Discretización de funciones de transferencia BBR, FRR y Tustin

1. Ejercicio 1:
Discretizar la función de transferencia 𝐺(𝑠) con un periodo de muestreo de 𝑇 = 100 𝑚𝑠
mediante las distintas técnicas de sustitución de operadores: Derivada, BBR, FRR y Tustin.
𝐺(𝑠) =
𝑠 + 2
𝑠 + 50
Solución:
La técnica del operador derivada y la técnica del operador integral BRR es la misma:
𝑇
1 − 𝑧−1
≈
1
𝑠
→ 𝑠 ≈
1 − 𝑧−1
𝑇
Sustituyendo en 𝐺(𝑠) y para 𝑇 = 100 𝑚𝑠 se obtiene:
Por la técnica del operador integral FRR:
𝑇𝑧−1
1 − 𝑧−1
≈
1
𝑠
→ 𝑠 ≈
1 − 𝑧−1
𝑇𝑧−1
Sustituyendo en 𝐺(𝑠) y para 𝑇 = 100 𝑚𝑠 se obtiene:
𝐺(𝑍) =
1−𝑧−1
𝑇
+2
1−𝑧−1
𝑇
+50
𝑠 ≈ 1 − 𝑧−1
𝑇 𝑇 = 0.1
=
12 − 10𝑍−1
60 − 10𝑍−1
= 0.2 ∗
𝑧 − 0.833
𝑧 − 0.166
𝐺(𝑍) =
1−𝑧−1
𝑇𝑧−1 +2
1−𝑧−1
𝑇𝑧−1 +50
𝑠 ≈ 1 − 𝑧−1
𝑇𝑧−1 𝑇 = 0.1
=
10𝑧 − 8
10𝑧 + 40
=
𝑧 − 0.8
𝑧 + 4

2. Mediante esta técnica puede haber problemas de inestabilidad; de hecho, la función de
transferencia tiene un polo en 𝑧 = −4; es decir, fuera de la circunferencia de radio unidad, por
lo que se obtiene un sistema inestable y, por lo tanto, no valido.
Por la técnica del operador integral de Tustin:
𝑇
2
∗
1 + 𝑧−1
1 − 𝑧−1
≈
1
𝑠
→ 𝑠 ≈
2
𝑇
∗
1 − 𝑧−1
1 + 𝑧−1
Sustituyendo en 𝐺(𝑠) y para 𝑇 = 100 𝑚𝑠 se obtiene:
𝐺(𝑧) = 0.31 ∗
𝑧 − 0.82
𝑧 + 0.43
Ejercicio 2:
Se ha diseñado una red de compensación e insertado un sistema de control continuo como se
muestra en el diagrama de bloques de la Figura1.1. Diseñar el sistema de control discreto que
sustituya al continuo utilizando un bloqueador de orden cero y un periodo de muestreo de
T=100ms.
El método de la discretización se aplica sobre el regulador, mientras que La ecuación diferencial
se realiza sobre la planta.
La técnica no se especifica por lo cual se realiza la sustitución del operador derivada.
Aplicando la técnica se sabe que la s se remplaza en Z se aplica en el regulador.
𝐺(𝑍) =
2
𝑇
∗ 1−𝑧−1
1+𝑧−1+2
2
𝑇
∗ 1−𝑧−1
1+𝑧−1 +50
𝑠 ≈
2
𝑇
∗ 1 − 𝑧−1
𝑇𝑧−1 𝑇 = 0.1
=
20(1 − 𝑧−1) + 2(1 + 𝑧−1
)
20(1 − 𝑧−1) + 50(1 + 𝑧−1)
𝑅(𝑠)
+
−
34 ∗
𝑠 + 3.3
𝑠 + 11.3
𝑅𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟
𝐸(𝑠) 3
(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
𝐴(𝑠) 𝐶(𝑠)
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎

