Anotaciones de un curso de física del estado sólido

Universidad Nacional de Educación a Distancia.
Facultad de Ciencias.
Departamento de Física Fundamental.
Grado en Física
Anotaciones de un curso de
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
Gustavo Adolfo Pérez Sánchez.
Curso 2015/2016

Al equipo docente. Por tan grata y particular excepción.
i

«Nunca subestimes el placer que le proporcionas al público contándoles algo
que ya comprenden»
F.Bloch.
ii

Índice general
Sobre estas Notas 1
1 La Estructura Periódica de los Cristales 2
2 Difracción y la Red Recíproca 7
3 Electrones en un Potencial Periódico. Teorema de Bloch 11
4 El Modelo de Drude-Sommerfeld de los Metales 15
5 Bandas de Energía. Electrones Cuasilibres y Fuertemente Ligados 20
6 Dinámica de los Electrones de Bloch 24
7 Dinámica de la Red 28
8 Propiedades Térmicas de los Sólidos 31
9 Defectos Puntuales de la Red 36
10 Características Fundamentales de los Materiales
Semiconductores y Magnéticos 40
A Constantes Físicas 45
B Tabla Periódica de los Elementos y Parámetros de Interés 46
Referencias 47
iii

Índice general 1
Sobre estas Notas
Anotaciones de un Curso de Física del Estado Sólido, quizás ese sea el título más acertado
que viste al texto a continuación. Unas notas, unos apuntes si se quiere, un resumen de
los contenidos de la asignatura Física del Estado Sólido, asignatura que se imparte en el
cuarto curso del grado en física de la Universidad Nacional de Educación a Distancia.
Consta de diez capítulos o temas en los que se ha intentado plasmar negro sobre blanco
lo que en tan sólo la humilde opinión del autor, supone un contenido de relevancia que
no debe ser pasado por alto, al menos claro, si la intención del lector, puede que un
estudiante, sea la de adquirir un mínimo de conocimientos respecto de esta rama de la
física. Diez capítulos tal y como está estructurada la asignatura impartida, comenzando
con la estructura periódica de los cristales, pilar fundamental que sostiene en gran medida
el resto de conocimientos, pasando por el estudio de la difracción de rayos X, la teoría
de bandas (posiblemente el mayor logro de la física del estado sólido), las vibraciones de
la red cristalina, las propiedades térmicas y eléctricas de los sólidos, y terminando con
los defectos puntuales de los cristales y las propiedades fundamentales de los cristales
semiconductores, y del magnetismo en los sólidos.
El lector debe tener en cuenta, que no siendo las presentes más que un resumen, y aun-
que en la medida de lo posible ha sido concebido con un mínimo de explicaciones y de
desarrollos matemáticos, no es de ninguna manera un texto que pueda servir para el es-
tudio completo y profundo de lo que se trata aquí, para ello, se ha incluido al final en las
referencias, una lista de obras de lectura casi obligada, que en buena medida, han dado
a luz a este... digamos manual de referencia, cajón de sastre del que quizás unicamente
podrá sacarse partido, acudiendo a él con unos conocimientos suficientes y asentados de
física en general y de física del estado sólido en particular.
Estas notas, de un modo excepcional, esperan cumplir con el requerimiento para un fin,
un fin que tal vez por antojadas, las abigarradas sendas del destino han querido convertir
en dos, la superación de la asignatura en cuestión, y con ello la culminación del plan de
estudios. Pues que así sea. Lo cierto es también, que durante su creación, las presentes se
han ido convirtiendo en un placer fascinante, placer que quizás sólo pueden entender y
seguramente sentir, esos curiosos del mecanismo último de Dios.
Ojalá sirva este texto a su cometido y sea recibido con aceptación por el lector, si es así,
buena parte del objetivo estará cumplido.
UNED. Anotaciones de un curso de Física del Estado Sólido.

1 La Estructura Periódica de los Cristales
Todo sólido cristalino, o cristal sin más, se encuentra en la naturaleza formado por bloques
idénticos repetidos de forma periódica (red) , tales bloques están conformados por átomos
o grupos de átomos dispuestos en una estructura tridimensional periódica de largo alcance.
1
Una red cristalina es por tanto un conjunto de puntos discretos del espacio con vector
posición dado por:
r = n1a1 + n2a2 + n3a3, (1.1)
donde los ni barren todos los enteros y los ai son los llamados vectores base primitivos.
Denotaremos por R a todo vector que une cualesquiera dos puntos de red. El conjunto
de átomos que se asocia a todos y cada uno de los puntos de red es conocido como base
atómica (a veces también motivo), así, toda estructura cristalina es la combinación de
red cristalina + base atómica.
Figura 1.1: Cristal bidimensional descrito como red cristalina más base atómica. Fuente: [5].
-Celda unitaria y celda primitiva: Es el volumen de espacio que por traslaciones
en vectores de red cubre todo el espacio y sin solapamientos. Se llama celda unitaria
primitiva si además contiene tan sólo un punto de red, a vece es útil definir celdas no
primitivas llamadas celdas convencionales que preserven las simetrías de la red, simetría
traslacional, rotacional, especular, de inversón, etc. Es evidente que la celda primitiva
encierra el menor volumen posible.
-Celda de Wigner-Seitz: Una manera de escoger una celda primitiva consiste en trazar
líneas que unan un punto de red con sus vecinos más próximos, posteriormente trazar los
planos mediatices a dichas líneas. La región encerrada por los planos ( un poliedro en 3D
o un polígono en 2D) es la celda de Wigner-Seitz. Tal celda es obviamente primitiva y
contiene todas las simetrías de la red.
Figura 1.2: Celda unitaria primitiva de una red cristalina tridimensional. Cada punto de red es com-
partido por 8 celdas, hay por tanto un punto de red por celda. Fuente: http://www.upv.es
1No tenemos en cuenta aquí ciertos sólidos llamados amorfos como por ejemplo el vidrio, cuya estruc-
tura, si bien presenta cierto orden, éste es tan sólo de corto alcance.

Figura 1.3: Ejemplos de celdas de Wigner-Seitz, bidimensional y tridimensional. Fuente: Wikipedia
-Redes de Bravais: Existen 14 tipos de redes atendiendo a sus simetrías, son las llamadas
redes de Bravais mostradas en la figura 1.4 . Estas redes se agrupan a su vez en 7 sistemas
cristalinos.
Figura 1.4: Sistemas cristalinos y celdas unitarias de las 14 redes de Bravais posibles tridimensionales.
La etiqueta P, se corresponde con celda primitiva, las I, F y C son celdas convencionales, la centrada
en el cuerpo, la centrada en las caras y la centrada en dos caras respectivamente. Fuente: slideshare.net
-Parámetro de red: Se nombra así a la longitud «a» de la arista de la celda convencional
(o primitiva) cúbica (únicamente en sistemas cúbicos donde es a = b = c. Figura 1.4).
-Índice de coordinación IC: Es el número de vecinos más próximos a cada punto de
red. Como puede fácilmente comprobarse, por ejemplo en la red cúbica simple o sc, este
número es igual a 6, en la cúbica centrada en el cuerpo o bcc es 8, en la cúbica centrada
en las caras o fcc es 12, y en la red hexagonal compacta ó hcp es12.
-Direcciones y planos cristalinos: Todo punto de una red queda determinado por las
3 coordenadas (x, y, z) referidas al sistema de ejes que definen la base vectorial elegida.
Es importante la forma de designar direcciones o planos dentro de un cristal, porque
muchas de las propiedades de los sólidos cristalinos dependen del plano o dirección que
se considere. Por ello, resulta de especial interés encontrar una forma cómoda y rápida de
identificar las direcciones y planos cristalinos. La notación empleada se denomina notación
de índices de Miller.

Las ternas [h k l] de componentes enteras mínimas referidas a la base elegida, definen
un vector en una dirección cristalina dada, tales componentes son los llamados índices de
Miller del cristal, por convenio, los valores negativos son designados colocando al índice en
cuestión una línea sobre el mismo. Un plano cristalino es denotado por índices de Miller en
la forma (h k l) y tal plano es perpendicular a la dirección [h k l]. La manera de determinar
los índices de Miller de un plano cualquiera, consiste en encontrar los recíprocos de las
intersecciones del plano con los ejes coordenados de la red y reducirlos a enteros mínimos.
Figura 1.5: Algunos planos cristalinos y sus índices de Miller de una red cúbica simple (sc). Sólo se
muestra la intersección de los planos con la celda primitiva. Fuente: Wikipedia
-Empaquetamiento Compacto: Las estructuras cristalinas monoespecie de mayor
compacidad, esto es, aquellas que aprovechan al máximo el espacio disponible, son la
fcc y la hcp 2
. Esto puede verse fácilmente en la figura 1.6 , en la que se apilan, en capas
de la forma más compacta posible, esferas rígidas a modo de puntos de red.
2Fué Gauss quien demostró matemáticamente este hecho mediante el apilamiento de esferas rígidas,
obtuvo el valor π/3
√
2 ≈ 0, 74.

Figura 1.6: Empaquetamiento compacto de esferas rígidas. En a) una capa A de esferas se acomodan
de la forma más compacta posible. En b) una segunda capa B de esferas ocupan la mitad de los inters-
ticios dejados por la capa A. Una tercera capa, en c) y d) , puede acomodarse de dos formas distintas
respectivamente, una capa A ubicando las esferas en las mismas posiciones de la primera capa, esta es
la estructura hcp; o bien, una capa C ubicando las esferas en el resto de los intersticios dejados por la
primera capa, es esta la estructura fcc. Fuente: slideshare.net
-Factor de empaquetamiento: Se define el factor de empaquetamiento f como:
f =
Vesferas
Vcelda
, (1.2)
como el cociente entre el volumen ocupado por esferas rígidas en una celda unitaria,
Vesferas , y el propio volumen de la celda, Vcelda. Puede demostrarse con facilidad, a
partir de su geometría, que para las redes sc, bcc, fcc y hcp, este valor se corresponde
respectivamente con 0, 52, 0, 68, 0, 74 y 0, 74 aproximadamente; esto es, los átomos en una
red fcc ó hcp ocupan un espacio del 74 % del total disponible.
-Intersticios o huecos: El espacio libre u oquedades dejadas entre átomos de una red
cristalina se conoce como intersticios o huecos de estructura. Cada intersticio muestra
una geometría particular en función del numero de vecinos más próximos en contacto
con él; así, en la estructura cúbica simple, un hueco hexaédrico (8 vecinos en contacto)
se encuentra en el centro de la celda primitiva. En las estructuras compactas fcc y hcp,
se demuestra que existen tantos huecos octaédricos (6 vecinos en contacto) y el doble de
huecos tetraédricos (4 vecinos en contacto) que el número de puntos de red por celda
convencional. Para la fcc en particular, los huecos octaédricos se encuentran ubicados,
uno de ellos en el centro de la celda convencional cúbica, y los 3 restantes en el centro de
las aristas del cubo, a un 1/4 de hueco por arista; los 8 huecos tetraédricos se ubican en las
posiciones (1/4, 1/4, 1/4) respecto de cada vértice de la celda convencional. Finalmente, en
la bcc existen 6 intersticios octaédricos deformados y 12 tetraédricos también deformados.

