Este documento presenta conceptos estadísticos y de medición física, incluyendo medición directa e indirecta, cifras significativas, errores experimentales, análisis de datos con menos de 10 y más de 10 mediciones, y propagación de errores en mediciones indirectas utilizando derivadas parciales. El objetivo es proveer las herramientas conceptuales necesarias para realizar mediciones físicas precisas y cuantificar sus incertidumbres.

1. FMF 086 Fı́sica Experimental.
Conceptos estadı́sticos.
Rodrigo Valenzuela Melivilu
r.valenzuelamelivilu@uandresbello.edu
Magı́ster en Ciencias con mención en Fı́sica.
Universidad de Concepción.
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2. Conceptos Básicos.
Medición: Acción de comparar cuantitativamente una magnitud fı́sica
con un patrón de su misma especie.
Medición directa: La magnitud a medir se compara directamente con
la unidad patrón. (medir la altura de una persona usando un
huincha.)
Medición indirecta: La magnitud fı́sica se calcula como función de
una o más magnitudes fı́sicas. (La rápidez de un móvil medida en un
tramo al conocer la distancia recorrida y el tiempo en que se recorre
la distancia)
Toda medición de una magnitud fı́sica debe ir acompañada del
número y su respectiva unidad de medida.
Al usar un prefijo este debe expresarse correctamente. Por ejemplo el
prefijo kilo correspondiente a 103 en potencias de 10 es una k
minúscula. Ası́ 1000 g es 1 kg. Si usa una k mayúscula, es decir 1Kg
esto serı́a incorrecto puesto que K corresponde al Kelvin, por lo cual
se leerı́a como 1 Kelvin gramo y eso está malo.
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3. Cifras significativas:
Corresponde a la cantidad de dı́gitos necesarios para expresar una
medida de una magnitud fı́sica. Por ejemplo si medimos una alfombra
y su largo es L=3 m, conocemos dicho largo con una cifra
significativa. L=3.00 m conocemos el largo con 3 cifras significativas
llegando a la centésima de metro.
Los ceros son cifras significativas si se encuentran entre dos números
distintos de cero. Por ejemplo: 101 tiene 3 cifras significativas,
3.0051 tiene 5 cifras significativas.
Los ceros a la derecha de un número distinto de cero si son
significativos, por ejemplo 0.400 tiene 3 cifras significativas.
Los ceros a la izquierda de la coma decimal y al lado izquierdo de un
número distinto de cero no son cifras signicativas. Por ejemplo:0.9
tiene sólo una cifra significativa, 0.001 tiene sólo 1 cifra significativa y
0.000534 tiene sólo 3 cifras signicativas.
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4. La cantidad de cifras significativas están acotadas a la cantidad de
cifras que puede entregar el instrumento de medición.
En un número expresado en potencias de 10 esta no se considera
como cifra significativa. Por ejemplo 4.1415×10−4, tiene solo 5 cifras
significativas.
Operaciones con cifras signicativas.
En la adición y sustracción el resultado final tiene la misma cantidad
de digitos decimales que el factor con menor cantidad de dı́gitos
decimales.
Por ejemplo:
4.35+0.868+0.6=5.818 → 5.8
En multiplicación, división y potencias, el resultado final tendrá el
mismo número de cifras significativas que el factor que menos cifras
significativas tiene.
Por ejemplol:
8.425×22.3=187.8775 → 188
Observe que en este caso se redondeó el número resultante.
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5. Redondeo.
A veces un resultado puede tener muchos digitos. Para expresar dicho
valor de acuerdo a la número de cifras significativas es necesario
redondear. Para ello considere la siguiente regla: ”Si el dı́gito a la derecha
del dı́gito a redondear es mayor o igual a 5, se suma uno al dı́gito que se
desea redondear, en caso contrario se mantiene el valor”.
Por ejemplo: Si estamos trabajando con 3 cifras significativas y nuestro
resultado es 3.1492, dado que el dı́gito al lado del cuatro es 9, entonces el
valor es 3.15. Si fuera 3.143, el número queda en 3.14.
