Solución de un problema mediante máximos y mínimos relativos. Cercar un terreno rectangular de área máxima dado un material determinado.

1. Aplicaciones de la
derivada 2
G. Edgar Mata Ortiz
licmata@hotmail.com
http://licmata-math.blogspot.com

2. Máximos y mínimos relativos
Ejemplo 4.2. Proceso de solución iniciando con una
aproximación sin cálculo, empleando primero matemáticas
básicas y finalmente la derivada.

3. Enunciado del problema
• Se desea cercar un jardín rectangular con uno de sus lados
contra una barda, de modo que ese lado no necesita ser
construido.
• Se dispone de material para construir 100 m de cerca.
• ¿Qué dimensiones debe tener el jardín para conseguir el área
máxima?

4. Diagrama
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.

5. Diagrama
Ancho
Longitud
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.

6. Diagrama
Ancho
Darle valores
al ancho del
terreno
Longitud
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.

7. Diagrama
Ancho
Darle valores al ancho
del terreno, y con
estos, calculamos la
longitud
Longitud
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.

8. Diagrama
Darle valores al ancho del
terreno, y con Ancho
estos, calculamos la longitud
Longitud
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Si elegimos un valor para el ancho del terreno, podemos
determinar la longitud.
Por ejemplo: Si el ancho es de 5 metros, la longitud será de
90 m. (¿puedes ver por qué?)
Y el área será: A = longitud por ancho = 90 x 5 = 450

9. Diagrama
Para facilitar el
proceso, haremos una tabla Ancho
en la que se irá cambiando el
valor del ancho del terreno y
Longitud
calculando la longitud y el
área.
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho Longitud Área
5 90 450
10 80 800

10. Diagrama Ancho
Longitud
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho Longitud Área
5 90 450
10 80 800
15 70 1050
20 60 1200
25 50 1250 Área máxima
30 40 1200
35 30 1050

11. Diagrama Ancho
Longitud
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho Longitud Área La solución por ahora es:
5 90 450 Ancho = 25
10 80 800 Es necesario probar con
15 70 1050 valores cercanos a 25, para
20 60 1200 ver si podemos mejorar el
25 50 1250 área máxima.
30 40 1200
35 30 1050 Podríamos usar valores como:
23, 23.5, 24, 24.5, 25.5, 26,
26.5

12. Diagrama Ancho
Longitud
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Ancho Longitud Área
23 54 1242
No fue posible
23.5 53 1245.5 obtener una mejor
24 52 1248 solución.
24.5 51 1249.5
25 50 1250 Área máxima
25.5 49 1249.5
26 48 1248
26.5 47 1245.5

13. Diagrama Ancho
Longitud
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
1400
La solución es:
1200
Ancho = 25
1000
Longitud = 50
800
Área = 1250
Área del terreno (y)
600
400
* La gráfica parece tener
200
la forma de una
0
0 10 20 30 40 50 60 parábola, sin embargo, no
-200
podemos estar seguros
-400
Ancho del terreno (x)
hasta conocer su
ecuación.

14. Diagrama
Darle valores al ancho del
terreno, es una forma de Ancho
hacerlo variable, en lugar de
eso, tomemos su valor como
Longitud
equis (x).
Material suficiente para construir 100 metros de cerca.
Si elegimos un valor (x) para el ancho del terreno, podemos
determinar la longitud.
Si el ancho es de x metros, la longitud será de 100 – 2x m.
Y el área será: A = longitud por ancho = (100 – 2x) x

15. Diagrama
Tomar el ancho como x nos
permite obtener la ecuación. Ancho
Longitud
Ecuación del área del terreno en función de su ancho.
A = (100 – 2x) x = 100x – 2x2
Expresándola como función: y = -2x2 + 100x
Es una ecuación cuadrática, podríamos obtener el punto
máximo determinando su vértice.

16. Aplicando la derivada
Derivamos e igualamos a
cero para obtener el punto Ancho
máximo.
y 2 x 2 100 x Longitud
dy La solución es:
4 x 100
dx Ancho = 25
4 x 100 0 Longitud = 50
4x 100 Área = 1250
100 * Concuerda con la solución
x aproximada que habíamos obtenido
4
sin cálculo diferencial.
x 25

17. PBL – Problem Based Learning
Es una técnica consistente en iniciar el tema de interés con un
problema que conduzca al alumno a la necesidad de
aprender dicho tema.
El objetivo del presente material es abordar el tema de
derivadas a partir de un problema.
Dicho problema es irresoluble por métodos analíticos previos
al cálculo.
Se muestran soluciones aproximadas logradas mediante estas
herramientas y finalmente se plantea la solución mediante
máximos y mínimos relativos.
GRACIAS POR SU ATENCIÓN