Figura 1.7: Algunos intersticios en estructuras cristalinas cúbicas. Fuente: [5].
Figura 1.8: Algunos ejemplos de estructuras cristalinas. Obsérvese como en el NaCl los iones Na+ se
ubican en todos los huecos octaédricos mientras los Cl− en las posiciones de red fcc. Fuente: [5]

2 Difracción y la Red Recíproca
-Red Directa: En adelante RD, es el conjunto de todos los {Rn} con vectores base
primitivos {ai} según (1.1), esto es, el conjunto de vectores que «localiza» en el espacio
a todo punto de una red cristalina.
-Red Reciproca: En adelante RR, es el conjunto de vectores de onda k cuyas ondas
mantienen la periodicidad de la RD, es decir, tales que eik·(r+R)
= eik·r
. Tales vectores
por tanto han de cumplir k · R = 2πn, n ∈ Z . Es pues el conjunto de vectores escritos
como:
G = ν1b1 + ν2b2 + ν2b3 ; νi ∈ Z, (2.1)
donde los {bj} tales que ai · bj = 2πδij, con δij las deltas de Kronecker, son los vectores
base primitivos de la RR que en términos de los vectores base primitivos de la RD tienen
la forma:
b1 = 2π
a2 × a3
a1 · (a2 × a3)
, b2 = 2π
a3 × a1
a1 · (a2 × a3)
, b3 = 2π
a1 × a2
a1 · (a2 × a3)
, (2.2)
y evidentemente cumplen la condición exigida junto con los {ai}.
El lector habrá notado que el espacio recíproco de la RR, algebraicamente por definición
(salvo factor de 2π), no es más que el dual del espacio directo de la RD, o si se quiere, es
el espacio covariante asociado al espacio contravariante de la RD.
-Primera Zona de Brillouin (PZB): Se nombra así al volumen contenido en la celda
de Wigner-Seitz construida del modo que se expuso en la sección anterior. La PZB es de
gran importancia en el estudio de la difracción de rayos X por cristales, en la Teoría de
Bandas, y en general, en el estudio de las propiedades de los sólidos cristalinos. Se define
igualmente una Segunda Zona de Brillouin (SZB), una Tercera Zona de Brillouin (TZB),
... construidas en base a los segundos, terceros, ... vecinos próximos.
Figura 2.1: Primeras 4 zonas de Brillouin de una red bidimensional cuadrada. Fuente:
http://www.uam.es
Obsérvese en la figura anterior, que todas las zonas de Brillouin cubren la misma área
(volumen en una red tridimensional).
Las relaciones (2.2) exigen trabajar con vectores base primitivos de la RD para definir
bases primitivas de la RR. Para el sistema cúbico, siendo i, j, k los versores en la dirección

de cada arista de la celda cúbica convencional de parámetro a, quedan definidos los
vectores base primitivos como:
sc : a1 = ai , a2 = aj , a3 = ak,
bcc : a1 = a
2 (−i + j + k) , a2 = a
2 (i − j + k) , a3 = a
2 (i + j − k)
fcc : a1 = a
2 (j + k) , a2 = a
2 (i+k) , a3 = a
2 (i + j).
, (2.3)
Usando las (2.2) con las anteriores, resulta que la RR de una sc, es otra sc de parámetro
de red 2π
a ; la RR de una bcc, es una fcc de parámetro 4π
a ; y la de una fcc, es una bcc de
parámetro 4π
a .
-Funciones periódicas en la red: Supóngase una función n (r) con la periodicidad de
la red (por ejemplo la concentración electrónica). Desarrollándola en serie de Fourier,
n (r) =
∑
K
nKeiK·r
, (2.4)
y exigiendo en virtud de la periodicidad que:
n (r + R) =
∑
K
nKeiK·(r+R)
=
∑
K
nKeiK·r
= n (r) =⇒ eiK·R
= 1 ; ∀R ∈ RD, (2.5)
los K son entonces vectores de la RR, luego es K = G , y en definitiva,
n (r) =
∑
G
nGeiG·r
; nG =
1
Vcelda
ˆ
celda
n (r) e−iG·r
dV. (2.6)
-Difracción de rayos X: Sea una onda electromagnética con vector de onda k incidente,
ques es dispersada por un cristal con celdas en posiciones de red {Rn} y base atómica de
j átomos en posiciones {rj}, la amplitud A de la onda dispersada en la dirección k′
es:
A ∝
base∑
j
fje−irj·(k′
−k)
red∑
n
e−iRn·(k′
−k), (2.7)
con fj el llamado factor de forma atómico dado por:
fj =
ˆ
cristal
nj(ρ)e−iρ·G
d3
ρ, (2.8)
donde nj(ρ) es concentración electrónica del átomo j de la base en el volumen d3
ρ . Se
desprende de inmediato de (2.7) que el máximo de A se alcanza cuando
k′
− k = △k = G, (2.9)
pues el segundo sumatorio de (2.7) , que se extiende a toda la RD frente al primero que
es una suma de unos pocos, es quien marca dicho valor. La condición anterior es conocida
como condición de Laue.

Así pues, los máximos de difracción de una onda electromagnética por un cristal, ocurren
al cumplirse la condición anterior; condición que bajo dispersión elástica (k′
= k), elevando
al cuadrado ambos miembros de △k = G , y cambiando G por −G (lo que no modifica
la condición), puede escribirse también como:
k · G =
1
2
G2
(2.10)
-Ecuaciones de Laue: Multiplicando escalarmente ambos miembros de (2.9) por los
vectores base primitivos de la RD, se obtienen, en virtud de (2.1):
a1 · △k = 2πν1,
a2 · △k = 2πν2,
a3 · △k = 2πν3,
(2.11)
conocidas como ecuaciones de Laue, geométricamente cada una de ellas representa un
cono de generatriz △k en torno al eje dirigido por ai; así, la condición de máximo de
difracción se satisface cuando el vector △k coincide con la línea de intersección de los tres
conos, una condición fuerte que sólo se cumple mediante el barrido, bien de longitudes
de onda λ de la radiación utilizada (método de Laue) o bien de orientaciones del cristal
(método del cristal rotatorio), o mediante el uso de polvo de cristal aprovechando la
orientación azarosa de los granos cristalinos (método de Debye-Scherrer).
-Planos cristalinos y vectores de la RR: Dado un vector cualquiera G de la RR
en dirección [h k l] referida a los vectores base primitivos, es fácil probar que éste, es
perpendicular al conjunto de planos del cristal paralelos de la familia {h k l}. Tales planos
están distanciados una longitud dhkl (llamada distancia interplanar) . Se demuestra sin
dificultad que si Gm´ın es el vector más corto perpendicular a dichos planos, entonces:
dhkl =
2π
Gm´ın
. (2.12)
-Ley de Bragg: Relacionando (2.12) con (2.10), y teniendo en cuenta que k = 2π
λ con λ
la longitud de onda de la radiación utilizada, se deduce que:
2dhklsen θhkl = nλ, (2.13)
donde el entero n aparece al tener en cuenta que en (2.10) el vector G = nGm´ın es un
vector de la RR más general, y θhkl es el ángulo entre el vector de onda k y el plano
(h k l). La relación anterior es la bien conocida Ley de Bragg para la difracción de rayos
X por un cristal. Para las redes sc, sustituyendo dhkl en la ley de Bragg, por su expresión
en función de los vectores base primitivos, se tiene que:
2a
√
h2 + k2 + l2
sen θhkl = nλ, (2.14)
lo que permite experimentalmente para una muestra cristalina, determinar los índices de
Miller de los planos involucrados en los máximos de difracción con ángulo θhkl conocido
(planos de Bragg) , para una radiación de longitud de onda λ determinada.

Figura 2.2: Máximo de difracción (en dispersión elástica ) de Laue y equivalencia con la ley de Bragg
en dispersión elástica. Fuente: http://www.fis.puc.c
-Factor de estructura de la base: Bajo la condición de máximo de difracción de Laue,
el segundo sumatorio de (2.7) se reduce obviamente al número de celdas N de la red, La
amplitud dispersada resulta entonces:
A ∝ NSG ; SG =
base∑
j
fje−irj·(k′
−k). (2.15)
A SG se le denomina factor de estructura de la base y representa una suma interferencial
dentro de cada celda del cristal. En bases poliatómicas, algunos máximos de difracción
permitidos pueden resultar prohibidos o extinguidos por la propia base atómica (SG = 0).
Este hecho suministra una relevante información sobre la estructura de la misma, así
pues, considerando por ejemplo a la red bcc como una sc con base monoatómica (un
átomo en el centro de la celda), se extinguirán las reflexiones de planos (h k l) tales que
h+k +l = impar ; en el caso de una fcc (sc más base triatómica), se extinguirán aquellas
reflexiones donde h, k, l tienen distinta paridad.
Finalmente,el factor de forma atómico fj (bajo condición de máximo de difracción) sumi-
nistra información acerca de la distribución electrónica del átomo j de la base atómica,
obteniéndose diferencias pequeñas respecto de los valores teóricos de los átomos libres.
- Difracción de neutrones y electrones: No sólo los rayos X son utilizados por las
técnicas de difracción por cristales, otras radiaciones sonda como los neutrones y los
electrones pueden ser usadas también con ese fín, su utilidad claro está viene determinada
por las características del experimento y de las propiedades como la carga, energía, etc
de las partículas sonda . De este modo, las ondas electromagnéticas interaccionan con
los electrones del cristal, los neutrones lo hacen con los núcleos atómicos y electrones
magnéticos siendo de utilidad en el estudio de cristales magnéticos, y por último los
electrones, que interaccionan fuertemente penetrando poco, y por ello, resultan útiles en
el estudio de propiedades superficiales de sólidos y cristales delgados.

3 Electrones en un Potencial Periódico. Teorema de
Bloch
Estudiaremos al sólido cristalino considerándolo de forma separada como un conjunto de
iones inmóviles en sus posiciones de equilibrio, y un conjunto de electrones con movimiento
independiente (aproximación de electrones independientes) debido al potencial periódico
creado por los iones,
U (r + R) = U (r) ; ∀R ∈ RD. (3.1)
La primera consideración queda justificada por la diferencia de masa entre los iones y
electrones, lo que permite hacer independientes sus movimientos, es esta la llamada apro-
ximación de Born-Openheimer. Sobre la segunda, la longitud de onda de De Broglie de
los electrones (en el modelo de electrones libres) es del mismo orden de magnitud que la
periodicidad de la red.
Todo esto reduce nuestro estudio a resolver la ecuación de Schrödinger de un electrón
(aproximación monoelectrónica) sometido a un potencial U (r) como el anterior, para lo
cual tenemos el siguiente:
-Teorema. (de Bloch): Las funciones de onda de Bloch, soluciones de la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo para un electrón bajo el potencial (3.1):
−
2
2m
∇2
Ψ (r) + U (r) (r) = εΨ (r) , (3.2)
son tales que,
Ψnk (r) = unk (r) eik·r
, (3.3)
con unk (r + R) = unk (r) ; ∀R ∈ RD y n ∈ Z.
Figura 3.1: Representación de una función de
Bloch. Es una onda plana modulada por una función
unk con la periodicidad de la RD. Fuente: [1].
Los electrones así descritos son llama-
dos electrones de Bloch, puede encontrar-
se una demostración del teorema en por
ejemplo[1].
Una forma equivalente de enunciar el teo-
rema de Bloch, es decir que los autoestados
del operador hamiltoniano ˆH, pueden es-
cogerse de modo que cada función de onda
Ψnk (r) asociada a cada vector de onda k
satisface:
Ψnk (r + R) = eik·r
Ψnk (r) ; ∀R ∈ RD. (3.4)
Hay que notar que aquí, la cantidad k no es el momento lineal del electrón (libre)
dado que ^pΨnk (r) = −i ∇Ψnk (r) ̸= kΨnk (r), luego Ψnk (r) no es autofunción del
operador momento ^p, razón por la que k es llamado cuasiimpulso o momento cristalino
del electrón.
Las soluciones de la forma (3.3) que cumplen las condiciones de contorno unk (r + R) =
unk (r) , surgen de la resolución de la ecuación de Schrödinger en una única celda primitiva
y que es la ecuación de autovalores siguiente:

^H (r) uk (r) =
[ 2
2m
(−i∇ + k) + U (r)
]
uk (r) = εkuk (r) . (3.5)
Por tanto, para cada k habrá un conjunto infinito y discreto de autovalores εnk indexados
por n . Debemos esperar además que el espectro de soluciones sea continuo, pues k es
parámetro del hamiltoniano, luego simplemente escribiremos εn (k) . Los vectores de
onda k siempre pueden reducirse a la PZB, pues tanto las funciones de onda como los
autovalores resultan iguales tanto para k como para k + G, ∀G ∈ RR.
-Diagrama y relaciones de dispersión de electrones: A tal conjunto εn (k) le lla-
maremos diagrama de dispersión de electrones, llamando relación de dispersión a cada
ε (k) para cada n. Es usual decir, aunque esto constituye un abuso de lenguaje, que el
diagrama de dispersión de electrones forma una estructura de bandas, y que cada relación
de dispersión forma la banda de energía n.
-Vectores k permitidos: Sin restringir la generalidad, supongamos una red cristalina
sc de volumen finito V con Ni celdas a lo largo de cada dirección ai (de los vectores
base primitivos). El cristal tiene en total N = N1N2N3 celdas primitivas, extendiendo el
volumen V a todo el espacio imponiendo las llamadas condiciones de contorno de Born-
Von Karman siguientes a los electrones de Bloch,
Ψnk (r + Niai) = Ψnk (r) ; r ∈ V , i = 1, 2, 3, (3.6)
que aplicadas a las funciones de Bloch,
Ψnk (r + Niai) = eik·Niai
Ψnk (r) =⇒ eik·Niai
= 1 ; i = 1, 2, 3, (3.7)
de donde se extrae que:
k =
m1
N1
b1 +
m2
N2
b2 +
m3
N3
b3 ; mi ∈ Z, (3.8)
con {bi} los vectores base primitivos de la RR. Es esta condición pues, la que deben
satisfacer los vectores k . El volumen del espacio recíproco asociado a un k permitido
es trivialmente |△k| = 1
N [b1 · (b2 × b3)] = 1
N ×volumen de la celda primitiva de la RR,
y teniendo en cuenta que el volumen de la celda primitiva de la RR es (2π)3
V/N
, resulta
finalmente que:
|△k| =
(2π)
3
V
. (3.9)
-Densidad de estados: Para el cálculo de algunas propiedades físicas se realiza una
suma de una función Fn (k) extendida al conjunto de vectores k permitidos. Si Fn (k) es
aproximadamente constante en el volumen △k, y si además presenta la periodicidad de
la RR, se lleva a cabo la aproximación:
2
∑
n,k
Fn (k) −→
V →∞
2V
(2π)
3
ˆ
CP
Fn (k) dk, (3.10)
donde el 2 proviene de la degeneración de espín electrónico y CP es la celda primitiva de
la RR.

