,60724 598,89366 0,36400 193,32171
120,0 0,67205 931,18712 0,59630 680,71233 0,35023 213,46691
130,0 0,66466 1060,41177 0,58589 764,51566 0,33771 233,64340
140,0 0,65751 1194,35902 0,57597 850,04973 0,32624 253,84185
150,0 0,65057 1332,62683 0,56650 937,10080 0,31570 274,05552
k=1 k=5
V(m/s) Angulo(max) R Angulo(max) R
10,0 0,56650 4,16489 0,37923 1,73221
20,0 0,46167 10,42110 0,27339 3,75217
30,0 0,39619 17,02030 0,21922 5,77435
40,0 0,35023 23,71855 0,18526 7,79277
50,0 0,31570 30,45061 0,16159 9,80786
60,0 0,28855 37,19381 0,14399 11,82041
70,0 0,26651 43,93911 0,13030 13,83101
80,0 0,24817 50,68271 0,11930 15,84010
90,0 0,23261 57,42303 0,11022 17,84801
100,0 0,21923 64,15948 0,10260 19,85497
110,0 0,20754 70,89195 0,09608 21,86115
120,0 0,19725 77,62054 0,09045 23,86669
130,0 0,18810 84,34548 0,08556 25,87168
140,0 0,17988 91,06699 0,08115 27,87622
150,0 0,17248 97,78535 0,07730 29,88036
Fig. 8
Resultados de la optimizacion: Alcance R, angulo de maximo alcance y velocidad
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