Importante
A la hora de operar entre números siempre se operan las números
completos y al resultado se le determinan la cantidad de cifras
significativas en base a las reglas anteriores incluyendo el redondeo.
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6. ¿Cuánto mide el fósforo?
A vuelo de pajaro el fósforo
mide entre 4.5 cm y 4.6 cm.
Para tener una mejor precisión
podrı́amos considerar el
promedio entre las dos medidas
que es 4.55 cm e indicar que la
incerteza es 0.05 cm.
L=4.55 ± 0.05 cm
Esta es una expresión
probabilı́stica del largo del
fósforo. Ası́ se expresa un
resultado experimental!
Siempre en el laboratorio existe
una impresición o incerteza en el
resultado de una medición.
esto proviene de fallas en la
técnica de medición o
fluctuaciones estadı́sticas.
Esto se conoce como ERRORES
EXPERIMENTALES.
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7. Tipos de Errores Experimentales.
Errores Sistemáticos: sus causas son posibles de identificar y pueden
ser corregidos en la medida de lo posible. Por ejemplo, Mala
calibración, uso de fórmulas incorrectas y variaciones de las
condiciones experimentales.
Errores aleatorios: Son productos de variaciones incontrolables de un
gran número de factores experimentales y no pueden eliminarse, solo
minimisarse.
Si el error aleatorio de una medida es pequeño la medida se dice
precisa.
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8. Analisis de datos con N < 10.
Se define el valor medio de un conjunto de datos como:
x̄ =
1
N
N
X
i=1
xi, (1)
Se define el error absoluto como:
∆x = ρ + EI, (2)
donde ρ es el error promedio de la medición dado por:
ρ =
1
N
N
X
i=1
|xi − x̄|, (3)
y EI es el error instrumental.
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9. Error Instrumental.
El error instrumental EI depende de si el instrumento es análogo o digital.
Si es análogo el error instrumental es la mitad de la menor división
(resolución) de la escala del instrumento. Para una regla de 1 m
medida en mm, se tiene que la resolución es 1 mm. Luego:
EI =
1mm
2
= 0.5 × 10−3
m = 0.0005m. (4)
Si es dı́gital el EI corresponde a la sensibilidad del instrumento
indicada por el fabricante.
EI = S. (5)
El error relativo es dado por:
εr =
∆x
x̄
. (6)
El error instrumental me entraga la noción de cuantos decimales a
usar.
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10. El error absoluto es la diferencia entre el valor teorico y medido, que
por lo general es el promedio x̄.
εabs = |xteo − x̄|. (7)
Si xteo > x̄ existe una subestimación del valor que se quiere conocer.
Si xteo < x̄ existe una sobrestimación del valor que se quiere conocer.
Se suele expresar en porcentaje.
εabs% =
|xteo − x̄|
xteo
× 100%. (8)
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11. Cuantificación de Errores N≥10
Sea un conjunto de mediciones {x1, x2, · · · , xn}, de una misma cantidad
fı́sica, independientes entre sı́ y libres de errores sistemáticos. El resultado
se acostumbra expresar mediante:
x = x̄ ± ∆x, (9)
donde x̄ es la media que es el valor más representativo de la cantidad
medida y ∆x es el error absoluto de x.
Definimos la media o el promedio como:
x̄ =
1
N
N
X
i=1
xi, (10)
donde N es el número de medidas realizadas.
El promedio se expresará siempre con una cifra decimal más que el de cada
medida xi.
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12. Sin embargo, para cuantificar ahora el error absoluto ∆x, se define:
Desviación tı́pica S.
S =
v
u
u
t 1
N
N
X
i=1
(xi − x̄)2, (11)
la cual se expresa con dos cifras significativas.
Desviación estándar:
σ =
r
N
N − 1
S, (12)
se expresa con dos cifras significativas.
Error tı́pico o error normal de promedio:
σm =
σ
√
N
, (13)
se expresa con una cifra signicativa.