Si Fn (k) depende además de n y k a través de εn (k) , se define la densidad de estados
o de niveles Dn (ε) para cada banda n, de modo que:
2
∑
n,k
Fn (k) =
∑
n
ˆ
CP
Fn (ε) Dn (ε) dε, (3.11)
luego por definición es Dn (ε) dε = 2×número de vectores k permitidos en la banda n con
energía entre ε y ε + dε. Si se consideran Sn (ε) y Sn (ε + dε) superficies equienergéticas
con energía ε y ε + dε respectivamente e inmersas en la CP, el cálculo integral conduce a:
Dn (ε) =
2V
(2π)
3
ˆ
Sn(ε)
dS
|∇εn (k)|
. (3.12)
-Superficie de Fermi y estructura de bandas: Un sistema de N electrones de Bloch
en el estado fundamental, se construye ocupando los niveles monoelectrónicos εn (k) para
todo n hasta completar el número de electrones del sistema, a ésto suele llamarse condición
de ocupación o de llenado. En un continuo de energía, el valor εF de energía, tal que,
εn (k) εF para todos los niveles ocupados se denomina energía de Fermi, esto es,
aquella que separa (en un continuo) el conjunto de niveles ocupados de los desocupados.
La superficie equienergética εn (k) = εF del espacio recíproco se denomina superficie de
Fermi, y se llama rama n aquella correspondiente a un valor de n determinado.
Figura 3.2: Bandas de energía. La de menor energía
parece provenir de dos relaciones de dispersión dis-
tintas con densidades de estado A y B; la de energía
superior en cambio, proviene de una única relación
de dispersión. Observe el gap de energía entre las
densidades B y C. Fuente: [1].
Para ciertos sólidos ocurre que al ocupar
los niveles εn (k) , el valor de energía mí-
nimo de aquellos que quedan desocupados,
es mayor que el valor máximo de los nive-
les ocupados, hay por tanto un intervalo
de energía prohibido conocido como gap
( del inglés) de energía, zanja, o brecha
de energética. Al proyectar la densidad de
estados sobre el eje de energía, se obser-
van zonas o intervalos de energía, bandas
que corresponden a una o varias relaciones
de dispersión (obsérvese en la figura 3.2
como las relaciones de dispersión pueden
solaparse), y otros intervalos que no co-
rresponden a ninguna, los propios gaps de
energía (es esto lo que da sentido al nom-
bre de bandas).
Se llama banda de valencia, BV, a aquella
de niveles de energía más altos ocupada
por electrones en el cero absoluto. En los
sólidos aislantes y semiconductores hay un gap de energía justo por encima de la BV y
a energías superiores una banda de conducción, BC. Por lo dicho, evidentemente estos
sólidos no presentan energía de Fermi bien definida ni por tanto superficie de Fermi.
La anchura del gap de energía εg, entre la BV y la BC, determina de un modo general
si el sólido es un semiconductor o aislante 3
, si εg ≈ 1 eV será un semiconductor ya
3Se verá en el Capítulo 6 que esto es así únicamente si la BV se encuentra parcialmente ocupada.

que a temperaturas distintas de cero, electrones de la BV pueden por promoción térmica
saltar a la BC, por el contrario, con εg ≈ 10 eV los electrones no pueden superar la
brecha energética y el sólido será un aislante. En el caso de los metales que son sólidos
con superficie de Fermi, no tienen BV sino únicamente BC, no hay gap de energía y por
consiguiente son conductores.

4 El Modelo de Drude-Sommerfeld de los Metales
El modelo de Drude aplica la exitosa teoría cinética de los gases para explicar las propie-
dades de los metales. Para ello se considera que los electrones de valencia, que son los de
conducción, se mueven libremente en el metal y por tanto pueden ser modelados como
un gas clásico, los iones del metal considerados quietos en su posición de equilibrio (red
fría), vistos como un fondo de carga positiva cuyo potencial constante puede tomarse co-
mo cero (llamado a veces modelo de jalea). El modelo explica algunas de las propiedades
físicas de los metales como la conductividad eléctrica, conductividad térmica, el efecto
Hall, propiedades ópticas, entre otras. Mediante argumentos cuánticos se concluye, que
si bien el estudio de la dinámica de los electrones puede ser abordado de un modo pu-
ramente clásico, el estudio estadístico desde una perspectiva clásica no resulta adecuado,
fué Sommerfeld quien recurrió a la estadística cuántica para tratar a los electrones como
un conjunto de fermiones, como un gas de Fermi (mediante la estadística de Fermi-Dirac
en lugar de la de Maxwell-Boltzman).
El modelo, básicamente supone lo siguiente:
1. Se desprecia la interacción electrón-electrón (aproximación de electrones indepen-
diente) y la interacción ión-electrón (aproximación de electrones libres).
2. Existe algún mecanismo de colisión (o scattering) con los iones del metal que terma-
liza el sistema. La probabilidad de colisión dentro de un intervalo de tiempo dt es
dt/τ, siendo τ el tiempo de relajación, tiempo de colisión o tiempo libre medio. Este
tiempo no depende ni de la posición r del electrón ni de su velocidad v. Tras una
colisión el electrón «olvida» su historia anterior por lo que su velocidad de salida
será aleatoria y solo dependerá en magnitud de la temperatura.
-Ecuación dinámica de los electrones: Supongamos un electrón con momento lineal
p (t) sometido a una fuerza F (t). De la segunda suposición, en un tiempo dt , el elec-
trón tendrá una probabilidad
(
1 − dt
τ
)
de no colisionar. Si no colisiona, su momento tras
el tiempo dt será p (t + dt) = p (t) + F (t) dt (en primer orden de aproximación). La
contribución en promedio de los electrones que no han colisionado (subindice nc) será:
⟨pnc (t + dt)⟩ =
(
1 −
dt
τ
)
(⟨p (t)⟩ + ⟨F (t)⟩ dt) = ⟨p (t)⟩ + ⟨F (t)⟩ dt −
dt
τ
⟨p (t)⟩ . (4.1)
La contribución al momento, de los electrones que sí han colisionado, puesto que luego de
la colisión su dirección es aleatoria y el número de éstos es dt/τ×número total de electrones,
es claramente de orden dos en dt y podemos despreciarla (siguiendo en primer orden de
aproximación). En definitiva, haciendo dt → 0 en (4.1) tenemos:
⟨
dp (t)
dt
⟩
= ⟨F (t)⟩ −
1
τ
⟨p (t)⟩ , (4.2)
expresión conocida como ecuación dinámica, y cuya interpretación es inmediata, el efecto
neto de las colisiones introducen un término de amortiguamiento 1
τ ⟨p (t)⟩ como si de
una fuerza de rozamiento o de resistencia proporcional a la velocidad de los electrones se
tratase.

-Conducción de corriente continua. Ley de Ohm: Sometido un metal a un campo
eléctrico constante E , de la ecuación dinámica (alcanzado el régimen estacionario) y
teniendo en cuenta que el promedio temporal entre colisiones (de los electrones con los
iones del metal) es τ, resulta la velocidad límite o de arrastre en promedio,
v =
−eEτ
me
. (4.3)
De la ley de Ohm, j = σE, con σ la conductividad eléctrica y J el vector densidad de
corriente, multiplicando la relación anterior por el número de electrones por unidad de
volumen n, y por la carga −e del electrón, se llega a que
j = −nev =
ne2
Eτ
me
=⇒ σ =
ne2
τ
me
, (4.4)
lo que expresa la relación lineal de la ley de Ohm supuesto que los electrones colisionan
con los iones del metal.
En general, experimentalmente se comprueba que la conductividad depende de la tempe-
ratura, respecto de ésto, para más detalles y aclaraciones, puede dirigirse por ejemplo a
[4] o a [1]
Figura 4.1: Esquema del experimento llevado a ca-
bo por Hall. Fuente: [5].
-Efecto Hall y magnetorresistividad:
Analicemos la influencia de un campo
magnético externo sobre la conductividad
eléctrica. El montaje experimental típico
(Hall 1879) se muestra en la figura 4.1.
La componente magnética de la fuerza de
Lorentz produce una deflección de las tra-
yectorias electrónicas que da lugar a una
acumulación de carga en el borde de la
muestra. Como consecuencia aparece en-
tonces un campo eléctrico transversal Ey ,
que crece al acumularse la carga hasta que
contrarresta la fuerza de Lorentz magnética alcanzándose un régimen estacionario.
Nos interesa la cantidad llamada coeficiente Hall, RH ≡
Ey
jxB , y la cantidad llamada mag-
netorresistividad, ρ ≡ Ex
jy
. Aplicando la ecuación dinámica, en componentes promediadas
resulta:
vx = −Exeτ
me
− ωcτvy
vy = −
Eyeτ
me
− ωcτvx
vz = −Ezeτ
me
,
(4.5)
donde ωc ≡ − eB
mc
es la llamada frecuencia ciclotrón o girofrecuencia del electrón. En el
régimen estacionario es vy = 0, luego con j = −nev sustituyendo las relaciones anteriores
en las definiciones de coeficiente Hall y magnetoresistividad, se obtiene:
RH = − 1
ne ,
ρ = me
ne2τ .
(4.6)

Experimentalmente se encuentra que la magnetorresistividad muestra una gran variedad
de comportamientos en función del campo magnético aplicado, respecto del coeficiente
Hall, para los metales nobles y alcalinos, resulta aceptable para los primeros y bueno
para los segundos, sin embargo, para el resto de metales es inaceptable, en concreto
porque el signo es contrario (salvo que los portadores de carga fueran positivos, pero esto
es incompatible con un modelo de electrones libres). Estas discrepancias las resuelve la
Teoría de Bandas que tiene en cuenta la interacción del potencial periódico de los iones
del cristal con los electrones. Refiérase a [1] por ejemplo para profundizar.
-Calor específico electrónico: Desde el punto de vista de la estadística clásica de
Maxwell-Boltzman, aplicando el teorema de equipartición de la energía, se obtiene, para
la contribución de los electrones al calor específico de un metal a volumen constante y
por unidad de volumen: cel
v = 3
2 nkB, que es claramente constante.
Desde una perspectiva cuántica, resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo para un conjunto de N electrones libres en un cubo de arista L , cuyas soluciones
son de la forma Ψk (r) ∝ eik·r
, imponiendo a éstas condiciones de contorno de Born-von
Karman Ψk (x + L, y, z) = Ψk (x, y + L, z) = Ψk (x, y, z + L) = Ψk (x, y, z), se deduce
para los vectores de onda la condición k = 2π
L n con n = nxi + nyj + nzk ; nx, ny, nz ∈ Z.
El volumen asociado a los k (volumen en el espacio recíproco) es entonces |△k| = (2π)3
V ,
la relación de dispersión para los electrones, en este caso (electrones libres) no es más
que ε =
2
k2
2me
, lo que implica una superficie de Fermi esférica de radio kF y volumen
4
3 πk3
F . Así, para el vector de onda de Fermi kF , aplicando la condición de ocupación y
considerando el factor 2 de degeneración de espín, tenemos:
N = 2
4
3 πk3
F
8π3
/V
=⇒ kF =
(
3π2
n
)1/3
; n =
N
V
, (4.7)
con energía de Fermi como εF =
2
kF
2me
, temperatura de Fermi dada por kBTF = εF , y
velocidad de Fermi 1
2 mev2
F = εF .
La densidad de estados D (ε) puede obtenerse a partir de la relación de dispersión apli-
cando (3.12) , de manera que expresada en función de la energía de Fermi, es:
D (ε) =
2V
(2π)
3
ˆ
S
dS
dε/dk
=
3
2
N
εF
√
ε
εF
. (4.8)
Figura 4.2: Función de Distribución de Fermi-Dirac
a T = 0 K (línea punteada) y a T 0 K (línea con-
tinua). Fuente: [5].
Para la energía promedio del sistema de N
electrones libres,⟨U (T)⟩ , haciendo uso de
la distribución de Fermi-Dirac (figura 4.2)
fF D (ε, T) = 1
e
ε−µ
kBT +1
, donde µ es el poten-
cial químico y para la cual en el cero abso-
luto es fF D (µ, 0) = 1
2 , fF D (ε µ, 0) = 1
y fF D (ε µ, 0) = 0, por lo que puede de-
cirse que εF = µ (T = 0 K). La distribu-
ción representa la probabilidad de que el
estado ε (k) esté ocupado, por tanto, con-
tando con D (ε) , y con ε (k) para electro-
nes libres, encontramos a T = 0 K que en

