derivadas e integrales material de apoyo

1. REPASO DE DERIVADAS E
INTEGRALES
Cálculo Aplicado a la Física 3
Semana 02 – Sesión 02

2. Datos/Observaciones
LOGROS
Al finalizar la sesión el alumno aplica las
propiedades de las derivadas e integrales de
funciones mediante la realización de ejercicios
concretos.

3. Datos/Observaciones
AGENDA
 Derivadas
 Integrales
 Resolución de ejercicios
 Cierre

4. Datos/Observaciones
RECORDANDO

5. Datos/Observaciones
f (x)
Derivadas e integrales
f (x)
a 𝑥 →
Las derivadas y las integrales como herramientas fundamentales del cálculo, nos permite
modelar todos los aspectos de la naturaleza en las ciencias físicas
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑎

6. Datos/Observaciones
Reglas de DERIVACIÓN
Suma y resta:
(𝑓 ± 𝑔)´ = (𝑓´ ± 𝑔´)
Producto:
(𝑓. 𝑔)´ = (𝑓´. 𝑔 + 𝑓𝑔´)
Cociente:
Constante por función:
(𝑘𝑓)´ = 𝑘𝑓´
Función constante:
𝑘´ =0
Función identidad:
𝑥´ = 1
(
𝑓
𝑔
)´ =
𝑓´𝑔 −𝑓 𝑔´
𝑔2

7. Datos/Observaciones
Reglas de DERIVACIÓN
𝑦 = 𝑥𝑛 → 𝑦´ = 𝑛𝑥𝑛−1
𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑛 → 𝑦´ = 𝑛(𝑓 𝑥 )𝑛−1. 𝑓´(𝑥)
Potencias
𝑦 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑦´ = 𝑒𝑥
𝑦 = 𝑒𝑓(𝑥) ⇒ 𝑦´ = 𝑒𝑓(𝑥). 𝑓´(𝑥)
Exponenciales

8. Datos/Observaciones
Reglas de derivación
Funciones trigonométricas
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ⇒ 𝑦´ = − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 (𝑥) ⇒ 𝑦´ = 𝑠𝑒𝑐2 (𝑥)
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥)) ⇒ 𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑥)) 𝑓´(𝑥)
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑓(𝑥)) ⇒ 𝑦´ = −𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥)) 𝑓´(𝑥)
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 (𝑓(𝑥)) ⇒ 𝑦´ = 𝑠𝑒𝑐 (𝑓(𝑥)) 𝑓´(𝑥)
Inversa de las funciones trigonométricas
𝑦 = arcsen(x) ⇒ 𝑦´ =
1
1 −𝑥2
𝑦 = arccos(x) ⇒ 𝑦´ =
−1
1 −𝑥2
𝑦 = arctan(x) ⇒ 𝑦´ =
1
1+𝑥2
𝑦 = arccot(x) ⇒ 𝑦´ =
−1
1+𝑥2

9. Datos/Observaciones
INTEGRALES
El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de cualquier
función f(u) puede expresarse en términos de antiderivadas:
Integral de una constante multiplicada por una función:
𝑏
𝑏
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑎 − 𝐹(𝑏)
𝑏
𝑎
𝑐 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐
𝑏
𝑎
𝑓 𝑢 𝑑𝑢
Integral de suma de dos funciones:
𝑏
𝑎
𝑓 𝑢 + 𝑔 𝑢 𝑑𝑢 =
𝑏
𝑎
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 +
𝑏
𝑎
𝑔 𝑢 𝑑𝑢

10. Datos/Observaciones
INTEGRAL
ln 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 ln 𝑢 − 𝑢
cos 𝑘𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑘
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑢)
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑢 𝑑𝑢 =
−1
𝑘
𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑢)
𝑢𝑛 𝑑𝑢 =
1
𝑛 + 1
𝑢𝑛+1; 𝑢 ≠ −1
𝑒𝑘𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑘
𝑒𝑘𝑢
1
𝑢
𝑑𝑢 = 𝑢−1 𝑑𝑢 = ln 𝑢 ; 𝑢 > 0

11. Datos/Observaciones
𝑎
𝑐
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 +
𝑏
𝑐
𝑓 𝑢 𝑑𝑢
𝑎
𝑏
𝑓 𝑔(𝑢)
𝑑𝑔
𝑑𝑢
𝑑𝑢 =
𝑔(𝑎)
𝑔(𝑏)
𝑓 𝑔(𝑢) 𝑑𝑔
𝑎
𝑏
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = −
𝑏
𝑎
𝑓 𝑢 𝑑𝑢
Cambio de límite de integración:
Cambio de variable de integración: Si g(u) es una función de u, entonces
Propiedades de integral

12. Datos/Observaciones
Encuentre la derivada de:
a) 𝑦 =(𝑥2 +𝑥)4
b) 𝑦 =(𝑒2𝑥 +1)3
Ejercicios

13. Datos/Observaciones
Encuentre la derivada de:
c) 𝑦 =𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
Ejercicios

14. Datos/Observaciones
a)
2𝑒𝑥+𝑒2𝑥
𝑒𝑥 𝑑𝑥
Encuentre la integral de:
Ejercicios
b)
𝑥+2
2 𝑥+2
𝑑𝑥

15. Datos/Observaciones
c)
𝑥+2
2 𝑥+2
𝑑𝑥
Encuentre la integral de:
Ejercicios

16. Datos/Observaciones
Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se
pueden aplicar a las funciones trigonométricas, recordadas en el siguiente diagrama
(con identidades hacer B >0):
Desplazamiento
vertical
Desplazamiento horizontal=
|φ|
𝐵
:
:)+(a la izquierda, (-): a la derecha
𝐴 > 0: 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝐴 < 0: 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 eje x
B > 0: 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 horizontal
𝐵 < 0: 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 ejey
Transformaciones en gráficas de funciones
Trigonométricas
𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑅𝑇 𝐵𝑥 + φ + 𝐷
Periodo de la gráfica es
2𝜋
𝐵
.

17. Datos/Observaciones
Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se
pueden aplicar a las funciones trigonométricas, recordadas en el siguiente diagrama
(con identidades hacer B >0):
Desplazamiento
vertical
Desplazamiento horizontal=
|𝐶|
𝐵
:
:)+(a la izquierda, (-): a la derecha
𝐴 > 0: 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝐴 < 0: 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 eje x
B > 0: 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 horizontal
𝐵 < 0: 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 ejey
Transformaciones en gráficas de funciones
Trigonométricas
𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑅𝑇 𝐵𝑥 ± 𝐶 + 𝐷
Periodo de la gráfica es
2𝜋
𝐵
.

18. Datos/Observaciones
Transformaciones en gráficas de funciones
Trigonométricas

19. Datos/Observaciones
En esta sesión hemos aprendido que:

20. Datos/Observaciones
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
 Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2013) Física Universitaria
Volumen I, Décimo tercera edición. México. Pearson Educación.
 Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I. México.
Ed. Thomson.
COMPLEMENTARIA
 Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. México Ed.
Reverté .
 Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo interamericano.
 Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen II. México. Ed.
Continental.