3. 1
𝑠
=
𝑇
1 − 𝑍−1
𝑆 =
1−𝑍−1
𝑇
ec1
Se reemplaza s por la ecuación 1
𝐹(𝑍) = |34
1 − 𝑍−1
𝑇 + 3.3
1 − 𝑍−1
𝑇
+ 11.3
|
𝑇 = 0.1
𝐹(𝑍) = |34
1 − 𝑍−1
0.1 + 3.3
1 − 𝑍−1
0.1 + 11.3
|
𝐹(𝑍) = 34
13.3 − 10𝑧−1
21.3 − 10𝑧−1
= 21.2
𝑧 − 0.75
𝑧 − 0.47
Se debe obtener el equivalente discreto en la planta, en el ejercicio nos mencionaba que se debe
aplicar un retenedor de orden cero.
𝐺(𝑍) = (1 − 𝑧−1 ) [
𝐺(𝑠)
𝑠
∙
1
1 − 𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1 ]
𝐺(𝑍) = (1 − 𝑧−1) [
3
𝑠 ∙ (𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
∙
1
1 − 𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1 ]
Tres residuos 𝑠 = 0; 𝑠 = −2 ; 𝑠 = −3
lim
𝑠→0
=
3
𝑠 ∙ (𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
∙
1
1 − 𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1
lim
𝑠→0
=
3
0 ∙ (0 + 2)(0 + 3)
∙
1
1 − 𝑒0𝑇 𝑧−1
lim
𝑠→0
=
3
6(1 − 𝑧−1)
Para 𝑠 = −2
lim
𝑠→−2
=
3
𝑠 ∙ (𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
∙
1
1 − 𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1
lim
𝑠→−2
=
3
−2 ∙ (−2 + 2)(−2 + 3)
∙
1
1 − 𝑒−2𝑇 𝑧−1
lim
𝑠→−2
=
3
−2(1 − 𝑒−2𝑇 𝑧−1)

4. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = −3
lim
𝑠→−3
=
3
𝑠 ∙ (𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
∙
1
1 − 𝑒 𝑠𝑇 𝑧−1
lim
𝑠→−3
=
3
−3 ∙ (−3 + 2)(−3 + 3)
∙
1
1 − 𝑒−3𝑇 𝑧−1
lim
𝑠→−−3
=
3
3(1 − 𝑒−3𝑇 𝑧−1)
𝐺(𝑍) = (1 − 𝑧−1
) [
3
6(1 − 𝑧−1)
+
3
−2(1 − 𝑒−2𝑇 𝑧−1)
+
3
3(1 − 𝑒−3𝑇 𝑧−1)
]
Entonces:
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1) ∗ [
3
6 ∗ (1 − 𝑧−1)
+
3
−2 ∗ (1 − 𝑒−2𝑇 𝑧−1)
+
3
3 ∗ (1 − 𝑒−3𝑇 𝑧−1)
]
Particularizando para T=0.1:
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1) ∗ 3 [
1
6∗(1−𝑧−1)
+
1
−2∗(1−0.818𝑧−1)
+
1
3∗(1−0.74𝑧−1)
]
= (1 − 𝑧−1) ∗ 3 [
(−2+1.636𝑧−1)∗(3−2.22𝑧−1)+(6−6𝑧−1)∗(3−2.22𝑧−1)+(6−6𝑧−1)∗(−2+1.636𝑧−1)
−36∗(1−𝑧−1)∗(1−0.818𝑧−1)∗(1−0.74𝑧−1)
]
= −0.083 ∗
(−2+1.636𝑧−1)∗(3−2.22𝑧−1)+(6−6𝑧−1)∗(3−2.22𝑧−1)+(6−6𝑧−1)∗(−2+1.636𝑧−1)
(1−0.818𝑧−1)∗(1−0.74𝑧−1)
= −0.083 ∗
−6+4.44𝑧−1+4.9𝑧−1−3.632𝑧−2+18−13.32𝑧−1−18𝑧−1+13.32𝑧−2−12+9.816𝑧−1+12𝑧−1−9.816𝑧−2
(1−0.818𝑧−1)∗(1−0.74𝑧−1)
Agrupando y simplificando se obtiene:
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑧)| 𝑇=0.1 =
0.013𝑧−1
+ 0.0107𝑧−2
(1 − 0.818𝑧−1) ∗ (1 − 0.74𝑧−1)

5. Multiplicando y dividiendo por 𝑧2
se consigue la función de transferencia en su forma factorizada
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑧)| 𝑇=0.1 = (
0.013𝑧−1
+ 0.0107𝑧−2
(1 − 0.818𝑧−1) ∗ (1 − 0.74𝑧−1)
) ∗
𝑧2
𝑧2
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑧)| 𝑇=0.1 =
0.013𝑧 + 0.0107
(𝑧 − 0.818) ∗ (𝑧 − 0.74)
𝐵 𝑍𝑂𝐻 𝐺(𝑧)| 𝑇=0.1 = 0.013
𝑧 + 0.8230
(𝑧 − 0.818) ∗ (𝑧 − 0.74)
𝑟𝑘
+
−
21.2 ∗
𝑧 − 0.75
𝑧 − 0.47
𝑅𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑒 𝑘 0.013
𝑧 + 0.82
(𝑧 − 0.81)(𝑧 − 0.74)
𝑎 𝑘 𝑐 𝑘
𝐸𝑄𝐷