el estado fundamental es:
⟨U (T = 0)⟩ =
ˆ ∞
0
dεD (ε) εfF D (ε, 0) =
ˆ εF
0
dεD (ε) ε =
3
5
NεF ,
(4.9)
que es 2/5 del valor obtenido mediante la estadística clásica. A T ̸= 0 K , la integral
anterior no resulta trivial, sin embargo, puede aproximarse mediante la llamada expansión
de Sommerfeld, lo que lleva sin entrar en detalles a:
cel
v =
1
V
(
∂
∂T
ˆ ∞
0
dεD (ε) εfF D (ε, T)
)
V
≃
π2
2
nkB
T
TF
=
π2
2
nk2
B
T
εF
, (4.10)
donde se ha tenido en cuenta la expresión de la temperatura de Fermi TF dada anterior-
mente. La relación lineal con T, en el resultado anterior, se comprueba excelentemente
en el laboratorio, y como cabe esperar se anula para T = 0 K , sin embargo, el factor
de proporcionalidad resulta muy variable para los distintos metales, incluso para algunos
muy alejado del valor experimental. La medida experimental de cel
v debe hacerse a muy
bajas temperaturas para no verse enmascarada por la contribución de la red cristalina,
que como se verá más adelante, depende de T3
cuando T → 0 K.
-Otros Resultados del modelo: El modelo arroja otros resultados que al menos merece
la pena comentar. Respecto de la conductividad en corriente alterna, se encuentra que
σ (ω) = σ0
1−iωτ , donde aquí σ0 es la conductividad de corriente continua ya obtenida y
como es de esperar σ (ω) → σ0 cuando ω → 0.
Para la contribución electrónica a la conductividad térmica, se obtiene κel = 1
3
⟨
v2
⟩
τcel
v ,
donde v es la velocidad de los electrones. Haciendo
⟨
v2
⟩
≃ v2
F = εF/2me y con (4.10), se
define el llamado número de Lorentz L = κel
σT =
π2
κ2
B
3e2 que expresa la ley de Wiedemann-
Franz y que se constata experimentalmente al menos a altas temperaturas, a bajas tem-
peraturas este número desciende dado que el valor de τ térmico y eléctrico dejan de ser
iguales. Respecto del conocido efecto Seebeck, la potencia termoeléctrica o coeficiente
Seebeck bajo el modelo queda como Q = −
cel
v
3ne que concuerda en orden de magnitud
experimentalmente aunque al igual que sucede con el coeficiente Hall el signo a veces es
el contrario. 4
Con relación a las propiedades ópticas, para la interacción de una onda electromagnética
de frecuencia ω con un metal, se obtiene para la permitividad eléctrica relativa ε (ω) =
1 +
iσ0/ε0ω
1−iωτ . A bajas frecuencias se aproxima como ε (ω) ≃ iσ0
ε0ω , que al ser imaginaria
implica que la onda se atenúa en el metal alcanzando una profundidad de penetración
δ =
√
2ε0c2
σ0ω . A altas frecuencias se aproxima por ε (ω) ≃ 1 −
ω2
p
ω2 donde ω2
p ≡ σ0/ε0τ
es la llamada frecuencia de plasma, que corresponde a la frecuencia característica de
oscilaciones longitudinales de la densidad del gas de electrones cuyo cuanto se llama
plasmón. Para ω ωp es ε (ω) 0 y por ende la onda se atenúa en el metal , en cambio si
ω ωp , es ε (ω) 0, y la onda atraviesa el metal; el metal se hace entonces transparente
a estas frecuencias que corresponden al extremo ultravioleta, este hecho se ha verificado
bastante bien en los metales alcalinos. Por lo general las propiedades ópticas son más
4Al igual que para el coeficiente Hall, esto plantea dudas sobre el signo de los portadores de carga en
los metales.

complejas de lo que el modelo de Drude-Sommerfeld predice, es por tanto nuevamente la
teoría de bandas la que arroja resultados y explicaciones más satisfactorias. Respecto de
este último apartado diríjase a [5] por ejemplo para profundizar.

5 Bandas de Energía. Electrones Cuasilibres y Fuer-
temente Ligados
-Aproximación de red vacía: Recordando lo visto en el Capítulo 3, supongamos ahora
y por simplificar, una red unidimensional, introduzcamos un potencial periódico U (r) tan
débil que no afecte a las soluciones del electrón libre (red vacía). La relación de dispersión
para los mismos es entonces ε (k) ≃ ε0
(k) =
2
k2
2m y dado que ε (k + G) = ε (k) , para
todos los G de la RR, la representación es pues la de la figura 5.1 (Izquierda), llamada
representación en zona periódica. Tomando ella el recinto limitado a la PZB, se aprecia la
existencia de infinitas soluciones y se tienen todos los valores posibles de ε0
(k) ; haciendo
además k = kPZB + G, ∀G ∈ RR de la RR, podemos reescribir la relación de dispersión
como ε0
(kPZB) =
2
(kP ZB−G)
2m para obtener la llamada representación en zona reducida
(reducida a la PZB), figura 5.1 (Abajo, dcha.). Como se mencionó en el Capítulo 3, los
valores posibles de la energía se clasifican en bandas de energía (recuérdese lo comentado
entonces sobre el abuso de lenguaje); veremos luego como la inclusión de un potencial
periódico no despreciable conduce a la existencia de intervalos prohibidos de energía, los
gaps de energía o bandas prohibidas (que son la razón de la clasificación en bandas). Por
último, la figura 5.1 (Abajo, izq.) es la llamada representación en zona extendida, en la
que cada banda aparece en una zona de Brillouin distinta, fíjese que la n-ésima zona de
Brillouin puede ser definida como la zona del espacio recíproco a la que se puede acceder
desde el origen atravesando n − 1 planos de Bragg.
Figura 5.1: Relación de dispersión de electrones libres. Arriba: Esquema de zona periódica. Abajo:
Esquema de zona reducida (izq.) y esquema de zona extendida (dcha.). Fuente: [5].

-Solución al electrón en un potencial periódico: La función de onda de Bloch de
un electrón, sometido a un potencial periódico débil, puede expresarse como el desarrollo
de Fourier:
Ψk (r) =
∑
k
ukeik·r
, (5.1)
para todos los k que cumplan las condiciones de contorno. Vamos a encontrar los coefi-
cientes uk teniendo en cuenta que la periodicidad del potencial permite representarlo por
su desarrollo de Fourier:
U (r) =
∑
G
UGeiG.r
. (5.2)
Tomaremos aquí UG=0 = 0 como el origen de energía media, y nos limitamos a una red
monoatómica de manera que siempre es posible escoger el origen de coordenadas en el
que el potencial presente simetría de inversión, esto es, que U (−r) = U (r) . Sustituida
(5.1) y (5.2) en la ecuación de Schrödinger (3.2), resulta que ha de ser:
[
ε0
(k) − ε
]
uk +
∑
G
UGuk−G = 0, (5.3)
ecuación que puede reescribirse haciendo el cambio k = kP ZB − G, donde G es cierto
vector de la RR. Así queda:
[
ε0
(kPZB − G) − ε
]
ukPZB−G +
∑
G′
UG′−GukPZB−G′ = 0. (5.4)
La ecuación anterior (sistema de ecuaciones) es conocida como ecuación central. Existen
para cada kP ZB una ecuación como la anterior para cada G de la RR, por lo que el
problema se ha convertido en N problemas independientes, uno para cada kP ZB. Cada
sistema de ecuaciones acopla los ukP ZB , ukP ZB−G, ukP ZB−G′ , ukP ZB−G′′ , . . . y cada uno
con solución ΨkPZB (r) =
∑
G
ukPZB−Gei(kPZB−G)·r
que tiene la forma de función de Bloch .
-Aproximación de electrones cuasilibres: Con el potencial periódico débil y tal que
UG ≪ ε0
, la ecuación central puede simplificarse considerablemente en ciertas regiones
de la PZB:
• Lejos de los planos de Bragg donde ε0
(kPZB − G0) − ε0
(kPZB − G) ≫ U, ∀G ̸=
G0, el sumatorio de (5.4) puede despreciarse y la solución es la de electrones libres,
ε (k) = ε0
(k).
• Cerca de los planos de Bragg y sus intersecciones, para cierto conjunto G1, · · · , Gm
se verifica:
ε0
(kPZB − Gi) − ε0
(kPZB − Gj) U ; i ̸= j,
ε0
(kPZB − G) − ε0
(kPZB − Gi) ≫ U ; ∀G ̸= Gi,
(5.5)
y (5.4) se aproxima por:
[
ε − ε0
(kPZB − Gi)
]
ukPZB−Gi =
m∑
j
UGj−Gi ukPZB−Gj ; i = 1, · · · , m. (5.6)

Sobre un plano de Bragg aunque lejos de sus intersecciones, en el caso especialmente
sencillo m = 2 (degeneración doble), después de algunas manipulaciones, el sistema
anterior arroja para ε la solución:
ε (k) = ε0
(k) ± |UG| , (5.7)
con G el vector de la RR asociado al plano de Bragg. Esta sencilla expresión implica
de forma inmediata, la existencia de un gap de energía de anchura 2 |UG| sobre los
planos de Bragg. Puede además probarse sin dificultad que ∂ε(k)
∂k =
2
m
[
k − G
2
]
,
de lo que se extrae que las superficies equienergéticas son perpendiculares a estos
planos.
Figura 5.2: Bandas de energía prohibida o gaps en la representación de zona extendida (izq.) y zona
reducida (dcha.). Fuente: [5].
-Aproximación de electrones fuertemente ligados: Se trata ahora de aplicar los mé-
todos perturbativos y aproximar el potencial cercano a los puntos de red por un potencial
atómico perturbado, para lo cual se escribe el hamiltoniano ^H (r) = ^Hat (r) + △U (r),
donde las autofunciones y energías de ^Hat (r) son Φn (r) y εn respectivamente, con n ∈ Z.
Escogemos por solución una aproximación inicial Ψk (r) =
∑
R
Ck (r) Φ (r − R), con Φ
una combinación lineal de orbitales atómicos degenerados: Φ (r) =
∑
n
bnΦn (r). Haremos
Ck (R) = eik·R
de manera que Ψk (r) adquiera la forma de función de Bloch. Aplicando
el hamiltoniano a|Ψk (r) y multiplicando por ⟨Φs (r)|, resulta:
εs ⟨Φs (r)| Ψk (r)⟩ + ⟨Φs (r)| △U (r) |Ψk (r)⟩ = ε (k) ⟨Φs (r)| Ψk (r)⟩ ; s ∈ Z, (5.8)
la relación anterior, después de despejar ε (k) y sustituir Ψk (r) por su expresión, conduce
a:
ε (k) = εs +
β +
∑
R̸=0
γ (R) eik·r
1 +
∑
R̸=0
α (R) eik·r
, (5.9)

donde hemos llamado:
α (R) = ⟨Φs (r)| Φs (r − R)⟩ ,
β = − ⟨Φs (r)| △U (r) |Φs (r)⟩ ,
γ (R) = − ⟨Φs (r)| △U (r) |Φs (r − R)⟩ .
(5.10)
Dado que para un nivel atómico s es Ψ (r) = Ψ (r) , α (R) = α (R) y γ (R) = γ (R) ;
teniendo en cuenta la simetría de inversión R → −R , quedándonos tan sólo con la con-
tribución de los vecinos más próximos (aproximación aceptable), R = R0, y despreciando
la pequeña contribución de α (R) en el denominador de (5.9). Dicho todo esto, una vez
calculadas las (5.10) y sustituidas en (5.9), se obtiene finalmente:
ε (k) ≃ εs − β − γ (R0)
∑
R0
cos (k · R0) . (5.11)
Así, cada nivel atómico discreto origina una banda posible de energías que depende de
k y cuya anchura viene determinada por γ (R0) , que a su vez es dependiente del gra-
do de solapamiento de las funciones de onda de los átomos vecinos pudiendo aparecer
solapamiento entre bandas.

