resumen de función limite

1. Límite de una función
Aquíencontrarásqué sonloslímitesdefuncionesycómose calculantodoslostiposde límites.Ynosoloverásqué significa
el límite de una función, sino que también te explicamos para qué se usan. Además, podrás practicar con ejercicios
resueltos paso a paso de límites de funciones.
¿Qué es el límite de una función?
En matemáticas,el límitedeuna función en un punto es el valoral cual se aproxima la funcióncuando x se acerca
a ese punto.
El límite de la función f(x) en el punto x=a se representa utilizando la siguiente notación:
La expresión anterior significa que el límite de la función f(x) cuando x tiende a 2 es igual
a b.
Para acabar de entender qué significa el límite de una función, vamos a hallar el siguiente límite:
Para vera qué valorse aproximalafuncióncuandox tiende a2, podemosircalculandoimágenesde lafunciónde puntos
cada vez más cerca de x=2:
Como puedes ver en las dos tablas anteriores, a medida que vamos tomando valores más próximos a x=2, la
función se va acercando a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 2 es 1.
A continuación, puedes ver la función representada gráficamente. Como puedes comprobar, la función se acerca
a 1 cuando x se aproxima a 2.

2. Fíjate enlagráficaque lafunciónse acercaal mismovalorindependientementede si nosacercamosporlaizquierdaopor
la derecha. Más abajo profundizaremos más sobre este concepto de los límites.
Fíjate en la gráfica que la función se acerca al mismo valor independientemente de si nos acercamos por la
izquierda o por la derecha. Más abajo profundizaremos más sobre este concepto de los límites.
Cómo calcular el límite de una función
Para calcular el límite de una función en un punto simplemente tenemos que sustituir el valor de ese punto en
la función.
Por ejemplo,si queremosresolverel límitecuandox tiende a3 de lasiguiente función,debemossustituirlasx de la
funciónpor3:
Más ejemplos de cálculos de límites de funciones:
Límites laterales de una función
Una vez hemos visto la definición de límite de una función, vamos a analizar el concepto de límites laterales.
Existen dos tipos de límites laterales: el límite lateral por la izquierda y el límite lateral por la derecha.
El límite lateral de la función por la izquierda se expresa con un signo menos en el punto donde se analiza el
límite y, por otro lado, el límite lateral por la derecha se indica con el signo más.
Límite lateral por la izquierda Límite lateral por la derecha
Fíjate en el siguiente ejemplo para entender mejor el significado de los límites laterales:

3. Comopuedesverenlarepresentacióngráficade estafuncióndefinidaatrozos,loslímiteslateralesdependendelladoen
el que se calculen.
En este caso, la función tiende a 3 cuando x tiende a 2 por la izquierda, ya que la función toma valores cada vez más
próximos a 3 cuando x se aproxima a x=2 por su izquierda.
En cambio, el límite lateral de la función en x=2 por la derecha vale 6. Porque si nos acercamos al punto x=2 desde su
derecha, la función va tomando valores cada vez más cercanos a f(x)=6.
Límites laterales iguales
Acabamos de ver un ejemplo en el que los límites laterales de una función son distintos,pero… ¿qué pasa si los límites
laterales son iguales?
Si los dos límites laterales de una función en un punto existen y son iguales, existe el límite de la funciónen
dicho punto y el resultado del límite es el valor de los límites laterales.
Es decir, para que exista el límite de una función en un punto, se debe
cumplir la siguiente condición:
Por lotanto,si loslímiteslateralesde unafunciónenunpuntoson
diferentes,el límitede lafunciónenese punto noexiste.
Vamosa resolverunejemploparaacabar de comprenderel concepto
de límiteslaterales:
Los límites laterales en el punto x=-2 de la función representada gráficamente coinciden, ya que el valor de la función
tiende a 3 indistintamente de si nos aceramos a x=-2 por la izquierda o por la derecha. En consecuencia, el límite de la
función en x=-2 es igual a 3.
En cambio,en el puntox=4 los límiteslateralessondistintos,yaque por laizquierdalafunciónse aproximaa f(x)=3pero
por la derecha la función se aproxima a f(x)=2. De modo que el límite de la función en este punto no existe.
Límite de una función definida a trozos
El cálculo del límite de una función definida a trozos en un punto depende de si ese punto es el punto de
ruptura o no:
 Si se quiere calcularel límite de una funcióna trozos en un punto que no es el de ruptura, se hace el cálculodel
límite en el trozo de la función que corresponde a ese punto.
 Si se quiere calcularel límite de unafunciónatrozos enel puntode ruptura,se debencalcularloslímiteslaterales
en el punto de ruptura:
o Si losdoslímiteslateralescoincidenconel mismovalor,ese esel valordellímitede lafunciónenel punto
de ruptura.
o Si los doslímiteslateralesnocoinciden,entoncesel límite de lafunciónenel puntode rupturanoexiste.

4. Veamos un ejemplo para entender mejor cómo se calcula el límite de una función definida a trozos:
 Calcula los límites en los puntos x=1 y x=3 de la siguiente función definida a trozos:
Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 1, tenemos que usar la primera función, ya que x=1
pertenece al intervalo x<3. Por tanto:
Así que el límite de lafuncióncuandox tiende a1 es 4.
En cambio, x=3 esel punto de ruptura de la función.Porque enese puntolafuncióncambiade tramo.
Entonces,comox=3 esel puntode ruptura de la función,parahallarel límite de lafuncióncuandox tiende a3 debemos
calcularsus límiteslaterales:
De modo que el límite de f(x) cuando x tiende a 3 por la izquierda es 6. Y el límite de f(x) cuando x tiende a 3 por
la derecha también es 6. Por tanto, como los dos límites laterales son iguales, el límite de la función cuando x
tiende a 3 es 6:
Ahoraveremosunejemplode cuandoloslímiteslateralesenel puntode rupturano coinciden:
 Calculael límite cuandox tiende a4 de la siguiente funcióndefinidaatrozos:
x=4 es el punto de ruptura de la función, ya que en ese punto la función cambia de tramo. Por tanto, debemos
calcular los dos límites laterales de la función en ese punto:
De modo que el límite de f( x) cuando x tiende a 4 por la izquierda es -5. Y el límite de f(x) cuando x tiende a 5
por la derecha es 32. Por tanto, como los dos límites laterales no coinciden, el límite de la función cuando
x tiende a 4 no existe:

5. Límite de una función en el infinito
El límite de una función cuando x tiende a infinito ya seapositivoonegativo,puedeserunvalorreal,másinfinito,
menos infinito o no existir.
Como puedes ver en el primer gráfico, la función representada tiende al valor real k al infinito, porque se va
acercando a k a medida que x va creciendo. La función de arriba a la derecha tiende al más infinito
cuando x tiende a infinito, ya que crece indefinidamente al aumentar de valor la x. En cambio, la gráfica de abajo
a la izquierda decrece sin parar y por eso tiende a menos infinito. Finalmente, la última función es periódica y no
tiende a ningún valor, por lo tanto, no existe el límite en el infinito en este caso.