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13. El error relativo es dado por:
εr =
σm
x̄
(14)
Finalmente el error absoluto se calula mediante:
∆x = 2σm + EI. (15)
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14. Medición indirecta y propagación de errores.
Sea F = F(y1, y2, · · · , yN )
una magnitud fı́sica medida de
forma indirecta, dependiente
de otras variables medidas
directamente, y1, y2, · · · , yN ,
donde:
y1 = ȳ1 ± ∆y1,
y2 = ȳ2 ± ∆y2,
.
.
.
yN = ȳN ± ∆yN .
Para N < 10, se define el error absoluto de
la magnitud fı́sica medida de forma
indirecta ∆F que se calcula mediante:
∆F =
N
X
i=1
∂F
∂yi
∆yi
, (16)
donde el valor absoluto de la derivada
parcial debe ser evaluada usando el
conjunto de valores medios correspondiente
ȳi, con i = 1, · · · , N.
De esta forma el resultado de la medición
indirecta será F = F̄ ± ∆F.
1
1
Se hace necesario que el estudiante sepa derivadas parciales.
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15. Para N≥10, el error absoluto de la magnitud fı́sica medida de forma
indirecta ∆F que se calcula mediante:
∆F = 2σmF , (17)
donde σmF , se calcula mediante
σmF =
v
u
u
t
N
X
i=1
(σi)2
∂F
∂yi
2
, (18)
donde σi es la desviación estándar de la i-esima variable medida y la
derivada parcial debe ser evaluada usando el conjunto de valores medios
correspondiente ȳi, con i = 1, · · · , N.
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16. Aplicación de derivadas parciales.
Si bien el marco teórico de derivadas parciales es profundo y extenso, el
procedimiento es bastante sencillo y basta con aplicar las técnicas
aprendidas en el calulo diferencial.
Considere la función F = x2 + y2. Cuando derivamos F parcialmente con
respeco a x, la variable y pasa a ser tratada como una constante. De esta
forma se tiene:
∂F
∂x
= 2x. (19)
Por otra parte, cuando derivamos F parcialmente con respeco a y, la
variable x pasa a ser tratada como una constante. De esta forma se tiene:
∂F
∂y
= 2y. (20)
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17. Otro ejemplo: Considere la función F = 3xy2, encuentre sus derivadas
parciales y evalue en el punto (1,1)
Derivando parcialmente con respecto a x y evaluando en el punto de
interes se tiene:
∂F
∂x
= 3y2
|(1,1) = 3. (21)
Derivando parcialmente con respecto a y y evaluando en el punto de
interes se tiene:
∂F
∂y
= 6xy|(1,1) = 6. (22)
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18. Ejemplo aplicado al análisis de datos.
Supongamos ahora que se midió el volumen de una esfera dando como
resultado un volumen de V = (600.54 ± 0.05) cm3 y su masa resultó en
un valor de m = (4300.00 ± 0.25) g.
Observamos que la densidad depende de la masa m y el volumen V ,
siendo definida por:
ρ =
m
V
. (23)
La densidad media es dada por:
ρ̄ =
m̄
V̄
=
4300.00
600.54
= 7.1602
g
cm3
. (24)
Luego el error o incertidumbre de la densidad es dado por:
∆ρ =
∂ρ
∂m
∆m +
∂ρ
∂V
∆V (25)
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19. Recordemos que las derivadas parciales deben ser evaluadas en los valores
medios respectivos.
∂ρ
∂m
=
1
V (m,V )=(m̄,V̄ )
= 1.665 × 10−3
. (26)
∂ρ
∂V
= −
m
V 2 (m,V )=(m̄,V̄ )
= 1.19 × 10−2
. (27)
Finalmente se tiene:
∆ρ = 1.665 × 10−3
· 0.25 + 1.19 × 10−2
· 0.05 = 0.00101. (28)
Ası́ finalmente la densidad con su incertidumbre es dada por:
ρ = (7.1602 ± 0.00101)
g
cm3
. (29)
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