6 Dinámica de los Electrones de Bloch
Se propone un modelo semiclásico en el que se presupone que el índice de banda n es una
constante de movimiento, están prohibidas por tanto las transiciones electrónicas entre
bandas. Esto supone que si los electrones son sometidos a campos externos eléctrico y
magnético de amplitudes E y B , uniformes y estáticos con frecuencia ω , debe cumplirse
que ω ≪ εg,eEa ≪ ε2
g/εF, y e B/m ≪ ε2
g/εF , donde εg es la anchura del gap de energía y
a es el parámetro de red.
Un paquete de ondas de Bloch está constituido por un conjunto de funciones de onda de
Bloch con vectores de onda k próximos entre sí. Su velocidad de grupo es v = dω/dk y
teniendo en cuenta la relación ω = ε/ , encontramos para la velocidad del electrón:
v (k) =
1 dε (k)
dk
. (6.1)
La aplicación de una fuerza externa F producirá una evolución temporal de la energía del
electrón, tal que:
dε (k)
dt
= F · v (k) =
1
F ·
dε (k)
dk
, (6.2)
que combinada con dε(k)
dt = dε(k)
dk
dk
dt conduce a:
F =
dk
dt
. (6.3)
La ecuación de movimiento anterior implica que la cantidad k se comporta ante una
fuerza externa como lo haría el momento lineal o impulso del electrón libre (lo que justifica
el nombre de cuasiimpulso).
-El tensor de masa: La ecuación de movimiento puede reescribirse en la forma más
común Fuerza = masa × aceleracion . Derivando la velocidad del electrón respecto del
tiempo, en notación de índices,
ai =
dvi
dt
=
d
dt
(
1 dε
dki
)
=
1∑
j
∂
∂kj
(
∂ε
ki
)
∂kj
∂t
=
1
2
∑
j
∂ε
∂ki∂kj
Fj ; i, j = 1, 2, 3,
(6.4)
en donde se ha omitido por sencillez la dependencia de ε y de vi con k. En el último miem-
bro la cantidad definida como M−1
ij ≡ 1
2
∂ε
∂ki∂kj
, es llamada tensor de masa, de manera
que:
F = Ma. (6.5)
El tensor de masa evidencia la existencia de anisotropía, es claramente simétrico, y de-
pende evidentemente de k a través de ε (k), que a su vez depende del potencial de la red.
Si k0 es un vector de onda asociado al extremo de una banda o borde de banda, la energía
del electrón puede aproximarse en torno a k0
5
por
ε ≃ ε (k0) +
∑
i,j
(ki − k0i)
1
2
2
M−1
ij |k=k0 (kj − k0j) . (6.6)
5Aproximación por su desarrollo de Taylor hasta segundo orden, teniendo en cuenta además que en el
borde de banda es ∂ε
∂k k=k0
= 0.

Así, el tensor de masa para electrones que se mueven en las cercanías de k0 es constante,
esto es, electrones en las cercanías del extremo de banda (obsérvese que la expresión
anterior se asemeja a la bien conocida energía del electrón libre ε0
(k) =
2
k2
2m , cambiando
en este caso la masa del electrón por el tensor de masa). La simetría del tensor de masa
asegura su diagonalización 6
, de modo que puede escogerse un sistema de ejes principales
respecto de los cuales las componentes del tensor son M−1
ij ≡ 1
m∗
i
δij, siendo las m∗
i las
llamadas masas efectivas; . Teniendo en cuenta esto, (6.6) queda como:
ε ≃ ε (k0) +
2
(k1 − k01)
2m∗
1
+
2
(k2 − k02)
2m∗
2
+
2
(k3 − k03)
2m∗
3
, (6.7)
y las superficies equienergéticas son entonces elipsoides de semiejes
√
2m∗
i [ε−ε0(k)]
.
-Movimiento en un campo eléctrico uniforme y estático. Huecos: Sucede que las
bandas llenas no conducen, en efecto, de (6.1) resulta j = −e
∑
i vi = −e −1
∑
i
∂ε/∂ki =
0, dado que la suma se extiende a toda la PZB por la consideración de bandas llenas, y
puesto que ε (k) = ε (−k), los términos del sumatorio se anulan por parejas (k, −k) en
virtud de la simetría de inversión de la PZB. Esto parece implicar que hay tantas cargas
negativas (electrones) que se mueven en la dirección −E de un campo externo E aplicado,
como «cargas positivas» en la dirección contraria. Así pues, sólidos con un número par
de electrones de valencia, siempre que no hubiera solapamiento de bandas en cuyo caso
serían conductores, necesariamente serán aislantes.
Consideremos por simplificar una banda casi llena con un sólo electrón vacante con vector
de onda ke, respecto de la vacante se dice que existe un hueco, asociaremos a la banda
un vector de onda kh. El comportamiento de la banda ante la presencia de un campo
eléctrico externo E uniforme y estático, queda descrito por:
kh =
[
∑
P ZB
k
]
− ke = −ke, (6.8)
ya que el sumatorio se anula por la simetría de inversión de la PZB. Como
∑
P ZB
ε (k) es
constante en el borde de banda, puede tomarse como cero, y para la energía «de banda»
se tiene:
εh (kh) =
[
∑
P ZB
ε (k)
]
− εe (ke) = −εe (ke) . (6.9)
Teniendo en cuenta (6.8) y la relación anterior, es evidente usando (6.1) que vh(kh) =
ve(ke), y con relación a la masa efectiva, de su definición resulta [m∗
h (kh)]
−1
= [−m∗
e (ke)]
−1
.
Lo que viene a decir que el hueco tiene masa efectiva positiva, dado que en el borde
de banda, es evidente que la de los electrones es negativa. Aplicando ahora al hueco la
ecuación (6.3) con campos E y B uniformes y estáticos, obtenemos:
dkh
dt
= eE + evh × B, (6.10)
6Es un hecho bien conocido del álgebra lineal que toda matriz simétrica es diagonalizable, sus auto-
vectores son ortogonales entre sí y sus autovalores reales.

de donde se colige que los huecos se comportan como cargas eléctricas positivas con masa
positiva.
Por último, puede demostrarse que la conductividad eléctrica en un banda parcialmente
ocupada es:
σ =
ne2
τ
N
∑
k
M−1
(k) , (6.11)
donde la suma se extiende a todos los estados ocupados. La anterior no es más que
la generalización de (4.4) vista en el Capítulo 4, pues para electrones libres resulta
M−1
(k) = m−1
e , luego para ellos, (6.11) se reduce a σ =
(
ne2
τ/N
)
N1/me = ne2
τ/me
como cabe esperar.
-Movimiento en un campo magnético uniforme y estático: Bajo la acción de un
campo magnético B, la fuerza que actúa sobre portadores de carga es qv × B, y por ser
perpendicular a la velocidad se conserva la energía, en efecto, pues dε
dt =(qv × B) · v = 0.
Los electrones se mueven en el espacio fásico (espacio de las k) sobre superficies equie-
nergéticas siguiendo trayectorias perpendiculares al campo. Partiendo de (6.3) y descom-
poniendo k en sus componentes perpendicular y paralela al campo, para la componente
perpendicular r⊥ en el espacio real, se llega a:
r⊥ (t) = r⊥ (0) − n ×
eB
[k⊥ (t) − k⊥ (0)] , (6.12)
donde n es un versor en la dirección de B. La expresión anterior significa que la proyección
perpendicular al campo de la órbita en el espacio real, es la misma órbita del espacio
fásico girada π/2 rads en torno a la dirección de B y multiplicada por − /eB. Respecto de
la componente de la velocidad paralela al campo, se encuentra que v = −1dε/dk que no
es en general constante.
Dependiendo de la topología de las superficies equienergéticas, pueden haber trayectorias
cerradas o abiertas, las primeras se clasifican en órbitas de tipo electrón o de tipo hueco.
La frecuencia de estás órbitas es la frecuencia ciclotrón. Se demuestra para ella:
ωc (ε, k ) =
2πeB/ 2
∂A(ε,k )/∂ε
, (6.13)
donde A (ε, k ) es el área encerrada por la órbita en el espacio fásico.Comparando la
relación anterior con la relación para electrones libres, ωc ≡ eB/me, se introduce la masa
efectiva ciclotrónica:
m∗
(ε, k ) ≡
eB
ωc (ε, k )
=
2
2π
∂A (ε, k )
∂ε
, (6.14)
que no debe confundirse con la masa efectiva dado que en este caso es una propiedad de
toda la órbita. Cerca de los bordes de bandas, lo que es de interés para semiconductores,
respecto de los ejes principales (subíndices 1, 2, 3) del elipsoide de energía constante (6.7)),
se demuestra que:
ωc = e
√
B2
1m∗
1 + B2
2m∗
2 + B2
3m∗
3
m∗
1m∗
2m∗
3
. (6.15)

-La magnetorresistividad y el coeficiente Hall: Para ver el comportamiento del
coeficiente Hall y de la magnetorresistividad debemos estudiar el transporte de corriente
eléctrica bajo la aplicación simultanea de campos externos E y B. Supondremos que B
es lo suficientemente débil, es decir, ωcτ ≪ 1, de manera que el electrón recorra sólo una
pequeña porción de su órbita cerrada entre colisiones. Si tenemos que E⊥B, la densidad
de corriente puede ser escrita como:
j = σEE + σB (B × E) , (6.16)
donde σE y σB son escalares dependientes de la concentración de portadores de carga,
de su tiempo de relajación, de su masa efectiva y del campo magnético. Sean B = Bk y
E = Exi + Eyj campos constantes. Se puede escribir j como:
j =
=
σ (B) E =


σE −BσB 0
BσB σE 0
0 0 1




Ex
Ey
0

 . (6.17)
Una vez alcanzado el régimen estacionario es jy = 0, y para la magnetorresistividad y
coeficiente Hall se obtiene:
ρ ≡
Ex
jx
=
σE
σ2
E + σ2
BB2
; RH ≡
Ey
jxB
=
−σB
σ2
E + σ2
BB2
. (6.18)
Bajo la aproximación simple de electrones cuasilibres, siendo ωc ≡ eB/m∗
, se tiene que:
σE =
ne2
τ/m∗
1 + (ωcτ)
2 ; σB =
eτ
m∗
σE, (6.19)
que al sustituir en (6.18) resulta:
ρ = m∗
ne2τ ,
RH = − 1
ne .
(6.20)
Si las superficies equienergéticas, en concreto la de Femi, son esferas poco deformadas, se
puede llevar a cabo la aproximación:
=
σ (B) ≃ ne2
τ
m∗


1 − 5 (ωcτ)
2
−2ωcτ 0
2ωcτ 1 − 5 (ωcτ)
2
0
0 0 1


=⇒



ρ (B) ≃ m∗
ne2τ
[
1 + (ωcτ)
2
]
∝ B2
,
RH ≃ 1
ne
[
1 + 3 (ωcτ)
2
]
.
(6.21)
Resulta claro que para B → 0 se obtienen los resultados del electrón libre.
Bajo campos magnéticos intensos, ωcτ ≫ 1, la magnetorresistividad muestra una gran
variedad de comportamientos dependiendo de la topología de la superficie de Fermi. En
cuanto al coeficiente Hall, para campos intensos es válida la expresión de electrones libres,
salvo que en este caso, se sustituye la densidad de carga electrónica ne por la densidad
de portadores de carga neta (ne − nh), donde nh es la densidad de huecos.

7 Dinámica de la Red
-La cadena monoatómica: Consideremos una red unidimensional con base monoató-
mica y parámetro de red a. El modelo de aproximación armónica consiste en suponer
que los átomos oscilan acoplados con desplazamiento u (t) en torno a los puntos de red,
con vector de posición r (t) = R + u (t) y de forma que u (t) ≪ R0 , donde R0 es la me-
nor de las distancias interatómicas, es decir, sus desplazamientos respecto de la posición
de equilibrio son pequeños frente a las distancias interatómicas. En estas condiciones el
potencial armónico se escribe como:
Uarm =
1
2
∑
s,l
1
2
Cl (us+l − us) , (7.1)
con us el desplazamiento del átomo s (o plano de átomos) respecto de su posición de
equilibrio, sa, y Cl la constante de fuerza entre dos átomos separados una distancia
la; l ∈ Z. La ecuación de movimiento de cada átomo de masa M es de inmediato:
M
d2
us
dt2
= Fs = −
∂Uarm
∂us
=
∑
l
Cl (us+l − us) , (7.2)
que tomando por simplificar sólo los vecinos más próximos, l = ±1, por lo que Cl = C,
admite la solución en forma de modo normal con relación de dispersión ω (k):
us = ukei(ksa−ωt)
; ω2
(k) =
4C
M
sen2
(
1
2
ka
)
. (7.3)
Se observa claramente simetría k → −k y periodicidad en k con período 2π/a, esto es, pe-
riodicidad k → k + G, ∀k, G ∈ RR, por lo que en adelante consideraremos los k reducidos
a la PZB. La velocidad de grupo vg = dω/dk se anula en k = ±π/a, lo que satisface con-
dición de Bragg, luego la onda se refleja internamente generando una onda estacionaria.
Para ka ≪ 1 se tiene ω (k) ≃ ka
√
C/M, y la velocidad de fase c = ω/k es entonces cons-
tante; así, la relación de dispersión se conoce como rama acústica, siendo c la velocidad
del sonido en el sólido cristalino.
-La cadena diatómica: Pongámonos ahora en las mismas condiciones anteriores pero
en este caso para una red unidimensional con base diatómica. Los átomos de masas
M1y M2 se encuentran a una distancia d en la celda primitiva de parámetro a. Poseen
desplazamientos us y vs respecto de sus posiciones de equilibrio sa y s (a + d). Bajo la
simplificación de vecinos más próximos, las ecuaciones de movimiento son:



M1
d2
us
dt2 = C (vs − us) + C (vs−1 − us)
M2
d2
vs
dt2 = C (us+1 − vs) + C (us − vs) ,
(7.4)
con soluciones:
us = ukei(ksa−ωt)
y vs = vkei(ksa−ωt)
, (7.5)
y relación de dispersión:
ω2
= C
M1 + M2
M1M2
[
1 ±
√
1 −
4M1M2
(M1 + M2)
2 sen2
(
1
2
ka
)]
. (7.6)

Existen ahora dos modos de vibración (±), la solución «+» es la correspondiente a la
rama acústica, y la solución «−» es la llamada rama óptica, pues sus frecuencias son
cercanas a las ópticas. Para la rama acústica los átomos de la celda se mueven en fase, lo
que quiere decir que la celda oscila como un todo, es básicamente un movimiento entre
celdas. Para la rama óptica en cambio, los átomos vibran en oposición de fase, el centro
de masas se mantiene inmóvil y el movimiento resultante, es sobre todo en el interior de
las celdas.
Si consideráramos una red lineal con base poliatómica de z átomos, nos encontraríamos
con 1 rama acústica y z − 1 ramas ópticas.
-Cristal monoatómico tridimensional: Supongamos en este caso una red tridimen-
sional monoatómica. Los átomos tienen posición r (t) = R + u (R, t) y llamamos ϕ al
potencial de interacción entre dos átomos cualesquiera. Bajo la aproximación armónica
podemos aproximar la energía por su serie de Taylor hasta segundo orden:
Uarm =
1
4
∑
R,R′
[u (R) − u (R′
)]Φ [u (R) − u (R′
)] , (7.7)
donde Φij = ∂2
ϕ/∂xi∂yj , con xi(t) = Ri + ui (R, t) ; i, j = 1, 2, 3. La expresión anterior
puede ser reescrita como:
Uarm =
1
2
∑
R,R′
u (R)D (R−R′
)u (R′
), (7.8)
siendo
D (R−R′
) = δR,R′
∑
R′′
Φ (R − R′′
) − Φ (R − R′) , (7.9)
una matriz que contiene las interacciones entre pares de átomos. Con todo lo anterior, la
ecuación de movimiento resulta:
M
d2
u (R)
dt2
= −
∂Uarm
∂u (R)
=
∑
R′
D (R−R′
)u (R′
), (7.10)
que tiene por soluciones:
u (R, t) = ϵ (k) ei(k·R−ωt)
, (7.11)
con ϵ (k) el llamado vector polarización. Sustituyendo la solución anterior en la ecuación
de movimiento se sigue que para la existencia de soluciones, debe cumplirse:
D (k) ϵ (k) = Mω2
ϵ (k) con D (k) =
∑
R
D (R) eik·R
. (7.12)
La matriz D (k) anterior es conocida como matriz dinámica, que es real y simétrica.
La relación anterior no es más que una ecuación de autovalores, admite por solución
un conjunto de autovectores ϵi (k) (i = 1, 2, 3) ortogonales entre si, estas soluciones son
llamadas ramas acústicas dado que para ka ≪ 1 se cumple que ωi (k) ≃ ci (k) k. Para
un k dado, cada una de las tres ramas acústicas suele llamarse polarización o modo
longitudinal acústico (LA), o bien, modo transversal acústico (TA); esta nomenclatura

es sólo una aproximación, pues en general, las polarizaciones ϵi (k) no tienen por qué ser
paralelas ni perpendiculares a k. Todas las demás propiedades son idénticas a las de una
red unidimensional.
Se demuestra (lo que no es más que una generalización natural de la cadena diatómica)
que en el caso de un cristal (red tridimensional) con base de z átomos, existen 3z modos
para cada k repartidos en 3 ramas acústicas y 3z − 3 ramas ópticas, se habla entonces de
modos LA, TA, LO, TO.
-Modos normales y fonones: El movimiento de los átomos de una cadena monoatómica
puede describirse en términos de las llamadas variables normales. Se define:
ξ (k, t) = 1√
N
N∑
s=1
us (k, t) e−iksa
,
Π (k, t) = M√
N
N∑
s=1
∂us(t)
∂t (k, t) e−iksa
.
(7.13)
Multiplicando (7.2) por e−iksa
y sumando para todos los valores de s se obtiene:
M ∂ξ(k,t)
∂t = Π (k, t)
∂Π(k,t)
∂t = −Mω2
(k) ξ (k, t) .
(7.14)
Para cada k, las ecuaciones anteriores son las ecuaciones canónicas de un oscilador armóni-
co de masa M y frecuencia ω2
(k) = 2
M
∑
l Clsen2
(1
2 kla
)
, que para vecinos más próximos,
l = ±1,coincide con la relación de dispersión de la cadena monoatómica. Las soluciones
(ξ, Π) se conocen como modos normales o propios del cristal, cualquier movimiento de los
átomos puede ser descrito por una suma de modos normales que son independientes unos
de otros,
us (t) =
1
√
N
∑
k∈P ZB
ξ (k, t) eiksa
, (7.15)
de esta manera, un modo normal es una excitación colectiva caracterizada por un vector
de onda k y una frecuencia ω. La energía de cada uno de los modos normales posibles
está cuantizada, y su expresión general es:
ε (k) =
[
np (k) +
1
2
]
ω (k) , (7.16)
donde np (k) = 0, 1, 2, 3, · · · se conoce como número de ocupación, y el subíndice p hace
referencia a cada una de las 3z ramas distintas (para cada k) en el caso general de un
cristal con base de z átomos. La cantidad ω (k) es el cuanto de energía vibracional y
se conoce como fonón (una cuasipartícula), el número de ocupación es pues una medida
de cuantos fonones de un tipo hay excitados. Por último, para np (k) = 0 se obtiene la
llamada energía del punto cero ε (k) = 1/2 ω (k) de cada modo.

8 Propiedades Térmicas de los Sólidos
-Vectores k permitidos: No por casualidad este apartado lleva el mismo nombre que el
correspondiente al Capítulo 3( en la página 12). Salvo en lo que concierne a las funciones
de Bloch, son aplicables aquí las mismas ideas y los mismo pasos, en este caso, para los
modos normales u (R, t) = ϵ (k) ei(k·R−ωt)
. Allí se aplicaron las condiciones de contorno
de Born-Von Karman para concluir que los vectores k permitidos son de la forma (3.8) y
el volumen asociado a dichos vectores es |△k| = (2π)3
/V , con V es el volumen del cristal.
-Densidad de modos: Se define la densidad de modos o estados de rama p, Dp (ω) ,
como el número de modos por unidad de frecuencia y con frecuencia entre ω y ω + dω
referente a la rama p. Como ya puede intuirse, si el cristal contiene un total de N celdas
con base de z átomos, habrán entonces 3zN ramas.
Lo dicho en el párrafo anterior coincide también con el apartado -Densidad de estados
visto en el Capítulo 3 ( en la página 12), a excepción claro de las diferencias obvias. Al
igual que entonces, de la propia definición de densidad de modos y mediante el cálculo
integral se llega a:
Dp (ω) =
V
8π3
ˆ
Sp(ω)
dS
|∇kω (k)|p
, (8.1)
donde Sp (ω) se refiere a la superficie ω (k) = cte de la rama p. Obsérvese, comparando
con (3.12), que aquí desaparece el factor 2 de degeneración de espín por razones evidentes.
Finalmente resulta para la densidad de modos D (ω), sumando todas las ramas:
D (ω) =
∑
p
Dp (ω) . (8.2)
-Modelo de Debye del calor específico: El modelo consiste en aproximar todas las
frecuencias ωp (k) correspondientes a cada rama, por 3 idénticas e isótropas de la forma:
ω = ck ; 0 k kD, (8.3)
donde c, para k → 0, es la velocidad del sonido en el cristal, y kD es el llamado vector
de onda de Debye que se obtiene exigiendo que el número de modos se corresponda con
el total 3zN (condición de ocupación),
3zN = 3
4
3 πk3
D
8π3
/V
=⇒ k3
D = 6π2
n, (8.4)
con n = zN/V es la concentración atómica.
La expresión anterior surge del hecho de que en el modelo, las superficies ω = cte son
esferas de radio k , así, el número de modos con frecuencia entre ω y ω + dω, de (8.1)
aplicando las aproximaciones, es :
DD (ω) dω = 3
V
8π3
4πk2
dk =⇒ DD (ω) = 3
V
2π
ω2
c3
; 0 ω ωD, (8.5)
con ωD = ckD la llamada frecuencia de Debye.

Para un oscilador armónico, la probabilidad de que éste se encuentre en un estado de
excitación n de energía εn = (1/2 + n) ω y a la temperatura T, viene dada por la dis-
tribución de Maxwell-Boltzman Pn ∝ e−εn/kBT
,de forma que el número medio de fonones
para un k dado y de rama p, (k, p) , excitados a la temperatura T es:
⟨n⟩ =
∞∑
n=0
nPn
∞∑
n=0
Pn
=
1
e− ω/kBT
− 1
, (8.6)
que es justo la distribución de Planck. La energía promedio para el modo (k, p) resulta
entonces:
⟨Uk,p⟩ =
(
1
2
+ ⟨nk,p⟩
)
ωp (k) , (8.7)
que en el caso kBT ≫ ω, (8.6) conduce a ⟨n⟩ ≃ ω/kBT , y se obtiene para el promedio
de energía, ⟨U⟩ ≃ kBT, es decir, se obtiene el límite clásico.
Teniendo en cuenta la expresión anterior, la energía total media es pués:
⟨U⟩ =
∑
k,p
Uk,p =
∑
k,p
ωp (k)
e− ωp(k)/kBT
− 1
≃
∑
p
ˆ ωcorte
0
DD (ω) ω
e− ω/kBT
− 1
dω, (8.8)
en donde debido a la alta densidad de modos se ha aplicado para k la aproximación∑
→
´
, y se ha omitido la energía del punto cero (por considerarla origen de energías).
A partir de la expresión anterior, para el cálculo de la contribución de la red al calor
específico a volumen constante y por unidad de volumen cred
v , analizamos los siguientes
casos:
• Altas temperaturas: En este caso es kBT ≫ ω, luego se tiene ⟨U⟩ ≃
∑
k,p kBT ≃
(3zN) kBT dado que el número de modos totales es 3zN. Para cred
v entonces:
cred
v ≡
1
V
∂ ⟨U⟩
∂T
= 3nkB. (8.9)
El resultado anterior es justo la ley de Dulong-Petit, esto es, el comportamiento del
calor específico en el límite clásico es constante para todos los sólidos.
• Bajas temperaturas: Para kBT ≪ ω, las frecuencias que intervienen son las de
la región lineal de las ramas acústicas donde ωp (k) ≃ cpk, por lo que la densidad
de modos puede ser aproximada por Dp (ω) ≃ V ω2
/2π2
c3
p. Con esto, aproximando
e− ωp(k)/kBT
−1 ≃ e− ω/kBT
, y haciendo el cambio x = ω/kBT , escribimos finalmente:
⟨U⟩ ≃
V k4
BT4
2π2 3
( 3∑
p=1
1
c3
p
) ˆ ∞
0
x3
e−x
dx =
3V k4
BT4
π2 3
3∑
p=1
1
c3
p
. (8.10)
Para un cristal isótropo se tiene que
∑3
p=1
1/c3
p = 3/c, derivando la relación anterior
respecto de T y dividiendo por V, el calor específico se expresa como:
cred
v =
36k4
BT3
π2 3c3
, (8.11)
expresión que es a veces conocida por ley T3
del calor específico.

• Temperaturas intermedias: Aquí aplicaremos el modelo de Debye, consistente como
ya se sabe, en admitir el espectro lineal (8.3). Por consiguiente, sustituyendo (8.5)
en (8.8), dividiendo por V , y derivando respecto de T, se obtiene:
cred
v =
3 2
2π2c3kBT2
ˆ ωD
0
ω4
e− ω/kBT
(
e− ω/kBT
− 1
)2 dω. (8.12)
Si se define la temperatura de Debye ΘD, por kBΘD = ωD,que representa la
temperatura a partir de la cual todos los modos están excitados, esto es, el inicio
del comportamiento clásico. Con dicha temperatura y teniendo en cuenta que de
(8.4) es c = ωD/kD = kBΘD/ 3√
6π2n. En función de ΘD, y con el cambio x = ω/kBT ,
el calor específico se reescribe como:
cred
v = 9nkB
(
T3
ΘD
) ˆ ΘD/T
0
x4
ex
(ex − 1)
2 dx, (8.13)
resultado que está en acuerdo excelente ( 1 − 2%) con los datos obtenidos experi-
mentalmente.
-Modelo de Einstein del calor específico: Este modelo fue anterior al de Debye,
supone que todos los modos normales oscilan con una misma frecuencia constante ωE. A
altas temperaturas el modelo conduce a la ley de Dulong-Petit, sin embargo, para el resto
de temperaturas se desvía de los resultados predichos por el modelo de Debye. A pesar de
ello, fue el primer modelo capaz de dar una explicación al hecho de que el calor específico
cae a cero conforme lo hace la temperatura, lo que supuso una sorpresa en la física clásica,
y además, fue el primero en introducir la idea de que las oscilaciones mecánicas de los
átomos de un cristal, están cuantizadas del mismo modo que los osciladores de Planck.
Este modelo suele ser útil para tratar las ramas ópticas, pues en muchos casos éstas
tienen un rango de variación de frecuencia estrecho, por lo que pueden promediarse dichas
frecuencias con el fín de utilizar un valor constante ωE.
-Dilatación Térmica. Efectos anarmónicos: El modelo de aproximación armónica
visto en el capítulo anterior conduce inexorablemente a la ausencia de dilatación térmica,
en efecto, supongamos por simplificar un potencial armónico entre dos átomos de la forma
U (r) = U0 + c (r − r0)
2
con r la distancia interatómica. Desde la perspectiva clásica, la
probabilidad de que el sistema se encuentre con una separación r a una temperatura T
es P (r) ∝ e−U(r)/kBT
. La separación media es entonces:
⟨r⟩ =
´ ∞
−∞
re−U(r)/kBT
´ ∞
−∞
e−U(r)/kBT
dr = r0, (8.14)
resultado que no depende de la temperatura y por tanto no muestra dilatación térmica
alguna.
Es necesario pues, añadir al potencial un término de anarmonicidad que de cuenta de
lo experimentalmente observado. Añadamos al potencial un término tal que U (r) =
U0 + c (r − r0)
2
− g (r − r0)
3
, la expresión (8.14) no puede ser resuelta analíticamente
con un potencial similar, sin embargo es posible aproximarla si aceptamos que el término

anarmónico es pequeño frente a kBT, en cuyo caso es eg(r−r0)3
/kBT ≃1+g(r−r0)3
/kBT
,y (8.14)
arroja:
⟨r⟩ = r0 +
3g
4c2
kBT. (8.15)
Si la constante g es positiva esta expresión implica que la separación interatómica se
incrementa con la temperatura . Tenemos pues un modelo clásico que conduce a una
dilatación térmica α ≡ L−1dL/dT = cte, con L la longitud de la muestra. Por supuesto, es
un modelo simple en el que no se están teniendo en cuenta efectos más complejos como
la anisotropía intrínseca de los cristales.
-Colisiones fonón-fonón. Procesos N y procesos U : En la aproximación armónica
los modos normales son ondas elásticas que viajan sin interacción alguna entre sí, es como
si los fonones tuvieran un recorrido medio libre infinito, no colisionan. La inclusión de
términos anarmónicos en el potencial, desde el punto de vista de la física de partículas,
da origen a procesos entre tres fonones que han de conservar la energía y el cuasiimpulso,
es decir,
∑
ωi =
∑
ωf y
∑
ki =
∑
kf + G, donde los subíndices i, j se refieren
a estado inicial y final respectivamente. Los procesos con G = 0 se denominan procesos
N, y conservan tanto la energía como el cuasiimpulso no existiendo por tanto resistencia
térmica. Si por el contrario es G ̸= 0, nos encontramos ante los llamados procesos umklapp
(del alemán retroceder) o procesos U, en los que la energía se degrada pues es entoces∑
ki ̸=
∑
kf perdiéndose direccionalidad.
-Conductividad térmica: La propagación del calor en un cristal sólo puede llevarse a
cabo mediante las vibraciones de sus átomos, es decir, mediante fonones. Podemos pensar
un modelo cinético basado en un gas de fonones similar al utilizado en el modelo de
Drude para explicar la contribución electrónica a la conductividad térmica, sin embargo,
esto supone tener que justificar que podemos dar al fonón carácter corpuscular, pues éste
es tan sólo un cuanto de energía asociado a un modo normal que involucra a todos los
átomos del cristal ( una cuasipartícula) y por ende está deslocalizado. Basta con pensar
que los modos normales pueden superponerse para conformar un paquete de ondas con
extensión △x, en el espacio real, y△k en el espacio recíproco, verificando que △x△k ∼ 1.
Debemos exigir que △k esté localizado en el espacio recíproco, o lo que es lo mismo, que
△k ≪ kP ZB ∼ a−1
, con a la distancia interatómica. Esto quiere decir que △x debe ser
mucho mayor que a, por lo que un modelo como éste sólo sería aplicable en el caso en
el que las longitudes características involucradas, como el recorrido libre medio dado por
l = cτ (τ es el tiempo de relajación o tiempo libre medio, es simplemente el tiempo entre
colisiones, c es la velocidad del sonido en el cristal.) , sean a su vez mucho mayores que a.
Sin meternos en detalles, básicamente bajo las mismas suposiciones del modelo de Drude
(en el Capítulo 4, en la página 15), se demuestra para la contribución de la red a la
conductividad térmica, κred, haciendo un balance de flujo, que:
κred =
1
3
cred
v c2
τ, (8.16)
y como puede verse, la expresión es muy similar a la obtenida para la conductividad
térmica por electrones, κel, mediante el modelo de Drude. Puede consultar por ejemplo
[5] para obtener los detalles acerca de este resultado.

-Comportamiento de la conductividad frente a la temperatura: A bajas tempe-
raturas, T ≪ ΘD, el recorrido libre medio de fonones l, queda determinado por la pureza
del cristal, pues los fonones no tienen la energía suficiente como para sufrir procesos U.
Dado que cred
v ∝ T3
entonces κred ∝ T3
.
Al subir la temperatura, aunque aún con T ≪ ΘD, comienzan a sufrir procesos U aquellos
fonones con frecuencia ω ≃ ωD, y en promedio, su número es ⟨n⟩U ≃ e−ΘD/T
. Si aceptamos
que el recorrido libre medio es inversamente proporcional al número medio de fonones,
esto es, l ∝ ⟨n⟩
−1
U , concluimos que κred ≃ T3
e−ΘD/T
.
Para T ΘD, casi la totalidad de fonones sufren procesos U, luego ⟨n⟩U ≃ ⟨n⟩ ≃ kBT/ ω,
por lo que l ∝ T−1
. Como a esas temperaturas es cred
v ≃ cte, resulta que κred ∝ T−1
.
Estos resultados están en buen acuerdo con lo observado experimentalmente para sólidos
cristalinos.
Figura 8.1: Representación aproximada de la contribución de la red a la conductividad
térmica frente a la temperatura.

9 Defectos Puntuales de la Red
Como puede suponerse, no existen cristales perfectos, esto debido a que como en muchas
otras ramas de la física, la estructura cristalina pura no es más que una idealización o si se
quiere un caso límite. En general los cristales presentan varios tipos de imperfecciones o
defectos que afectan a muchas de sus propiedades físicas y mecánicas, y también influyen
en algunas propiedades de los materiales a nivel de aplicación en ingeniería tal como la
capacidad de formar aleaciones en frío, la conductividad eléctrica, la corrosión, etc.
Si el defecto en un cristal es del orden del parámetro de red, estaremos hablando de
defecto puntual o de dimensión cero. Si el defecto se extiende a lo largo de una línea del
cristal, éste se conoce como defecto lineal o de dimensión uno. Y por último, si el defecto
se presenta en toda su superficie, hablamos de defecto superficial o de dimensión dos.
Aquí nos centraremos en los defectos puntuales, haciendo hincapié en los cristales iónicos.
Existen varios tipos de defectos puntuales:
• Átomos intersticiales: Es un átomo colocado en un lugar que normalmente no
le corresponde, ocupando el espacio entre puntos de red o intersticios. Aparecen
con más facilidad en redes amplias y poco compactas, y como es lógico, los iones
de menor volumen tienen más facilidad para ocupar intersticios que los de mayor
volumen.
• Vacantes de red: Como indica su nombre, una vacante es la ausencia de un átomo
o ión de su posición normal en la red. Si el cristal es covalente, la ausencia de un
átomo eléctricamente neutro no produce rotura de la neutralidad de carga de la red,
en cambio, en cristales iónicos, se rompe la neutralidad de carga, por lo que estos
defectos suelen aparecer por pares. Se tiene así:
2 Defectos de Schottky: A una vacante de ión positivo le corrresponde otra va-
cante de ión negativo, manteniéndose de este modo la neutralidad de carga.
Estos defectos suelen aparecer mayormente en los haluros alcalinos.
2 Defectos de Frenkel: Un ión deja su posición de red y ocupa una posición
intersticial. Claramente se mantiene la neutralidad de carga. Estos defectos
aparecen mayormente en los haluros de plata.
Figura 9.1: Defectos de Schottky y de Frenkel en una red bidimensional.

• Átomos extraños: Son átomos distintos a los del cristal que se sitúan en posicio-
nes intersticiales o bien ocupando posiciones de red. Por lo general su estructura
electrónica es importante en el segundo caso y su volumen en el primero.
Debemos esperar un cierto número de defectos puntuales en un cristal en equilibrio térmico
que además aumente con la temperatura. Dependiendo de la energia de formación de los
defectos, predominará un tipo u otro de ellos.
El número de defectos que hay en un sólido en equilibrio termodinámico se puede incre-
mentar de varias maneras. Uno de ellas es el templado, procedimiento por el que se baja
rápidamente la temperatura de un material desde temperaturas elevadas. Otra posibi-
lidad es utilizar bombardeo (radiación) con partículas nucleares, tales como protones o
neutrones, que pueden desplazar los átomos del cristal por colisión directa o por efecto
del calentamiento local. Una tercera posibilidad es la deformación en frío del cristal.
-Concentración de defectos: La probabilidad de que en algún lugar de la red haya
una vacante en equilibrio térmico a la temperatura T, viene determinada por el factor
de Boltzman e−Ev/kBT
, donde Ev es la energía necesaria para llevar un átomo desde el
lugar en la red dentro del cristal hasta un lugar en la superficie. Si existen N átomos, el
número n de vacantes en equilibrio viene dada por la razón de los lugares vacantes a los
ocupados,
n
N − n
= e
Ev
KBT .
(9.1)
En el caso en que es n ≪ N, la anterior puede aproximarse por:
n
N
≃ e
Ev
KBT
. (9.2)
En cristales iónicos, la formación de pares de vacantes que mantienen al cristal eléctrica-
mente neutro a escala local, mediante un cálculo estadístico obtenemos:
n
N
≃ e
Ep
2KBT
, (9.3)
donde Ep es la energía de formación del par.
En el caso de defectos de Frenkel, el número de éstos en equilibrio térmico resulta:
n ≃
√
NN′e
−
EI
2kBT
, (9.4)
donde N y N′
son el número de puntos de red y de intersticios respectivamente, y EI la
energía necesaria para llevar un átomo desde un punto de red hasta un intersticio.
-Conductividad iónica: Los cristales iónicos deberían ser aislantes por excelencia, pues
la promoción térmica de electrones a la BC es prácticamente nula. Aun así presentan
una cierta conductividad que no es producto del movimiento de electrones sino de los
iones de la red cristalina, este hecho se ha comprobado experimentalmente comparando
el transporte de carga, con el transporte de masa medido por el material depositado sobre
los electrodos en contacto con el cristal. Estos resultados pueden expresarse en términos
de los llamados números de transporte de cada tipo de ión, definidos como la fracción de
corriente conducida por los iones negativos o positivos,
t± ≡
σ±
σ+ + σ−
, (9.5)

donde queda claro que t+ + t− = 1.
Resulta evidente que la presencia de vacantes incrementa la conductividad iónica, pues
la energía necesaria para mover una vacante a través del cristal es mucho menor que la
necesaria para mover un ión de su posición de red en un cristal iónico perfecto.
En la figura 9.2 se muestran los resultados de la conductividad iónica del BrAg para tres
muestras, una de ellas muy pura, y las otras dos con impurezas de CdBr2 a distintas
concentraciones. Como puede verse, la tres muestras coinciden a temperaturas elevadas,
aumentando exponencialmente la conductividad hasta cerca del punto de fusión (435 ºC)
donde el cristal se vuelve un líquido iónico conductor.
Figura 9.2: Conductividad iónica de tres muestras de BrAg, una muestra pura y dos muestras
con impurezas de CdBr2. Fuente [1].
La región de temperatura elevada se denomina zona intrínseca, ya que como puede verse
en la figura, en la región de temperatura baja la conductividad presenta una clara depen-
dencia con las impurezas por lo que dicha zona es llamada zona extrínseca. En la zona
intrínseca la conductividad puede expresarse como:
σ = Ae
E
kBT
, (9.6)
donde las constantes A y E dependen del cristal iónico en particular.
En la zona extrínseca se obtiene una pendiente que es casi la mitad de la de la zona in-
trínseca y que poco depende del tipo de impureza utilizado, aunque σ sí que depende de
la concentración de la misma. Se ha comprobado por ejemplo que para el NaCl con impu-
rezas de Ca, la conductividad es proporcional a la concentración de Ca. Puede concluirse
pues, que a baja temperatura sólo contribuye a la conductividad una pequeña fracción de
los iones del cristal, debiéndose casi exclusivamente a la presencia de impurezas.

-Centros de color: Generalmente los cristales a temperatura ambiente son eléctrica-
mente aislantes, y también, son transparentes a la luz. La transparencia es debida a la
ausencia de transiciones (electrónicas, vibracionales o de cualquier otro tipo) en el espec-
tro visible: de 740 nm (7,7 eV) a 360 nm (3,5 eV). Si esto no sucede, el cristal presenta
color al absorber luz, y si esta absorción no es muy acusada, el color que muestra el cristal
es el de la luz que transmite.
Por ejemplo, los metales no transmiten luz por lo que tampoco la reflejan y presentan
brillo, el diamante puro tiene una brecha energética de 5,4 eV, por lo que es transparente a
la luz visible, puede sin embargo colorearse mediante irradiación, lo que produce defectos
en la red cristalina. Algunos cristales pueden colorearse añadiendo impurezas que posean
estados excitados en la región del visible, otros mediante irradiación (nuclear, rayos X o
γ) lo que produce defectos que originan que electrones o huecos se localicen y aparezcan
transiciones a estados excitados en la región visible.
Se llama centros de color o centros F (del alemán farben: color) a los defectos de la red
que absorben luz en el espectro óptico (más general que el visible, pues el espectro óptico
contiene al visible). Estos defectos están relacionados con electrones ligados a vacantes
de la red cristalina. La carga perdida por la presencia de una vacante de un ión negativo,
puede ser neutralizada por uno o varios electrones que quedan ligados por un potencial
total efectivo positivo, estos electrones presentan un espectro de energías discreto (como
en el caso de un electrón en una caja tridimensional de potencial infinito) que puede
generar transiciones dando lugar a líneas de absorción óptica. Por lo general estas absor-
ciones suelen estar fuera del espectro visible, en los haluros alcalinos por ejemplo, suelen
presentarse en el ultravioleta.
Existen otros centros de color en los haluros alcalinos con propiedades espectroscópicas
interesantes, por ejemplo, dos centros F adyacentes conforman un centro M, si existen
tres centros F adyacentes, hablamos de un centro R, un centro FA es un centro F en el
que uno de los seis iones positivos que rodean a la vacante se cambia por otro ión alcalino
(en el KCl por ejemplo se cambia un ión K+
por un ión Ca+
).
Figura 9.3: Representación esquemática de centros de color en una red bidimensional. En a) un
centro M, en b) un centro R.

Semiconductores y Magnéticos
Semiconductores.
Un semiconductor es un aislante (a T = 0 K) con un gap de energía Eg ≈ 1 eV como para
que a temperaturas finitas un cierto número apreciable de electrones pasen de la BV a la
BC, permitiendo así la corriente eléctrica.
-Concentración de portadores en equilibrio Térmico: Una propiedad de los semi-
conductores que no se observa en los metales, es que la conductividad eléctrica puede
alterarse en muchos ordenes de magnitud añadiendo cantidades de otros elementos deno-
minados genéricamente como impurezas. Son éstas las que determinan el carácter electrón
o hueco de la conducción. Toda la electrónica (diodos, transistores, células fotovoltaicas,
etc) se fundamenta en esta propiedad conocida como dopado.
Se demuestra que la concentración de electrones, n, en la BC, y de huecos, p, en la BV,
de un semiconductor a la temperatura T, viene dada por:
n =
ˆ ∞
εc
Dc (ε) fF D (ε, T) dε ; p =
ˆ εv
−∞
Dv (ε) [1 − fF D (ε, T)] dε, (10.1)
donde εc y εv son las energías de borde de la BC y de la BV, y las
Dc,v (ε) = (m∗
c,v)
3/2
/ 2
π2
√
2 |ε − εc,v| 7
, son las respectivas densidades de estados con
m∗
c,v = 3
√
m∗
1m∗
2m∗
3, la masa efectiva media geométrica de los autovalores del tensor
de masa de la BC y de la BV 8
.
Si el semiconductor verifica que εc − µ, µ − εv ≫ kBT, en cuyo caso se dice que es no
degenerado, se puede hacer uso de la estadística de Maxwell-Boltzman en lugar de la de
Fermi-Dirac, para obtener:
n = Nc (T) e
−(εc−µ)
kBT
; p = Nv (T) e
−(µ−εv)
kBT
, (10.2)
en las que los factores Nc (T) y Nv (T) , a veces llamados densidades de estado efectivas
de la BC y de la BV respectivamente , marcan las concentraciones de electrones y huecos
en el semiconductor no degenerado, y vienen dados por:
Nc,v =
(
m∗
c,vkBT
21/3
π 2
)3/2
. (10.3)
El producto de las (10.2), np =
√
NcNve
−εc
2kBT
, es conocido como ley de acción de masas,
que como puede verse, no depende ya de µ.
-Semiconductores intrínsecos: Así son llamados los semiconductores con un número
despreciable de impurezas eléctricamente activas, con lo que para ellos es n = p = ni
7Obsérvese que esta densidad no es más que una generalización directa de la obtenida para electrones
libres en una aproximación parabólica en la que m∗ = cte .
8Si contribuyen N bandas de electrones o de huecos, se tendrá
(
m∗
c,v
)3/2
=
∑N
i=1
(
m∗
1m∗
2m∗
3
)1/2
i

(subíndice i de intrínseco). Multiplicando entre si las (10.2) (ley de acción de masas) y
junto con (10.3), para los semiconductores intrínsecos se llega fácilmente a que:
ni =
√
NcNve
−εc
2kBT
; µ = εv +
1
2
εg +
3
4
kBT ln
m∗
v
m∗
c
(10.4)
-Semiconductores Dopados: Éstos presentan impurezas sustitucionales eléctricamente
activas que aportan electrones o huecos, por lo general elementos del grupo V o III a los
que se les nombra impurezas dadoras o aceptoras respectivamente, se habla entonces de
semiconductores de tipo n o tipo p. La energía de ionización y el radio de las impurezas
dadoras o aceptoras (subíndices d y a), se obtiene de las ecuaciones del átomo de hidrógeno
adaptadas al medio material:
εd,a =
m∗
mek2
ε0 ; ad,a =
me
m∗
ka0, (10.5)
con m∗
la masa efectiva del electrón en el medio, k es la permitividad relativa del medio,
a0 =
2
/mee2
es el radio de la primera órbita Bohr, y ε0 = mee4
/2 2
= 13, 6 eV la energía
de ionización del átomo de hidrógeno en su estado fundamental.
Las impurezas dadoras entonces «darán» electrones a la BC, mientras que las aceptoras
«aceptarán» electrones de la BV (generando huecos). De este modo, tanto las dadoras
como las aceptoras, contribuyen a la conducción creando respectivamente un nuevo nivel
energético εD a una energía εd por debajo de la BC, y un nivel εA a una energía εa
por encima de la BV. Mediante la mecánica estadística se deduce fácilmente para la
concentración de impurezas dadoras y aceptoras ionizadas a una temperatura T, que:
N+
D =
ND
1 + 2e(µ−εD)/kBT
; N−
A =
NA
1 + 2e(εA−µ)/kBT
, (10.6)
donde ND y NA son las concentraciones totales de las impurezas correspondientes. La
concentración de electrones y huecos, n (T) y p (T) , puede hallarse a partir de la llamada
condición de electroneutralidad n + N−
A = p + N+
D , basta para ello con sustituir las (10.1)
y las (10.6) en dichas condiciones, esto permite despejar µ para llevarlo a (10.1) que sin
más arroja las expresiones buscadas; si se trata de semiconductores no degenerados, en
lugar de las (10.1) pueden usarse evidentemente las (10.2). Dejando atrás los detalles
cuantitativos, se observan tres zonas diferenciadas. Para los semiconductores tipo n, a
temperaturas muy bajas los electrones de la BC proceden de la ionización de impurezas,
esta zona es llamada régimen de ionización, al subir la temperatura, a una temperatura
de saturación Ts, todas las impurezas están ya ionizadas, es entonces n ≃ ND y se está en
el régimen de saturación. A mayores temperaturas, a partir de la temperatura intrínseca
Ti, los electrones procedentes de BV superan a los procedentes de las impurezas, estamos
finalmente en el régimen intrínseco, donde n ≃ ni. Los argumentos son análogos para el
caso de semiconductores tipo p.
-Conductividad eléctrica: La conductividad en semiconductores no degenerados, es la
suma de las contribuciones de electrones en BC y de huecos en la BV. Con τe y τh las me-
dias de los tiempos de relajación de los electrones y huecos de las bandas correspondientes,
y definiendo las movilidades µn ≡ eτe/m∗
c y µp ≡ eτh/m∗
v, resulta para la conductividad:
σ = enµn + epµp. (10.7)

Se observa que a bajas temperaturas las movilidades están gobernadas por las impurezas
mientras que a altas temperaturas lo están por fonones según µimp ∝ T3/2
y µfon = T−3/2
.
Así pues, en el régimen intrínseco, a altas temperaturas, a partir de la primera de las
(10.4), de las (10.3) y de (10.7), se encuentra para la conductividad eléctrica:
σ ∝
(
T
3/2
e
−εg/2kBT
)
T
−3/2
= e
−εg/2kBT
, (10.8)
expresión que permite de un modo muy simple, determinar el gap de energía de un
semiconductor mediante medidas sistemáticas de la conductividad en función de la tem-
peratura.
Magnetismo.
Se define la magnetización M como el vector momento magnético µ por unidad de volu-
men M = 1
V
∑
V µ. La relación M = χH, con H un campo magnético externo aplicado
a un medio material, clasifica a dichos medios según el valor del coeficiente χ9
conoci-
do como susceptibilidad magnética, así, se habla de materiales diamagnéticos si χ 0,
paramagnéticos si χ 0 y ferromagnéticos para χ → ∞ en cuyo caso puede existir
magnetización distinta de cero incluso en ausencia de campo magnético.
-Diamagnetismo: Todos los cuerpos muestran una contribución diamagnética debido
a los electrones ligados a sus átomos. Los electrones en órbita en torno a los núcleos
responden a un campo magnético aplicado con un momento magnético en sentido opuesto
al del campo (por la ley de Lenz). Sin meternos en desarrollos, según un modelo clásico, el
momento diamagnético de una órbita electrónica de radio r perpendicular a una inducción
magnética B aplicada , viene dado por:
µ = −
e2
r2
B
4me
, (10.9)
y para la susceptibilidad de un conjunto de átomos se tiene que:
χ ≃ −
µ0nZe2
⟨
r2
⟩
6me
∼ −10−6
Z, (10.10)
siendo n la concentración atómica y Z el número atómico. El diamagnetismo lo presentan
todos los cuerpos sin excepción, aunque suele verse enmascarado por el paramagnetismo
y el ferromagnetismo que son mucho mayores.
-Paramagnetismo: Este es debido al momento magnético permanente que muestran
algunos átomos como consecuencia del momento angular de espín S y del momento
angular orbital L de sus electrones. El momento magnético viene dado por:
µ = −gµBJ, (10.11)
donde J = (L + S) es el momento angular total electrónico, µB = e /2me = 9, 3 ×
10−24 J/T es el magnetón de Bohr y g es le factor de Landé.
9En realidad χ es un tensor que da cuenta de la anisotropía de los materiales respecto del magnetismo,
aquí sin embargo, la consideraremos un escalar como si con materiales isótropos tratáramos.

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